湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题8 线段的垂直平分线
一、单选题
1．（2021八上·潍坊期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
2．（2021八上·乐陵期中）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点
3．（2021八上·乐陵期中）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于H；
下列叙述正确的是（ ）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C． =BC·AH D．BC=CH
4．（2021八上·莒南期中）如图， 中， ， ， ， 于点 ， 是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使 最小，则这个最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
5．（2021八上·无棣期中）如图，△ABC中，BC=14，边AB的垂直平分线和边AC的垂直平分线相交于点M，且与边BC分别相交于点D、E，连接AE、AD，则△AED的周长（ ）
A．14 B．10 C．18 D．不能确定
6．（2021八上·温州期中）如图，在△ABC中，∠B＝68°，∠C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于0.5AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50° B．52° C．54° D．56°
7．（2021八上·台州期中）已知 ，用尺规作图的方法在 BC上取一点P，使 ，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021八上·津南期中）如图，△ABC中，AB+BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．无法确定
9．（2021八上·红桥期中）如图，在 中， 、 的垂直平分线分别交 于点 、 ，若 ，则 为（ ）
A．38° B．40° C．24° D．44°
10．（2021八上·孝义期中）如图，在 ABC中，DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，若AB＝6，AC＝8，BC＝12，则 AEF的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
11．（2021八上·吉林月考）如图，在△ABC中，AB = AC，D为边BC的中点，点E、F分别是边AB、AC上的点，将△ABC沿直线EF翻折，使点A与点C重合，点P是直线EF上的任意一点，连接PD、PC，若BC=3，△ABC的面积为9，则△CDP周长的最小值为
12．（2021八上·鲁甸期中）已知点C、D在线段 的垂直平分线上，且 ，则 的度数为 ．
13．（2021八上·玉屏期中）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC = ．
14．（2021八上·肥城期中）如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为 cm．
15．（2021八上·平邑期中）如图，在 中， 分别以 为圆心， 为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点，连接BD，则△BCD的周长是 ．
16．（2021八上·蒙阴期中）如图所示，在 中， ， ， ，线段 的垂直平分线 交 于 ，交 于 ，连接 ，则 的周长为 ．
三、作图题
17．（2021八上·孝义期中）作图题：如图，已知 ABC，在BC上找一点D，使 ABD的周长等于AB＋BC．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
18．（2021八上·绍兴开学考）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．
（1）
请用尺规在图上找出点P；
（2）
请说明你作图的依据．
四、解答题
19．（2021八上·浦东期中）如图，在 中， 平分 ， ，过点E作 于点O，交 的延长线于F，联结 ，求证： ．
20．（2021八上·余杭月考）如图，在 中， 是 的中垂线，分别交 ， 于点D，E.若 的周长为8， ，求 的长.
21．（2021八上·沭阳月考）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点D、E， 的垂直平分线分别交 、 于点F、G.求 的周长.
五、综合题
22．（2021八上·肥城期中）如图，在 中， 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ， 与 相交于点 ，连结 ， ， ，若 的周长为 ， 的周长为 ．
（1）求线段 的长；
（2）求线段 的长．
23．（2021八上·临沭期中）如图，在 中， ， ．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 ，射线AE是 的 ；
（2）在（1）所作的图中，求 的度数．
24．（2021八上·磐石期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求证：AE＝BC．
25．（2021八上·汕头期中）如图，在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝DE，EF垂直平分AC，分别交BC，AC于点E，F，连接AE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若 ABC的周长为8，AC＝3，求CD的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 是线段 的垂直平分线，
，
的周长 ，
故答案为：A．
【分析】根据垂直平分线的性质可得EA=EB，再根据三角形的周长及等量代换可得 的周长 。
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵要确保游戏公平，只需满足凳子到每个人的距离相等，
∴凳子要放在三角形的外心位置处即三边垂直平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得答案。
3．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接CD，BD
∵以C为圆心，CA为半径画弧
∴AC=CD
∵以B为圆心，BA为半径画弧②
∴BD=BA
∴点B、C在AD的垂直平分线上．
故答案为A．
【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此意义判定即可。
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，
故答案为：B．
【分析】根据AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，得出AD的值，由EF垂直平分AB，得出点A，B关于直线EF对称，即可得出PB+PD的最小值。
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴BD=AD，AE=CE，
∴ △AED的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=14.
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD=AD，AE=CE，从而得出△AED的周长=BC=14，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B＝68°，∠C＝28°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°，
由题意得：MN是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴∠DAC＝∠C＝28°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝84°﹣28°＝56°.
故答案为：D.
【分析】首先由内角和定理可得∠BAC＝84°，由垂直平分线的性质可得MA＝MC，根据等腰三角形的性质可得∠DAC＝∠C＝28°，然后根据∠BAD＝∠BAC-∠DAC进行计算.
7．【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，连结PA，
则PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC=BC.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质把PA转化为PB，根据两点之间线段最短，得出当B、P、C在一条直线上时，PA+PC=BC，即可解答.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=AB+BC=10，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=DC，因此△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=AB+BC。
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=102°，
∴∠C+∠B=78°，
∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EB=EA，FC=FA，
∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠EAB+∠FAC=78°，
∴∠EAF=24°，
故答案为：C．
【分析】利用三角形的内角和求出∠C+∠B=78°，再根据EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，可得∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，即可得到∠EAB+∠FAC=78°，最后利用∠BAC-（∠EAB+∠FAC）即可得到答案。
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，
∴AE=BE，AF=CF，
∵BC=12，
∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=12，即 AEF的周长是12．
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合等量代换，求出三角形AEF的周长即可。
11．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的面积=×3×h=9
∴h=6
即CD和CP的最小值
∴△CDP的周长=6+=。
【分析】根据题意，由线段垂直平分线的性质，结合等腰三角形的性质，求出三角形的周长的最小值即可。
12．【答案】 或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，当C、D在线段AB的同侧时，连接AD，
∵D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠ABD=60°，
∴∠CAD=∠DAB-∠CAB=26°；
如图所示，当C、D在线段AB的异侧时，连接AD，
∵D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠ABD=60°，
∴∠CAD=∠DAB+∠CAB=94°；
故答案为：26°或94°．
【分析】分两种情况：①当C、D在线段AB的同侧时，②当C、D在线段AB的异侧时，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质分别求解即可.
13．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】因为EF是AB的垂直平分线，所以AF=BF，因为BF=12，CF=3，所以AF=BF=12，
所以AC =AF+FC=12+3=15．
【分析】由线段垂直平分线的性质，可得AF=BF，由AC=AF+FC即可求解.
14．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AB=AD+BD=AD+CD，
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=AB+AC=8cm；
故答案为8
【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=CD，因此△ACD的周长=AD+CD+AC=AB+AC=8cm。
15．【答案】10.5
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，
则BD=AD，
则△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵AC=6，BC=4.5，
∴△BCD的周长=6+4.5=10.5．
故答案为：10.5．
【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=AD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC
=AC+BC，再将数据代入计算即可。
16．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=7，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=7，
故答案为：7．
【分析】根据折叠的性质可得AE=CE，再利用三角形的周长公式可得△ABE的周长=AB+BE+AE=7。
17．【答案】解：如图，点D即为所求作．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，做线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质，求出三角形的周长即可。
18．【答案】（1）解：如图，点P即为所求．
（2）解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】(1)作线段AB的垂直平分线交直线m与一点P即可；
(2)根据线段的垂直平分线的性质回答即可.
19．【答案】证明：因为 ，
所以 ；
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
因为 ，
所以 垂直且平分 ，
所以F在 的垂直平分线上，
所以 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质解答即可。
20．【答案】解：∵ 的周长为8，
又∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的中垂线，
∴ ，
∴ .
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】利用△BCE的周长为8，可求出CE+BE的长；再利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可证得EC=EA，从而利用AB=CE+BE即可求解.
21．【答案】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长 .
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AG=CG，据此不难求出△AEG的周长.
22．【答案】（1）解：∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AD=BD，AE=CE，
∴ 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC= ；
（2）∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AO=BO=CO，
∵ 的周长=BC+BO+CO= ，BC= ，
∴BO=CO=6cm，
∴OA=OB=6cm．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，再利用的周长计算方法及等量代换可得 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）根据垂直平分线的性质可得AO=BO=CO，再利用的周长为20，AB=8，可求出OB=OC=6，所以OA=6.
23．【答案】（1）垂直平分线；角平分线
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C=180°－30°－50°=100°，
∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD=100°－30°＝70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝ ∠CAD＝ ×70°＝35°．
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线和角平分线的作法可得答案；
（2）先利用三角形的内角和可求出∠BAC的度数，再利用垂直平分线的性质可得∠BAD=∠ABD=30°，再利用角的运算可得∠CAD=∠BAC-∠BAD，最后利用角平分线的定义可得 ∠DAE＝ ∠CAD＝ ×70°＝35°．
24．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC，
∴CE=AE，
∴∠ECD=∠A=36°，
∴∠BEC=∠A+∠ECD=36°+36°=72°；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵∠BEC=72°，
∴∠BEC=∠B，
∴BC=EC
∵DE垂直平分AC，
∴CE=AE，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由垂直平分线的性质得出CE=AE，∠ECD=∠A=36°，由此即可得出∠BEC的度数；
（2）由AB=AC，∠A=36°，得出∠B=∠ACB=72°，推出∠BEC=∠B，由垂直平分线的定义得出CE=AE，由此得出结论。
25．【答案】（1）解：∵ ，
∴
∴
∵
在 中
∵ 垂直平分
∴
∴
∵
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
且 的周长为8，
∴ ，
∴
即
∴ ．
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据AD⊥BC于点D，BD＝DE，得出，从而得出，从而得出，再由垂直平分线的性质，得出，再根据三角形的外角性质即可求解；
（2）根据题意得出 ，再由三角形的周长，即可求解。
1 / 1湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题8 线段的垂直平分线
一、单选题
1．（2021八上·潍坊期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9 B．10 C．13 D．14
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 是线段 的垂直平分线，
，
的周长 ，
故答案为：A．
【分析】根据垂直平分线的性质可得EA=EB，再根据三角形的周长及等量代换可得 的周长 。
2．（2021八上·乐陵期中）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵要确保游戏公平，只需满足凳子到每个人的距离相等，
∴凳子要放在三角形的外心位置处即三边垂直平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得答案。
3．（2021八上·乐陵期中）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC延长线于H；
下列叙述正确的是（ ）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C． =BC·AH D．BC=CH
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接CD，BD
∵以C为圆心，CA为半径画弧
∴AC=CD
∵以B为圆心，BA为半径画弧②
∴BD=BA
∴点B、C在AD的垂直平分线上．
故答案为A．
【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此意义判定即可。
4．（2021八上·莒南期中）如图， 中， ， ， ， 于点 ， 是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使 最小，则这个最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，
故答案为：B．
【分析】根据AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，得出AD的值，由EF垂直平分AB，得出点A，B关于直线EF对称，即可得出PB+PD的最小值。
5．（2021八上·无棣期中）如图，△ABC中，BC=14，边AB的垂直平分线和边AC的垂直平分线相交于点M，且与边BC分别相交于点D、E，连接AE、AD，则△AED的周长（ ）
A．14 B．10 C．18 D．不能确定
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴BD=AD，AE=CE，
∴ △AED的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=14.
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD=AD，AE=CE，从而得出△AED的周长=BC=14，即可得出答案.
6．（2021八上·温州期中）如图，在△ABC中，∠B＝68°，∠C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于0.5AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50° B．52° C．54° D．56°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B＝68°，∠C＝28°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°，
由题意得：MN是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴∠DAC＝∠C＝28°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝84°﹣28°＝56°.
故答案为：D.
【分析】首先由内角和定理可得∠BAC＝84°，由垂直平分线的性质可得MA＝MC，根据等腰三角形的性质可得∠DAC＝∠C＝28°，然后根据∠BAD＝∠BAC-∠DAC进行计算.
7．（2021八上·台州期中）已知 ，用尺规作图的方法在 BC上取一点P，使 ，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，连结PA，
则PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC=BC.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质把PA转化为PB，根据两点之间线段最短，得出当B、P、C在一条直线上时，PA+PC=BC，即可解答.
8．（2021八上·津南期中）如图，△ABC中，AB+BC＝10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．无法确定
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=AB+BC=10，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=DC，因此△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=AB+BC。
9．（2021八上·红桥期中）如图，在 中， 、 的垂直平分线分别交 于点 、 ，若 ，则 为（ ）
A．38° B．40° C．24° D．44°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=102°，
∴∠C+∠B=78°，
∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EB=EA，FC=FA，
∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠EAB+∠FAC=78°，
∴∠EAF=24°，
故答案为：C．
【分析】利用三角形的内角和求出∠C+∠B=78°，再根据EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，可得∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，即可得到∠EAB+∠FAC=78°，最后利用∠BAC-（∠EAB+∠FAC）即可得到答案。
10．（2021八上·孝义期中）如图，在 ABC中，DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，若AB＝6，AC＝8，BC＝12，则 AEF的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，
∴AE=BE，AF=CF，
∵BC=12，
∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=12，即 AEF的周长是12．
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合等量代换，求出三角形AEF的周长即可。
二、填空题
11．（2021八上·吉林月考）如图，在△ABC中，AB = AC，D为边BC的中点，点E、F分别是边AB、AC上的点，将△ABC沿直线EF翻折，使点A与点C重合，点P是直线EF上的任意一点，连接PD、PC，若BC=3，△ABC的面积为9，则△CDP周长的最小值为
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的面积=×3×h=9
∴h=6
即CD和CP的最小值
∴△CDP的周长=6+=。
【分析】根据题意，由线段垂直平分线的性质，结合等腰三角形的性质，求出三角形的周长的最小值即可。
12．（2021八上·鲁甸期中）已知点C、D在线段 的垂直平分线上，且 ，则 的度数为 ．
【答案】 或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，当C、D在线段AB的同侧时，连接AD，
∵D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠ABD=60°，
∴∠CAD=∠DAB-∠CAB=26°；
如图所示，当C、D在线段AB的异侧时，连接AD，
∵D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠ABD=60°，
∴∠CAD=∠DAB+∠CAB=94°；
故答案为：26°或94°．
【分析】分两种情况：①当C、D在线段AB的同侧时，②当C、D在线段AB的异侧时，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质分别求解即可.
13．（2021八上·玉屏期中）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC = ．
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】因为EF是AB的垂直平分线，所以AF=BF，因为BF=12，CF=3，所以AF=BF=12，
所以AC =AF+FC=12+3=15．
【分析】由线段垂直平分线的性质，可得AF=BF，由AC=AF+FC即可求解.
14．（2021八上·肥城期中）如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为 cm．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AB=AD+BD=AD+CD，
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=AB+AC=8cm；
故答案为8
【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=CD，因此△ACD的周长=AD+CD+AC=AB+AC=8cm。
15．（2021八上·平邑期中）如图，在 中， 分别以 为圆心， 为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点，连接BD，则△BCD的周长是 ．
【答案】10.5
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，
则BD=AD，
则△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵AC=6，BC=4.5，
∴△BCD的周长=6+4.5=10.5．
故答案为：10.5．
【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=AD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC
=AC+BC，再将数据代入计算即可。
16．（2021八上·蒙阴期中）如图所示，在 中， ， ， ，线段 的垂直平分线 交 于 ，交 于 ，连接 ，则 的周长为 ．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=7，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=7，
故答案为：7．
【分析】根据折叠的性质可得AE=CE，再利用三角形的周长公式可得△ABE的周长=AB+BE+AE=7。
三、作图题
17．（2021八上·孝义期中）作图题：如图，已知 ABC，在BC上找一点D，使 ABD的周长等于AB＋BC．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，点D即为所求作．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，做线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质，求出三角形的周长即可。
18．（2021八上·绍兴开学考）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．
（1）
请用尺规在图上找出点P；
（2）
请说明你作图的依据．
【答案】（1）解：如图，点P即为所求．
（2）解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】(1)作线段AB的垂直平分线交直线m与一点P即可；
(2)根据线段的垂直平分线的性质回答即可.
四、解答题
19．（2021八上·浦东期中）如图，在 中， 平分 ， ，过点E作 于点O，交 的延长线于F，联结 ，求证： ．
【答案】证明：因为 ，
所以 ；
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
因为 ，
所以 垂直且平分 ，
所以F在 的垂直平分线上，
所以 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质解答即可。
20．（2021八上·余杭月考）如图，在 中， 是 的中垂线，分别交 ， 于点D，E.若 的周长为8， ，求 的长.
【答案】解：∵ 的周长为8，
又∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的中垂线，
∴ ，
∴ .
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】利用△BCE的周长为8，可求出CE+BE的长；再利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可证得EC=EA，从而利用AB=CE+BE即可求解.
21．（2021八上·沭阳月考）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点D、E， 的垂直平分线分别交 、 于点F、G.求 的周长.
【答案】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长 .
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AG=CG，据此不难求出△AEG的周长.
五、综合题
22．（2021八上·肥城期中）如图，在 中， 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ， 与 相交于点 ，连结 ， ， ，若 的周长为 ， 的周长为 ．
（1）求线段 的长；
（2）求线段 的长．
【答案】（1）解：∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AD=BD，AE=CE，
∴ 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC= ；
（2）∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AO=BO=CO，
∵ 的周长=BC+BO+CO= ，BC= ，
∴BO=CO=6cm，
∴OA=OB=6cm．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，再利用的周长计算方法及等量代换可得 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）根据垂直平分线的性质可得AO=BO=CO，再利用的周长为20，AB=8，可求出OB=OC=6，所以OA=6.
23．（2021八上·临沭期中）如图，在 中， ， ．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 ，射线AE是 的 ；
（2）在（1）所作的图中，求 的度数．
【答案】（1）垂直平分线；角平分线
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C=180°－30°－50°=100°，
∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD=100°－30°＝70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝ ∠CAD＝ ×70°＝35°．
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线和角平分线的作法可得答案；
（2）先利用三角形的内角和可求出∠BAC的度数，再利用垂直平分线的性质可得∠BAD=∠ABD=30°，再利用角的运算可得∠CAD=∠BAC-∠BAD，最后利用角平分线的定义可得 ∠DAE＝ ∠CAD＝ ×70°＝35°．
24．（2021八上·磐石期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求证：AE＝BC．
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC，
∴CE=AE，
∴∠ECD=∠A=36°，
∴∠BEC=∠A+∠ECD=36°+36°=72°；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵∠BEC=72°，
∴∠BEC=∠B，
∴BC=EC
∵DE垂直平分AC，
∴CE=AE，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由垂直平分线的性质得出CE=AE，∠ECD=∠A=36°，由此即可得出∠BEC的度数；
（2）由AB=AC，∠A=36°，得出∠B=∠ACB=72°，推出∠BEC=∠B，由垂直平分线的定义得出CE=AE，由此得出结论。
25．（2021八上·汕头期中）如图，在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝DE，EF垂直平分AC，分别交BC，AC于点E，F，连接AE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若 ABC的周长为8，AC＝3，求CD的长．
【答案】（1）解：∵ ，
∴
∴
∵
在 中
∵ 垂直平分
∴
∴
∵
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
且 的周长为8，
∴ ，
∴
即
∴ ．
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据AD⊥BC于点D，BD＝DE，得出，从而得出，从而得出，再由垂直平分线的性质，得出，再根据三角形的外角性质即可求解；
（2）根据题意得出 ，再由三角形的周长，即可求解。
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