湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题7 等腰三角形
一、单选题
1．（2021八上·蒙阴期中）等腰三角形的两条边长分别为8和4，则它的周长等于（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解∵等腰三角形的两条边长分别为8和4
∴第三边为8或4，
又∵当第三遍长为4时
两边之和等于第三边即4+4=8不符合构成三角形的定义
故第三边的长为8
故周长为20，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求出第三边的长，再利用三角形的周长公式计算即可。
2．（2021八上·罗庄期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD＝18°，∠EDC＝12°，则∠DAE的度数是（ ）
A．52° B．58° C．60° D．62°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】设∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，
∴∠B+18°=x°+12°，
∴∠B=x°-6°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°-6°，
∴∠DEA=∠C+∠EDC=x°-6°+12°=x°+6°，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE=x°+6°，
在△ADE中，由三角形内角和定理可得
x+x+6+x+6=180，
解得x=56，即∠ADE=56°，
∴∠DAE=62°
故答案为：D．
【分析】设∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，根据三角形的外角可得∠B+18°=x°+12°，化简为∠B=x°-6°，再利用等边对等角的性质可得∠C=∠B=x°-6°，∠DEA=∠DAE=x°+6°，最后利用三角形的内角和可得x+x+6+x+6=180，计算求出x的值即可得到∠DAE的度数。
3．（2021八上·罗庄期中）在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，
∵AD为BC边上的中线，
∴则BD＝CD＝x，
∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，
则2x＋x＝15，且y＋x＝12，
由2x＋x＝15解得：x＝5，
∴y＋5＝12，
解得：y＝7，
∴三边长分别为10，10，7（符合题意），
∴AC＝7；
当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，
则2x＋x＝12，且y＋x＝15，
由2x＋x＝12解得：x＝4，
∴y＋4＝15，
解得：y＝11，
∴三边长分别为8，8，11（符合题意），
∴AC＝11，
综上所述：AC的长为7或11，
故答案为：C．
【分析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，根据中线的性质分两种情况：当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，再利用线段的和差计算及三角形三边的关系求解即可。
4．（2021八上·罗庄期中）等腰三角形周长为13cm，其中一边长3cm，则该等腰三角形底边长为（ ）
A．7cm B．7cm或3cm C．3cm D．8cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当3cm为底边长时，腰长为（13 3）÷2＝5（cm），
当3cm为腰长时，底边长为13 3×2＝7（cm），
∵3＋3＜7，
∴当3cm为腰长时，不能组成三角形，
∴该等腰三角形的底边长为3cm，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
5．（2021八上·临沭期中）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏东43°方向上，在海岛B的北偏东86°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，依题意 ，
故答案为：C
【分析】画出草图，再利用三角形的外角求出∠C=∠A=43°，即可得到AB=BC=30.
6．（2021八上·临沭期中）如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．13 B．5 C．5或13 D．1
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，
当底边长为x﹣12时，根据题意，2x+x﹣12=27，
解得x=13，
∴腰长为13；
当底边长为x+12时，根据题意，2x+x+12=27，
解得x=5，
因为5+5＜17，所以构不成三角形，
故这个等腰三角形的腰的长为13，
故答案为：A．
【分析】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，再利用三角形的周长为27，列出方程求出x的值，再根据三角形三边的关系判断即可。
7．（2021八上·莒南期中）下列给出的5个图中，能判定 是等腰三角形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】①∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-56°=54°，∠B=56°，∠C≠∠B，不是等腰三角形，
②∠C=∠140°-∠B=70°=∠B，是等腰三角形，
③∵AD∥BC，∴∠C=∠DAC=50°，∠C=∠B=50°，△ABC是等腰三角形，
④∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∵∠CAD=30°，∠CAB=60°-∠CAD=60°-30°=30°，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=30°，∴∠BCA=∠CAB=30°，∴△ABC是等腰三角形，
⑤∵AB∥DE ，∴∠D=∠A=30°，∵∠DCB=∠A+∠B，∴∠B=∠DCB-∠A=60°-30°=30°， △ABC是等腰三角形．
故选择：C．
【分析】利用三角形的内角和、平行线的性质结合等腰三角形的判定方法逐项判断即可。
8．（2021八上·龙沙期中）如图，D是△ABC中BC边上一点，AB＝AC＝BD，则∠2＝24°则∠1＝（ ）
A．44° B．68° C．64° D．54°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠1，
∵∠1=∠2+∠C=∠2+∠B，
∴∠B=∠1-∠2，
△ABD中，∵∠B+∠1+∠BAD=∠B+2∠1=180°，
∴∠1-∠2+2∠1=180°，
3∠1-∠2=180°，
∵∠2=24°，
∴∠1=68°，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质和外角定理可得∠B=∠1-∠2，再利用三角形内角和定理即可求出∠1-∠2+2∠1=180°，从而求出答案。
9．（2021八上·龙沙期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线N上，点B1、B2、B3……在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形若OA1＝1，则△A2020B2020A2021的边长（ ）
A．22019 B．4040 C．4038 D．22020
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，
∴∠OB1A1=∠B1A1A2-∠MON=30°，
∴∠OB1A1=∠MON，
∴A1B1=OA1=1，
同理可得，A2B2=OA2=2，A3B3=OA3=4=22，
……
∴△A2020B2020A2021的边长=22019，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质得出∠B1A1A2=60°，根据三角形的外角性质求出∠OB1A1，∠OB1A1=∠MON，根据等腰三角形的判定定理得出A1B1=OA1=1，总结规律，根据规律解答即可。
10．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD＝6，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E， 若△AED 的周长为 16，则边 AB 的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．1
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE∥BC
∴∠EDB=∠DBC
又BD是∠ABC的角平分线
∴∠EBD=∠DBC
∴∠EBD=∠EDB
∴ED=EB
∵三角形AED的周长=AE+ED+AD=AE+EB+AD=AB+AD=16
又AD=6
∴AB=16-AD=16-6=10
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠EDB=∠DBC，根据平行线的性质得出∠EBD=∠DBC，等量代换得出∠EBD=∠EDB，求得ED=EB，即可得到结论。
二、填空题
11．（2021八上·鲁甸期中）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为 和 ，则第三根木棒的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当等腰三角形的腰为 时，三边长分别为 ， ， ，
∵ ，
∴不能构成三角形，
∴不满足条件，舍去；
②当等腰三角形的腰为 时，三边长分别为 ， ， ，
∵ ， ，
∴符合题意，
∴第三根木棒长为 ．
故答案为： ．
【分析】分两种情况：①当等腰三角形的腰为 时、②当等腰三角形的腰为 时，利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系分别求解即可.
12．（2021八上·玉屏期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝ 度．
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
．
故答案为：40．
【分析】由等腰三角形的性质可得=35°，利用三角形外角的性质求出∠ABD=，再利用三角形内角和即可求解.
13．（2021八上·玉屏期中）如图，已知△ABC是等边三角形，BC=BD，∠CBD=90°，则∠1的度数是 .
【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】因为△ABC是等边三角形，
所以AB=BC，∠ABC=60°
因为BD=BC，所以AB=BD
所以∠BAD=∠BDA
在△ABD中，因为∠CBD=90°，∠ABC=60°
所以∠ADB=（180°-90°-60°）÷2=15°
所以∠1=180°-∠CBD-∠ADB=180°-90°-15°=75°
故填75°
【分析】由等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=60°，由BD=BC可得AB=BD，利用等边对等角可得∠BAD=∠BDA，利用三角形内角和先求出∠ADB，再求出∠1的度数即可.
14．（2021八上·肥城期中）如图， 是等边 的 边上的中点，点 在 的延长线上， ， 的周长是9，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 是等边三角形，周长是9，
∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°，
∵ 是 边上的中点，
∴BD⊥AC，AD=CD= ，∠DBC=30°，
∵ ，
∴∠E=∠DBC=30°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CE=CD= ，
故答案为： ．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC=3，∠CBD=30°，∠BDC=90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得DC=，再利用BD=DE可得∠E=∠DBE=30°，再利用∠ECD=120°及三角形的内角和可求出∠CDE=30°，所以CE=CD=。
15．（2021八上·蒙阴期中）如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，则∠AEC的度数是 ．
【答案】75°．
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BD=BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°+60°=150°，
∴∠BDA=15°，
∵∠CBD=90°，BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=45°，
∴∠ADC=45°-15°=30°，
∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°．
【分析】根据等腰直角三角形和等边三角形可得∠ABD=90°+60°=150°，再根据AB=BD，利用三角形的内角和及等边对等角可得∠BAE=15°，最后利用三角形的外角可得∠AEC=∠DAB+∠ABC，即可得到答案。
16．（2021八上·罗庄期中）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为 ．
【答案】14
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得
∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB．
由DE∥BC，得
∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴DO＝BD，OE＝EC．
C△ADE＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14．
故答案为14．
【分析】根据平行线和角平分线的性质可得∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，再利用等角对等边的性质可得DO＝BD，OE＝EC，最后利用三角形的周长公式及等量代换可得C△ADE＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14。
三、作图题
17．（2021八上·金东期中）如图，已知在 中， ， ，请用一直线将这个三角形分成两个等腰三角形.（要求两种不同的分法并写出每个等腰三角形的内角度数）
【答案】解：如图：
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】以A为顶点，作∠BAP=20°，则∠PAC=100°，∠APC=40°，此时△APB、△APC为等腰三角形；还可以A为顶点，作∠BAP=80°，则∠APB=80°，∠PAC=∠C=40°，此时△APB、△APC为等腰三角形.
四、解答题
18．（2021八上·河西期中）如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，∠ACB=82°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE．求∠D，∠E，∠DAE 的度数．
【答案】解∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由三角形外角和内角的关系求得 ∠D与 ∠E的度数，即可求得∠DAE 的度数．
19．（2021八上·乐陵期中）某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平；在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的，他们的判断对吗？为什么？
【答案】解：他们的判断符合题意．理由如下：
∵△ABC是个等腰三角形，
∴AC=BC，
∵点O是AB的中点，
∴AO=BO，
∴OC⊥AB．
∴等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合，
故答案为：等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得AC=BC，再利用点O是AB的中点，可得OC⊥AB，即可得到答案。
20．（2021八上·吉林月考）如图，在△ABC中，AB=AC，点E是AC上一点，ED⊥BC于点D，DE的延长线交BA的延长线于点F．求证：△AEF是等腰三角形．
【答案】解：DF⊥BC，∴∠B+∠F=90°，∠C+∠DEC=90°，∵AB= AC，∴∠B=∠C，∴∠F=∠DEC，∵∠AEF =∠DEC，∴∠F=∠AEF，∴AE = AF，
∴AEF是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据题意，由三角形的内角和定理以及等量代换，证明三角形为等腰三角形即可。
五、综合题
21．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B= （180°-40°）=70°，
∴∠1+∠2=110°，
∴∠3+∠2=110°，
∴∠DEF=70°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用边角变定理证明△DBE≌△ECF，得出DE=EF，即可证明△DEF是等腰三角形；
（2）根据△DBE≌△ECF，得出∠1=∠3，∠2=∠4，根据∠A+∠B+∠C=180°，求出∠B的度数，由此得出答案。
22．（2021八上·金华期中）如图： 是等腰三角形，
（1）若 ，请你将三角形 分成两个等腰三角形，画一画，并标出各角的度数.
（2）若剪一刀，能将分割成两个等腰三角形，则 度数是多少？（直接写出答案）
【答案】（1）解：如图所示：
（2）分两种情况讨论：
①当直线通过等腰三角形的顶点时，顶角为90°、108°：
图1，AB=AC，AD=BD，AD=DC，
图2，AB=AC，AD=BD，DC=AC；
②当直线通过等腰三角形的底角顶点时，顶角：36°、（ ）°，
图3：AB=AC，AD=BD，BD=BC，
图4：AB=AC，AD=BD，DC=BC.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D，则△ABD、△BCD为等腰三角形；
（2）分①直线通过等腰三角形的顶点，②直线通过等腰三角形的底角顶点，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得顶角的度数.
23．（2021八上·河东期中）如图，BD和AD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠CAG，BD交AC于F．
（1）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，若AE＝BE，求∠ABC的大小．
【答案】（1）解：△ABD为等腰三角形，证明如下：
∵AD平分∠CAG，
∴∠GAD=∠CAD= ∠CAG，
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠GAC=∠ABC+∠ACB，
∴∠GAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（2）解：∵AE=BE，
∴∠BAE=∠ABE= ∠ABC，
又∵∠BAE+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴ ∠ABC=180°，
∴∠ABC=72°．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由AD平分∠CAG，得出∠ABC＝∠ACB，∠ADB=∠DBC，因为BD平分∠ABC，得出∠ABD=∠DBC，AB=AD，即可得出结论；
（2）由AE=BE，得出∠BAE=∠ABE= ∠ABC，再因为∠BAE+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，得出 ∠ABC=180°，即可得出答案。
24．（2021八上·宜兴期中）已知在△ABC中，点D在边BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA.
（1）如图①，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为 ；
（3）如图②，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由.
【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°
∴∠B＝∠ACB＝45°
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝ （180°－∠B）＝67.5°
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝ ∠ACB＝22.5°
∴在△ADE中，∠DAE＝∠ADB－∠E＝67.5°－22.5°＝45°
（2）45°
（3）解：∠DAE＝ ∠BAC
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°－2y，∠E＝∠CAE＝x
∴∠BAE＝180°－∠B－∠E＝2y－x
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝2y－x－y＝y－x
∠BAC＝∠BAE－∠CAE＝2y－x－x＝2y－2x
∴∠DAE＝ ∠BAC.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵CE＝AC，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CAE＋∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
∵AB＝DB，
∴∠ADB＝ ×（180° 60°）＝60°，
∴∠DAE＝∠ADB ∠E＝45°；
故答案为：45°；
【分析】（1）根据内角和定理可得∠ACB＝45°，由等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠BDA=67.5°，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，由外角的性质可得∠DAE＝∠ADB-∠E，据此计算；
（2）根据内角和定理可得∠ACB＝30°，由等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠E，结合外角的性质可得∠E＝15°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ADB＝∠BAD＝60°，由外角的性质可得∠DAE+∠E=∠ADB，据此计算；
（3）设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°-2y，∠E＝∠CAE＝x，由内角和定理可得∠BAE＝2y-x，由角的和差关系可得∠DAE＝y-x，∠BAC＝2y-2x，据此解答.
1 / 1湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题7 等腰三角形
一、单选题
1．（2021八上·蒙阴期中）等腰三角形的两条边长分别为8和4，则它的周长等于（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
2．（2021八上·罗庄期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD＝18°，∠EDC＝12°，则∠DAE的度数是（ ）
A．52° B．58° C．60° D．62°
3．（2021八上·罗庄期中）在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
4．（2021八上·罗庄期中）等腰三角形周长为13cm，其中一边长3cm，则该等腰三角形底边长为（ ）
A．7cm B．7cm或3cm C．3cm D．8cm
5．（2021八上·临沭期中）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏东43°方向上，在海岛B的北偏东86°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
6．（2021八上·临沭期中）如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．13 B．5 C．5或13 D．1
7．（2021八上·莒南期中）下列给出的5个图中，能判定 是等腰三角形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2021八上·龙沙期中）如图，D是△ABC中BC边上一点，AB＝AC＝BD，则∠2＝24°则∠1＝（ ）
A．44° B．68° C．64° D．54°
9．（2021八上·龙沙期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线N上，点B1、B2、B3……在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形若OA1＝1，则△A2020B2020A2021的边长（ ）
A．22019 B．4040 C．4038 D．22020
10．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD＝6，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E， 若△AED 的周长为 16，则边 AB 的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．1
二、填空题
11．（2021八上·鲁甸期中）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为 和 ，则第三根木棒的长为 ．
12．（2021八上·玉屏期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝ 度．
13．（2021八上·玉屏期中）如图，已知△ABC是等边三角形，BC=BD，∠CBD=90°，则∠1的度数是 .
14．（2021八上·肥城期中）如图， 是等边 的 边上的中点，点 在 的延长线上， ， 的周长是9，则 ．
15．（2021八上·蒙阴期中）如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，则∠AEC的度数是 ．
16．（2021八上·罗庄期中）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为 ．
三、作图题
17．（2021八上·金东期中）如图，已知在 中， ， ，请用一直线将这个三角形分成两个等腰三角形.（要求两种不同的分法并写出每个等腰三角形的内角度数）
四、解答题
18．（2021八上·河西期中）如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，∠ACB=82°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE．求∠D，∠E，∠DAE 的度数．
19．（2021八上·乐陵期中）某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平；在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的，他们的判断对吗？为什么？
20．（2021八上·吉林月考）如图，在△ABC中，AB=AC，点E是AC上一点，ED⊥BC于点D，DE的延长线交BA的延长线于点F．求证：△AEF是等腰三角形．
五、综合题
21．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
22．（2021八上·金华期中）如图： 是等腰三角形，
（1）若 ，请你将三角形 分成两个等腰三角形，画一画，并标出各角的度数.
（2）若剪一刀，能将分割成两个等腰三角形，则 度数是多少？（直接写出答案）
23．（2021八上·河东期中）如图，BD和AD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠CAG，BD交AC于F．
（1）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，若AE＝BE，求∠ABC的大小．
24．（2021八上·宜兴期中）已知在△ABC中，点D在边BC上，点E在BC的延长线上，且BD＝BA，CE＝CA.
（1）如图①，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，试求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，则∠DAE的度数为 ；
（3）如图②，若∠BAC＞90°，其余条件不变，探究∠DAE与∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解∵等腰三角形的两条边长分别为8和4
∴第三边为8或4，
又∵当第三遍长为4时
两边之和等于第三边即4+4=8不符合构成三角形的定义
故第三边的长为8
故周长为20，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求出第三边的长，再利用三角形的周长公式计算即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】设∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，
∴∠B+18°=x°+12°，
∴∠B=x°-6°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°-6°，
∴∠DEA=∠C+∠EDC=x°-6°+12°=x°+6°，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE=x°+6°，
在△ADE中，由三角形内角和定理可得
x+x+6+x+6=180，
解得x=56，即∠ADE=56°，
∴∠DAE=62°
故答案为：D．
【分析】设∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，根据三角形的外角可得∠B+18°=x°+12°，化简为∠B=x°-6°，再利用等边对等角的性质可得∠C=∠B=x°-6°，∠DEA=∠DAE=x°+6°，最后利用三角形的内角和可得x+x+6+x+6=180，计算求出x的值即可得到∠DAE的度数。
3．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，
∵AD为BC边上的中线，
∴则BD＝CD＝x，
∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，
则2x＋x＝15，且y＋x＝12，
由2x＋x＝15解得：x＝5，
∴y＋5＝12，
解得：y＝7，
∴三边长分别为10，10，7（符合题意），
∴AC＝7；
当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，
则2x＋x＝12，且y＋x＝15，
由2x＋x＝12解得：x＝4，
∴y＋4＝15，
解得：y＝11，
∴三边长分别为8，8，11（符合题意），
∴AC＝11，
综上所述：AC的长为7或11，
故答案为：C．
【分析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，根据中线的性质分两种情况：当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，再利用线段的和差计算及三角形三边的关系求解即可。
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当3cm为底边长时，腰长为（13 3）÷2＝5（cm），
当3cm为腰长时，底边长为13 3×2＝7（cm），
∵3＋3＜7，
∴当3cm为腰长时，不能组成三角形，
∴该等腰三角形的底边长为3cm，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
5．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，依题意 ，
故答案为：C
【分析】画出草图，再利用三角形的外角求出∠C=∠A=43°，即可得到AB=BC=30.
6．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，
当底边长为x﹣12时，根据题意，2x+x﹣12=27，
解得x=13，
∴腰长为13；
当底边长为x+12时，根据题意，2x+x+12=27，
解得x=5，
因为5+5＜17，所以构不成三角形，
故这个等腰三角形的腰的长为13，
故答案为：A．
【分析】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，再利用三角形的周长为27，列出方程求出x的值，再根据三角形三边的关系判断即可。
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】①∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-56°=54°，∠B=56°，∠C≠∠B，不是等腰三角形，
②∠C=∠140°-∠B=70°=∠B，是等腰三角形，
③∵AD∥BC，∴∠C=∠DAC=50°，∠C=∠B=50°，△ABC是等腰三角形，
④∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∵∠CAD=30°，∠CAB=60°-∠CAD=60°-30°=30°，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=30°，∴∠BCA=∠CAB=30°，∴△ABC是等腰三角形，
⑤∵AB∥DE ，∴∠D=∠A=30°，∵∠DCB=∠A+∠B，∴∠B=∠DCB-∠A=60°-30°=30°， △ABC是等腰三角形．
故选择：C．
【分析】利用三角形的内角和、平行线的性质结合等腰三角形的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠1，
∵∠1=∠2+∠C=∠2+∠B，
∴∠B=∠1-∠2，
△ABD中，∵∠B+∠1+∠BAD=∠B+2∠1=180°，
∴∠1-∠2+2∠1=180°，
3∠1-∠2=180°，
∵∠2=24°，
∴∠1=68°，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质和外角定理可得∠B=∠1-∠2，再利用三角形内角和定理即可求出∠1-∠2+2∠1=180°，从而求出答案。
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，
∴∠OB1A1=∠B1A1A2-∠MON=30°，
∴∠OB1A1=∠MON，
∴A1B1=OA1=1，
同理可得，A2B2=OA2=2，A3B3=OA3=4=22，
……
∴△A2020B2020A2021的边长=22019，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质得出∠B1A1A2=60°，根据三角形的外角性质求出∠OB1A1，∠OB1A1=∠MON，根据等腰三角形的判定定理得出A1B1=OA1=1，总结规律，根据规律解答即可。
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵DE∥BC
∴∠EDB=∠DBC
又BD是∠ABC的角平分线
∴∠EBD=∠DBC
∴∠EBD=∠EDB
∴ED=EB
∵三角形AED的周长=AE+ED+AD=AE+EB+AD=AB+AD=16
又AD=6
∴AB=16-AD=16-6=10
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠EDB=∠DBC，根据平行线的性质得出∠EBD=∠DBC，等量代换得出∠EBD=∠EDB，求得ED=EB，即可得到结论。
11．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当等腰三角形的腰为 时，三边长分别为 ， ， ，
∵ ，
∴不能构成三角形，
∴不满足条件，舍去；
②当等腰三角形的腰为 时，三边长分别为 ， ， ，
∵ ， ，
∴符合题意，
∴第三根木棒长为 ．
故答案为： ．
【分析】分两种情况：①当等腰三角形的腰为 时、②当等腰三角形的腰为 时，利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系分别求解即可.
12．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
．
故答案为：40．
【分析】由等腰三角形的性质可得=35°，利用三角形外角的性质求出∠ABD=，再利用三角形内角和即可求解.
13．【答案】75°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】因为△ABC是等边三角形，
所以AB=BC，∠ABC=60°
因为BD=BC，所以AB=BD
所以∠BAD=∠BDA
在△ABD中，因为∠CBD=90°，∠ABC=60°
所以∠ADB=（180°-90°-60°）÷2=15°
所以∠1=180°-∠CBD-∠ADB=180°-90°-15°=75°
故填75°
【分析】由等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=60°，由BD=BC可得AB=BD，利用等边对等角可得∠BAD=∠BDA，利用三角形内角和先求出∠ADB，再求出∠1的度数即可.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 是等边三角形，周长是9，
∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°，
∵ 是 边上的中点，
∴BD⊥AC，AD=CD= ，∠DBC=30°，
∵ ，
∴∠E=∠DBC=30°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CE=CD= ，
故答案为： ．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC=3，∠CBD=30°，∠BDC=90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得DC=，再利用BD=DE可得∠E=∠DBE=30°，再利用∠ECD=120°及三角形的内角和可求出∠CDE=30°，所以CE=CD=。
15．【答案】75°．
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BD=BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°+60°=150°，
∴∠BDA=15°，
∵∠CBD=90°，BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=45°，
∴∠ADC=45°-15°=30°，
∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°．
【分析】根据等腰直角三角形和等边三角形可得∠ABD=90°+60°=150°，再根据AB=BD，利用三角形的内角和及等边对等角可得∠BAE=15°，最后利用三角形的外角可得∠AEC=∠DAB+∠ABC，即可得到答案。
16．【答案】14
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】由∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，得
∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB．
由DE∥BC，得
∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴DO＝BD，OE＝EC．
C△ADE＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14．
故答案为14．
【分析】根据平行线和角平分线的性质可得∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，再利用等角对等边的性质可得DO＝BD，OE＝EC，最后利用三角形的周长公式及等量代换可得C△ADE＝AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14。
17．【答案】解：如图：
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】以A为顶点，作∠BAP=20°，则∠PAC=100°，∠APC=40°，此时△APB、△APC为等腰三角形；还可以A为顶点，作∠BAP=80°，则∠APB=80°，∠PAC=∠C=40°，此时△APB、△APC为等腰三角形.
18．【答案】解∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由三角形外角和内角的关系求得 ∠D与 ∠E的度数，即可求得∠DAE 的度数．
19．【答案】解：他们的判断符合题意．理由如下：
∵△ABC是个等腰三角形，
∴AC=BC，
∵点O是AB的中点，
∴AO=BO，
∴OC⊥AB．
∴等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合，
故答案为：等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得AC=BC，再利用点O是AB的中点，可得OC⊥AB，即可得到答案。
20．【答案】解：DF⊥BC，∴∠B+∠F=90°，∠C+∠DEC=90°，∵AB= AC，∴∠B=∠C，∴∠F=∠DEC，∵∠AEF =∠DEC，∴∠F=∠AEF，∴AE = AF，
∴AEF是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据题意，由三角形的内角和定理以及等量代换，证明三角形为等腰三角形即可。
21．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B= （180°-40°）=70°，
∴∠1+∠2=110°，
∴∠3+∠2=110°，
∴∠DEF=70°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用边角变定理证明△DBE≌△ECF，得出DE=EF，即可证明△DEF是等腰三角形；
（2）根据△DBE≌△ECF，得出∠1=∠3，∠2=∠4，根据∠A+∠B+∠C=180°，求出∠B的度数，由此得出答案。
22．【答案】（1）解：如图所示：
（2）分两种情况讨论：
①当直线通过等腰三角形的顶点时，顶角为90°、108°：
图1，AB=AC，AD=BD，AD=DC，
图2，AB=AC，AD=BD，DC=AC；
②当直线通过等腰三角形的底角顶点时，顶角：36°、（ ）°，
图3：AB=AC，AD=BD，BD=BC，
图4：AB=AC，AD=BD，DC=BC.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D，则△ABD、△BCD为等腰三角形；
（2）分①直线通过等腰三角形的顶点，②直线通过等腰三角形的底角顶点，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得顶角的度数.
23．【答案】（1）解：△ABD为等腰三角形，证明如下：
∵AD平分∠CAG，
∴∠GAD=∠CAD= ∠CAG，
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠GAC=∠ABC+∠ACB，
∴∠GAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（2）解：∵AE=BE，
∴∠BAE=∠ABE= ∠ABC，
又∵∠BAE+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴ ∠ABC=180°，
∴∠ABC=72°．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由AD平分∠CAG，得出∠ABC＝∠ACB，∠ADB=∠DBC，因为BD平分∠ABC，得出∠ABD=∠DBC，AB=AD，即可得出结论；
（2）由AE=BE，得出∠BAE=∠ABE= ∠ABC，再因为∠BAE+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，得出 ∠ABC=180°，即可得出答案。
24．【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°
∴∠B＝∠ACB＝45°
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝ （180°－∠B）＝67.5°
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝ ∠ACB＝22.5°
∴在△ADE中，∠DAE＝∠ADB－∠E＝67.5°－22.5°＝45°
（2）45°
（3）解：∠DAE＝ ∠BAC
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°－2y，∠E＝∠CAE＝x
∴∠BAE＝180°－∠B－∠E＝2y－x
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝2y－x－y＝y－x
∠BAC＝∠BAE－∠CAE＝2y－x－x＝2y－2x
∴∠DAE＝ ∠BAC.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2）∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵CE＝AC，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CAE＋∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
∵AB＝DB，
∴∠ADB＝ ×（180° 60°）＝60°，
∴∠DAE＝∠ADB ∠E＝45°；
故答案为：45°；
【分析】（1）根据内角和定理可得∠ACB＝45°，由等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠BDA=67.5°，根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，由外角的性质可得∠DAE＝∠ADB-∠E，据此计算；
（2）根据内角和定理可得∠ACB＝30°，由等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠E，结合外角的性质可得∠E＝15°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ADB＝∠BAD＝60°，由外角的性质可得∠DAE+∠E=∠ADB，据此计算；
（3）设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°-2y，∠E＝∠CAE＝x，由内角和定理可得∠BAE＝2y-x，由角的和差关系可得∠DAE＝y-x，∠BAC＝2y-2x，据此解答.
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