湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题16二次根式
一、单选题
1．（2021八上·浦东期中）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 A选项不是最简二次根式；
B、 B选项不是最简二次根式；
C、 是最简二次根式，符合题意；
D、 D选项不是最简二次根式；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
2．（2021八上·青岛期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简 +|b|的结果是（ ）
A．a﹣2b B．﹣a C．a D．﹣2a+b
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：根据图示，可得： ，
∴ ，
∴
．
故答案为：A．
【分析】先利用二次根式的性质化简，在结合数轴利用特殊值法判断绝对值中的正负，再去掉绝对值，然后合并同类项即可。
3．（2021八上·青岛期中）在二次根式 ， ， ， ， ， ， 中，最简二次根式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： 二次根式中含有开得尽方的因数，故 不是最简二次根式，
，二次根式中含有分母，故 不是最简二次根式，
二次根式中含有分母，故 不是最简二次根式，
二次根式中含有开得尽方的因式，故 不是最简二次根式，
最简二次根式有： ，共 个，
故答案为：C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
4．（2021八上·宁波期中）能说明命题“对于任何实数a，都有 a”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a C．a＝1 D．a
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵≥0，
∴a≥0时， =a
a＜0时， =-a
故a＝﹣2是假命题的反例.
故答案为：A.
【分析】由二次根式的性质可得=|a|，由绝对值的性质可得|a|≥0，结合已知条件可得a≥0，据此解答.
5．（2021八上·静安月考）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、 是二次根式，不符合题意；
B、 中 ，故 不是二次根式，符合题意；
C、2 是二次根式，不符合题意；
D、 是二次根式，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义逐项判断即可。
6．（2021八上·运城月考）如果二次根式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式 有意义，则 ，
，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
7．（2021八上·西安月考）实数a在数轴上的位置如图所示，则 化简后为（ ）
A．9 B．﹣9 C．2a﹣15 D．无法确定
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴得5＜a＜10，
所以
=|a-3|-|a-12|
=a-3+a-12
=2a-15.
故答案为：C.
【分析】由数轴可得5＜a＜10，然后判断出a-3、a-12的正负，结合二次根式的性质及绝对值的非负性化简再合并即可.
8．（2021八上·嘉祥月考）若a，b为等腰△ABC的两边，且满足 ，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15或12 D．9或12
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵≥0，≥0，+=0，
∴a-5=0，b-2=0，
∴a=5，b=2，
∴当5为腰，2为底时， △ABC的周长=5+5+2=12，
当2为腰，5为底时， 不能构成三角形，
∴△ABC的周长为12.
故答案为：B.
【分析】根据非负数之和为0求出a，b的值，分两种情况讨论：当a为腰b为底时，当b为腰a为底时，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再求出△ABC的周长，即可得出答案.
9．（2021八上·滕州月考）若 ，则a的取值是（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
又已知： ，
∴ ，
即： 为负数或0，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质可以得到，再结合绝对值的性质可以得到。
10．（2021八上·滕州月考）若 =a，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0或1 D．±1
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ =a，
∴a≥0．
当a=0时， =a；
当0＜a＜1时， ＞a；
当a=1时， =a；
当a＞时， ＜a；
综上可知，若 =a，则a的值为0或1．
故答案为：C．
【分析】等式两边同时平方得到，再移项求解即可。
二、填空题
11．（2021八上·杨浦期中）化简： （a＜0）＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次根式的性质可得， ，
∵ ，∴ ，
∴原式 ．
故答案为： ．
【分析】当a＜0时，由二次根式的性质可得，据此化简即可.
12．（2021八上·静安月考）若 在实数范围内有意义，则x取值范围是 ．
【答案】x<-3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式 在实数范围内有意义，
则 ≥0且x+3≠0，即x+3<0，
解得：x<-3．
故答案为：x<-3．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组 ≥0且x+3≠0求解即可。
13．（2021八上·静安月考）三角形三边的长是2、5、m，则 ＝ ．
【答案】4
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，
∴5-2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴
=m-3+7-m
=4．
故答案为：4．
【分析】先利用二次根式性质化简，再结合三角形三边的关系求出m的取值范围，再判断出绝对值中的正负，再去掉绝对值，最后合并同类项即可。
14．（2021八上·宝山月考）把根号外的因式移到根号内： ＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵- ≥0，
∴a＜0，
∴ =-（-a） =- =- =
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的化简和性质，判断s的正负即可。
15．（2021八上·宝山月考）若 ，则xy=
【答案】40
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质，得
，解得x=8，
此时y=5，
所以xy=40．
故答案为40.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，再代入计算出y的值，最后将x、y的值代入计算即可。
16．（2021八上·城阳月考）已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图，化简 的结果是 ．
【答案】b-2a
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】由数轴知，a<0b
∴a-2b<0，a+b<0
∴
故答案为：b-2a
【分析】由数轴知，a<0b，进而判断a-2b<0，a+b<0，从而可对绝对值以及二次根式进行化简，最后求得化简后的结果。
三、计算题
17．（2021八下·龙口期末）先化简，再求值：已知y= ，求 的值．
【答案】解：根据已知，得1-3x≥0且3x-1≥0，
∴x= ，y= ，
∵
=2x- +y-（2x+y）
=2x- +y-2x-y
= -
∴当x= ，y= ，原式= - =-2
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先求出 - ，再将 x= ，y= 代入计算求解即可。
四、解答题
18．（2021八上·青羊月考）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简 .
【答案】解：根据数轴上点的位置得：a且|a|>|b|>|c|，
∴a b<0，c b>0，a+c<0，
则原式=|a b|+|c b| (a+c)=b a+c b a c= 2a.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据数轴上点的位置得：a|b|>|c|，然后判断出a b，c b的正负，接下来根据二次根式的性质、绝对值的性质以及立方根的概念进行化简，再合并同类项即可.
19．（2021八上·平顶山月考）实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简：
【答案】解：原式=|-c|+|a-b|+a+b-|b-c|，
=c+（-a+b）+a+b-（-b+c），
=c-a+b+a+b+b-c，
=3b.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【分析】由数轴可得a|c|>|b|，然后判断出a-b、a+b、b-c的正负，接下来根据二次根式的性质、绝对值的性质以及立方根的性质分别化简，再合并同类项即可.
五、综合题
20．（2021八上·方城期末）阅读材料：基本不等式 ，当且仅当 时，等号成立.其中我们把 叫做正数a、b的算术平均数， 叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大 小 值问题的有力工具.
例如：在 的条件下，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？
解 ，
，即是
，
当且仅当 时，即 时， 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）若 ，函数 ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，
（2）当 时，式子 成立吗？请说明理由.
【答案】（1）解： ，
，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为
（2）解：式子不成立.
理由： ， ， ，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，且最小值为2，
， 不等式不能取等号，
亦即不等式 不成立.
【知识点】二次根式的性质与化简；不等式的性质
【解析】【分析】（1）由于x＞0，可得2x＞0，根据材料可得当且仅当 ，即 时， 有最小值 ，据此即得结论；
（2）不成立.理由：由 ，可得 ， ，根据材料可得 ，从而得出当且仅当 ，即 时， 有最小值 ，由于x＞0，据此式不成立.
21．（2020八上·遵化期末）定义：若两个二次根式a、b满足 ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若a与 是关于 的共轭二次根式，则 ；
（2）若 与 是关于 的共轭二次根式，求m的值．
【答案】（1）
（2）解： 与 是关于 的共轭二次根式，
，
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） 与 是关于 的共轭二次根式，
， ，
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列出等式即可求出a值；
（2）根据共轭二次根式的定义列出等式即可求出m值.
1 / 1湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题16二次根式
一、单选题
1．（2021八上·浦东期中）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·青岛期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简 +|b|的结果是（ ）
A．a﹣2b B．﹣a C．a D．﹣2a+b
3．（2021八上·青岛期中）在二次根式 ， ， ， ， ， ， 中，最简二次根式的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021八上·宁波期中）能说明命题“对于任何实数a，都有 a”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a C．a＝1 D．a
5．（2021八上·静安月考）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2021八上·运城月考）如果二次根式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·西安月考）实数a在数轴上的位置如图所示，则 化简后为（ ）
A．9 B．﹣9 C．2a﹣15 D．无法确定
8．（2021八上·嘉祥月考）若a，b为等腰△ABC的两边，且满足 ，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15或12 D．9或12
9．（2021八上·滕州月考）若 ，则a的取值是（ ）．
A． B． C． D．1
10．（2021八上·滕州月考）若 =a，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0或1 D．±1
二、填空题
11．（2021八上·杨浦期中）化简： （a＜0）＝ ．
12．（2021八上·静安月考）若 在实数范围内有意义，则x取值范围是 ．
13．（2021八上·静安月考）三角形三边的长是2、5、m，则 ＝ ．
14．（2021八上·宝山月考）把根号外的因式移到根号内： ＝ ．
15．（2021八上·宝山月考）若 ，则xy=
16．（2021八上·城阳月考）已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图，化简 的结果是 ．
三、计算题
17．（2021八下·龙口期末）先化简，再求值：已知y= ，求 的值．
四、解答题
18．（2021八上·青羊月考）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简 .
19．（2021八上·平顶山月考）实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简：
五、综合题
20．（2021八上·方城期末）阅读材料：基本不等式 ，当且仅当 时，等号成立.其中我们把 叫做正数a、b的算术平均数， 叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大 小 值问题的有力工具.
例如：在 的条件下，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？
解 ，
，即是
，
当且仅当 时，即 时， 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）若 ，函数 ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，
（2）当 时，式子 成立吗？请说明理由.
21．（2020八上·遵化期末）定义：若两个二次根式a、b满足 ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
（1）若a与 是关于 的共轭二次根式，则 ；
（2）若 与 是关于 的共轭二次根式，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 A选项不是最简二次根式；
B、 B选项不是最简二次根式；
C、 是最简二次根式，符合题意；
D、 D选项不是最简二次根式；
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：根据图示，可得： ，
∴ ，
∴
．
故答案为：A．
【分析】先利用二次根式的性质化简，在结合数轴利用特殊值法判断绝对值中的正负，再去掉绝对值，然后合并同类项即可。
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： 二次根式中含有开得尽方的因数，故 不是最简二次根式，
，二次根式中含有分母，故 不是最简二次根式，
二次根式中含有分母，故 不是最简二次根式，
二次根式中含有开得尽方的因式，故 不是最简二次根式，
最简二次根式有： ，共 个，
故答案为：C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵≥0，
∴a≥0时， =a
a＜0时， =-a
故a＝﹣2是假命题的反例.
故答案为：A.
【分析】由二次根式的性质可得=|a|，由绝对值的性质可得|a|≥0，结合已知条件可得a≥0，据此解答.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：A、 是二次根式，不符合题意；
B、 中 ，故 不是二次根式，符合题意；
C、2 是二次根式，不符合题意；
D、 是二次根式，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式 有意义，则 ，
，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
7．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴得5＜a＜10，
所以
=|a-3|-|a-12|
=a-3+a-12
=2a-15.
故答案为：C.
【分析】由数轴可得5＜a＜10，然后判断出a-3、a-12的正负，结合二次根式的性质及绝对值的非负性化简再合并即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵≥0，≥0，+=0，
∴a-5=0，b-2=0，
∴a=5，b=2，
∴当5为腰，2为底时， △ABC的周长=5+5+2=12，
当2为腰，5为底时， 不能构成三角形，
∴△ABC的周长为12.
故答案为：B.
【分析】根据非负数之和为0求出a，b的值，分两种情况讨论：当a为腰b为底时，当b为腰a为底时，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再求出△ABC的周长，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
又已知： ，
∴ ，
即： 为负数或0，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质可以得到，再结合绝对值的性质可以得到。
10．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ =a，
∴a≥0．
当a=0时， =a；
当0＜a＜1时， ＞a；
当a=1时， =a；
当a＞时， ＜a；
综上可知，若 =a，则a的值为0或1．
故答案为：C．
【分析】等式两边同时平方得到，再移项求解即可。
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次根式的性质可得， ，
∵ ，∴ ，
∴原式 ．
故答案为： ．
【分析】当a＜0时，由二次根式的性质可得，据此化简即可.
12．【答案】x<-3
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式 在实数范围内有意义，
则 ≥0且x+3≠0，即x+3<0，
解得：x<-3．
故答案为：x<-3．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组 ≥0且x+3≠0求解即可。
13．【答案】4
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，
∴5-2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴
=m-3+7-m
=4．
故答案为：4．
【分析】先利用二次根式性质化简，再结合三角形三边的关系求出m的取值范围，再判断出绝对值中的正负，再去掉绝对值，最后合并同类项即可。
14．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵- ≥0，
∴a＜0，
∴ =-（-a） =- =- =
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的化简和性质，判断s的正负即可。
15．【答案】40
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质，得
，解得x=8，
此时y=5，
所以xy=40．
故答案为40.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，再代入计算出y的值，最后将x、y的值代入计算即可。
16．【答案】b-2a
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】由数轴知，a<0b
∴a-2b<0，a+b<0
∴
故答案为：b-2a
【分析】由数轴知，a<0b，进而判断a-2b<0，a+b<0，从而可对绝对值以及二次根式进行化简，最后求得化简后的结果。
17．【答案】解：根据已知，得1-3x≥0且3x-1≥0，
∴x= ，y= ，
∵
=2x- +y-（2x+y）
=2x- +y-2x-y
= -
∴当x= ，y= ，原式= - =-2
【知识点】代数式求值；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先求出 - ，再将 x= ，y= 代入计算求解即可。
18．【答案】解：根据数轴上点的位置得：a且|a|>|b|>|c|，
∴a b<0，c b>0，a+c<0，
则原式=|a b|+|c b| (a+c)=b a+c b a c= 2a.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】根据数轴上点的位置得：a|b|>|c|，然后判断出a b，c b的正负，接下来根据二次根式的性质、绝对值的性质以及立方根的概念进行化简，再合并同类项即可.
19．【答案】解：原式=|-c|+|a-b|+a+b-|b-c|，
=c+（-a+b）+a+b-（-b+c），
=c-a+b+a+b+b-c，
=3b.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；立方根及开立方；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【分析】由数轴可得a|c|>|b|，然后判断出a-b、a+b、b-c的正负，接下来根据二次根式的性质、绝对值的性质以及立方根的性质分别化简，再合并同类项即可.
20．【答案】（1）解： ，
，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为
（2）解：式子不成立.
理由： ， ， ，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，且最小值为2，
， 不等式不能取等号，
亦即不等式 不成立.
【知识点】二次根式的性质与化简；不等式的性质
【解析】【分析】（1）由于x＞0，可得2x＞0，根据材料可得当且仅当 ，即 时， 有最小值 ，据此即得结论；
（2）不成立.理由：由 ，可得 ， ，根据材料可得 ，从而得出当且仅当 ，即 时， 有最小值 ，由于x＞0，据此式不成立.
21．【答案】（1）
（2）解： 与 是关于 的共轭二次根式，
，
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） 与 是关于 的共轭二次根式，
， ，
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列出等式即可求出a值；
（2）根据共轭二次根式的定义列出等式即可求出m值.
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