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湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题17 二次根式的乘法与除法
一、单选题
1.（2021八上·牡丹期中）下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 C
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、 、 无意义，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘法逐项判断即可。
2.（2021八上·普陀期中）下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 B
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ． 是整数加根式，不能合并，不符合题意；
． ，符合题意；
． ，是二次根式乘法，不符合题意；
． ，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质即二次根式的乘除逐项判断即可。
3.（2021八上·宝山月考）下列四个算式，其中一定成立的是（ ）
① ＝a2+1；② ＝a；③ ＝ （ab＞0）；④
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①
【答案】 D
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法
【解析】【解答】由于 ，由性质 可知①符合题意，②不符合题意；
由于a、b及x+1、x-1均可为负，二次根式无意义，由性质 知，③④均不符合题意；
故只有①符合题意
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘法逐项判断即可。
4.（2021八上·陕西月考）下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 D
【考点】二次根式有意义的条件，二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、二次根号下的被开方数是负数，根式没有意义，故错误，不合题意；
B、 ，计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可判断A； ， 据此判断B；根据二次根式的除法法则可判断C、D.
5.（2021八下·召陵期末）使 成立的x的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D.
【答案】 B
【考点】二次根式有意义的条件，二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： .
故答案为：B.
【分析】根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组，解不等式组即可.
6.（2021八下·伍家岗期末）下列二次根式中，与 的积是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】二次根式的乘除法，无理数的认识
【解析】【解答】解：A、 ，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、 ，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、 ，不是无理数，故此选项不符合题意；
D、 ，是无理数，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】首先根据二次根式的乘法运算法则“二次根式的乘法，根指数不变，被开方数相乘”将与各个选项中的二次根式相乘，再将结果化为最简形式，然后根据无理数的定义“无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，”根据定义即可一一判断.
7.（2021八下·官渡期末）下列计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质，乘法法则，除法法则，计算求解即可。
8.（2021八下·南充期末）计算 ÷3 × 的结果正确的是（ ）
A. 1 B. 2.5 C. 5 D. 6
【答案】 A
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ÷3 ×
＝3 ÷3 ×
＝
＝1，
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的乘除法法则进行计算，可求出结果.
9.（2021八下·汕尾期末）下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，积的乘方
【解析】【解答】解： ，故A选项不符合题意，D选项符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式乘法、开平方、积的乘方，分别计算得到每个选项的值，判断正确的即可。
10.（2021八下·澄海期末）化简 的结果是（ ）．
A. B. C. D. 2
【答案】 B
【考点】分母有理化
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】利用分母有理化，分子分母同乘即可。
二、填空题
11.（2021八上·杨浦期中） 的一个有理化因式是 ．
【答案】
【考点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 的一个有理化因式是 ．
故答案为：
【分析】分母有理化是指把分母中的根号化去，据此找出有理化因式，再利用平方差公式解答即可.
12.（2021八上·松江期中）写出二次根式 的一个有理化因式是 ．
【答案】
【考点】分母有理化
【解析】【解答】解： × ＝（ ）2＝x＋y ，
故 的一个有理化因式是
故答案为： ．
【分析】利用二次根式的性质可得二次根式的有理化因式是 。
13.（2021八上·牡丹期中） 的倒数是 ．
【答案】
【考点】分母有理化
【解析】【解答】 的倒数为 ，
故答案为： ．
【分析】先利用倒数的定义求出该数的倒数，再利用分母有理化求解即可。
14.（2021八上·普陀期中）计算： ＝ ．
【答案】
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】原式 ；
故答案是： ；
【分析】利用二次根式的除法计算即可。
15.（2021八上·普陀期中） 的有理化因式可以是 ． （只需填一个）
【答案】
【考点】分母有理化
【解析】【解答】解： ，
的有理化因式为 ，
故答案为： ．
【分析】利用平方差公式可得 的有理化因式为 。
16.（2021八上·埇桥期中）将 按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ．
【答案】
【考点】二次根式的乘除法，定义新运算
【解析】【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是： ，
（15，7）表示第15排从左向右第7个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第15排是奇数排，最中间的也就是这排的第8个数是1，那么第7个就是： ，
．
故答案为2 ．
【分析】观察得到第五排从左向右第四个数是 ，表示第15排从左向右第7个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第15排是奇数排，最中间的也就是这排的第8个数是1，那么第7个是 ，再把×即可得出答案。
三、计算题
17.（2021八上·浦东期中）计算：﹣ ÷（2 ）
【答案】 解：原式=
=
=
= .
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可。
18.（2021八上·静安月考）计算：- ÷ ．
【答案】 解：- ÷
．
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用二次根式的除法计算方法求解即可。
19.（2021八上·上海月考）计算： ．
【答案】 解：原式=4
=4
=
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用二次根式的乘除法则计算求解即可。
四、解答题
20.（2021八上·松江期中）已知 ，求 的值．
【答案】 ∵
∴ = ．
【考点】代数式求值，分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化化简，再将x的值代入计算即可。
21.（2021八上·达州期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值，他是这样分析与解答的：
，
，
，
.
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 ，求 的值.
【答案】 解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ = .
【考点】代数式求值，完全平方公式及运用，分母有理化
【解析】【分析】对a的分子、分母同时乘以+1，并化简可得a=+1，计算出a-1的值，结合完全平方公式可得a2-2a的值，然后将待求式变形为4(a2-2a)-3，据此计算.
22.（2021八上·深圳月考）若 表示不超过x的最大整数（如 等），求 的值．
【答案】 解： ，
，
∴ ，
∵
∵ 表示不超过x的最大整数，
∴ ，
∴
．
【考点】分母有理化，定义新运算
【解析】【分析】先利用分母有理化的计算方法化简，再根据题干中的定义求解即可。
五、综合题
23.（2021八上·即墨期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
比如： ＝ ．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较： 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：： ， ．
因为 ，所以， ．
再例如，求y＝ 的最大值、做法如下：
解：由x＋2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝ ＝ ．当x＝2时，分母 有最小值2.所以y的最大值是2
利用上面的方法，完成下面问题：
（1）比较 ﹣ 和 ﹣ 的大小；
（2）求y＝ ﹣ ＋2的最大值．
【答案】 （1）解：∵ ﹣ ＝ ， ﹣ ＝ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵y＝ ﹣ ＋2＝ ，
∴当 时，分母 有最小值 ，
∴则 的最大值为： ．
【考点】估算无理数的大小，二次根式有意义的条件，分母有理化，定义新运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行分子有理化计算，从而比较大小；
（2）利用二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再通过利用平方差公式对原式进行分子有理化变形，从而确定其最大值。
24.（2021八上·通川期中）若 ， .
（1）求 的值；
（2）若 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，求 的值.
【答案】 （1）解： ，
∴ ， ，
∴
=
= ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，
∴m= ，n= ，
∴
=
=
=0.
【考点】估算无理数的大小，完全平方公式及运用，平方差公式及应用，分母有理化
【解析】【分析】（1）对x、y进行分母有理化，然后计算出x-y、xy，将待求式变形为(x-y)2+xy，最后代入进行计算；
（2）根据估算无理数大小的方法可得x、y的范围，进而得到m、n，将待求式变形为m2-n2 ， 然后代入进行计算.
25.（2021八上·秦都月考）阅读并解答问题：
；
；
；
……
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将 的分母有理化；
（2）已知 ， ，求 的值；
（3）计算 .
【答案】 （1）解： .
（2）解： ，
，
所以 .
（3）解：
.
【考点】分母有理化，探索数与式的规律
【解析】【分析】(1)根据题干所给的分母有理化方法计算即可；
(2)将a、b两式分别分母有理化，然后代入a+b计算即可；
(3)分别将各项分母有理化，然后隔项相消，再化简，即可得出结果.
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湘教版初中数学八年级上学期期末复习专题17 二次根式的乘法与除法
一、单选题
1.（2021八上·牡丹期中）下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.（2021八上·普陀期中）下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.（2021八上·宝山月考）下列四个算式，其中一定成立的是（ ）
① ＝a2+1；② ＝a；③ ＝ （ab＞0）；④
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③ D. ①
4.（2021八上·陕西月考）下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.（2021八下·召陵期末）使 成立的x的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D.
6.（2021八下·伍家岗期末）下列二次根式中，与 的积是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
7.（2021八下·官渡期末）下列计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
8.（2021八下·南充期末）计算 ÷3 × 的结果正确的是（ ）
A. 1 B. 2.5 C. 5 D. 6
9.（2021八下·汕尾期末）下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.（2021八下·澄海期末）化简 的结果是（ ）．
A. B. C. D. 2
二、填空题
11.（2021八上·杨浦期中） 的一个有理化因式是 ．
12.（2021八上·松江期中）写出二次根式 的一个有理化因式是 ．
13.（2021八上·牡丹期中） 的倒数是 ．
14.（2021八上·普陀期中）计算： ＝ ．
15.（2021八上·普陀期中） 的有理化因式可以是 ． （只需填一个）
16.（2021八上·埇桥期中）将 按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ．
三、计算题
17.（2021八上·浦东期中）计算：﹣ ÷（2 ）
18.（2021八上·静安月考）计算：- ÷ ．
19.（2021八上·上海月考）计算： ．
四、解答题
20.（2021八上·松江期中）已知 ，求 的值．
21.（2021八上·达州期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值，他是这样分析与解答的：
，
，
，
.
.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若 ，求 的值.
22.（2021八上·深圳月考）若 表示不超过x的最大整数（如 等），求 的值．
五、综合题
23.（2021八上·即墨期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
比如： ＝ ．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较： 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：： ， ．
因为 ，所以， ．
再例如，求y＝ 的最大值、做法如下：
解：由x＋2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝ ＝ ．当x＝2时，分母 有最小值2.所以y的最大值是2
利用上面的方法，完成下面问题：
（1）比较 ﹣ 和 ﹣ 的大小；
（2）求y＝ ﹣ ＋2的最大值．
24.（2021八上·通川期中）若 ， .
（1）求 的值；
（2）若 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，求 的值.
25.（2021八上·秦都月考）阅读并解答问题：
；
；
；
……
上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：
（1）将 的分母有理化；
（2）已知 ， ，求 的值；
（3）计算 .
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、 、 无意义，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘法逐项判断即可。
2.【答案】 B
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ． 是整数加根式，不能合并，不符合题意；
． ，符合题意；
． ，是二次根式乘法，不符合题意；
． ，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的性质即二次根式的乘除逐项判断即可。
3.【答案】 D
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法
【解析】【解答】由于 ，由性质 可知①符合题意，②不符合题意；
由于a、b及x+1、x-1均可为负，二次根式无意义，由性质 知，③④均不符合题意；
故只有①符合题意
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质及二次根式的乘法逐项判断即可。
4.【答案】 D
【考点】二次根式有意义的条件，二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、二次根号下的被开方数是负数，根式没有意义，故错误，不合题意；
B、 ，计算错误，不符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可判断A； ， 据此判断B；根据二次根式的除法法则可判断C、D.
5.【答案】 B
【考点】二次根式有意义的条件，二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： .
故答案为：B.
【分析】根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组，解不等式组即可.
6.【答案】 D
【考点】二次根式的乘除法，无理数的认识
【解析】【解答】解：A、 ，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、 ，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、 ，不是无理数，故此选项不符合题意；
D、 ，是无理数，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】首先根据二次根式的乘法运算法则“二次根式的乘法，根指数不变，被开方数相乘”将与各个选项中的二次根式相乘，再将结果化为最简形式，然后根据无理数的定义“无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，”根据定义即可一一判断.
7.【答案】 D
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质，乘法法则，除法法则，计算求解即可。
8.【答案】 A
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ÷3 ×
＝3 ÷3 ×
＝
＝1，
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的乘除法法则进行计算，可求出结果.
9.【答案】 D
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，积的乘方
【解析】【解答】解： ，故A选项不符合题意，D选项符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式乘法、开平方、积的乘方，分别计算得到每个选项的值，判断正确的即可。
10.【答案】 B
【考点】分母有理化
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】利用分母有理化，分子分母同乘即可。
二、填空题
11.【答案】
【考点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 的一个有理化因式是 ．
故答案为：
【分析】分母有理化是指把分母中的根号化去，据此找出有理化因式，再利用平方差公式解答即可.
12.【答案】
【考点】分母有理化
【解析】【解答】解： × ＝（ ）2＝x＋y ，
故 的一个有理化因式是
故答案为： ．
【分析】利用二次根式的性质可得二次根式的有理化因式是 。
13.【答案】
【考点】分母有理化
【解析】【解答】 的倒数为 ，
故答案为： ．
【分析】先利用倒数的定义求出该数的倒数，再利用分母有理化求解即可。
14.【答案】
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】原式 ；
故答案是： ；
【分析】利用二次根式的除法计算即可。
15.【答案】
【考点】分母有理化
【解析】【解答】解： ，
的有理化因式为 ，
故答案为： ．
【分析】利用平方差公式可得 的有理化因式为 。
16.【答案】
【考点】二次根式的乘除法，定义新运算
【解析】【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是： ，
（15，7）表示第15排从左向右第7个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第15排是奇数排，最中间的也就是这排的第8个数是1，那么第7个就是： ，
．
故答案为2 ．
【分析】观察得到第五排从左向右第四个数是 ，表示第15排从左向右第7个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第15排是奇数排，最中间的也就是这排的第8个数是1，那么第7个是 ，再把×即可得出答案。
三、计算题
17.【答案】 解：原式=
=
=
= .
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可。
18.【答案】 解：- ÷
．
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用二次根式的除法计算方法求解即可。
19.【答案】 解：原式=4
=4
=
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】利用二次根式的乘除法则计算求解即可。
四、解答题
20.【答案】 ∵
∴ = ．
【考点】代数式求值，分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化化简，再将x的值代入计算即可。
21.【答案】 解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ = .
【考点】代数式求值，完全平方公式及运用，分母有理化
【解析】【分析】对a的分子、分母同时乘以+1，并化简可得a=+1，计算出a-1的值，结合完全平方公式可得a2-2a的值，然后将待求式变形为4(a2-2a)-3，据此计算.
22.【答案】 解： ，
，
∴ ，
∵
∵ 表示不超过x的最大整数，
∴ ，
∴
．
【考点】分母有理化，定义新运算
【解析】【分析】先利用分母有理化的计算方法化简，再根据题干中的定义求解即可。
五、综合题
23.【答案】 （1）解：∵ ﹣ ＝ ， ﹣ ＝ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵y＝ ﹣ ＋2＝ ，
∴当 时，分母 有最小值 ，
∴则 的最大值为： ．
【考点】估算无理数的大小，二次根式有意义的条件，分母有理化，定义新运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行分子有理化计算，从而比较大小；
（2）利用二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再通过利用平方差公式对原式进行分子有理化变形，从而确定其最大值。
24.【答案】 （1）解： ，
∴ ， ，
∴
=
= ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，
∴m= ，n= ，
∴
=
=
=0.
【考点】估算无理数的大小，完全平方公式及运用，平方差公式及应用，分母有理化
【解析】【分析】（1）对x、y进行分母有理化，然后计算出x-y、xy，将待求式变形为(x-y)2+xy，最后代入进行计算；
（2）根据估算无理数大小的方法可得x、y的范围，进而得到m、n，将待求式变形为m2-n2 ， 然后代入进行计算.
25.【答案】 （1）解： .
（2）解： ，
，
所以 .
（3）解：
.
【考点】分母有理化，探索数与式的规律
【解析】【分析】(1)根据题干所给的分母有理化方法计算即可；
(2)将a、b两式分别分母有理化，然后代入a+b计算即可；
(3)分别将各项分母有理化，然后隔项相消，再化简，即可得出结果.
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