2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册4.3.1等比数列的概念-4.3.2等比数列的通项公式 讲义
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册4.3.1等比数列的概念-4.3.2等比数列的通项公式 讲义 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 238.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-22 11:03:54 | ||
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文档简介
江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义
编号：028 课题: §4.3.1 等比数列的概念 §4.3.2 等比数列的通项公式
目标要求
1、借助教材实例理解等比数列．
2、借助教材掌握等比数列的通项公式、等比数列的性质．
3、会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题．
4、体会等比数列与指数函数的关系.
5、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题；
难点：体会等比数列与指数函数的关系．
教学过程
基础知识积累
1. 等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的__________的比都等于__________常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的________，公比通常用字母____表示．
【课前预习思考】
(1)定义中为什么“从第2项起”，从第1项起可以吗？
(2)怎样利用递推公式表示等比数列？
2．等比中项
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____________，那么G叫作a与b的等比中项．
【课前预习思考】
G是a与b的等比中项，a与b的符号有什么特点？a，G，b满足的关系式是什么？
3．等比数列的通项公式
首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为_____________．
【课前预习思考】
等比数列的通项公式an＝a1qn－1与指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)有什么联系？
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法错误的是 ( )
A.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数，则该数列为等比数列
B.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零
C.常数列一定为等比数列 D.任何两个数都有等比中项
题2．（多选）下列数列为等比数列的有 ( )
A.2，22，3×22 B.，，，，(a≠0)
C.s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5 D.1，1，1，1，1
题3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝ ( )
A． B． C． D．－
题4．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项是________．
【课堂题组训练】
类型一 等比数列的通项公式及应用(数学运算)
题5．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
题6．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
题7．在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
题8.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( )
A．4 B．8 C．6 D．32
题9．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________．
题10．在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
类型二 等比中项的应用(数学运算、逻辑推理)
题11.已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
题12．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
题13.＋1与－1的等比中项是________．
类型三 等比数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)
角度1 已知递推公式证明等比数列
题14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
角度2 已知前n项和判断是否为等比数列
题15.已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
题16.已知数列的前n项和为Sn＝2－an，求证数列{an}是等比数列．
题17．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
题18．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
类型四 三个数或四个数成等比数列的设法(数学运算)
题19.设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数分别为多少？
题20．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
题21．在四个正数中，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8 000，求这四个数．
【课堂检测达标】
题22．下列各组数成等比数列的是 ( )
①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；
④，，，.
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
题23．等比数列4，6，9，…的公比为 ( )
A． B． C．2 D．3
题24.已知等比数列{an}中，a2＝－4，a5＝，则公比q＝ ( )
A．－2 B．－ C． D．2
题25．在数列中，a1＝1，an＋1＝3an，则a4等于 ( )
A．9 B．10 C．27 D．81
编号：028 课题: §4.3.1 等比数列的概念 §4.3.2 等比数列的通项公式
目标要求
1、借助教材实例理解等比数列．
2、借助教材掌握等比数列的通项公式、等比数列的性质．
3、会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题．
4、体会等比数列与指数函数的关系.
5、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题；
难点：体会等比数列与指数函数的关系．
教学过程
基础知识积累
1. 等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的 前一项 的比都等于 同一个 常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的 公比 ，公比通常用字母 q 表示．
【课前预习思考】
(1)定义中为什么“从第2项起”，从第1项起可以吗？
提示：因为数列的第1项没有前一项，因此必须“从第2项起”．
(2)怎样利用递推公式表示等比数列？
提示：＝q(n≥2)或＝q(q≠0).
2．等比中项
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 等比数列 ，那么G叫作a与b的等比中项．
【课前预习思考】
G是a与b的等比中项，a与b的符号有什么特点？a，G，b满足的关系式是什么？
提示：a与b同号，满足的关系式是G2＝ab.
3．等比数列的通项公式
首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为 an＝a1qn－1 ．
【课前预习思考】
等比数列的通项公式an＝a1qn－1与指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)有什么联系？
提示：an＝a1·qn－1＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)在x＝n时的值，即an＝f(n).数列{an}图象上的点(n，an)都在指数函数f(x)的图象上．反之指数函数f(x)＝ax＝a·ax－1(a>0，a≠1)可以构成一个首项为a，公比为a的等比数列{a·}．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法错误的是 ( )
A.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数，则该数列为等比数列
B.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零
C.常数列一定为等比数列 D.任何两个数都有等比中项
【答案】BCD
【解析】A√.根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．
B×.当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．
C×.当常数列不为零时，该数列才是等比数列．
D×.当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
题2．（多选）下列数列为等比数列的有 ( )
A.2，22，3×22 B.，，，，(a≠0)
C.s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5 D.1，1，1，1，1
【解析】选BD.≠，所以A不是等比数列；B是首项为，公比为的等比数列；C中，当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；D显然是等比数列．
题3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝ ( )
A． B． C． D．－
【解析】选C.由＝＝＝＝q得a2＝a1q＝2，① a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②
所以②÷①得q3＝，所以q＝.
题4．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项是________．
【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.
答案：－24
【课堂题组训练】
类型一 等比数列的通项公式及应用(数学运算)
题5．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】选C.因为an＝a1qn－1，所以×＝，即＝，解得n＝5.
题6．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
【解析】由2(an＋an＋2)＝5an＋1 2q2－5q＋2＝0 q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0 a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10 (a1q4)2＝a1q9 a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案：2n
题7．在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
【解析】 (1)由等比数列的通项公式得a6＝3×＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，则解得所以an＝a1＝5×.
【解题策略提醒】
等比数列通项公式的求法
1．根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；
2．充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
题8.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( )
A．4 B．8 C．6 D．32
【解析】选C.由等比数列的通项公式，
有128＝4×2n－1，＝32，所以n＝6.
题9．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________．
【解析】设公比为q(q≠0)，则3a1q3＝a1q5－2a1q4，
因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0，解得q＝－1或q＝3.
答案：－1或3
题10．在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
【解析】(1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝405.
(2)因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1＝．
类型二 等比中项的应用(数学运算、逻辑推理)
题11.已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
四步 内容
理解题意 条件：b是a，c的等比中项结论：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项
思路探求 证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可
书写表达 证明：b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
题后反思 a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)
【解题策略提醒】
等比中项应用需注意的问题
1．由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项；
2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
题12．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
【解析】选B.因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.
题13.＋1与－1的等比中项是________．
【解析】设x为＋1与－1的等比中项，则x2＝(＋1)(－1)＝1，所以x＝±1.
答案：±1
类型三 等比数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)
角度1 已知递推公式证明等比数列
题14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【思路导引】(1)确定相邻两项的差为常数；(2)先求(1)中等比数列的通项公式．
【解析】(1)因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1).
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.所以＝2(n∈N*).所以数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1.
角度2 已知前n项和判断是否为等比数列
题15.已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
【思路导引】①如何由前n项和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－
Sn－1(n≥2)？需要检验吗？
【解析】an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2).
当n≥2时，＝＝2；当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
题16.已知数列的前n项和为Sn＝2－an，求证数列{an}是等比数列．
【证明】因为Sn＝2－an，所以Sn＋1＝2－an＋1，
所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，所以an＋1＝an.
又因为S1＝2－a1，所以a1＝1≠0.又由an＋1＝an知an≠0，所以＝，所以{an}是等比数列．
【解题策略提醒】
判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
证明只能使用前两个方法，判断可以使用上述三个方法．
题17．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
＝＝＝3(n＝1，2，3，…).又a1－1＝－2，
所以数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·，所以an＝n－2·.
题18．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
【解析】因为Sn＝2an＋1，所以Sn＋1＝2an＋1＋1.
所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.所以an＋1＝2an.
又因为S1＝2a1＋1＝a1，所以a1＝－1≠0，又由an＋1＝2an知an≠0，
所以＝2，所以{an}是首项为－1，公比为2的等比数列．所以an＝－1×＝－.
类型四 三个数或四个数成等比数列的设法(数学运算)
题19.设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数分别为多少？
【思路导引】利用等比数列的特征设出四个数，使它们相乘时式子简便．
【解析】设这四个数依次为，a，aq，aq2(q≠0)，
根据题意得解得q＝－2或－，
当q＝－2时，a＝－4，所求四个数依次为2，－4，8，－16.
当q＝－时，a＝8，所求四个数依次为－16，8，－4，2，
综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.
【解题策略提醒】
三个数或四个数成等比数列的设法
解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：
①若三个数成等比数列，可设三个数为，a，aq或a，aq，aq2(q≠0).
②若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2或，，aq，aq3(q≠0).
题20．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
【解析】依题意设原来的三个数依次为，a，aq.因为·a·aq＝512，所以a＝8.
又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以＋(aq－2)＝2a，
所以2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝，
所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4.因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原来的三个数的和等于28.
答案：28
题21．在四个正数中，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8 000，求这四个数．
【解析】设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.
设后三个数分别为，b，bq，则有·b·bq＝b3＝8 000，即b＝20，
所以这四个数分别为m，16，20，n，所以m＝2×16－20＝12，n＝＝25.
即所求的四个数分别为12，16，20，25.
【课堂检测达标】
题22．下列各组数成等比数列的是 ( )
①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；
④，，，.
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【解析】选D.由等比数列的定义，知①②④是等比数列．③中当x＝0时，不是等比数列．
题23．等比数列4，6，9，…的公比为 ( )
A． B． C．2 D．3
【解析】选B.由等比数列的定义知，q＝＝.
题24.已知等比数列{an}中，a2＝－4，a5＝，则公比q＝ ( )
A．－2 B．－ C． D．2
【解析】选B.因为a5＝a2q3，即＝－4q3，解得q＝－.
题25．在数列中，a1＝1，an＋1＝3an，则a4等于 ( )
A．9 B．10 C．27 D．81
【解析】选C.由题意，在数列中，a1＝1，an＋1＝3an，即a1＝1，＝3，
可得数列表示首项a1＝1，公比q＝3的等比数列，
所以a4＝a1q3＝1×33＝27.
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高二数学备课组 jin_ailiu
编号：028 课题: §4.3.1 等比数列的概念 §4.3.2 等比数列的通项公式
目标要求
1、借助教材实例理解等比数列．
2、借助教材掌握等比数列的通项公式、等比数列的性质．
3、会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题．
4、体会等比数列与指数函数的关系.
5、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题；
难点：体会等比数列与指数函数的关系．
教学过程
基础知识积累
1. 等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的__________的比都等于__________常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的________，公比通常用字母____表示．
【课前预习思考】
(1)定义中为什么“从第2项起”，从第1项起可以吗？
(2)怎样利用递推公式表示等比数列？
2．等比中项
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____________，那么G叫作a与b的等比中项．
【课前预习思考】
G是a与b的等比中项，a与b的符号有什么特点？a，G，b满足的关系式是什么？
3．等比数列的通项公式
首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为_____________．
【课前预习思考】
等比数列的通项公式an＝a1qn－1与指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)有什么联系？
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法错误的是 ( )
A.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数，则该数列为等比数列
B.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零
C.常数列一定为等比数列 D.任何两个数都有等比中项
题2．（多选）下列数列为等比数列的有 ( )
A.2，22，3×22 B.，，，，(a≠0)
C.s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5 D.1，1，1，1，1
题3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝ ( )
A． B． C． D．－
题4．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项是________．
【课堂题组训练】
类型一 等比数列的通项公式及应用(数学运算)
题5．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
题6．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
题7．在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
题8.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( )
A．4 B．8 C．6 D．32
题9．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________．
题10．在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
类型二 等比中项的应用(数学运算、逻辑推理)
题11.已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
题12．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
题13.＋1与－1的等比中项是________．
类型三 等比数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)
角度1 已知递推公式证明等比数列
题14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
角度2 已知前n项和判断是否为等比数列
题15.已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
题16.已知数列的前n项和为Sn＝2－an，求证数列{an}是等比数列．
题17．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
题18．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
类型四 三个数或四个数成等比数列的设法(数学运算)
题19.设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数分别为多少？
题20．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
题21．在四个正数中，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8 000，求这四个数．
【课堂检测达标】
题22．下列各组数成等比数列的是 ( )
①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；
④，，，.
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
题23．等比数列4，6，9，…的公比为 ( )
A． B． C．2 D．3
题24.已知等比数列{an}中，a2＝－4，a5＝，则公比q＝ ( )
A．－2 B．－ C． D．2
题25．在数列中，a1＝1，an＋1＝3an，则a4等于 ( )
A．9 B．10 C．27 D．81
编号：028 课题: §4.3.1 等比数列的概念 §4.3.2 等比数列的通项公式
目标要求
1、借助教材实例理解等比数列．
2、借助教材掌握等比数列的通项公式、等比数列的性质．
3、会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题．
4、体会等比数列与指数函数的关系.
5、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式、等比数列的性质解决相关的问题；
难点：体会等比数列与指数函数的关系．
教学过程
基础知识积累
1. 等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的 前一项 的比都等于 同一个 常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的 公比 ，公比通常用字母 q 表示．
【课前预习思考】
(1)定义中为什么“从第2项起”，从第1项起可以吗？
提示：因为数列的第1项没有前一项，因此必须“从第2项起”．
(2)怎样利用递推公式表示等比数列？
提示：＝q(n≥2)或＝q(q≠0).
2．等比中项
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 等比数列 ，那么G叫作a与b的等比中项．
【课前预习思考】
G是a与b的等比中项，a与b的符号有什么特点？a，G，b满足的关系式是什么？
提示：a与b同号，满足的关系式是G2＝ab.
3．等比数列的通项公式
首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为 an＝a1qn－1 ．
【课前预习思考】
等比数列的通项公式an＝a1qn－1与指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)有什么联系？
提示：an＝a1·qn－1＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)在x＝n时的值，即an＝f(n).数列{an}图象上的点(n，an)都在指数函数f(x)的图象上．反之指数函数f(x)＝ax＝a·ax－1(a>0，a≠1)可以构成一个首项为a，公比为a的等比数列{a·}．
【课前小题演练】
题1．（多选）下列说法错误的是 ( )
A.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为同一个常数，则该数列为等比数列
B.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零
C.常数列一定为等比数列 D.任何两个数都有等比中项
【答案】BCD
【解析】A√.根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．
B×.当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．
C×.当常数列不为零时，该数列才是等比数列．
D×.当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
题2．（多选）下列数列为等比数列的有 ( )
A.2，22，3×22 B.，，，，(a≠0)
C.s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5 D.1，1，1，1，1
【解析】选BD.≠，所以A不是等比数列；B是首项为，公比为的等比数列；C中，当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；D显然是等比数列．
题3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝ ( )
A． B． C． D．－
【解析】选C.由＝＝＝＝q得a2＝a1q＝2，① a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②
所以②÷①得q3＝，所以q＝.
题4．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项是________．
【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.
答案：－24
【课堂题组训练】
类型一 等比数列的通项公式及应用(数学运算)
题5．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】选C.因为an＝a1qn－1，所以×＝，即＝，解得n＝5.
题6．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
【解析】由2(an＋an＋2)＝5an＋1 2q2－5q＋2＝0 q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0 a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10 (a1q4)2＝a1q9 a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案：2n
题7．在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
【解析】 (1)由等比数列的通项公式得a6＝3×＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，则解得所以an＝a1＝5×.
【解题策略提醒】
等比数列通项公式的求法
1．根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；
2．充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
题8.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( )
A．4 B．8 C．6 D．32
【解析】选C.由等比数列的通项公式，
有128＝4×2n－1，＝32，所以n＝6.
题9．若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________．
【解析】设公比为q(q≠0)，则3a1q3＝a1q5－2a1q4，
因为a1q3≠0，所以q2－2q－3＝0，解得q＝－1或q＝3.
答案：－1或3
题10．在等比数列{an}中，
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
【解析】(1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝405.
(2)因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1＝．
类型二 等比中项的应用(数学运算、逻辑推理)
题11.已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
四步 内容
理解题意 条件：b是a，c的等比中项结论：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项
思路探求 证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可
书写表达 证明：b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)·(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
题后反思 a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)
【解题策略提醒】
等比中项应用需注意的问题
1．由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项；
2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
题12．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
【解析】选B.因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.
题13.＋1与－1的等比中项是________．
【解析】设x为＋1与－1的等比中项，则x2＝(＋1)(－1)＝1，所以x＝±1.
答案：±1
类型三 等比数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)
角度1 已知递推公式证明等比数列
题14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【思路导引】(1)确定相邻两项的差为常数；(2)先求(1)中等比数列的通项公式．
【解析】(1)因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1).
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.所以＝2(n∈N*).所以数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1.
角度2 已知前n项和判断是否为等比数列
题15.已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
【思路导引】①如何由前n项和公式得通项公式？②a1是否适合an＝Sn－
Sn－1(n≥2)？需要检验吗？
【解析】an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2).
当n≥2时，＝＝2；当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
题16.已知数列的前n项和为Sn＝2－an，求证数列{an}是等比数列．
【证明】因为Sn＝2－an，所以Sn＋1＝2－an＋1，
所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，所以an＋1＝an.
又因为S1＝2－a1，所以a1＝1≠0.又由an＋1＝an知an≠0，所以＝，所以{an}是等比数列．
【解题策略提醒】
判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列；
(2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
证明只能使用前两个方法，判断可以使用上述三个方法．
题17．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
＝＝＝3(n＝1，2，3，…).又a1－1＝－2，
所以数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·，所以an＝n－2·.
题18．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
【解析】因为Sn＝2an＋1，所以Sn＋1＝2an＋1＋1.
所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.所以an＋1＝2an.
又因为S1＝2a1＋1＝a1，所以a1＝－1≠0，又由an＋1＝2an知an≠0，
所以＝2，所以{an}是首项为－1，公比为2的等比数列．所以an＝－1×＝－.
类型四 三个数或四个数成等比数列的设法(数学运算)
题19.设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数分别为多少？
【思路导引】利用等比数列的特征设出四个数，使它们相乘时式子简便．
【解析】设这四个数依次为，a，aq，aq2(q≠0)，
根据题意得解得q＝－2或－，
当q＝－2时，a＝－4，所求四个数依次为2，－4，8，－16.
当q＝－时，a＝8，所求四个数依次为－16，8，－4，2，
综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.
【解题策略提醒】
三个数或四个数成等比数列的设法
解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：
①若三个数成等比数列，可设三个数为，a，aq或a，aq，aq2(q≠0).
②若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2或，，aq，aq3(q≠0).
题20．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
【解析】依题意设原来的三个数依次为，a，aq.因为·a·aq＝512，所以a＝8.
又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以＋(aq－2)＝2a，
所以2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝，
所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4.因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原来的三个数的和等于28.
答案：28
题21．在四个正数中，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8 000，求这四个数．
【解析】设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.
设后三个数分别为，b，bq，则有·b·bq＝b3＝8 000，即b＝20，
所以这四个数分别为m，16，20，n，所以m＝2×16－20＝12，n＝＝25.
即所求的四个数分别为12，16，20，25.
【课堂检测达标】
题22．下列各组数成等比数列的是 ( )
①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；
④，，，.
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【解析】选D.由等比数列的定义，知①②④是等比数列．③中当x＝0时，不是等比数列．
题23．等比数列4，6，9，…的公比为 ( )
A． B． C．2 D．3
【解析】选B.由等比数列的定义知，q＝＝.
题24.已知等比数列{an}中，a2＝－4，a5＝，则公比q＝ ( )
A．－2 B．－ C． D．2
【解析】选B.因为a5＝a2q3，即＝－4q3，解得q＝－.
题25．在数列中，a1＝1，an＋1＝3an，则a4等于 ( )
A．9 B．10 C．27 D．81
【解析】选C.由题意，在数列中，a1＝1，an＋1＝3an，即a1＝1，＝3，
可得数列表示首项a1＝1，公比q＝3的等比数列，
所以a4＝a1q3＝1×33＝27.
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高二数学备课组 jin_ailiu