2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册4.3.3等比数列的前n项和 讲义

江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义
编号：029 课题: §4.3.3 等比数列的前n项和
目标要求
1、借助教材实例了解等比数列前n项和公式的推导过程．
2、借助教材掌握的关系．
3、掌握等比数列的前n项和公式、性质及其应用．
4、能利用等比数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题，能解决数列求和等相关问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：等比数列的前n项和公式、性质及其应用；
难点：数列求和等相关问题．
教学过程
基础知识积累
1. 等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 Sn＝________________________ Sn＝_______________________
【课前预习思考】
两个求和公式如何选择？
2．错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法叫________________．
(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列_______________的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．
【课前预习思考】
等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？
【课前小题演练考】
题1．（多选）下列说法正确的是 ( )
A.在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为.
B.求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．
C.＝. D.等比数列前n项和Sn不可能为0.
题2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为 (　 　)
A．4 B．－4 C．2　 D．－2
题3．数列{2n－1}的前99项和为 (　 　)
A.2100－1　 B．1－2100 C.299－1　　 D．1－299
题4．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于________．
【课堂题组训练】
类型一　等比数列前n项和公式的应用(数学运算)
题5.在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
(2)S3＝，S6＝，求an及Sn.
类型二　等比数列的前n项和的性质(数学运算)
题6.等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，求前3n项和S3n.
题7．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
题8．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式为______．
类型三　错位相减法求和(逻辑推理、数学运算)
题9.已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0，1)，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
题10．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N*.
题11．求和：＋＋＋＋…＋.
【课堂检测达标】
题12．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于 (　 　)
A．1 B．0 C．1或0 D．－1
题13．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于 (　 　)
A．93 B．－93 C．45　 D．－45
题14.对于数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)都在函数f(x)＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝________．
题15．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于________．
题16．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，，则S5＝________．
编号：029 课题: §4.3.3 等比数列的前n项和
目标要求
1、借助教材实例了解等比数列前n项和公式的推导过程．
2、借助教材掌握的关系．
3、掌握等比数列的前n项和公式、性质及其应用．
4、能利用等比数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题，能解决数列求和等相关问题.
学科素养目标
在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．
本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．
重点难点
重点：等比数列的前n项和公式、性质及其应用；
难点：数列求和等相关问题．
教学过程
基础知识积累
1. 等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 Sn＝ Sn＝
【课前预习思考】
两个求和公式如何选择？
提示：知道首项a1、公比q(q≠1)和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q(q≠1)，可以用Sn＝.在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．
2．错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法叫 错位相减法 ．
(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列 对应项积 的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．
【课前预习思考】
等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？
提示：根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，再由合比定理，则得＝q即＝q，进而可求Sn.
【课前小题演练考】
题1．（多选）下列说法正确的是 ( )
A.在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为.
B.求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．
C.＝. D.等比数列前n项和Sn不可能为0.
【答案】BC
【解析】A×.若公比为q＝1，则结论就是错误的．
B√.数列{n·2n}就是典型的等差与等比数列的对应项之积构成的数列，其前n项和就需要用错位相减法求得．
C√.其中一个式子的分子与分母同乘－1，即可转化为另一个式子．
D×.如等比数列1，－1，1，－1，…的前n项和就可以等于零．
题2．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为 (　 　)
A．4 B．－4 C．2　 D．－2
【解析】选A.由S5＝＝44得a1＝4.
题3．数列{2n－1}的前99项和为 (　 　)
A.2100－1　 B．1－2100 C.299－1　　 D．1－299
【解析】选C.
数列为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1.
题4．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于________．
【解析】＝×＝＝.
答案：
【课堂题组训练】
类型一　等比数列前n项和公式的应用(数学运算)
题5.在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
(2)S3＝，S6＝，求an及Sn.
【思路导引】直接代入公式计算．
【解析】(1)显然q≠1，由Sn＝，即＝，所以q＝.
又an＝a1qn－1，即8×＝，所以n＝6.
(2)方法一：由S6≠2S3知q≠1，由题意得
②÷①，得1＋q3＝9，所以q3＝8，即q＝2.
代入①得a1＝，所以an＝a1＝×＝，Sn＝＝－.
方法二：由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3.
所以1＋q3＝＝9，所以q3＝8，即q＝2.代入①得a1＝，
所以an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－.
【解题策略提醒】 等比数列前n项和公式的应用
在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
类型二　等比数列的前n项和的性质(数学运算)
题6.等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，求前3n项和S3n.
四步 内容
理解题意 条件:①等比数列{an}的前n项和Sn=48②前2n项和S2n=60结论:求前3n项和S3n
思路探求 利用条件求首项和公比,求前3n项和;或者根据和的下标成等差数列,运用等比数列和的性质计算.
书写表达 方法一:设公比为q,由已知易知q≠1,由 即所以S3n＝＝·[1-(qn)3]=64×=63.方法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，所以S3n＝63.
题后反思 等比数列相等项数的片段和仍成等比数列,在求和中能够简化运算.
【解题策略提醒】 等比数列求和性质的应用
运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件．否则会出现失误．如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为0.
题7．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
【解析】令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，
由等比数列前n项和性质知：＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
答案：80
题8．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式为______．
【解析】设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，
由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a·q3＝64，即a1＝12，
故所求通项公式为an＝12×＝4×.
答案：an＝4×
类型三　错位相减法求和(逻辑推理、数学运算)
题9.已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0，1)，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
【思路导引】(1)根据a1，a2，a3－成等差数列求得公比q，写出通项公式；
(2)由bn＝nan可知利用错位相减法求和．
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝，因为a1，a2，a3－成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3－，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝或q＝，
又因为q∈(0，1)，所以q＝，所以an＝×＝.
(2)根据题意得bn＝nan＝，Sn＝＋＋＋…＋，① Sn＝＋＋＋…＋，②
作差得Sn＝＋＋＋…＋－，Sn＝2－(n＋2)n.
【解题策略提醒】
错位相减法的适用题目及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
题10．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N*.
【解析】设Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
所以－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×＝－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1
＝(1－n)×2n＋1－2，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
题11．求和：＋＋＋＋…＋.
【解析】设Sn＝＋＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋＋，①
则Sn＝＋＋＋…＋＋.②
①－②，得Sn＝＋＋＋＋…＋－＝＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－＝－，所以Sn＝3－.
【课堂检测达标】
题12．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于 (　 　)
A．1 B．0 C．1或0 D．－1
【解析】选A.因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，
即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.
题13．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于 (　 　)
A．93 B．－93 C．45　 D．－45
【解析】选A.S5＝＝＝93.
题14.对于数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)都在函数f(x)＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝________．
【解析】由题设可得an＝2n，故＝2，故{an}为等比数列，其首项为2，公比为2，
故S4＝＝30.
答案：30
题15．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于________．
【解析】根据等比数列性质得＝q5，所以＝25，所以S10＝33.
答案：33
题16．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，，则S5＝________．
【解析】由，得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝＝3.所以S5＝＝.
答案：
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高二数学备课组 jin_ailiu