2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册5.1.1平均变化率 讲义
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册5.1.1平均变化率 讲义 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 202.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-22 11:11:19 | ||
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文档简介
江苏省泰兴市第三高级中学红桥校区校本化讲义
编号：031 课题:§5.1.1 平均变化率
目标要求
1、通过实例分析，感受平均变化率的实际意义．
2、求具体函数的平均变化率．
3、平均变化率实际意义的理解．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：具体函数的平均变化率的求法；
难点：平均变化率实际意义的理解．
教学过程
基础知识积累
1. 平均变化率
(1)表示：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为_________________．
(2)意义：平均变化率是曲线陡峭程度的“______”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“______”．
【注意】 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率也可为______________，要注意分子、分母的匹配．
【课前预习思考】
(1)平均变化率只能是正数吗？
(2)平均变化率不能准确量化一段曲线的陡峭程度吗？
【课前小题演练】
题1.（多选）下列说法正确的是 ( )
A. 平均变化率只能是正数.
B.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数．
C.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的”．
D.平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在相应区间上越“陡峭”，反之亦然．
题2．自变量x从2变到3时，函数f(x)＝3x－1的函数值的增量与相应自变量的增量之比等于 ( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
题3．某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内下列理解正确的是 ( )
A．(t0＋Δt)－t0称为函数值增量 B．t0称为函数值增量
C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数值增 D．称为函数值增量
题4．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________.
【课堂题组训练】
类型一 求函数的平均变化率(数学运算)
题5．函数f(x)＝在[2，6]上的平均变化率为________．
题 6．求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
题7.已知一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在时间[3，3＋Δt]内的平均速度是 ( )
A．(5＋Δt)(m/s) B．[5＋(Δt)2](m/s)
C．[5(Δt)2＋Δt](m/s) D．5(Δt)2(m/s)
类型二 函数平均变化率的应用(数学抽象)
【典例】题8.在山地自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s(t)＝t＋t2(位移单位：m，时间单位：s).则10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为________.
题9．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V).
(2)求体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时，半径r的平均变化率(精确到0.01).
(3)由(2)的求解结果可说明什么意义？
题10．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.求气球半径r关于表面积S的函数r(S).
题11.正弦函数y＝sin x在区间和内的平均变化率较大的是________．
【课堂检测达标】
题12．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝ ( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
题13．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间[3，3＋Δt]中，相应的平均速度等于 ( )
A．6＋Δt B．12＋Δt＋ C．12＋2Δt D．12
题14．向半径为r的球内吹气，如果球的半径增加Δr，那么球的体积增量ΔV等于多少？
题15．某商户2019年上半年的销售收入如图所示，试说明该商户1月到2月和2月到6月的经营情况．
编号：031 课题:§5.1.1 平均变化率
目标要求
1、通过实例分析，感受平均变化率的实际意义．
2、求具体函数的平均变化率．
3、平均变化率实际意义的理解．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：具体函数的平均变化率的求法；
难点：平均变化率实际意义的理解．
教学过程
基础知识积累
1. 平均变化率
(1)表示：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．
(2)意义：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
【注意】 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率也可为，要注意分子、分母的匹配．
【课前预习思考】
(1)平均变化率只能是正数吗？
提示：不一定．平均变化率可正、可负、可以为0.
(2)平均变化率不能准确量化一段曲线的陡峭程度吗？
提示：平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但当Δx很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”．
【课前小题演练】
题1.（多选）下列说法正确的是 ( )
A. 平均变化率只能是正数.
B.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数．
C.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的”．
D.平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在相应区间上越“陡峭”，反之亦然．
【答案】CD
【解析】A.×. 不一定．平均变化率可正、可负、可以为0.
B.×.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可以是正数，也可以是负数，但不为0.
C.√ D.√
题2．自变量x从2变到3时，函数f(x)＝3x－1的函数值的增量与相应自变量的增量之比等于 ( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
【解析】选D.自变量x从2变到3时，函数f(x)＝3x－1的函数值的增量为8－5＝3，故增量之比等于3.
题3．某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内下列理解正确的是 ( )
A．(t0＋Δt)－t0称为函数值增量 B．t0称为函数值增量
C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数值增 D．称为函数值增量
【解析】选C.由自变量的变化量、函数值的变化量、平均变化率的概念易得C正确．
题4．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________.
【解析】平均变化率为＝＝＝m＋1，令m＋1＝3，得m＝2.
答案：2
【课堂题组训练】
类型一 求函数的平均变化率(数学运算)
题5．函数f(x)＝在[2，6]上的平均变化率为________．
【解析】因为Δy＝f(6)－f(2)，所以 ＝ ＝＝－.
答案：－
题 6．求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
【解析】Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
所以函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时，平均变化率为4×1＋2×＝5.
【解题策略提醒】
1．求函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量Δx＝x－x0.
(2)求函数值的改变量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0).
(3)求平均变化率＝.
2．求平均变化率的注意点
(1)要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常数函数，则Δy＝0.
(2)求点x0附近的平均变化率可用表示．
提醒：平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同．
题7.已知一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在时间[3，3＋Δt]内的平均速度是 ( )
A．(5＋Δt)(m/s) B．[5＋(Δt)2](m/s)
C．[5(Δt)2＋Δt](m/s) D．5(Δt)2(m/s)
【解析】选A.因为Δs＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)＝(Δt)2＋5Δt，
所以物体在时间[3，3＋Δt]内的平均速度是＝＝(Δt＋5)(m/s).
类型二 函数平均变化率的应用(数学抽象)
【典例】题8.在山地自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s(t)＝t＋t2(位移单位：m，时间单位：s).则10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为________.
【思路导引】 Δs＝s(10.1)－s(10)，Δt＝0.1.
【解析】Δs＝(10＋0.1)＋(10＋0.1)2－10－102＝2.11，所以＝＝21.1(m/s).
故10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为21.1 m/s.
答案：21.1 m/s
题9．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V).
(2)求体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时，半径r的平均变化率(精确到0.01).
(3)由(2)的求解结果可说明什么意义？
【思路导引】 (1)求半径r关于体积V的函数r(V) V＝πr3.
(2)半径r(V)的平均变化率 Δr，ΔV.
【解析】 (1)因为V＝πr3，所以r3＝，r＝，所以r(V)＝.
(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为＝＝≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为＝＝－≈0.16(dm/L).
(3)显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．
题10．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.求气球半径r关于表面积S的函数r(S).
【解析】因为S＝4πr2，所以r＝＝.所以r(S)＝.
【解题策略提醒】
平均变化率的应用
提醒：解决问题仍需抓住本质，利用平均变化率的概念解题．
题11.正弦函数y＝sin x在区间和内的平均变化率较大的是________．
【解析】Δy1＝sin －sin 0＝，所以正弦函数y＝sin x在区间上的平均变化率为＝，
又因为Δy2＝sin －sin ＝1－，
所以正弦函数y＝sin x在区间上的平均变化率为＝＝(2－)，
因为1>2－，故>(2－)，所以前者大．
答案：
【课堂检测达标】
题12．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝ ( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．
题13．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间[3，3＋Δt]中，相应的平均速度等于 ( )
A．6＋Δt B．12＋Δt＋ C．12＋2Δt D．12
【解析】选C.＝＝12＋2Δt.
题14．向半径为r的球内吹气，如果球的半径增加Δr，那么球的体积增量ΔV等于多少？
【解析】由球的体积计算公式得ΔV＝[(r＋Δr)3－r3]＝·[3r2＋3r·Δr＋(Δr)2]Δr.
题15．某商户2019年上半年的销售收入如图所示，试说明该商户1月到2月和2月到6月的经营情况．
【解题指南】求解此类问题，学会识图是关键．
【解析】1月到2月，销售收入的平均变化率为＝4(万元/月)，2月到6月，销售收入的平均变化率为＝1.5(万元/月).因为4＞1.5，故可说明该商户1月到2月的销售情况较好，2月到6月销售迟缓．
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高二数学备课组 jin_ailiu
编号：031 课题:§5.1.1 平均变化率
目标要求
1、通过实例分析，感受平均变化率的实际意义．
2、求具体函数的平均变化率．
3、平均变化率实际意义的理解．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：具体函数的平均变化率的求法；
难点：平均变化率实际意义的理解．
教学过程
基础知识积累
1. 平均变化率
(1)表示：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为_________________．
(2)意义：平均变化率是曲线陡峭程度的“______”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“______”．
【注意】 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率也可为______________，要注意分子、分母的匹配．
【课前预习思考】
(1)平均变化率只能是正数吗？
(2)平均变化率不能准确量化一段曲线的陡峭程度吗？
【课前小题演练】
题1.（多选）下列说法正确的是 ( )
A. 平均变化率只能是正数.
B.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数．
C.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的”．
D.平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在相应区间上越“陡峭”，反之亦然．
题2．自变量x从2变到3时，函数f(x)＝3x－1的函数值的增量与相应自变量的增量之比等于 ( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
题3．某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内下列理解正确的是 ( )
A．(t0＋Δt)－t0称为函数值增量 B．t0称为函数值增量
C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数值增 D．称为函数值增量
题4．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________.
【课堂题组训练】
类型一 求函数的平均变化率(数学运算)
题5．函数f(x)＝在[2，6]上的平均变化率为________．
题 6．求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
题7.已知一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在时间[3，3＋Δt]内的平均速度是 ( )
A．(5＋Δt)(m/s) B．[5＋(Δt)2](m/s)
C．[5(Δt)2＋Δt](m/s) D．5(Δt)2(m/s)
类型二 函数平均变化率的应用(数学抽象)
【典例】题8.在山地自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s(t)＝t＋t2(位移单位：m，时间单位：s).则10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为________.
题9．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V).
(2)求体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时，半径r的平均变化率(精确到0.01).
(3)由(2)的求解结果可说明什么意义？
题10．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.求气球半径r关于表面积S的函数r(S).
题11.正弦函数y＝sin x在区间和内的平均变化率较大的是________．
【课堂检测达标】
题12．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝ ( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
题13．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间[3，3＋Δt]中，相应的平均速度等于 ( )
A．6＋Δt B．12＋Δt＋ C．12＋2Δt D．12
题14．向半径为r的球内吹气，如果球的半径增加Δr，那么球的体积增量ΔV等于多少？
题15．某商户2019年上半年的销售收入如图所示，试说明该商户1月到2月和2月到6月的经营情况．
编号：031 课题:§5.1.1 平均变化率
目标要求
1、通过实例分析，感受平均变化率的实际意义．
2、求具体函数的平均变化率．
3、平均变化率实际意义的理解．
学科素养目标
通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
重点难点
重点：具体函数的平均变化率的求法；
难点：平均变化率实际意义的理解．
教学过程
基础知识积累
1. 平均变化率
(1)表示：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．
(2)意义：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
【注意】 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率也可为，要注意分子、分母的匹配．
【课前预习思考】
(1)平均变化率只能是正数吗？
提示：不一定．平均变化率可正、可负、可以为0.
(2)平均变化率不能准确量化一段曲线的陡峭程度吗？
提示：平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但当Δx很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”．
【课前小题演练】
题1.（多选）下列说法正确的是 ( )
A. 平均变化率只能是正数.
B.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数．
C.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的”．
D.平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在相应区间上越“陡峭”，反之亦然．
【答案】CD
【解析】A.×. 不一定．平均变化率可正、可负、可以为0.
B.×.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可以是正数，也可以是负数，但不为0.
C.√ D.√
题2．自变量x从2变到3时，函数f(x)＝3x－1的函数值的增量与相应自变量的增量之比等于 ( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
【解析】选D.自变量x从2变到3时，函数f(x)＝3x－1的函数值的增量为8－5＝3，故增量之比等于3.
题3．某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内下列理解正确的是 ( )
A．(t0＋Δt)－t0称为函数值增量 B．t0称为函数值增量
C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数值增 D．称为函数值增量
【解析】选C.由自变量的变化量、函数值的变化量、平均变化率的概念易得C正确．
题4．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________.
【解析】平均变化率为＝＝＝m＋1，令m＋1＝3，得m＝2.
答案：2
【课堂题组训练】
类型一 求函数的平均变化率(数学运算)
题5．函数f(x)＝在[2，6]上的平均变化率为________．
【解析】因为Δy＝f(6)－f(2)，所以 ＝ ＝＝－.
答案：－
题 6．求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
【解析】Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
所以函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时，平均变化率为4×1＋2×＝5.
【解题策略提醒】
1．求函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量Δx＝x－x0.
(2)求函数值的改变量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0).
(3)求平均变化率＝.
2．求平均变化率的注意点
(1)要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常数函数，则Δy＝0.
(2)求点x0附近的平均变化率可用表示．
提醒：平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同．
题7.已知一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在时间[3，3＋Δt]内的平均速度是 ( )
A．(5＋Δt)(m/s) B．[5＋(Δt)2](m/s)
C．[5(Δt)2＋Δt](m/s) D．5(Δt)2(m/s)
【解析】选A.因为Δs＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)＝(Δt)2＋5Δt，
所以物体在时间[3，3＋Δt]内的平均速度是＝＝(Δt＋5)(m/s).
类型二 函数平均变化率的应用(数学抽象)
【典例】题8.在山地自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s(t)＝t＋t2(位移单位：m，时间单位：s).则10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为________.
【思路导引】 Δs＝s(10.1)－s(10)，Δt＝0.1.
【解析】Δs＝(10＋0.1)＋(10＋0.1)2－10－102＝2.11，所以＝＝21.1(m/s).
故10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为21.1 m/s.
答案：21.1 m/s
题9．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V).
(2)求体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时，半径r的平均变化率(精确到0.01).
(3)由(2)的求解结果可说明什么意义？
【思路导引】 (1)求半径r关于体积V的函数r(V) V＝πr3.
(2)半径r(V)的平均变化率 Δr，ΔV.
【解析】 (1)因为V＝πr3，所以r3＝，r＝，所以r(V)＝.
(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为＝＝≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为＝＝－≈0.16(dm/L).
(3)显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．
题10．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.求气球半径r关于表面积S的函数r(S).
【解析】因为S＝4πr2，所以r＝＝.所以r(S)＝.
【解题策略提醒】
平均变化率的应用
提醒：解决问题仍需抓住本质，利用平均变化率的概念解题．
题11.正弦函数y＝sin x在区间和内的平均变化率较大的是________．
【解析】Δy1＝sin －sin 0＝，所以正弦函数y＝sin x在区间上的平均变化率为＝，
又因为Δy2＝sin －sin ＝1－，
所以正弦函数y＝sin x在区间上的平均变化率为＝＝(2－)，
因为1>2－，故>(2－)，所以前者大．
答案：
【课堂检测达标】
题12．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝ ( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．
题13．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间[3，3＋Δt]中，相应的平均速度等于 ( )
A．6＋Δt B．12＋Δt＋ C．12＋2Δt D．12
【解析】选C.＝＝12＋2Δt.
题14．向半径为r的球内吹气，如果球的半径增加Δr，那么球的体积增量ΔV等于多少？
【解析】由球的体积计算公式得ΔV＝[(r＋Δr)3－r3]＝·[3r2＋3r·Δr＋(Δr)2]Δr.
题15．某商户2019年上半年的销售收入如图所示，试说明该商户1月到2月和2月到6月的经营情况．
【解题指南】求解此类问题，学会识图是关键．
【解析】1月到2月，销售收入的平均变化率为＝4(万元/月)，2月到6月，销售收入的平均变化率为＝1.5(万元/月).因为4＞1.5，故可说明该商户1月到2月的销售情况较好，2月到6月销售迟缓．
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高二数学备课组 jin_ailiu