人教版八年级数学下册一次函数经典题型总结课件(共119张PPT)

(共119张PPT)
一次函数经典题型总结
某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作量W与时间t之间的关系中，下列说法正确的是( )
A. 数100和W，t都是变量
B. 数100和W都是常量
C. W和t是变量
D. 数100和t都是常量,
C
C
一.实际问题中常量与变量的识别
一个长方形的面积是10 cm2，其长是a cm，宽是b cm，下列判断错误的是( )
A. 10是常量 B. 10是变量
C. b是变量 D. a是变量
林老师发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示
“元/升”其数值是固定不变的，另外两个量分别表示
“数量” “金额”，数值一直在变化，在这三个量当中_________是常量，______________是变量.
B
B
元/升
数量、金额
指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 3x －4;
(2) y=x;
(3) y= x2＋2x－8;
(4) S = πr2．
解：（1）3和-4是常量，x和y是变量．
（2）1是常量，x、y是变量．
（3）1、2、-8是常量，x、y是变量．
（4）π是常量，s、r是变量．
二.关系式中常量与变量的识别
八年级 数学
指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 5x －6;
(2) ;
(3) y= 4x2＋5x－7;
(4) C = 2πr.
解：（1）5和-6是常量，x和y是变量.
（2）6是常量，x、y是变量.
（3）4、5、-7是常量，x、y是变量.
（4）2,π是常量，C、r是变量.
怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度 l(cm)
弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
解：由题意可知m每增加1，l增加0.5，所以l=10+0.5m.
重物的质量(kg) 1 2 3 4 5
弹簧长度(cm)
10.5
11
11.5
12
12.5
三.确定两个量之间的关系式
写出下列各问题中的关系式：
(1)n（n＞2）边形的内角和的度数s与边数n的关系式；
(2)等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式．
s=180° (n-2)．
y=180 ° -2x．
下列关于变量x ，y 的关系式：①y =2x+3；②y =x2+3；
③y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
①
提示：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
四.利用函数的定义判断函数
②
③
（1） ;
（2） ;
（3） .
下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎样改变，才能使y是x的函数？
解：（1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应.将关系式改为 或 ，都能使y是x的函数.
变量x与y的对应关系如下表所示：
x 1 4 9 16 25 …
y ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 …
问：变量y是x的函数吗？为什么？若要使y是x的函数，可以怎样改动表格？
解：y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应. 要使y是x的函数，可以将表格中y的每一个值中的“±”改为“＋”或“－”.
已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
把自变量x的值代入关系式中，即可求出函数的值.
解：（1）当x=2时， ;
五.求函数的值
当x=3时， ;
当x=-3时，y=7.
（2）令 解得 ，即当 时，y=0.
解:(1)当x=3时, .
(2)当y=2时,可得到 ,则4=36-2x2,即x2=16,
解得x=±4.
已知函数 .
(1)当x=3时,求函数y的值;
(2)当y=2时,求自变量x的值.
汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子;
解:函数关系式为: y = 50－0.1x.
0.1x表示的意义是什么？
叫做函数的解析式
六.确定自变量的取值范围
（2）指出自变量x的取值范围；
由x≥0及50－0.1x ≥0得　
　0 ≤ x ≤ 500.
∴自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500.
提示：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
解:
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
当 x = 200时,函数y的值为y=50－0.1×200=30.
因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
解:
y=2x+15
x≥1且为整数
x ≠ －1
函数 中，自变量x的取值范围是_____________.
某中学的校办工厂现在年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，年产值y（万元）与年数x的函数关系式是________,其中自变量的取值范围是_______________.
下列函数中自变量x的取值范围是什么？
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
解:
x取全体实数;
（1）
（4）
（2）
由x+2≠0得
x≠-2;
（3）
由x-5≥0得
所以x≥-2且x≠-1.
下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.
（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；
（2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；
（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化．
解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量.
（2）y 是n的函数，其中n是自变量.
（3）y不是x的函数.
我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）. （1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
解： 当0＜x≤3时，y=8；
当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6.
当x=2时，y=8；
x=6时，y=1.8×3＋8=13.4.
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？
解：当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
画出下列函数的图象：
（1） ； （2） .
解：(1)从函数解析式可以看出，x的取值范围是 .
第一步：从x的取值范围中选取一些简洁的数值，算出y的
对应值，填写在表格里：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
-5 -3 -1 1 3 5 7
全体实数
七.画出已知函数的图象
O
x
y
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
y=2x+1
第二步：根据表中数值描点（x，y）；
第三步：用平滑曲线连接这些点.
当自变量的值越来越大时，
对应的函数值 .
画出的图象是一条 ，
直线
越来越大
-6
x … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …
y …
…
6
-3
-2
-1.2
-1.5
3
2
1.5
1.2
解：(2)①列表 ：取一些自变量的值，并求出对应的函数值，填入表中.
为什么没有“0”？
y
5
x
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
6
-6
②描点：分别以表中对应的x、y为横纵坐标,在坐标系中描
出对应的点.
③连线：用光滑的曲线把这些点依次连接起来.
(1,-6)
(1)在所给的平面直角坐标系中画出函数 的图象.（先填写下表，再描点、连线）
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
-1
0
1
O
x
y
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
2
-2
-1
-3
不在
(2)点P(5，2) 该函数的图象上(填“在”或“不在”).
下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x 表示时间，y 表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
八.从实际问题的图象中读取信息
（2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
解：25-8=17(min)，小明在食堂吃早餐用了17min.
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
解：食堂离小明家0.6km，小明从家到食堂用了8min.
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
解：0.8-0.6=0.2(km)，食堂离图书馆0.2km；
28-25=3(min)，小明从食堂到图书馆用了3min.
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
（4）小明读报用了多长时间？
解：58-28=30(min)，小明读报用了30min.
（5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
8
25
28
58
68
x/min
0.8
0.6
y/km
O
解：图书馆离小明家0.8km，小明从图书馆回家用了68-58=10(min)，由此算出的平均速度是0.08km/min.
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？
(2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？
答：7时 和 12时.
答：在0时— 7时和12时— 24时比北京气温高；
在7时—12时比北京气温低.
如图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
根据图像回答下列问题.
（1）体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多少时间？
答：体育场离张强家2.5千米.
张强从家到体育场用15分钟.
下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家，图中x表示时间，y表示张强离家的距离.
（2）体育场离文具店多远？
（3）张强在文具店停留了多少时间？
（4）张强从文具店回家的平均速度是多少？
解：2.5-1.5=1（千米）,体育场离文具店1千米.
解：65-45=20（分）,张强在文具店停留了20分钟.
解:依题意可得
1.5÷[（100－65）÷60]
给出下列说法：①学校到景点的路程为55 km；②甲组在途中停留了5 min；③甲、乙两组同时到达景点；④相遇后，乙组的速度小于甲组的速度．根据图象信息，以上说法正确的有 ．
10
20
30
40
50
60
70
55
s/km
t/min
O
乙
甲
①
②
某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件y(个)与生产时间t(h)的函数关系如图所示.
(1)根据图象填空：①_____先完成一
天的生产任务；在生产过程中，____因
机器故障停止生产____h；
②当t＝ ________ 时，甲、乙生产的零件个数相等.
甲
甲
2
3或5.5
(2)谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数.
解： 甲在4至7h的生产速度最快，
∵ ，
∴他在这段时间内每小时生产零件10个.
一水库的水位在最近5 h内持续上涨，下表记录了这5 h内6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y表示水位高度．
　
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律？
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
九.函数表示方法的相互转化
t/h
y/m
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
解：可以看出，这6个点 ，且每小时水位 .
由此猜想，在这个时间段中水位可能是以同一速度均匀上升的.
在同一直线上
上升0.3m
5
3
O
5
（2）水位高度 y 是否为时间 t 的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
解：由于水位在最近5小时内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y 都有 的值与其对应，所以，y t 的函数.
函数解析式为： . 变量的取值范围是： . 它表示在这 小时内，水位匀速上升的速度为 ，这个函数可以近似地表示水位的变化规律.
唯一
是
y=0.3t+3
0≤t≤5
5
0.3m/h
t/h
y/m
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
3
O
5
其函数的图象如下：
5
A
B
（3）据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将达到多少m．
解：如果水位的变化规律不变，按上述函数预测，再持续2小时，水位的高度： .
此时函数图象（线段AB）向 延伸到对应的位置，这时水位高度约为 m.
5.1m
右
5.1
已知火车站托运行李的费用C（元）和托运行李的重量P（千克）（P为整数）的对应关系如表：
P 1 2 3 4 5 …
C 2 2.5 3 3.5 4 …
（1）已知小周的所要托运的行李重12千克，请问小周托运行李的费用为多少元？
（2）写出C与P之间的函数解析式.
（3）小李托运行李花了15元钱，请问小李的行李重多少千克？
7.5元
C=0.5P+1.5
27千克
如图，要做一个面积为12 m2的小花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．
（1）变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；
（2）能求出这个问题的函数解析式吗？
x
解：（1）y 是 x 的函数，自变量 x 的取
值范围是x＞0．
　（2）y =2（x +　 ）.　
十.利用函数表达式解答实际问题
（3）当 x 的值分别为1，2，3，4，5，6 时，请列表表示变量之间的对应关系；
（4）能画出函数的图象吗？
x/m 1 2 3 4 5 6
y/m 26 16 14 14 14.8 16
40
35
30
25
20
15
10
5
5
10
O
x
y
（3）
解：
（4）
用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数.
解：因为等边三角形的周长l是边长a的3倍，所以周长l与边长a的函数关系可表示为：l=3a（a＞0）.
a … 1 2 3 4 …
l … 3 6 9 12 …
描点、连线：
用描点法画函数l=3a的图象.
O
2
x
y
1
2
3
4
5
8
6
4
10
12
某种型号汽车油箱容量为40 L，每行驶100km耗油10L．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的 ，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程．
解：（1）由题意可知： ，
∴y与x之间的函数表达式：y=﹣0.1x+40．
（2）∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的 ,
∴当 ，则10=﹣0.1x+40．
∴x=300.
故该辆汽车最多行驶的路程是300km．
即y=﹣0.1x+40.
在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是____________．
y＝﹣6x+2
已知等腰三角形的面积为30cm2，设它的底边长为xcm，底边上的高为ycm.
(1)求底边上的高y随底边长x变化的函数解析式．并求自变量的取值范围．
(2)当底边长为10cm时,底边上的高是多少cm
解：
（x＞0）
(2)当x=10时，y=60÷10=6，
即当底边长为10cm时,底边上的高是6cm.
(1)
测得一弹簧的长度L/cm与悬挂物的质量x/kg有下面一组对应值：
试根据表中各对应值解答下列问题.
(1)用代数式表示悬挂质量为x kg的物体时的弹簧长度L；
(2)求所挂物体质量为10 kg时，弹簧长度是多少？
(3)若测得弹簧长度为19 cm，判断所挂物体质量是多少kg ？
悬挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 …
弹簧长度L/cm 12 12.5 13 13.5 14 …
解：(1)L与x之间的关系式为L＝0.5x＋12；
(2)当x＝10时，L＝0.5×10＋12＝17.
∴当挂物体的质量为10 kg时，弹簧的长度是17 cm.
(3)当L＝19 cm，则19＝0.5x＋12，
∴所挂物体质量是14 kg.
解得：x＝14.
某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，则按每吨1.9元收费，如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元.
(1)某户3月份用水18吨，应收水费________元.某户4月份用水25吨，应收水费_______元.(2)分别写出每月所收水费y元与用水量x的关系式.(3)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？
52
34.2
解：(2)当0≤x≤20时，y＝1.9x；
当x＞20时，y＝1.9×20＋(x－20)×2.8＝2.8x－18.
(3)∵5月份水费平均为每吨2.2元，用水量如果未超过20吨，
按每吨1.9元收费.∴用水量超过了20吨.
1.9×20＋(x－20)×2.8＝2.2x，
2.8x－18＝2.2x，
解得x＝30.
答：该户5月份用水30吨.
一条小船沿直线向码头匀速前进.在0min ，2min，4min，6min时，测得小船与码头的距离分别为200m，150m，100m，50m.
（1）小船与码头的距离s是时间t的函数吗？
是
（2）如果是，写出函数的解析式，并画出函数图象.
函数解析式为： .
列表：
t/min 0 2 4 6 ……
s/m 200 150 100 50 ……
s = 200-25t
船速度为
（200-150）÷2=25m/min，
t/min
s/m
O
1
2
3
4
5
6
7
50
100
150
200
画图：
0
200
50
1
6
2
3
4
5
100
150
已知y＝(k＋1)x＋k－1是正比例函数，求k的值.
解：根据题意得：k＋1≠0且k－1＝0，
解得：k＝1.
提示：函数解析式可转化为y=kx（k是常数，k ≠0）的形式.
十一.利用正比例函数的概念求字母的值
（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________.
（2）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=_______.
（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=________.
k≠1
2
4
求出下列各题中字母的值.
解:（1）设正比例函数解析式是 y=kx，
把 x =-4, y =2 代入上式，得
2 = -4k，
（2）当 x=6 时, y = -3.
若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2.
（1）求正比例函数的解析式；
（2）求当x=6时，函数y的值.
设
代
求
写
解得 ，
∴所求的正比例函数解析式是 ；
十二.利用待定系数法求正比例函数的解析式
待定系数法
若y关于x成正比例函数，当x=2时，y=-6.
（1）求出y与x的关系式；
（2）当x=9时，求出对应的函数值y.
解：（1）设该正比例函数解析式为y=kx.
把x=2,y=-6代入函数解析式得：-6=2k，
解得k=-3，
所以y与x的关系式，即是正比例函数：y=-3x；
（2）把x=9代入解析式得：y=-3×9=-27.
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：
（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？
（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？
（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？
十三.利用正比例函数解决实际问题
(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数点后一位)？
解：1318÷300≈4.4（小时）.
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？
解： y=300t（0≤t≤4.4）.
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经过了距始发站1100千米的南京南站？
解：y=300×2.5=750（千米）, 这时列车尚未到达距始发站1100千米的南京南站.
2016年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？
(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？
十四.利用正比例函数解答实际问题
解: (1)这只燕鸥大约平均每天飞行的路程为
25600÷128=200（千米）
答：这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米.
(2)假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为
y =200x (0≤x≤128).
(3)这只燕鸥飞行一个半月的行程，即 ：x=45，
所以y=200×45=9000（千米）
答：这只燕鸥飞行一个半月的行程大约是9000千米.
列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.
解：y=4x, 是正比例函数.
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元．
解：y=12x, 是正比例函数.
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3.
解：y=3x, 是正比例函数.
(1)若 是正比例函数，则m= ；
(2)若 是正比例函数，则m= .
-2
-1
m-2≠0，
|m|-1=1，
∴ m=-2.
m-1≠0，
m2-1=0，
∴ m=-1.
求下列字母的值:
已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/ L ．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？
即 .
解：
（1）y=5×15x÷100，
（2）当x=220
时，
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
.
y是x的正比例函数.
已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7，求y与x之间的函数关系式.
解：依题意，设y-3与x之间的函数关系式为y-3=kx，
∵x=4时，y=7，
∴7-3=4k，解得k=1.
∴y-3=x，即y=x+3.
（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围
是________.
已知正比例函数y=(k-3)x.
k＞3
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k-3>0，解得k>3.
十五.利用正比例函数的定义求字母的值
（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.
解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k-3)·2，解得k=5.
=5
（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_______.
已知正比例函数y=(k+5)x.
k<-5
解析：因为函数图象经过第二、四象限，所以k+5<0，解得k<-5.
（2）若函数图象经过点（3，-9），则k_____.
解析：将坐标（3，-9）带入函数解析式中，得-9=(k+5)·3，
解得k=-8.
=-8
已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解：∵正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,
∴4=m·m，解得m=±2.
又∵y的值随着x值的增大而减小，
∴m<0，故m=－2
十六.利用正比例函数的性质求字母的值
已知正比例函数y=kx的图象经过点（k，25），且y的值随着x值的增大而增大，求k的值.
解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（k，25）,
∴25=k·k，解得k=±5.
又∵y的值随着x值的增大而增大，
∴k>0，故k=5
解： ∵当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1;
∴
解得k=2,b=3.
一次函数 ，当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1.求k和b的值.
十七.利用一次函数一般式求字母的值
已知一次函数y=kx-b，当x=3时，y=8；当x=-3时，y=-10．
求k和b的值．
解：∵当x=3时，y=8；当x=-3时，y=-10;
∴
解得k=3，b=1.
已知函数y=(m-2)x+4-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数
解：（1）由题意可得m-2≠0，
解得m≠2.
即m≠2时，这个函数是一次函数.
十八.利用一次函数的概念求字母的值
注意：利用定义求一次函数
解析式时，必须保证：
（1）k ≠ 0；
（2）自变量x的指数是“1”
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数
（2）由题意可得m-2≠0，4-m2=0，
解得m=-2.
即m=-2时，这个函数是正比例函数.
已知函数y=2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
解：（1）由题意得： ,因此 m=±1.
（2）由题意得：m+1=0 ,
解得m= -1.
如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm.
(1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？
(2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.
解：(1)y=15-x，是一次函数.
(2)由题意可得x=2（15-x）.
解得x=10，所以y=15-x=5.
∴长方形的面积为10×5=50(cm2).
根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）
（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；
（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；
小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温．
解：（1）根据题意得：y＝m﹣6x；
（2）将x＝7，y＝﹣26代入y＝m﹣6x，得﹣26＝m﹣42，
∴m＝16∴当时地面气温为16℃.
∵x＝12＞11，
∴y＝16﹣6×11＝﹣50（℃）.
假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为﹣50℃．
已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
∴ y＝3x－9，
y是x的一次函数．
y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
解 ：(1)设y＝k(x－3),
把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3),
解得 k＝3，
(2)当x＝2.5时，
∴y＝3(x－3),
我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于5000元的部分不收税；月收入超过5000元但低于8000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入5360元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（5360-5000）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于5000元而又小于8000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的函数解析式.
解:y=0.03×(x-5000) (5000(2)某人月收入为5660元，他应缴所得税多少元？
解:当x=5660时，y=0.03×(5660-5000)=19.8（元）.
解:设此人本月工资是x元，则 19.2=0.03×(x-5000),
解得 x=5640.
答:此人本月工资是5640元.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
解: (1)∵BC边上的高AD也是BC边上的中线， ∴BD= .
即
∴h是x的一次函数，且
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
A
B
C
D
（2）当 时，求x的值.
（3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？
解:
（2）当 ，有 .
解得x=2.
（3）∵
即 ∴S不是x的一次函数.
O
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-2x-1；（2） y=0.5x+1.
x 0 1
y=-2x-1
y=0.5x+1
-1
-3
1
y=-2x-1
1.5
y=0.5x+1
也可以先画直线 y=-2x与 y=0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=-2x-1与 y=0.5x+1.
十九.画一次函数的图象
在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出三个函数的图象有什么关系.
y=x-1 y=x y=x+1
解：列表：
描点并连线：
x
0
1
y=x-1
y=x
y=x+1
-1
0
0
1
1
2
-3
y=x-1
y=x+1
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y = x
-3
-2
2
1
1
-1
3
3
-1
三个函数的图象互相平行.
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象上的两点，下列判断中，正确的是( )
A.y1＞y2 C.当x1＜x2时，y1＜y2
B. y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2
D
提示：反过来也成立：y越大，x就越小．
二十.利用一次函数的性质比较大小
已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y 随x的增大而增大；
（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限.
解：(1)由题意得1-2m>0，解得
(2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即
(3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得
二十一.利用一次函数的性质求字母的值
已知一次函数y=(2m+2)x+(3-n),根据下列条件,请你求出m,n的取值范围.
(1)y随x的增大而增大;
(2)直线与y轴交点在x轴下方;
(3)图象经过第二、三、四象限.
解：(1)由y随x的增大而增大可知2m+2>0,所以当m>-1时,y随x的增大而增大;
(2)由直线与y轴交点在x轴下方可知3-n<0,所以当n>3时,直线与y轴交点在x轴下方,且有2m+2≠0,即m≠-1,所以m≠-1,n>3.
(3)图象经过第二、三、四象限,由一次函数图象分布情况可知 解得
∴当m<-1,n>3时图象经过第二、三、四象限.
D
y
x
O
B
已知函数 y = kx的图象在二、四象限，那么函数y = kx-k的图象可能是（ ）
B
x
O
C
y
x
O
y
y
x
O
A
解析：由函数 y = kx的图象在二、四象限，可知k<0，所以
-k>0，所以函数y = kx-k的图象经过第一、二、四象限，故选B.
已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 .
解: 由题意得 ，解得
又∵m为整数,
∴m＝2.
一次函数图像经过点(9,0)和点(24,20)，写出函数解析式.
解方程组得：
这个一次函数的解析式为 .
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
把点（9，0）与（24，20）分别代入y=kx+b，得：
二十二.已知两点利用待定系数法求一次函数的解析式
已知一次函数的图象过点（3，5）与（-3，-13），求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0) .
解方程组得:
把点（3，5）与（-3，-13）分别代入，得：
∴这个一次函数的解析式为
y=3x-4.
若一次函数的图象经过点 A(2,0)且与直线y=-x+3平行，求其解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0) .
k = -1，
2k + b = 0，
｛
由题意得
k = -1，
b = 2.
｛
解得
∴y=-x+2.
二十三.已知一点利用待定系数法求一次函数的解析式
解：设直线l为y=kx+b,
　　∵l与直线y=-2x平行，∴k= -2.
又∵直线过点（0，2），
∴2=-2×0+b,
∴直线l的解析式为y=-2x+2.
已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式.
∴b=2,
已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式.
分析：一次函数y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是（ ，0）.由题意可列出关于k，b的方程.
y
x
O
2
注意：此题有两种情况.
二十四.几何面积和待定系数法求一次函数的解析式
解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），
∴b=2.
∵一次函数的图象与x轴的交点是( ，0)，则
解得k=1或-1.
故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为(3，4)，并且OB=5.
(1)你能求出这两个函数的解析式吗？
(2)△AOB的面积是多少呢？
分析：由OB=5可知点B的坐标为(0,-5).y=k1x的图象过点A(3，4)，y=k2x+b的图象过点
A(3，4)，B(0,-5)，代入解方程(组)即可.
4
2
-2
-4
4
x
y
O
-4
-2
2
A
(3，4)
B
解：（1）由题意可知，B点的坐标是（0，-5）.
∵一次函数y=k2x+b的图象过点（0，-5），（3,4），
∴
∵正比例函数y=k1x的图象过点（3,4），
∴ 因此
（2）S△AOB=5×3÷2=7.5.
因此y=3x-5.
4
2
-2
-4
4
x
y
O
-4
-2
2
A
(3，4)
B
解得
若一直线与另一直线y=-3x+2交于y轴同一点，且过（2，-6），
你能求出这条直线的解析式吗？
答案：y=-4x+2 .
分析：直线y=-3x+2与y轴的交点为(0,2)，于是得知该直线过点(0,2)，(2，-6)，再用待定系数法求解即可.
已知一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是－ 3≤x≤ 6，相应函数值的范围是－ 5≤y≤ － 2 ，求这个函数的解析式.
分析：(1)当－ 3≤x≤ 6时，－ 5≤y≤ － 2，实质是给出了两组自变量及对应的函数值；
(2)由于不知道函数的增减性，此题需分两种情况讨论.
答案： .
如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距离称为指距.某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据：
①求出h与d之间的函数解析式（不要求写出自变量d的取值范围）.
②某人身高为196 cm，一般情况下他的指距应是多少？
二十五.一次函数解答实际问题
指距d(cm) 20 21 22 23
身高h(cm) 160 169 178 187
解：（1）设h与d之间的函数关系式为：
h=kd+b．
把d=20，h=160，d=21，h=169，
分别代入得，
20k+b＝160，
21k+b＝169.
解得k=9，b=-20，
即h=9d-20.
（2）当h=196时，196=9d-20，解得d=24（cm）．
小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y（元）与存钱月数 x（月）之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题：
（1）求出y关于x的函数解析式.
（2）根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元？
40
80
120
y/元
x/月
1
2
3
4
5
o
解: (1)设函数解析式为y=kx＋b，
由图可知图象过(0，40),(4，120)
∴这个函数的解析式为y=20x+40.
(2)当y=200时，20x+40=200, 解得x=8,
∴小明经过8个月才能存够200元.
解得
∴
40
80
120
y/元
x/月
1
2
3
4
5
o
购买种子 数量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额/元 …
“黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买
2 kg 以上的种子，超过2 kg 部分的种子的价格打8 折.
（1）填写下表：
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
二十六.分段函数的解析式与图象
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.
分析：从题目可知，种子的价格与 有关.
若购买种子量为x＞2时，种子价格y为：
.
若购买种子量为0≤x≤2时，种子价格y为： .
购买种子量
y=5x
y=4（x-2）+10=4x+2
解：设购买量为x千克，付款金额为y元.
当x＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2.
当0≤x≤2时，y=5x；
叫做分段函数.
注意：1.它是一个函数；
2.要写明自变量取值范围.
探究新知
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.
y=5x(0≤x≤2)
y=4x+2(x>2)
y
x
O
1
2
10
3
14
的函数图象为:
一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—
4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式，并画出函数图象.
解：(1)由题意得
当0≤t≤2时，T=20；
当2函数解析式为：
T=20(0≤t≤2)
T=5t+10(220
10
40
T
t
0
1
2
30
4
3
(2)函数图像为：
温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.
水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度度量为32 ℉.已知摄氏温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？
用C,F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，因此可以设
C = kF + b，
解：
解这个方程组，得
因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为
由已知条件，得
为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过8立方米部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.
（1）求出y关于x的函数解析式；
解：y关于x的函数解析式为：
(1+0.3)x =1.3x， (0≤x≤8)
(1.5+1.2)(x-8)+1.3×8=2.7x-11.2. (x＞8)
y=
当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8.
∵1.3×8=10.4<26.6，∴该用户用水量超过8立方米.
∴2.7x-11.2=26.6，解得x=14.
答：应缴水费为15.8元.
答：该户这月用水量为14立方米.
（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费；
解:
（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.
解:
春、秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为“霜冻”．由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．
某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3小时，即遭受霜冻灾害，需采取预防措施．右图是气象台某天发布的该地区气象信息，预报了次日0时～8时气温随时间变化情况，其中0时～5时，5时～8时的图象分别满足一次函数关系．请你
根据图中信息，针对这种植物判断次日是否
需要采取防霜冻措施，并说明理由．
x/时
y/ oC
解：根据图象可知：设0时～5时的一次函数关系式为y1=k1x+b1，经过点（0,3），（5，-3），b1=3， 5k1+b1=-3.
解得k1=-1.2， b1=3.
当y1、y2分别为0时，
而|x2-x1|= ＞3，
∴应采取防霜冻措施.
设5时～8时的一次函数关系式为y2=k2x+b2，
经过点（5，-3），（8,5），5k2+b2=-3 ，
8k2+b2=5.
∴y1=-1.2x+3.
∴ .
解得 ， .
x/时
y/ oC
A
M
E
Q
B
N
C
F