广东省佛山市高明区第一高中2022届高三上学期12月第三次月考数学试题（Word版含答案）

高明区第一高中2022届高三上学期12月第三次月考
数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D.
2．已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D.
3．下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．若“”为假命题，则与均为假命题
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，，则，
D. “”的必要不充分条件是“”
4．在△中，点在上，满足，若，，则（ ）
A． B． C． D.
5．设是公差为正数的等差数列，若，，则的值为（ ）
A．120 B．105 C．90 D. 75
6. 若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
7. 奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
8. 设函数为自然对数的底数），当时, 恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10. 在△中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．△中的面积为
11．如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点．则下列结论正确的是（ ）
A．直线与平面垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．三棱锥的体积等于
12．已知为自然对数的底数，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则下列结论不正确的是（ ）
A．存在，使得 B．存在，使得
C. 的最大值为 D．的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量与的夹角为45°，且，，则____________.
14. 已知为数列的前项和，若，则____________.
15. 已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则=_________, 的最小值为________。
16. 在正三棱锥内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (10分) 已知等差数列和等比数列满足，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
18. (12分) 锐角的内角的对边分别为，，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
19. (12分) 为了了解某市高三学生的身体情况，某健康研究协会对该市高三学生组织了两次体测，其中第一次体测的成绩（满分：100分）的频率分布直方图如下图所示，第二次体测的成绩．
（1）试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低；
（2）若该市有高三学生20000人，记体测成绩在70分以上的同学的身体素质为优秀，假设这20000人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数；
（3）以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取4人，记这4人成绩在的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，
，
.
20. (12分) 如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小等于120°.
（1）在上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21. (12分) 已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.
（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由.
22. (12分) 已知函数，为常数）．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）设．
（ⅰ）若为偶数，当时，函数在区间上有极值点，求实数的取值范围；
（ⅱ）若为奇数，不等式在上恒成立，求实数的最小值．
2021－2022学年度高三月考（三）
数学参考答案及说明
选择题
1~8: BDDA BADD 9~12: AD BC BD ABD
8. 解：，当时恒成立，
，
当时，即时，，
设，，
，
令，解得，
当，时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），
当时，即时，，
由，令，解得或，
当时，，函数单调性递增，
当或时，，函数单调递减，且时，；
，，当时，恒成立，
综上所述的取值范围为，，故最大值为，故选：．
12 解：由题意得（），
设（），则 （）．
当时，则单调递增，则不可能有极大值点
（注：若有极值也是极小值），不符合要求；
当时，若存在极大值，此时有解，
即有两个不等正根，则有，
由此可得，且，（设）
从而可得的极大值点为，
因为，
所以，从而在上单调增，
在上单调减，当时取得极大值；由此A、B都不正确；
又由得，
因为，
令，，
则原命题转化为在上恒成立；
求导得，所以在上单调增，
故，从而得，所以的最大值为，
所以C选项正确，D选项不正确；
综上可知，选ABD．
填空题
13. 14. 15. 16.
15. 解：∵，∴，
∴.
又， ∴ ，
∴.
又∵在锐角中, ,∴，
当且仅当时取等号，检验可取，∴
16. 解：如图，设底面的中心为，面于点，的中点为，
则，为正三棱锥的高．
在直角△中，有，…①
又由射影定理可得，即，
代入①式得，
化简得，
则正三棱锥的体积为，
设，则，
则易得当时，取得极小值，
所以，当时，正三棱锥的体积取得最小值．
解答题
17. 解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，可得，
则；
（2）由(1)
即是数列中的第项
设数列的前n项和为，数列的前n项和为，
因为=
所以数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，
所以 =
18. 解：（1）因为，所以，
则，即，
又，
所以，解得，
又为锐角，所以.
（2）因为，所以由，可得，
由，为锐角，可得，可得，因此，
又，所以，即
所以.
19.解：（1）由频率分布直方图得第一次体测成绩的平均分为：
.
第二次体测的成绩,, 第二次体测成绩的平均分为65．
，第一次体测成绩平均分高于第二次体测成绩平均分．
（2）,，
估计第二次体测中身体素质为优秀的人数为．
（3）依题意，， 的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3 4
．.....12分
20.
解：（1）在线段上存在点满足题意，且为的中点.
如图，连接，，，
∵四边形是矩形，∴.
又，分别是，的中点，
∴，.
∵为等腰直角三角形，，
为的中点，
∴.
∵，平面，平面，
∴平面.
又平面，
∴平面平面.
故上存在中点，使得平面平面.
（2）解：由（1）可知就是二面角的平面角，∴.
以为坐标原点，，的方向分别为，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由为等腰直角三角形，，得，.
可得，，，，
∴，，，
设是平面的法向量，
则即
可取.
设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
21解：（1）由题意得，所以，
所以椭圆C的方程为.
（2）（ⅰ）证明：设，因为在椭圆上，所以.
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以直线的方程为.所以点的坐标为.
所以直线的斜率为.
所以直线的斜率之积为：.
（ⅱ）三点共线.
设直线斜率为，易得.
由（ⅰ）可知直线斜率为，所以直线的方程为.
联立可得.
解得点的纵坐标为，所以点的坐标为.
所以，直线的斜率为，直线的斜率为.
因为直线的斜率等于直线的斜率，所以三点共线.
22. 解：（1）函数，所，
则，当时，，故切点为，
由点斜式可得函数在处的切线方程为，即；
（2）当为偶数时，，
则，令，则，
因为且，所以在上恒成立，
则在上单调递减，其中，，
因为在有极值点，所以且，即，
当时，存在，使得，
令，即，在上单调递增；
令，即，在，上单调递减，
所以在有极值点，故实数的取值范围为．
当为奇数时，在，上恒成立，
当时，；当时，恒成立，
又，令，则，，所以，因为，
①当时，，所以恒成立，所以在，上单调递减，所以，故符合题意；
②当时，则在上恒成立，所以当时，单调递增，，与题意不符合；
③当时，，，则，所以在上存在零点，
设为在上的最小零点，则时，，因此在上单调递增，所以，不符合题意．综上所述，的最小值为．