数列练习（含答案）

数列
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a5＋a6的值为(　　)
A．91 B．152
C．218 D．279
解析：a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152.
答案：B
2．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：解法一：n＝1时，a1＝，
∴＝a＋b.①
当n＝2时，a2＝，∴＋＝4a＋2b.②
由①②得a＝2，b＝－，∴ab＝－1.
解法二：a1＝，Sn＝＝2n2－n，
又Sn＝an2＋bn，∴a＝2，b＝－，
∴ab＝－1.
答案：B
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
解析：因为an＋1＝an＋ln，
从而有an＝an－1＋ln，
an－1＝an－2＋ln，
? ?
a2＝a1＋ln2，
累加得an＋1＝a1＋ln
＝2＋ln(n＋1)，
∴an＝2＋lnn，故应选A.
答案：A
4．在数列{an}中，a1＝1，当n∈N*时，an＋1－an＝n，则a100的值为(　　)
A．5050　　　　　　　　　 B．5051
C．4950 D．4951
解析：由题意得a100＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a100－a99)＝1＋1＋2＋…＋99＝1＋＝4951，选D.
答案：D
5．(2011·南昌)如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2)，则此数列的第12项为(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵{an}满足＝?－＝－(n≥2)，∴{}是以为首项，为公差的等差数列，＝＋11×＝6，a12＝，选择A.
答案：A
6．(2011·湖南示范性高中)数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn(n≥1)，则an＝____________.
解析：∵3an＋1＝Sn，∴3an＝Sn－1，两式相减得，3(an＋1－an)＝Sn－Sn－1＝an(n≥2)?＝?n≥2时，数列{an}是以为公比，以a2为首项的等比数列，所以n≥2时，an＝a2n－2，令n＝1，由3an＋1＝Sn，得3a2＝a1，又a1＝1?a2＝，所以an＝n－2(n≥2)，
故an＝
答案：
7.已知函数f(x)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.
解析：当n为奇数时，an＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，
当n为偶数时，an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，
∴an＝(－1)n(2n＋1)，
∴a1＋a2＋…＋a100＝－3＋5－7＋…－199＋201
＝2×50＝100.
答案：100
8．已知数列{an}的第n项an与前n项和Sn之间满足关系Sn＝2－3an.
求：(1)a1；
(2)an与an－1(n≥2)的递推关系；
(3)Sn与Sn－1(n≥2)的递推关系．
解析：(1)令n＝1，则a1＝2－3a1，∴a1＝.
(2)当n≥2时，Sn－Sn－1＝2－3an－(2－3an－1)
＝3an－1－3an＝an
∴4an＝3an－1即an＝an－1(n≥2)．
(3)当n≥2时，3an＝3(Sn－Sn－1)＝2－Sn
∴4Sn－3Sn－1＝2(n≥2)．
等差数列
9．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－an2＋an－1＝0(n≥2)，则S2010－2010＝(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．－2008
C．2010 D．4018
解析：∵an2＝an＋1＋an－1＝2an，∴an＝2，S2010－2010＝2×2010－2010＝2010，故选C.
答案：C
10．设数列{an}是等差数列，且a4＝－4，a9＝4，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S5C．S7＝S5 D．S7＝S6
解析：因为a4＝－4，a9＝4，所以a4＋a9＝0，即a6＋a7＝0，所以S7＝S5＋a6＋a7＝S5.
答案：C
11．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：解法一：由题意设An＝(7n＋45)nk，Bn＝(n＋3)nk，则an＝An－An－1＝14nk＋38k，bn＝Bn－Bn－1＝2nk＋2k，
∴＝＝7＋，要使为整数，则正整数n＝1,2,3,5,11.
解法二：＝＝＝
＝＝＝7＋.
故n＝1,2,3,5,11.
答案：B
12．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为(　　)
A．130 B．170
C．210 D．260
解析：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴S3m－S2m＝Sm＋(S2m－Sm－Sm)×2＝30＋(100－30－30)×2＝110，
∴S3m＝S2m＋110＝100＋110＝210.
答案：C
13．(2010·安徽)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)
A．15 B．16
C．49 D．64
解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15.
答案：A
14．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取得最小值时，n等于(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，∴d＝＝2，∴a6＝－1<0，a7＝1>0，故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.
答案：A
15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝10，S10＝－5，则公差为________(用数字作答)．
解析：考察等差数列的前n项和公式
解法一：由基本公式即
得d＝－1.
解法二：A1＝S5＝10，A2＝S10－S5＝－15，
25d＝A2－A1＝－25，d＝－1.
答案：－1
16．(2011·重庆高三质检)等差数列{an}中，a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝150，则a18－2a14的值是__________．
解析：设数列{an}的公差为d，由a1＋a4＋a10＋a16＋a19＝a1＋a1＋3d＋a1＋9d＋a1＋15d＋a1＋18d＝150，即得a1＋9d＝30，
则a18－2a14＝a1＋17d－2(a1＋13d)＝－a1－9d＝－30.
答案：－30
17．(2010·辽宁)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
解析：由S3＝3，S6＝24，得，解得，所以a9＝a1＋8d＝15.
答案：15
18．(2010·浙江)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．
解析：S5S6＋15＝0?(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即30a12＋135a1d＋150d2＋15＝0，即2a12＋9da1＋10d2＋1＝0，由于a1，d为实数，故(9d)2－4×2×(10d2＋1)≥0，即d2≥8，故d≥2或d≤－2.
答案：d≤－2或d≥2
19．在数列{an}中，a1＝，并且对于任意n∈N*，且n>1，都有an·an－1＝an－1－an成立，令bn＝(n∈N*)．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn，并证明Tn<－.
解析：(1)当n＝1时，b1＝＝3，
当n≥2时，bn－bn－1＝－＝＝1，
∴数列{bn}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴数列{bn}的通项公式为bn＝n＋2.
(2)∵＝＝＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋
＝

＝＝，
∵>＝，
∴－<－，∴Tn<－.
20．已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)．
(1)求q的值；
(2)若a1与a5的等差中项为18，bn满足an＝2log2bn，求数列{bn}前n项和．
解析：(1)解法一：当n＝1时，a1＝S1＝p－2＋q，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn2－2n＋q－p(n－1)2＋2(n－1)－q＝2pn－p－2.
∵{an}是等差数列，∴p－2＋q＝2p－p－2，∴q＝0.
解法二：当n＝1时，a1＝S1＝p－2＋q，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn2－2n＋q－p(n－1)2＋2(n－1)－q＝2pn－p－2.
当n≥2时，an－an－1＝2pn－p－2－[2p(n－1)－p－2]＝2p.
a2＝p－2＋q＋2p＝3p－2＋q.
又a2＝2p·2－p－2＝3p－2，
∴3p－2＋q＝3p－2，得q＝0.
(2)∵a3＝，∴a3＝18.又a3＝6p－p－2，
∴6p－p－2＝18，∴p＝4.∴an＝8n－6.
又an＝2log2bn得bn＝24n－3.
∴b1＝2，＝＝24＝16.
即{bn}是等比数列．
∴数列{bn}的前n项和Tn＝＝(16n－1)．
21．已知等差数列{an}中，公差d>0，前n项和为Sn，且满足a2·a3＝45，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)∵等差数列{an}中，公差d>0，
∴?
??an＝4n－3.
(2)bn＝＝＝，
令c＝－，即得bn＝2n，
∵bn＋1－bn＝2(n∈N*)．
∴数列{bn}为等差数列，
∴存在一个非零常数c＝－，使{bn}也为等差数列．
　等比数列
22．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．4
C. D.
解析：∵a1＝，a3＝a2q，a4＝a2q2，
∴＝1＋＋q＋q2＝1＋＋2＋4＝.
答案：C
23．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是(　　)
A．T10 B．T13
C．T17 D．T25
解析：a3a6a18＝a13q2＋5＋17＝(a1q8)3＝a93，即a9为定值，所以下标和为18的两项积为定值，可知T17为定值．
答案：C
24．在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比 q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当＋＋…＋最大时，n的值等于(　　)
A．8 B．9
C．8或9 D．17
解析：∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a32＋2a3a5＋a52＝25，
又an>0，∴a3＋a5＝5，
又q∈(0,1)，∴a3>a5，
而a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1，
∴q＝，a1＝16，an＝16×n－1＝25－n，
bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
∴Sn＝，∴＝，
∴当n≤8时，>0；当n＝9时，＝0；当n>9时，<0，
∴当n＝8或9时，＋＋…＋最大．
答案：C
25．已知2，a，b，c,4成等比数列，则实数b等于(　　)
A．2 B．－2
C．± D．8
解析：∵2，a，b，c,4成等比数列，
∴b2＝2×4＝8，∴b＝±2，
∵2，b,4同号，∴b＝2.
答案：A
26．等比数列{an}是递减数列，其前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8·a15＝(　　)
A．±2 B．±4
C．2 D．4
解析：∵{an}是递减数列，则a1>0,01，即q必为正值，∴{an}的各项都同号，又T13＝4T9，
∴a10a11a12a13＝4＝(a8·a15)2，∴a8·a15＝2.
答案：C
27．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于(　　)
A．2 B.
C. D．3
解析：设其公比为q.
由已知可得＝＝＝1＋q3＝3，
∴q3＝2.＝＝＝.
另解：可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
则可设S6＝3，S3＝1，则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)，解得S9＝7，故＝.
答案：B
28．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S6＝9，则a13＋a14＋a15＝__________.
解析：∵S3＝3，S6－S3＝6，…，S3n－S3n－3…成等比数列，故a13＋a14＋a15＝3·24＝48.
答案：48
29．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
解析：由S4＝，a4＝a1·q3，
则＝＝15.
答案：15
30．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
解析：由题意：等比数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知：四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q＝－，∴6q＝－9.
答案：－9
31．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，
则a2＝a1q，a3＝a1q2.
由条件知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)
∵a1≠0，
∴4(1＋q)＝4＋3q＋3q2，即3q2－q＝0.
又q≠0，∴q＝.
∴q＝1或－.