苏科版数学八年级上册2.4.2 角的轴对称性 同步训练
一、单选题
1．（2021八上·河西期中）△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．BD = DC B．BE⊥AC
C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等
2．（2021八上·鲁甸期中）如图，在 中， 平分 交 于点D， ，若点P是 上的动点，则线段 的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．5
3．（2021八上·罗庄期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=14cm，BC=16cm，则DE的长度为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．（2021八上·惠城月考）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ）
A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
5．（2021八上·古冶期中）如图，已知 ABC的周长是34，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则 ABC的面积是（ ）
A．17 B．34 C．38 D．68
6．（2021八下·金寨期末）如图， ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．2 B．3.5 C．3 D．2.5
7．（2021八上·温州期中）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，点E，F分别在BA，BC上，且满足DE=DF．若∠BED=140°，则∠BFD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③
9．（2021八上·铁西期中）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中：①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021八上·南通月考）如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2020八上·邹城期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28 ，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE= cm．
12．（2021八上·肥城期中）如图，已知 的面积是20， ， 分别平分 和 ， 于D，且 ，则 的周长是 ．
13．（2020八上·江苏月考）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有 个.
14．（2021八上·鲁甸期中）如图，在 中， 是 的平分线， 于点E，已知 ，则 的值为 ．
15．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
16．（2018八上·柘城期末）如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= .
17．（2020八上·平邑期末）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 ．
18．（2018八上·丽水期中）如图， 于 ， 于 ，若 ，则下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④ 中 正确的是 .
三、解答题
19．（2021八上·防城期中）请在△ABC内部找到一个点P，使点P到AB、BC的距离相等，且PB=PC。(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
20．（2021八上·无棣期中）如图，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA于点C，AD⊥OB于点D，求证：EA=EB．
21．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F.求证：CE = CF.
22．（2021八上·津南期中）如图， ，M是BC的中点，DM平分 ，求证：AM平分 ．
23．（2020八上·庐阳月考）在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；
24．（2019八上·越秀期中）如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
25．（2021八上·临沭期中）如图，在 中，点D是BC边上一点，连接AD．
（1）若点D是BC的中点，则 ；
（2）若AD是 的角平分线，求证 ；
（3）若点D是BC的中点，且AD是 的角平分线，请判断 的形状及AD与BC的位置关系，并说明理由，
26．（2021八上·徐闻期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
27．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
（1）线段BC的长；
（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请补充图形，并用含a的代数式表示△ABC的面积．
28．（2021八上·鹿城期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F.
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝ BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 是 的角平分线，
点 到边 的距离相等，
同理可得：点 到边 的距离相等，
点 到 三边的距离都相等，
因为不能确定 的形状，所以选项 均不一定符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质可得答案。
2．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，
∵垂线段最短，
∴当P与E重合时DP最短，
∴线段 的最小值即DE的长度，
∵BD平分 交 于点D，AD⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=DA=3．
故答案为：B．
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，当P与E重合时DP最短，可知线段 的最小值即DE的长度，根据角平分线的性质即可求解.
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过点D作DF⊥BC于点F，如图
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB
∴DE=DF
∴
故答案为：B
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得DE=DF，再利用，将数据代入计算即可。
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是三个角的角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△AOC
＝ ·AB·OE： ·BC·OF： ·AC·OD
＝AB：BC：AC
＝8：12：10
＝4：6：5，
故答案为：C．
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形的高是相等的，底分别是8、10、12，所以面积之比就是4：6：5。
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于 ， 于 ，连接 ，
， 分别平分 和 ， ， ， ，
， ，
又∵OD＝4，
∴ ，
∴
，
又∵ ，
∴
，
故答案为：D．
【分析】过点 作 于 ， 于 ，连接 ，根据角平分线求出 ， ，根据，即可求出答案。
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝ ＝ ＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵S△ABC＝ AC BC＝ AC CD＋ AB DE，即 ×3×4＝ ×3CD＋ ×5CD，
解得CD＝1.5，
∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出BC=4，再求出DE=DC，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥BC于点M，DG⊥AB于点G，
∴∠EGD=∠FMD=90°，
∵BP平分∠ABC，
∴DG=DM，
在Rt△EGD和△FMD中，
∴Rt△EGD≌△FMD（HL）
∴∠DEG=∠BFD
∵∠BED+∠DEG=140°，
∴∠DEG=180°-140°=40°，
∴∠BFD=40°.
故答案为：A.
【分析】过点D作DM⊥BC于点M，DG⊥AB于点G，利用垂直的定义可证得∠EGD=∠FMD=90°，利用角平分线的性质可知DG=DM；利用HL证明Rt△EGD≌△FMD，利用全等三角形的性质可得到∠DEG=∠BFD；然后利用补角的性质可求出∠BFD的度数.
8．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AP，
∵PR=PS，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴△APR≌△APS（HL）
∴AS=AR，①正确．
∵AQ=PQ
∴∠BAP=∠QAP=∠QPA
∴QP∥AR，②正确．
BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立．
故选C．
【分析】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证△APR≌△APS（HL），可证得AS=AR，QP∥AR成立．
9．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；三角形的综合
【解析】【解答】如图，作PD⊥AC于D．
∵∠ACF、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ABC的角平分线上，
∴BP平分∠ABC，故①符合题意；
∵PM⊥BE，PN⊥BF，∠ABC+∠BMP+∠MPN+∠PNC=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△MPA和Rt△DPA中， ，
∴△MPA≌△DPA，
∴∠MPA=∠DPA，
同理：△DPC≌△NPC，
∴∠DPC=∠NPC，
∴∠APC=∠DPA+∠DPC= （∠MPD+∠NPD）= ∠MPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，故②符合题意；
∵∠ACF是△ABC的外角，PC平分∠ACF，
∴∠ABC=2∠PCF-∠CAB，
∵∠PCF是△PBC的外角，BP平分∠ABC，
∴∠PCF= ∠ABC+∠CPB，
∴∠ABC=2∠PCF-2∠CPB，
∴∠CAB=2∠CPB，故③符合题意；
∵△MPA≌△DPA，△DPC≌△NPC，
∴S△MPA=S△DPA，S△DPC=S△NPC，
∴S△APC=S△DPA+S△DPC=S△MAP+S△NCP，故④符合题意；
综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，
故答案为：D．
【分析】作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质判断①；证明△MPA≌△DPA，根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④。
10．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB，连接 ，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点 在 的平分线上；故（2）正确；
，
，
，
，
，
，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
， ，
，
，
，
，
∴正确的选项有3个；
故答案为：C.
【分析】过点P作PG⊥AB，连接OP，由角平分线的性质得到PE= PG=PF，则可判断(1) (2)；由HL证明△PAE≌△PAG，△GPB≌△FPB，得出∠EPA=∠GPA，∠GPB=∠FPB，进而推出∠APB=∠EPF，∠EPF+∠AOB= 180°，则可得到∠APB=90°-∠AOB，可对(3)作判断；根据C△OAB=OA+ OB+ AB=OE+OF=17和OE=OF，求出OE可对(4)作判断 ，即可作答.
11．【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵△ABC面积是28 ，AB＝20cm，AC＝8cm，
∴ ，
即 ，解得：DE=2cm．
故答案为：2．
【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，再利用等面积法可得，最后将数据代入计算即可。
12．【答案】10
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，
∵ ， 分别平分 和 ， ，
∴OF=OD=OE，
∵ 的面积= ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的周长是10，
故答案为：10．
【分析】连接OC，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，根据角平分线的性质可得OF=OD=OE，再利用 的面积= ，将数据代入计算即可。
13．【答案】4
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，
所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个.
故答案为4.
【分析】根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的角平分线的交点上，故问题得解.
14．【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，
∴CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC，
又∵AC=BC=6，
∴BD+DE=6，
故答案为：6．
【分析】由角平分线的性质可得CD=DE，从而得出BD+DE=BD+CD=BC=6.
15．【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
16．【答案】150°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定
【解析】【解答】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD= ∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.
故答案为：150°
【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解.
17．【答案】3或7
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，
∴PE＝PN，
∵PE＝PN，OP＝OP，
∴△OPE≌△OPN（HL），
∴OE＝ON＝5，
∵OM＝3，ON＝5，
∴MN＝2，
若点D在线段OE上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE﹣DE＝3，
若点D在射线EA上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE+DE＝7．
故答案为：3或7．
【分析】根据点D在线段OE或线段EA上两种情况进行讨论，结合角平分线的性质求出PN=PE，即可得到OE=ON=5，结合题意证明△PMN≌△PDE，求出OD的长即可。
18．【答案】①②④
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE=DF，①正确；
∴AD平分∠BAC，②正确；
∵在Rt△ADE中，AE是斜边， ∴AE＞AD，③不正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF， ∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确；
正确的是①②④.
【分析】首先根据HL判断出Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的对应边相等得出DE=DF，①正确；根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出AD平分∠BAC，②正确；根据直角三角形的斜边最大得出AE＞AD，③不正确；很容易判断出Rt△ADE≌Rt△ADF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=AF进而根据线段的和差及等量代换，由AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确，综上所述即可得出答案。
19．【答案】解：如图，点P为所求。
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意可得，需要做∠ABC的角平分线，作出对应图形即可。
20．【答案】证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥AO，ED⊥BO，
∴EC=ED，
在△ACE和△BDE中
∴△ACE≌△BDE（ASA）
∴EA=EB.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据角平分线的性质得出EC=ED，利用ASA证出△ACE≌△BDE，即可得出EA=EB.
21．【答案】证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】易证△ADC≌△ABC，得到∠DAC＝∠BAC，然后根据角平分线的性质进行证明.
22．【答案】证明：如图，过点M作ME⊥AD于F，
∵∠C=90°，DM平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴BM=EM，
又∵∠B=90°，
∴点M在∠BAD的平分线上，
∴AM平分∠DAB．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过点M作ME⊥AD于F，根据角平分线的性质可得ME=MC，再根据点M是BC的中点可得MB=CM，所以BM=EM，再利用角平分线的判断即可得到AM平分∠DAB．
23．【答案】证明：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴△BED与△CFD都是直角三角形，
又BE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】由已知可以得知△BED与△CFD都是直角三角形，且BD=DC，BE=CF，所以由HL可知Rt△BED≌Rt△CFD，于是有DE=DF，因此由角平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．
24．【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA ，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B，利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA，即得证。
（2）求证线段相等，很容易想到构造全等三角形进行证明，利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM，结合（1）中已证易得∠EFH=∠DFG，再利用AAS定理即可证明。
25．【答案】（1）1：1
（2）如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF．
又 ， ，
∴ ，
即 ；
（3）△ABC为等腰三角形，AD⊥BC．理由如下：
由（1）、（2）的结论可知，
，
∴AB＝AC．
∴△ABC为等腰三角形．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）若点D是BC的中点，则 ，
故答案为：1：1；
【分析】（1）根据三角形中线的性质可得，即可得；
（2）过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得DE=DF，再利用等高三角形的面积之比等于底之比可得；
（3）利用（1）、（2）的结论可知，所以AB=AC，△ABC为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC．
26．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵ ，
∴ 点在 的角平分线上
∴ 平分
（2）解：∵
∴
又∵ ， ，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得出 ， ，再由，得出，推出，得出 点在 的角平分线上，由此得出结论；
（2）由 ， ， ，证明，得出，得出，由此得出答案。
27．【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵ ，
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝5（cm）
（2）解：如图，
∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，
∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝ ×6a+ ×9a+ ×5a＝3a+ a+ a＝10a（cm）2．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAD＝∠CAD，然后利用SAS证明△ADE≌△ADC，得出DE=DC，再根据线段的和差关系，即可解答；
(2)作出∠ACB的平分线，交AD于O，过O作△ABC三边的垂线，由内心的性质可知，OF=OM=ON=a，然后根据S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC，代入数据计算化简即可.
28．【答案】（1）证明：∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）解：由（1）知，△ABD≌ACF，
∴BD＝CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC＝BF，
∵BD⊥CE，
∴CE＝EF，
∴CE＝ CF＝ BD
（3）解：∠AED不变化
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，
∴BD AH＝CF AG，而BD＝CF，
∴AH＝AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA＝ ∠BEG＝45°，
即：∠AED不变化.
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，由对顶角的性质可得∠ADB＝∠CDE，根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠ACF，接下来结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝CF，易得BC＝BF，结合等腰三角形的性质可得CE＝EF，据此证明；
（3）过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，根据△ABD的面积公式可得AH＝AG，推出EA平分∠BEF，据此解答.
1 / 1苏科版数学八年级上册2.4.2 角的轴对称性 同步训练
一、单选题
1．（2021八上·河西期中）△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A．BD = DC B．BE⊥AC
C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： 是 的角平分线，
点 到边 的距离相等，
同理可得：点 到边 的距离相等，
点 到 三边的距离都相等，
因为不能确定 的形状，所以选项 均不一定符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质可得答案。
2．（2021八上·鲁甸期中）如图，在 中， 平分 交 于点D， ，若点P是 上的动点，则线段 的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，
∵垂线段最短，
∴当P与E重合时DP最短，
∴线段 的最小值即DE的长度，
∵BD平分 交 于点D，AD⊥AB，DE⊥BC，
∴DE=DA=3．
故答案为：B．
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，当P与E重合时DP最短，可知线段 的最小值即DE的长度，根据角平分线的性质即可求解.
3．（2021八上·罗庄期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=14cm，BC=16cm，则DE的长度为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】过点D作DF⊥BC于点F，如图
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB
∴DE=DF
∴
故答案为：B
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得DE=DF，再利用，将数据代入计算即可。
4．（2021八上·惠城月考）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ）
A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是三个角的角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△AOC
＝ ·AB·OE： ·BC·OF： ·AC·OD
＝AB：BC：AC
＝8：12：10
＝4：6：5，
故答案为：C．
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形的高是相等的，底分别是8、10、12，所以面积之比就是4：6：5。
5．（2021八上·古冶期中）如图，已知 ABC的周长是34，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则 ABC的面积是（ ）
A．17 B．34 C．38 D．68
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于 ， 于 ，连接 ，
， 分别平分 和 ， ， ， ，
， ，
又∵OD＝4，
∴ ，
∴
，
又∵ ，
∴
，
故答案为：D．
【分析】过点 作 于 ， 于 ，连接 ，根据角平分线求出 ， ，根据，即可求出答案。
6．（2021八下·金寨期末）如图， ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．2 B．3.5 C．3 D．2.5
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝ ＝ ＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵S△ABC＝ AC BC＝ AC CD＋ AB DE，即 ×3×4＝ ×3CD＋ ×5CD，
解得CD＝1.5，
∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出BC=4，再求出DE=DC，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
7．（2021八上·温州期中）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，点E，F分别在BA，BC上，且满足DE=DF．若∠BED=140°，则∠BFD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥BC于点M，DG⊥AB于点G，
∴∠EGD=∠FMD=90°，
∵BP平分∠ABC，
∴DG=DM，
在Rt△EGD和△FMD中，
∴Rt△EGD≌△FMD（HL）
∴∠DEG=∠BFD
∵∠BED+∠DEG=140°，
∴∠DEG=180°-140°=40°，
∴∠BFD=40°.
故答案为：A.
【分析】过点D作DM⊥BC于点M，DG⊥AB于点G，利用垂直的定义可证得∠EGD=∠FMD=90°，利用角平分线的性质可知DG=DM；利用HL证明Rt△EGD≌△FMD，利用全等三角形的性质可得到∠DEG=∠BFD；然后利用补角的性质可求出∠BFD的度数.
8．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接AP，
∵PR=PS，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴△APR≌△APS（HL）
∴AS=AR，①正确．
∵AQ=PQ
∴∠BAP=∠QAP=∠QPA
∴QP∥AR，②正确．
BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立．
故选C．
【分析】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证△APR≌△APS（HL），可证得AS=AR，QP∥AR成立．
9．（2021八上·铁西期中）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中：①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；三角形的综合
【解析】【解答】如图，作PD⊥AC于D．
∵∠ACF、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ABC的角平分线上，
∴BP平分∠ABC，故①符合题意；
∵PM⊥BE，PN⊥BF，∠ABC+∠BMP+∠MPN+∠PNC=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△MPA和Rt△DPA中， ，
∴△MPA≌△DPA，
∴∠MPA=∠DPA，
同理：△DPC≌△NPC，
∴∠DPC=∠NPC，
∴∠APC=∠DPA+∠DPC= （∠MPD+∠NPD）= ∠MPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，故②符合题意；
∵∠ACF是△ABC的外角，PC平分∠ACF，
∴∠ABC=2∠PCF-∠CAB，
∵∠PCF是△PBC的外角，BP平分∠ABC，
∴∠PCF= ∠ABC+∠CPB，
∴∠ABC=2∠PCF-2∠CPB，
∴∠CAB=2∠CPB，故③符合题意；
∵△MPA≌△DPA，△DPC≌△NPC，
∴S△MPA=S△DPA，S△DPC=S△NPC，
∴S△APC=S△DPA+S△DPC=S△MAP+S△NCP，故④符合题意；
综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，
故答案为：D．
【分析】作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质判断①；证明△MPA≌△DPA，根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④。
10．（2021八上·南通月考）如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB，连接 ，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点 在 的平分线上；故（2）正确；
，
，
，
，
，
，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
， ，
，
，
，
，
∴正确的选项有3个；
故答案为：C.
【分析】过点P作PG⊥AB，连接OP，由角平分线的性质得到PE= PG=PF，则可判断(1) (2)；由HL证明△PAE≌△PAG，△GPB≌△FPB，得出∠EPA=∠GPA，∠GPB=∠FPB，进而推出∠APB=∠EPF，∠EPF+∠AOB= 180°，则可得到∠APB=90°-∠AOB，可对(3)作判断；根据C△OAB=OA+ OB+ AB=OE+OF=17和OE=OF，求出OE可对(4)作判断 ，即可作答.
二、填空题
11．（2020八上·邹城期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28 ，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE= cm．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵△ABC面积是28 ，AB＝20cm，AC＝8cm，
∴ ，
即 ，解得：DE=2cm．
故答案为：2．
【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，再利用等面积法可得，最后将数据代入计算即可。
12．（2021八上·肥城期中）如图，已知 的面积是20， ， 分别平分 和 ， 于D，且 ，则 的周长是 ．
【答案】10
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，
∵ ， 分别平分 和 ， ，
∴OF=OD=OE，
∵ 的面积= ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的周长是10，
故答案为：10．
【分析】连接OC，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，根据角平分线的性质可得OF=OD=OE，再利用 的面积= ，将数据代入计算即可。
13．（2020八上·江苏月考）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有 个.
【答案】4
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，
所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个.
故答案为4.
【分析】根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的角平分线的交点上，故问题得解.
14．（2021八上·鲁甸期中）如图，在 中， 是 的平分线， 于点E，已知 ，则 的值为 ．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，
∴CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC，
又∵AC=BC=6，
∴BD+DE=6，
故答案为：6．
【分析】由角平分线的性质可得CD=DE，从而得出BD+DE=BD+CD=BC=6.
15．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
16．（2018八上·柘城期末）如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= .
【答案】150°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定
【解析】【解答】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD= ∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.
故答案为：150°
【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解.
17．（2020八上·平邑期末）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 ．
【答案】3或7
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，
∴PE＝PN，
∵PE＝PN，OP＝OP，
∴△OPE≌△OPN（HL），
∴OE＝ON＝5，
∵OM＝3，ON＝5，
∴MN＝2，
若点D在线段OE上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE﹣DE＝3，
若点D在射线EA上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE+DE＝7．
故答案为：3或7．
【分析】根据点D在线段OE或线段EA上两种情况进行讨论，结合角平分线的性质求出PN=PE，即可得到OE=ON=5，结合题意证明△PMN≌△PDE，求出OD的长即可。
18．（2018八上·丽水期中）如图， 于 ， 于 ，若 ，则下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④ 中 正确的是 .
【答案】①②④
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE=DF，①正确；
∴AD平分∠BAC，②正确；
∵在Rt△ADE中，AE是斜边， ∴AE＞AD，③不正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF， ∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确；
正确的是①②④.
【分析】首先根据HL判断出Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的对应边相等得出DE=DF，①正确；根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出AD平分∠BAC，②正确；根据直角三角形的斜边最大得出AE＞AD，③不正确；很容易判断出Rt△ADE≌Rt△ADF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=AF进而根据线段的和差及等量代换，由AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确，综上所述即可得出答案。
三、解答题
19．（2021八上·防城期中）请在△ABC内部找到一个点P，使点P到AB、BC的距离相等，且PB=PC。(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
【答案】解：如图，点P为所求。
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意可得，需要做∠ABC的角平分线，作出对应图形即可。
20．（2021八上·无棣期中）如图，已知OE平分∠AOB，BC⊥OA于点C，AD⊥OB于点D，求证：EA=EB．
【答案】证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥AO，ED⊥BO，
∴EC=ED，
在△ACE和△BDE中
∴△ACE≌△BDE（ASA）
∴EA=EB.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据角平分线的性质得出EC=ED，利用ASA证出△ACE≌△BDE，即可得出EA=EB.
21．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F.求证：CE = CF.
【答案】证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】易证△ADC≌△ABC，得到∠DAC＝∠BAC，然后根据角平分线的性质进行证明.
22．（2021八上·津南期中）如图， ，M是BC的中点，DM平分 ，求证：AM平分 ．
【答案】证明：如图，过点M作ME⊥AD于F，
∵∠C=90°，DM平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴BM=EM，
又∵∠B=90°，
∴点M在∠BAD的平分线上，
∴AM平分∠DAB．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过点M作ME⊥AD于F，根据角平分线的性质可得ME=MC，再根据点M是BC的中点可得MB=CM，所以BM=EM，再利用角平分线的判断即可得到AM平分∠DAB．
23．（2020八上·庐阳月考）在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；
【答案】证明：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴△BED与△CFD都是直角三角形，
又BE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】由已知可以得知△BED与△CFD都是直角三角形，且BD=DC，BE=CF，所以由HL可知Rt△BED≌Rt△CFD，于是有DE=DF，因此由角平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．
24．（2019八上·越秀期中）如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA ，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B，利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA，即得证。
（2）求证线段相等，很容易想到构造全等三角形进行证明，利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM，结合（1）中已证易得∠EFH=∠DFG，再利用AAS定理即可证明。
25．（2021八上·临沭期中）如图，在 中，点D是BC边上一点，连接AD．
（1）若点D是BC的中点，则 ；
（2）若AD是 的角平分线，求证 ；
（3）若点D是BC的中点，且AD是 的角平分线，请判断 的形状及AD与BC的位置关系，并说明理由，
【答案】（1）1：1
（2）如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF．
又 ， ，
∴ ，
即 ；
（3）△ABC为等腰三角形，AD⊥BC．理由如下：
由（1）、（2）的结论可知，
，
∴AB＝AC．
∴△ABC为等腰三角形．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）若点D是BC的中点，则 ，
故答案为：1：1；
【分析】（1）根据三角形中线的性质可得，即可得；
（2）过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得DE=DF，再利用等高三角形的面积之比等于底之比可得；
（3）利用（1）、（2）的结论可知，所以AB=AC，△ABC为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC．
26．（2021八上·徐闻期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵ ，
∴ 点在 的角平分线上
∴ 平分
（2）解：∵
∴
又∵ ， ，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得出 ， ，再由，得出，推出，得出 点在 的角平分线上，由此得出结论；
（2）由 ， ， ，证明，得出，得出，由此得出答案。
27．（2021八上·诸暨月考）如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
（1）线段BC的长；
（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请补充图形，并用含a的代数式表示△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵ ，
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝5（cm）
（2）解：如图，
∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，
∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝ ×6a+ ×9a+ ×5a＝3a+ a+ a＝10a（cm）2．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAD＝∠CAD，然后利用SAS证明△ADE≌△ADC，得出DE=DC，再根据线段的和差关系，即可解答；
(2)作出∠ACB的平分线，交AD于O，过O作△ABC三边的垂线，由内心的性质可知，OF=OM=ON=a，然后根据S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC，代入数据计算化简即可.
28．（2021八上·鹿城期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F.
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝ BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数.
【答案】（1）证明：∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）解：由（1）知，△ABD≌ACF，
∴BD＝CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC＝BF，
∵BD⊥CE，
∴CE＝EF，
∴CE＝ CF＝ BD
（3）解：∠AED不变化
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，
∴BD AH＝CF AG，而BD＝CF，
∴AH＝AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA＝ ∠BEG＝45°，
即：∠AED不变化.
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，由对顶角的性质可得∠ADB＝∠CDE，根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠ACF，接下来结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝CF，易得BC＝BF，结合等腰三角形的性质可得CE＝EF，据此证明；
（3）过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，根据△ABD的面积公式可得AH＝AG，推出EA平分∠BEF，据此解答.
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