【精品解析】苏科版数学八年级上册2.4.2 角的轴对称性 同步训练

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名称 【精品解析】苏科版数学八年级上册2.4.2 角的轴对称性 同步训练
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科目 数学
更新时间 2021-12-16 14:59:42

文档简介

苏科版数学八年级上册2.4.2 角的轴对称性 同步训练
一、单选题
1.(2021八上·河西期中)△ABC的两条角平分线AD,BE相交于点F,下列结论一定正确的是(  )
A.BD = DC B.BE⊥AC
C.FA = FB D.点F到三角形三边的距离都相等
2.(2021八上·鲁甸期中)如图,在 中, 平分 交 于点D, ,若点P是 上的动点,则线段 的最小值是(  )
A.2.4 B.3 C.4 D.5
3.(2021八上·罗庄期中)如图,BD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB于E,△ABC的面积是30cm2,AB=14cm,BC=16cm,则DE的长度为(  )
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
4.(2021八上·惠城月考)如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为8,12,10,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO:S△BCO:S△AOC等于(  )
A.1:1:1 B.2:4:3 C.4:6:5 D.4:6:10
5.(2021八上·古冶期中)如图,已知 ABC的周长是34,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=4,则 ABC的面积是(  )
A.17 B.34 C.38 D.68
6.(2021八下·金寨期末)如图, ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=5,AC=3,则BD的长是(  )
A.2 B.3.5 C.3 D.2.5
7.(2021八上·温州期中)如图,BP平分∠ABC,D为BP上一点,点E,F分别在BA,BC上,且满足DE=DF.若∠BED=140°,则∠BFD的度数是(  )
A.40° B.50° C.60° D.70°
8.如图所示,P,Q分别是BC,AC上的点,作PR⊥AB于R点,作PS⊥AC于S点,若AQ=PQ,PR=PS,下面三个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP,正确的是(  )

A.①和③ B.②和③ C.①和② D.①,②和③
9.(2021八上·铁西期中)如图,△ABC中,∠ACF、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,延长BA、BC,PM⊥BE,PN⊥BF.则下列结论中:①BP平分∠ABC;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠CAB=2∠CPB;④S△PAC=S△MAP+S△NCP.正确的个数(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.(2021八上·南通月考)如图, 的外角 , 的平分线 , 相交于点P, 于E, 于F,下列结论:(1) ;(2)点P在 的平分线上;(3) ;(4)若 ,则 ,其中正确的有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11.(2020八上·邹城期末)如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28 ,AB=20cm,AC=8cm,则DE=   cm.
12.(2021八上·肥城期中)如图,已知 的面积是20, , 分别平分 和 , 于D,且 ,则 的周长是   .
13.(2020八上·江苏月考)有三条两两相交的公路,要建一个加油站,使它到三条公路的距离相等,那么加油站可建的地点有   个.
14.(2021八上·鲁甸期中)如图,在 中, 是 的平分线, 于点E,已知 ,则 的值为   .
15.(2021八上·宜兴期中)如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是   .
16.(2018八上·柘城期末)如图,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=   .
17.(2020八上·平邑期末)如图,点P是∠AOB的角平分线OC上一点,PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一点.已知OM=3,ON=5,点D为OA上一点,若满足PD=PM,则OD的长度为   .
18.(2018八上·丽水期中)如图, 于 , 于 ,若 ,则下列结论:① ;② 平分 ;③ ;④ 中 正确的是   .
三、解答题
19.(2021八上·防城期中)请在△ABC内部找到一个点P,使点P到AB、BC的距离相等,且PB=PC。(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
20.(2021八上·无棣期中)如图,已知OE平分∠AOB,BC⊥OA于点C,AD⊥OB于点D,求证:EA=EB.
21.(2021八上·乌鲁木齐期中)如图,点D、B分别在∠A的两边上,C是∠A内一点,AB = AD,BC = CD,CE⊥AD于E,CF⊥AF于F.求证:CE = CF.
22.(2021八上·津南期中)如图, ,M是BC的中点,DM平分 ,求证:AM平分 .
23.(2020八上·庐阳月考)在锐角三角形ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且BE=CF,求证:AD是∠BAC的平分线;
24.(2019八上·越秀期中)如图,在△ABC中,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.
(1)求证:∠EFA=90°- ∠B;
(2)若∠B=60°,求证:EF=DF.
25.(2021八上·临沭期中)如图,在 中,点D是BC边上一点,连接AD.
(1)若点D是BC的中点,则    ;
(2)若AD是 的角平分线,求证 ;
(3)若点D是BC的中点,且AD是 的角平分线,请判断 的形状及AD与BC的位置关系,并说明理由,
26.(2021八上·徐闻期中)如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD =CD、BE=CF.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)已知AB=5,AC=8,求BE的长.
27.(2021八上·诸暨月考)如图,在△ABC中,AC=6cm,AB=9cm,D是边BC上一点,AD平分∠BAC,在AB上截取AE=AC,连接DE,已知DE=2cm,BD=3cm.求:
(1)线段BC的长;
(2)若∠ACB的平分线CF交AD于点O,且O到AC的距离是acm,请补充图形,并用含a的代数式表示△ABC的面积.
28.(2021八上·鹿城期中)如图,已知在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE⊥BD于E,交BA的延长线于F.
(1)求证:△ABD≌△ACF;
(2)若BD平分∠ABC,求证:CE= BD;
(3)若D为AC上一动点,∠AED如何变化,若变化,求它的变化范围;若不变,直接写出它的度数.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解: 是 的角平分线,
点 到边 的距离相等,
同理可得:点 到边 的距离相等,
点 到 三边的距离都相等,
因为不能确定 的形状,所以选项 均不一定符合题意,
故答案为:D.
【分析】根据角平分线的性质可得答案。
2.【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用;角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图所示,过点D作DE⊥BC于点E,
∵垂线段最短,
∴当P与E重合时DP最短,
∴线段 的最小值即DE的长度,
∵BD平分 交 于点D,AD⊥AB,DE⊥BC,
∴DE=DA=3.
故答案为:B.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E,当P与E重合时DP最短,可知线段 的最小值即DE的长度,根据角平分线的性质即可求解.
3.【答案】B
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】过点D作DF⊥BC于点F,如图
∵BD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB
∴DE=DF

故答案为:B
【分析】过点D作DF⊥BC于点F,根据角平分线的性质可得DE=DF,再利用,将数据代入计算即可。
4.【答案】C
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】如图,过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵点O是三个角的角平分线的交点,
∴OE=OF=OD,
∴S△ABO:S△BCO:S△AOC
= ·AB·OE: ·BC·OF: ·AC·OD
=AB:BC:AC
=8:12:10
=4:6:5,
故答案为:C.
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质,可知三个三角形的高是相等的,底分别是8、10、12,所以面积之比就是4:6:5。
5.【答案】D
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图,过点 作 于 , 于 ,连接 ,
, 分别平分 和 , , , ,
, ,
又∵OD=4,
∴ ,


又∵ ,


故答案为:D.
【分析】过点 作 于 , 于 ,连接 ,根据角平分线求出 , ,根据,即可求出答案。
6.【答案】D
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图,过D作DE⊥AB于E,
在△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,
∴BC= = =4,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DC,
∵S△ABC= AC BC= AC CD+ AB DE,即 ×3×4= ×3CD+ ×5CD,
解得CD=1.5,
∴BD=4﹣CD=4﹣1.5=2.5.
故答案为:D.
【分析】先利用勾股定理求出BC=4,再求出DE=DC,最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
7.【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的性质
【解析】【解答】解:过点D作DM⊥BC于点M,DG⊥AB于点G,
∴∠EGD=∠FMD=90°,
∵BP平分∠ABC,
∴DG=DM,
在Rt△EGD和△FMD中,
∴Rt△EGD≌△FMD(HL)
∴∠DEG=∠BFD
∵∠BED+∠DEG=140°,
∴∠DEG=180°-140°=40°,
∴∠BFD=40°.
故答案为:A.
【分析】过点D作DM⊥BC于点M,DG⊥AB于点G,利用垂直的定义可证得∠EGD=∠FMD=90°,利用角平分线的性质可知DG=DM;利用HL证明Rt△EGD≌△FMD,利用全等三角形的性质可得到∠DEG=∠BFD;然后利用补角的性质可求出∠BFD的度数.
8.【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的性质
【解析】【解答】解:连接AP,
∵PR=PS,
∴AP是∠BAC的平分线,
∴△APR≌△APS(HL)
∴AS=AR,①正确.
∵AQ=PQ
∴∠BAP=∠QAP=∠QPA
∴QP∥AR,②正确.
BC只是过点P,并没有固定,明显△BRP≌△CSP③不成立.
故选C.
【分析】根据角平分线的判定,先证AP是∠BAC的平分线,再证△APR≌△APS(HL),可证得AS=AR,QP∥AR成立.
9.【答案】D
【知识点】角平分线的性质;三角形的综合
【解析】【解答】如图,作PD⊥AC于D.
∵∠ACF、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,PM⊥BE,PN⊥BF,
∴PM=PN,PM=PD,
∴PM=PN=PD,
∴点P在∠ABC的角平分线上,
∴BP平分∠ABC,故①符合题意;
∵PM⊥BE,PN⊥BF,∠ABC+∠BMP+∠MPN+∠PNC=360°,
∴∠ABC+∠MPN=180°,
在Rt△MPA和Rt△DPA中, ,
∴△MPA≌△DPA,
∴∠MPA=∠DPA,
同理:△DPC≌△NPC,
∴∠DPC=∠NPC,
∴∠APC=∠DPA+∠DPC= (∠MPD+∠NPD)= ∠MPN,
∴∠MPN=2∠APC,
∴∠ABC+2∠APC=180°,故②符合题意;
∵∠ACF是△ABC的外角,PC平分∠ACF,
∴∠ABC=2∠PCF-∠CAB,
∵∠PCF是△PBC的外角,BP平分∠ABC,
∴∠PCF= ∠ABC+∠CPB,
∴∠ABC=2∠PCF-2∠CPB,
∴∠CAB=2∠CPB,故③符合题意;
∵△MPA≌△DPA,△DPC≌△NPC,
∴S△MPA=S△DPA,S△DPC=S△NPC,
∴S△APC=S△DPA+S△DPC=S△MAP+S△NCP,故④符合题意;
综上所述:正确的结论有①②③④,共4个,
故答案为:D.
【分析】作PD⊥AC于D,根据角平分线的判定定理和性质判断①;证明△MPA≌△DPA,根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD,判断②;根据三角形的外角性质判断③;根据全等三角形的性质判断④。
10.【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的性质
【解析】【解答】解:过点P作PG⊥AB,连接 ,如图:
∵AP平分∠CAB,BP平分∠DBA, , ,PG⊥AB,
∴ ;故(1)正确;
∴点 在 的平分线上;故(2)正确;






又 ,
∴ ;故(3)错误;
, ,




∴正确的选项有3个;
故答案为:C.
【分析】过点P作PG⊥AB,连接OP,由角平分线的性质得到PE= PG=PF,则可判断(1) (2);由HL证明△PAE≌△PAG,△GPB≌△FPB,得出∠EPA=∠GPA,∠GPB=∠FPB,进而推出∠APB=∠EPF,∠EPF+∠AOB= 180°,则可得到∠APB=90°-∠AOB,可对(3)作判断;根据C△OAB=OA+ OB+ AB=OE+OF=17和OE=OF,求出OE可对(4)作判断 ,即可作答.
11.【答案】2
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DE=DF,
∵△ABC面积是28 ,AB=20cm,AC=8cm,
∴ ,
即 ,解得:DE=2cm.
故答案为:2.
【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF,再利用等面积法可得,最后将数据代入计算即可。
12.【答案】10
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:连接OC,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥AB于F,
∵ , 分别平分 和 , ,
∴OF=OD=OE,
∵ 的面积= ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,即 的周长是10,
故答案为:10.
【分析】连接OC,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥AB于F,根据角平分线的性质可得OF=OD=OE,再利用 的面积= ,将数据代入计算即可。
13.【答案】4
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解:如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线,共有4个交点,
所以由三条两两相交的公路,要建一个加油站,使它到三条公路的距离相等,则加油站需满足在角平分线的交点上,故可建的地点有4个.
故答案为4.
【分析】根据“要建一个加油站,使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的角平分线的交点上,故问题得解.
14.【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解:∵DE⊥AB,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,
∴CD=DE,
∴BD+DE=BD+CD=BC,
又∵AC=BC=6,
∴BD+DE=6,
故答案为:6.
【分析】由角平分线的性质可得CD=DE,从而得出BD+DE=BD+CD=BC=6.
15.【答案】30
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:过D作DE⊥AB,交BA的延长线于E,
则∠E=∠C=90°,
∵∠BCD=90°,BD平分∠ABC,
∴DE=DC=4,
∴四边形ABCD的面积S=S△BCD+S△BAD= ×BC×CD+ ×AB×DE= ×9×4+ ×6×4=30.
故答案为:30.
【分析】过D作DE⊥AB,交BA的延长线于E,由角平分线的性质可得DE=DC=4,然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
16.【答案】150°
【知识点】三角形的外角性质;角平分线的判定
【解析】【解答】∵BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DB=DC,
∴AD是∠BAC的平分线,
∵∠BAC=40°,
∴∠CAD= ∠BAC=20°,
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.
故答案为:150°
【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线,求出∠CAD的度数,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解.
17.【答案】3或7
【知识点】三角形全等及其性质;角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图:过点P作PE⊥OA于点E,
∵OC平分∠AOB,PE⊥OA,PN⊥OB,
∴PE=PN,
∵PE=PN,OP=OP,
∴△OPE≌△OPN(HL),
∴OE=ON=5,
∵OM=3,ON=5,
∴MN=2,
若点D在线段OE上,
∵PM=PD,PE=PN,
∴△PMN≌△PDE(HL),
∴DE=MN=2,
∴OD=OE﹣DE=3,
若点D在射线EA上,
∵PM=PD,PE=PN,
∴△PMN≌△PDE(HL),
∴DE=MN=2,
∴OD=OE+DE=7.
故答案为:3或7.
【分析】根据点D在线段OE或线段EA上两种情况进行讨论,结合角平分线的性质求出PN=PE,即可得到OE=ON=5,结合题意证明△PMN≌△PDE,求出OD的长即可。
18.【答案】①②④
【知识点】全等三角形的判定与性质;角平分线的判定
【解析】【解答】解:∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∴∠E=∠DFC=90°,
在Rt△BDE和Rt△CDF中, , ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴DE=DF,①正确;
∴AD平分∠BAC,②正确;
∵在Rt△ADE中,AE是斜边, ∴AE>AD,③不正确;
∵Rt△ADE≌Rt△ADF, ∴AE=AF, ∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE,④正确;
正确的是①②④.
【分析】首先根据HL判断出Rt△BDE≌Rt△CDF,根据全等三角形的对应边相等得出DE=DF,①正确;根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出AD平分∠BAC,②正确;根据直角三角形的斜边最大得出AE>AD,③不正确;很容易判断出Rt△ADE≌Rt△ADF,根据全等三角形的对应边相等得出AE=AF进而根据线段的和差及等量代换,由AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE,④正确,综上所述即可得出答案。
19.【答案】解:如图,点P为所求。
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意可得,需要做∠ABC的角平分线,作出对应图形即可。
20.【答案】证明:∵OE平分∠AOB,EC⊥AO,ED⊥BO,
∴EC=ED,
在△ACE和△BDE中
∴△ACE≌△BDE(ASA)
∴EA=EB.
【知识点】角平分线的性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据角平分线的性质得出EC=ED,利用ASA证出△ACE≌△BDE,即可得出EA=EB.
21.【答案】证明:在△ADC和△ABC中,
∴△ADC≌△ABC(SSS),
∴∠DAC=∠BAC,
∵CE⊥AD于E,CF⊥AF于F,
∴CE=CF.
【知识点】角平分线的性质;三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】易证△ADC≌△ABC,得到∠DAC=∠BAC,然后根据角平分线的性质进行证明.
22.【答案】证明:如图,过点M作ME⊥AD于F,
∵∠C=90°,DM平分∠ADC,
∴ME=MC,
∵M是BC的中点,
∴BM=CM,
∴BM=EM,
又∵∠B=90°,
∴点M在∠BAD的平分线上,
∴AM平分∠DAB.
【知识点】角平分线的性质;角平分线的判定
【解析】【分析】过点M作ME⊥AD于F,根据角平分线的性质可得ME=MC,再根据点M是BC的中点可得MB=CM,所以BM=EM,再利用角平分线的判断即可得到AM平分∠DAB.
23.【答案】证明:∵D是BC的中点,
∴BD=DC,
∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴△BED与△CFD都是直角三角形,
又BE=CF,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线(角平分线的判定定理)
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的判定
【解析】【分析】由已知可以得知△BED与△CFD都是直角三角形,且BD=DC,BE=CF,所以由HL可知Rt△BED≌Rt△CFD,于是有DE=DF,因此由角平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线.
24.【答案】(1)证明:∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B,
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴∠FAC= ∠BAC,∠FCA= ∠BCA,
∴∠FAC+∠FCA= ×(180°-∠B)=90°- ∠B,
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA,
∴∠EFA=90°- ∠B.
(2)证明:如图,过点F作FG⊥BC于G,作FH⊥AB于H,作FM⊥AC于M.
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴FG=FH=FM,
∵∠EFH+∠DFH=120°,
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°,
∴∠EFH=∠DFG,
在△EFH和△DFG中,

∴△EFH≌△DFG(AAS),
∴EF=DF.
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质
【解析】【分析】(1)由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC,∠FCA= ∠BCA ,利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B,利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA,即得证。
(2)求证线段相等,很容易想到构造全等三角形进行证明,利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM,结合(1)中已证易得∠EFH=∠DFG,再利用AAS定理即可证明。
25.【答案】(1)1:1
(2)如图,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴DE=DF.
又 , ,
∴ ,
即 ;
(3)△ABC为等腰三角形,AD⊥BC.理由如下:
由(1)、(2)的结论可知,

∴AB=AC.
∴△ABC为等腰三角形.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC.
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:(1)若点D是BC的中点,则 ,
故答案为:1:1;
【分析】(1)根据三角形中线的性质可得,即可得;
(2)过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,根据角平分线的性质可得DE=DF,再利用等高三角形的面积之比等于底之比可得;
(3)利用(1)、(2)的结论可知,所以AB=AC,△ABC为等腰三角形,再利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC.
26.【答案】(1)证明:∵ ,
∴ ,
又∵


又∵ ,
∴ 点在 的角平分线上
∴ 平分
(2)解:∵

又∵ , ,



又∵


【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的判定
【解析】【分析】(1)由垂直的定义得出 , ,再由,得出,推出,得出 点在 的角平分线上,由此得出结论;
(2)由 , , ,证明,得出,得出,由此得出答案。
27.【答案】(1)解:∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵ ,
∴△ADE≌△ADC(SAS)
∴DE=DC,
∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5(cm)
(2)解:如图,
∵∠ACB的平分线CF交AD于点O,且O到AC的距离是acm,
∴S△ABC=S△AOC+S△AOB+S△BOC= ×6a+ ×9a+ ×5a=3a+ a+ a=10a(cm)2.
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD,然后利用SAS证明△ADE≌△ADC,得出DE=DC,再根据线段的和差关系,即可解答;
(2)作出∠ACB的平分线,交AD于O,过O作△ABC三边的垂线,由内心的性质可知,OF=OM=ON=a,然后根据S△ABC=S△AOC+S△AOB+S△BOC,代入数据计算化简即可.
28.【答案】(1)证明:∵∠BAC是直角,CE⊥BD,
∴∠BAC=∠CAF=∠BEC=90°,
∴∠CDE+∠DCE=90°,∠ABD+∠ADB=90°,
∵∠ADB=∠CDE,
∴∠ABD=∠ACF,
在△ABD和△ACF中, ,
∴△ABD≌△ACF(ASA);
(2)解:由(1)知,△ABD≌ACF,
∴BD=CF,
∵BD⊥CE,BD平分∠ABC,
∴BC=BF,
∵BD⊥CE,
∴CE=EF,
∴CE= CF= BD
(3)解:∠AED不变化
理由:如图,过点A作AG⊥⊥CF于G,作AH⊥BD于H,
由(1)证得△BAD≌△CAF(ASA),
∴S△BAD=S△CAF,BD=CF,
∴BD AH=CF AG,而BD=CF,
∴AH=AG,
∵AH⊥EB,AG⊥EG,
∴EA平分∠BEF,
∴∠BEA= ∠BEG=45°,
即:∠AED不变化.
【知识点】等腰三角形的性质;角平分线的判定;三角形全等的判定-ASA;对顶角及其性质
【解析】【分析】(1)由垂直的概念可得∠BAC=∠CAF=∠BEC=90°,由对顶角的性质可得∠ADB=∠CDE,根据等角的余角相等可得∠ABD=∠ACF,接下来结合全等三角形的判定定理进行证明;
(2)由全等三角形的性质可得BD=CF,易得BC=BF,结合等腰三角形的性质可得CE=EF,据此证明;
(3)过点A作AG⊥⊥CF于G,作AH⊥BD于H,由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAF,BD=CF,根据△ABD的面积公式可得AH=AG,推出EA平分∠BEF,据此解答.
1 / 1苏科版数学八年级上册2.4.2 角的轴对称性 同步训练
一、单选题
1.(2021八上·河西期中)△ABC的两条角平分线AD,BE相交于点F,下列结论一定正确的是(  )
A.BD = DC B.BE⊥AC
C.FA = FB D.点F到三角形三边的距离都相等
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解: 是 的角平分线,
点 到边 的距离相等,
同理可得:点 到边 的距离相等,
点 到 三边的距离都相等,
因为不能确定 的形状,所以选项 均不一定符合题意,
故答案为:D.
【分析】根据角平分线的性质可得答案。
2.(2021八上·鲁甸期中)如图,在 中, 平分 交 于点D, ,若点P是 上的动点,则线段 的最小值是(  )
A.2.4 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用;角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图所示,过点D作DE⊥BC于点E,
∵垂线段最短,
∴当P与E重合时DP最短,
∴线段 的最小值即DE的长度,
∵BD平分 交 于点D,AD⊥AB,DE⊥BC,
∴DE=DA=3.
故答案为:B.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E,当P与E重合时DP最短,可知线段 的最小值即DE的长度,根据角平分线的性质即可求解.
3.(2021八上·罗庄期中)如图,BD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB于E,△ABC的面积是30cm2,AB=14cm,BC=16cm,则DE的长度为(  )
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
【答案】B
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】过点D作DF⊥BC于点F,如图
∵BD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB
∴DE=DF

故答案为:B
【分析】过点D作DF⊥BC于点F,根据角平分线的性质可得DE=DF,再利用,将数据代入计算即可。
4.(2021八上·惠城月考)如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为8,12,10,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO:S△BCO:S△AOC等于(  )
A.1:1:1 B.2:4:3 C.4:6:5 D.4:6:10
【答案】C
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】如图,过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵点O是三个角的角平分线的交点,
∴OE=OF=OD,
∴S△ABO:S△BCO:S△AOC
= ·AB·OE: ·BC·OF: ·AC·OD
=AB:BC:AC
=8:12:10
=4:6:5,
故答案为:C.
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质,可知三个三角形的高是相等的,底分别是8、10、12,所以面积之比就是4:6:5。
5.(2021八上·古冶期中)如图,已知 ABC的周长是34,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=4,则 ABC的面积是(  )
A.17 B.34 C.38 D.68
【答案】D
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图,过点 作 于 , 于 ,连接 ,
, 分别平分 和 , , , ,
, ,
又∵OD=4,
∴ ,


又∵ ,


故答案为:D.
【分析】过点 作 于 , 于 ,连接 ,根据角平分线求出 , ,根据,即可求出答案。
6.(2021八下·金寨期末)如图, ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=5,AC=3,则BD的长是(  )
A.2 B.3.5 C.3 D.2.5
【答案】D
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图,过D作DE⊥AB于E,
在△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,
∴BC= = =4,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DC,
∵S△ABC= AC BC= AC CD+ AB DE,即 ×3×4= ×3CD+ ×5CD,
解得CD=1.5,
∴BD=4﹣CD=4﹣1.5=2.5.
故答案为:D.
【分析】先利用勾股定理求出BC=4,再求出DE=DC,最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
7.(2021八上·温州期中)如图,BP平分∠ABC,D为BP上一点,点E,F分别在BA,BC上,且满足DE=DF.若∠BED=140°,则∠BFD的度数是(  )
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的性质
【解析】【解答】解:过点D作DM⊥BC于点M,DG⊥AB于点G,
∴∠EGD=∠FMD=90°,
∵BP平分∠ABC,
∴DG=DM,
在Rt△EGD和△FMD中,
∴Rt△EGD≌△FMD(HL)
∴∠DEG=∠BFD
∵∠BED+∠DEG=140°,
∴∠DEG=180°-140°=40°,
∴∠BFD=40°.
故答案为:A.
【分析】过点D作DM⊥BC于点M,DG⊥AB于点G,利用垂直的定义可证得∠EGD=∠FMD=90°,利用角平分线的性质可知DG=DM;利用HL证明Rt△EGD≌△FMD,利用全等三角形的性质可得到∠DEG=∠BFD;然后利用补角的性质可求出∠BFD的度数.
8.如图所示,P,Q分别是BC,AC上的点,作PR⊥AB于R点,作PS⊥AC于S点,若AQ=PQ,PR=PS,下面三个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP,正确的是(  )

A.①和③ B.②和③ C.①和② D.①,②和③
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的性质
【解析】【解答】解:连接AP,
∵PR=PS,
∴AP是∠BAC的平分线,
∴△APR≌△APS(HL)
∴AS=AR,①正确.
∵AQ=PQ
∴∠BAP=∠QAP=∠QPA
∴QP∥AR,②正确.
BC只是过点P,并没有固定,明显△BRP≌△CSP③不成立.
故选C.
【分析】根据角平分线的判定,先证AP是∠BAC的平分线,再证△APR≌△APS(HL),可证得AS=AR,QP∥AR成立.
9.(2021八上·铁西期中)如图,△ABC中,∠ACF、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,延长BA、BC,PM⊥BE,PN⊥BF.则下列结论中:①BP平分∠ABC;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠CAB=2∠CPB;④S△PAC=S△MAP+S△NCP.正确的个数(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【知识点】角平分线的性质;三角形的综合
【解析】【解答】如图,作PD⊥AC于D.
∵∠ACF、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P,PM⊥BE,PN⊥BF,
∴PM=PN,PM=PD,
∴PM=PN=PD,
∴点P在∠ABC的角平分线上,
∴BP平分∠ABC,故①符合题意;
∵PM⊥BE,PN⊥BF,∠ABC+∠BMP+∠MPN+∠PNC=360°,
∴∠ABC+∠MPN=180°,
在Rt△MPA和Rt△DPA中, ,
∴△MPA≌△DPA,
∴∠MPA=∠DPA,
同理:△DPC≌△NPC,
∴∠DPC=∠NPC,
∴∠APC=∠DPA+∠DPC= (∠MPD+∠NPD)= ∠MPN,
∴∠MPN=2∠APC,
∴∠ABC+2∠APC=180°,故②符合题意;
∵∠ACF是△ABC的外角,PC平分∠ACF,
∴∠ABC=2∠PCF-∠CAB,
∵∠PCF是△PBC的外角,BP平分∠ABC,
∴∠PCF= ∠ABC+∠CPB,
∴∠ABC=2∠PCF-2∠CPB,
∴∠CAB=2∠CPB,故③符合题意;
∵△MPA≌△DPA,△DPC≌△NPC,
∴S△MPA=S△DPA,S△DPC=S△NPC,
∴S△APC=S△DPA+S△DPC=S△MAP+S△NCP,故④符合题意;
综上所述:正确的结论有①②③④,共4个,
故答案为:D.
【分析】作PD⊥AC于D,根据角平分线的判定定理和性质判断①;证明△MPA≌△DPA,根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD,判断②;根据三角形的外角性质判断③;根据全等三角形的性质判断④。
10.(2021八上·南通月考)如图, 的外角 , 的平分线 , 相交于点P, 于E, 于F,下列结论:(1) ;(2)点P在 的平分线上;(3) ;(4)若 ,则 ,其中正确的有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的性质
【解析】【解答】解:过点P作PG⊥AB,连接 ,如图:
∵AP平分∠CAB,BP平分∠DBA, , ,PG⊥AB,
∴ ;故(1)正确;
∴点 在 的平分线上;故(2)正确;






又 ,
∴ ;故(3)错误;
, ,




∴正确的选项有3个;
故答案为:C.
【分析】过点P作PG⊥AB,连接OP,由角平分线的性质得到PE= PG=PF,则可判断(1) (2);由HL证明△PAE≌△PAG,△GPB≌△FPB,得出∠EPA=∠GPA,∠GPB=∠FPB,进而推出∠APB=∠EPF,∠EPF+∠AOB= 180°,则可得到∠APB=90°-∠AOB,可对(3)作判断;根据C△OAB=OA+ OB+ AB=OE+OF=17和OE=OF,求出OE可对(4)作判断 ,即可作答.
二、填空题
11.(2020八上·邹城期末)如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28 ,AB=20cm,AC=8cm,则DE=   cm.
【答案】2
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DE=DF,
∵△ABC面积是28 ,AB=20cm,AC=8cm,
∴ ,
即 ,解得:DE=2cm.
故答案为:2.
【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF,再利用等面积法可得,最后将数据代入计算即可。
12.(2021八上·肥城期中)如图,已知 的面积是20, , 分别平分 和 , 于D,且 ,则 的周长是   .
【答案】10
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:连接OC,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥AB于F,
∵ , 分别平分 和 , ,
∴OF=OD=OE,
∵ 的面积= ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,即 的周长是10,
故答案为:10.
【分析】连接OC,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥AB于F,根据角平分线的性质可得OF=OD=OE,再利用 的面积= ,将数据代入计算即可。
13.(2020八上·江苏月考)有三条两两相交的公路,要建一个加油站,使它到三条公路的距离相等,那么加油站可建的地点有   个.
【答案】4
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解:如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线,共有4个交点,
所以由三条两两相交的公路,要建一个加油站,使它到三条公路的距离相等,则加油站需满足在角平分线的交点上,故可建的地点有4个.
故答案为4.
【分析】根据“要建一个加油站,使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的角平分线的交点上,故问题得解.
14.(2021八上·鲁甸期中)如图,在 中, 是 的平分线, 于点E,已知 ,则 的值为   .
【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解:∵DE⊥AB,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,
∴CD=DE,
∴BD+DE=BD+CD=BC,
又∵AC=BC=6,
∴BD+DE=6,
故答案为:6.
【分析】由角平分线的性质可得CD=DE,从而得出BD+DE=BD+CD=BC=6.
15.(2021八上·宜兴期中)如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是   .
【答案】30
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质
【解析】【解答】解:过D作DE⊥AB,交BA的延长线于E,
则∠E=∠C=90°,
∵∠BCD=90°,BD平分∠ABC,
∴DE=DC=4,
∴四边形ABCD的面积S=S△BCD+S△BAD= ×BC×CD+ ×AB×DE= ×9×4+ ×6×4=30.
故答案为:30.
【分析】过D作DE⊥AB,交BA的延长线于E,由角平分线的性质可得DE=DC=4,然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
16.(2018八上·柘城期末)如图,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=   .
【答案】150°
【知识点】三角形的外角性质;角平分线的判定
【解析】【解答】∵BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DB=DC,
∴AD是∠BAC的平分线,
∵∠BAC=40°,
∴∠CAD= ∠BAC=20°,
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.
故答案为:150°
【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线,求出∠CAD的度数,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解.
17.(2020八上·平邑期末)如图,点P是∠AOB的角平分线OC上一点,PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一点.已知OM=3,ON=5,点D为OA上一点,若满足PD=PM,则OD的长度为   .
【答案】3或7
【知识点】三角形全等及其性质;角平分线的性质
【解析】【解答】解:如图:过点P作PE⊥OA于点E,
∵OC平分∠AOB,PE⊥OA,PN⊥OB,
∴PE=PN,
∵PE=PN,OP=OP,
∴△OPE≌△OPN(HL),
∴OE=ON=5,
∵OM=3,ON=5,
∴MN=2,
若点D在线段OE上,
∵PM=PD,PE=PN,
∴△PMN≌△PDE(HL),
∴DE=MN=2,
∴OD=OE﹣DE=3,
若点D在射线EA上,
∵PM=PD,PE=PN,
∴△PMN≌△PDE(HL),
∴DE=MN=2,
∴OD=OE+DE=7.
故答案为:3或7.
【分析】根据点D在线段OE或线段EA上两种情况进行讨论,结合角平分线的性质求出PN=PE,即可得到OE=ON=5,结合题意证明△PMN≌△PDE,求出OD的长即可。
18.(2018八上·丽水期中)如图, 于 , 于 ,若 ,则下列结论:① ;② 平分 ;③ ;④ 中 正确的是   .
【答案】①②④
【知识点】全等三角形的判定与性质;角平分线的判定
【解析】【解答】解:∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∴∠E=∠DFC=90°,
在Rt△BDE和Rt△CDF中, , ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), ∴DE=DF,①正确;
∴AD平分∠BAC,②正确;
∵在Rt△ADE中,AE是斜边, ∴AE>AD,③不正确;
∵Rt△ADE≌Rt△ADF, ∴AE=AF, ∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE,④正确;
正确的是①②④.
【分析】首先根据HL判断出Rt△BDE≌Rt△CDF,根据全等三角形的对应边相等得出DE=DF,①正确;根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出AD平分∠BAC,②正确;根据直角三角形的斜边最大得出AE>AD,③不正确;很容易判断出Rt△ADE≌Rt△ADF,根据全等三角形的对应边相等得出AE=AF进而根据线段的和差及等量代换,由AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE,④正确,综上所述即可得出答案。
三、解答题
19.(2021八上·防城期中)请在△ABC内部找到一个点P,使点P到AB、BC的距离相等,且PB=PC。(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
【答案】解:如图,点P为所求。
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意可得,需要做∠ABC的角平分线,作出对应图形即可。
20.(2021八上·无棣期中)如图,已知OE平分∠AOB,BC⊥OA于点C,AD⊥OB于点D,求证:EA=EB.
【答案】证明:∵OE平分∠AOB,EC⊥AO,ED⊥BO,
∴EC=ED,
在△ACE和△BDE中
∴△ACE≌△BDE(ASA)
∴EA=EB.
【知识点】角平分线的性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据角平分线的性质得出EC=ED,利用ASA证出△ACE≌△BDE,即可得出EA=EB.
21.(2021八上·乌鲁木齐期中)如图,点D、B分别在∠A的两边上,C是∠A内一点,AB = AD,BC = CD,CE⊥AD于E,CF⊥AF于F.求证:CE = CF.
【答案】证明:在△ADC和△ABC中,
∴△ADC≌△ABC(SSS),
∴∠DAC=∠BAC,
∵CE⊥AD于E,CF⊥AF于F,
∴CE=CF.
【知识点】角平分线的性质;三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】易证△ADC≌△ABC,得到∠DAC=∠BAC,然后根据角平分线的性质进行证明.
22.(2021八上·津南期中)如图, ,M是BC的中点,DM平分 ,求证:AM平分 .
【答案】证明:如图,过点M作ME⊥AD于F,
∵∠C=90°,DM平分∠ADC,
∴ME=MC,
∵M是BC的中点,
∴BM=CM,
∴BM=EM,
又∵∠B=90°,
∴点M在∠BAD的平分线上,
∴AM平分∠DAB.
【知识点】角平分线的性质;角平分线的判定
【解析】【分析】过点M作ME⊥AD于F,根据角平分线的性质可得ME=MC,再根据点M是BC的中点可得MB=CM,所以BM=EM,再利用角平分线的判断即可得到AM平分∠DAB.
23.(2020八上·庐阳月考)在锐角三角形ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且BE=CF,求证:AD是∠BAC的平分线;
【答案】证明:∵D是BC的中点,
∴BD=DC,
∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴△BED与△CFD都是直角三角形,
又BE=CF,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线(角平分线的判定定理)
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的判定
【解析】【分析】由已知可以得知△BED与△CFD都是直角三角形,且BD=DC,BE=CF,所以由HL可知Rt△BED≌Rt△CFD,于是有DE=DF,因此由角平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线.
24.(2019八上·越秀期中)如图,在△ABC中,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.
(1)求证:∠EFA=90°- ∠B;
(2)若∠B=60°,求证:EF=DF.
【答案】(1)证明:∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B,
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴∠FAC= ∠BAC,∠FCA= ∠BCA,
∴∠FAC+∠FCA= ×(180°-∠B)=90°- ∠B,
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA,
∴∠EFA=90°- ∠B.
(2)证明:如图,过点F作FG⊥BC于G,作FH⊥AB于H,作FM⊥AC于M.
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴FG=FH=FM,
∵∠EFH+∠DFH=120°,
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°,
∴∠EFH=∠DFG,
在△EFH和△DFG中,

∴△EFH≌△DFG(AAS),
∴EF=DF.
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质
【解析】【分析】(1)由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC,∠FCA= ∠BCA ,利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B,利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA,即得证。
(2)求证线段相等,很容易想到构造全等三角形进行证明,利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM,结合(1)中已证易得∠EFH=∠DFG,再利用AAS定理即可证明。
25.(2021八上·临沭期中)如图,在 中,点D是BC边上一点,连接AD.
(1)若点D是BC的中点,则    ;
(2)若AD是 的角平分线,求证 ;
(3)若点D是BC的中点,且AD是 的角平分线,请判断 的形状及AD与BC的位置关系,并说明理由,
【答案】(1)1:1
(2)如图,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴DE=DF.
又 , ,
∴ ,
即 ;
(3)△ABC为等腰三角形,AD⊥BC.理由如下:
由(1)、(2)的结论可知,

∴AB=AC.
∴△ABC为等腰三角形.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC.
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:(1)若点D是BC的中点,则 ,
故答案为:1:1;
【分析】(1)根据三角形中线的性质可得,即可得;
(2)过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,根据角平分线的性质可得DE=DF,再利用等高三角形的面积之比等于底之比可得;
(3)利用(1)、(2)的结论可知,所以AB=AC,△ABC为等腰三角形,再利用等腰三角形的性质可得AD⊥BC.
26.(2021八上·徐闻期中)如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD =CD、BE=CF.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)已知AB=5,AC=8,求BE的长.
【答案】(1)证明:∵ ,
∴ ,
又∵


又∵ ,
∴ 点在 的角平分线上
∴ 平分
(2)解:∵

又∵ , ,



又∵


【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的判定
【解析】【分析】(1)由垂直的定义得出 , ,再由,得出,推出,得出 点在 的角平分线上,由此得出结论;
(2)由 , , ,证明,得出,得出,由此得出答案。
27.(2021八上·诸暨月考)如图,在△ABC中,AC=6cm,AB=9cm,D是边BC上一点,AD平分∠BAC,在AB上截取AE=AC,连接DE,已知DE=2cm,BD=3cm.求:
(1)线段BC的长;
(2)若∠ACB的平分线CF交AD于点O,且O到AC的距离是acm,请补充图形,并用含a的代数式表示△ABC的面积.
【答案】(1)解:∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵ ,
∴△ADE≌△ADC(SAS)
∴DE=DC,
∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5(cm)
(2)解:如图,
∵∠ACB的平分线CF交AD于点O,且O到AC的距离是acm,
∴S△ABC=S△AOC+S△AOB+S△BOC= ×6a+ ×9a+ ×5a=3a+ a+ a=10a(cm)2.
【知识点】三角形的面积;角平分线的性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD,然后利用SAS证明△ADE≌△ADC,得出DE=DC,再根据线段的和差关系,即可解答;
(2)作出∠ACB的平分线,交AD于O,过O作△ABC三边的垂线,由内心的性质可知,OF=OM=ON=a,然后根据S△ABC=S△AOC+S△AOB+S△BOC,代入数据计算化简即可.
28.(2021八上·鹿城期中)如图,已知在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE⊥BD于E,交BA的延长线于F.
(1)求证:△ABD≌△ACF;
(2)若BD平分∠ABC,求证:CE= BD;
(3)若D为AC上一动点,∠AED如何变化,若变化,求它的变化范围;若不变,直接写出它的度数.
【答案】(1)证明:∵∠BAC是直角,CE⊥BD,
∴∠BAC=∠CAF=∠BEC=90°,
∴∠CDE+∠DCE=90°,∠ABD+∠ADB=90°,
∵∠ADB=∠CDE,
∴∠ABD=∠ACF,
在△ABD和△ACF中, ,
∴△ABD≌△ACF(ASA);
(2)解:由(1)知,△ABD≌ACF,
∴BD=CF,
∵BD⊥CE,BD平分∠ABC,
∴BC=BF,
∵BD⊥CE,
∴CE=EF,
∴CE= CF= BD
(3)解:∠AED不变化
理由:如图,过点A作AG⊥⊥CF于G,作AH⊥BD于H,
由(1)证得△BAD≌△CAF(ASA),
∴S△BAD=S△CAF,BD=CF,
∴BD AH=CF AG,而BD=CF,
∴AH=AG,
∵AH⊥EB,AG⊥EG,
∴EA平分∠BEF,
∴∠BEA= ∠BEG=45°,
即:∠AED不变化.
【知识点】等腰三角形的性质;角平分线的判定;三角形全等的判定-ASA;对顶角及其性质
【解析】【分析】(1)由垂直的概念可得∠BAC=∠CAF=∠BEC=90°,由对顶角的性质可得∠ADB=∠CDE,根据等角的余角相等可得∠ABD=∠ACF,接下来结合全等三角形的判定定理进行证明;
(2)由全等三角形的性质可得BD=CF,易得BC=BF,结合等腰三角形的性质可得CE=EF,据此证明;
(3)过点A作AG⊥⊥CF于G,作AH⊥BD于H,由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAF,BD=CF,根据△ABD的面积公式可得AH=AG,推出EA平分∠BEF,据此解答.
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