苏科版数学八年级上册 2.4.1 线段的轴对称性 同步训练
一、单选题
1．（2021八上·乐陵期中）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点
2．（2021八上·中山期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，△ABC的周长为18，AE = 3，则△ABD的周长（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
3．（2021八上·孝义期中）如图，在 ABC中，DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，若AB＝6，AC＝8，BC＝12，则 AEF的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2021八上·大石桥月考）如图， 中， ， ，DE是BC边上的垂直平分线， 的周长为 ，则 的面积是（ ） ．
A．12 B．24 C．48 D．16
5．（2021八上·河东期中）如图，在 中， ， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ， ，作直线 ，交 于点 ，连接 ，则 的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
6．（2021八上·红桥期中）如图，在 中， 、 的垂直平分线分别交 于点 、 ，若 ，则 为（ ）
A．38° B．40° C．24° D．44°
7．（2021八上·莒南期中）如图， 中， ， ， ， 于点 ， 是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使 最小，则这个最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
8．（2021八上·萧山期末）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是（ ）
A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
9．（2021八上·玉州期末）如图，在 中， ，点 是 的中点， 交 于 ；点 在 上， ， ， ，则 的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
10．（2021八上·德阳月考）如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF，②CD=CG，③AD=BD，④BC=BE中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2021八上·罗庄期中）如图，在Rt ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为 °．
12．（2021八上·莒南期中）如图，在 中，DE垂直平分BC交AB于点E，若 ， 的周长为31，则 的周长为 ．
13．（2021八上·交城期中）如图，在△ABC中，已知∠CDE＝64°，∠A＝30°，DE垂直平分BC，则∠ABD的度数为 °
14．（2021八上·潍坊期中）如图， 中， ， ，请依据尺规作图的作图痕迹，计算 ．
15．（2021八上·红桥期中）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC＝ ．
16．（2021八上·宜兴期中）如图，线段AB、BC的垂直平分线 、 相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC的度数为 .
17．（2021八上·潍坊月考）如图， 中， ， ， ， 于点D， 垂直平分 ，交 于点F，在 上确定一点P，使 最小，则这个最小值为 ．
18．（2021八上·姜堰月考）如图，在 中， ，以 为边，作 ，满足 ，E为 上一点，连接 ， ，连接 .下列结论中正确的是 （填序号）
① ；② ；③若 ，则 ；④ .
三、解答题
19．（2021八下·莲湖期中）请用尺规作图法在直线AB上作一点P，连接PC，PD使得△PCD是以CD为底边的等腰三角形．
20．（2021八上·孝义期中）作图题：如图，已知 ABC，在BC上找一点D，使 ABD的周长等于AB＋BC．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
21．（2021八上·中山期中）如图，在△ABC中，∠C =
90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB． DE恰好是AB的垂直平分线．CD与DB有怎样的数量关系 请说明理由．
22．（2021八上·汉滨期中）如图，AD与BC相交于点O， ， ， ，试探索OE与BD的位置关系，并说明理由.
23．（2021八下·达州期中）如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别是E，F，连接 EF：求证：AD 垂直平分EF.
24．（2020八上·庐阳期末）如图， 中， ， ，垂足为 ， 是边 的垂直平分线，交 于 ，交 于点 ，求 的度数．
25．（2021八下·达州期中）如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，AB、AC 的垂直平分线分别与BC 交于 D、E，求∠EAD 的度数。
26．（2021八上·肥城期中）如图，在 中， 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ， 与 相交于点 ，连结 ， ， ，若 的周长为 ， 的周长为 ．
（1）求线段 的长；
（2）求线段 的长．
27．（2021八上·汕头期中）如图，在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝DE，EF垂直平分AC，分别交BC，AC于点E，F，连接AE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若 ABC的周长为8，AC＝3，求CD的长．
28．（2020八上·泉州月考）如图，在 中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，交AB于点E，连接EG、EF.
（1）求证： .
（2）请你判断： 与EF的大小关系，并加以证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵要确保游戏公平，只需满足凳子到每个人的距离相等，
∴凳子要放在三角形的外心位置处即三边垂直平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得答案。
2．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABC的周长为18，
∴AB+BC+AC＝18，
∴AB+BC＝12，
∴△ABD的周长=AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝12，
故答案为：A．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DA＝DC，AC＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，
∴AE=BE，AF=CF，
∵BC=12，
∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=12，即 AEF的周长是12．
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合等量代换，求出三角形AEF的周长即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】 DE是BC边上的垂直平分线，
，
， ，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，求出，求出AB的值，代入算式即可求出答案。
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】由题意得： 是AC的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先根据线段垂直平分线性质得出 ，再由三角形内角和定理求出角BAC的度数，根据即可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=102°，
∴∠C+∠B=78°，
∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EB=EA，FC=FA，
∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠EAB+∠FAC=78°，
∴∠EAF=24°，
故答案为：C．
【分析】利用三角形的内角和求出∠C+∠B=78°，再根据EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，可得∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，即可得到∠EAB+∠FAC=78°，最后利用∠BAC-（∠EAB+∠FAC）即可得到答案。
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，
故答案为：B．
【分析】根据AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，得出AD的值，由EF垂直平分AB，得出点A，B关于直线EF对称，即可得出PB+PD的最小值。
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在EA上截取EF=BE，连接CF，
∵CE⊥AB，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B，
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠D=∠AFC，
∵AC平分∠BAD，
即∠DAC=∠FAC，
在△ACD和△ACF中，
，
∴△ACD≌△ACF（AAS），
∴CD=CF，
∴CD=CB，
故①正确；
∴AD=AF，
∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE.
故②正确；
根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE，
故③错误；
AB-AD=AB-AF=BF=2BE，
故④正确.
其中正确的是①②④.
故答案为：C.
【分析】在EA上截取EF=BE，连接CF，根据“AC平分∠BAD”和“∠ADC＋∠ABC＝180°”证明出△ACD≌△ACF，故①正确；由①可知，AD=AF，再根据线段间的和差关系可得：AD＋AB＝2AE，AB－AD＝2BE，故②④正确.
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作 于F，如图，
∵ ， ，
∴ ，
在Rt△CDE中， ，
∴ ， ，
∵D为AC的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△OEF中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】连接OC，过点O作 于F，先由线段之间关系得到DE=OD+OE=6，接着在Rt△CDE中，由30°所对直角边为斜边一半得到，接着由点D是AC的中点且DE⊥AC得到DE是AC的中垂线，根据垂直平分线的性质得出OA=OC，结合OA=OB得到OB=OC，再由等腰三角形三线合一得到，接着在Rt△OEF中由30°所对直角边为斜边一半得到EF的长度，最终由BE=BC-CE得到BE的长.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：①∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠BCF+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCF，故此小题正确；
②∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠DBA，
∵∠BCD=∠CFB=90°，利用互余关系，得∠BGF=∠BDC=∠CGD，
∴CD=CG，故此小题正确；
③由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，故此小题错误；
④∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CD，BD=BD，
∴△BCD≌△BED(HL)，
∴BC=BE，故此小题正确.
故①②④正确.
故答案为：C.
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠A+∠ABC=90°，利用垂直的定义及余角的性质，可证得∠A=∠BCF，可对①作出判断；利用角平分线的定义可证得∠DBC=∠DBA，利用余角的性质可证得∠BGF=∠BDC=∠CGD，再利用等角对等边，可对②作出判断；利用角平分线的性质可证得DE=DC，再利用HL证明△BCD≌△BED，利用全等三角形的性质，可对④作出判断；由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】40
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠BEA=80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC．
∵∠BEA=∠C+∠EAC，
∴∠C=40°．
故答案为：40°．
【分析】根据垂直平分线的性质可得∠C=∠CAE，再利用三角形的外角的性质可得∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，再利用三角形的内角和及∠BAE=10°求出∠AEB，最后计算即可。
12．【答案】21
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，BD=5，
∴EB=EC，BC=2BD=10，
∵△ABC的周长为31，
∴AB+AC+BC=31，
∴AB+AC=21，
∴△ACE的周长=AC+AE+EC=AC+AE+EB=AB+AC=21，
故答案为：21．
【分析】先根据DE是BC的垂直平分线，BD=5，得出EB=EC，BC=2BD=10，再由△ACE的周长=AB+AC即可求出答案。
13．【答案】98
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分BC，∠CDE＝64°，
∴BD＝DC，
∠C＝∠DBE＝90°-64°=26°，
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣26°＝124°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE ＝124°﹣26°＝98°．
故答案为：98．
【分析】结合线段垂直平分线的性质以及三角形的内角和定理，求出∠ABD的度数即可。
14．【答案】81
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
根据作图痕迹可得AD是 平分线，
∴ ，
根据作图痕迹可得EF是线段BC的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：81．
【分析】根据作图痕迹可得AD是 平分线，根据作图痕迹可得EF是线段BC的垂直平分线，得出，求出的度数，即可得出 的度数。
15．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】 EF是AB的垂直平分线，
，
，
故答案为：12．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AF=BF=10，因此AC=AF+CF=BF +CF，将数据代入计算即可。
16．【答案】76 °
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BO并延长，
∵ 、 分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴.
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注、角标注，连接BO并延长，由垂直平分线的性质得OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90°，由等腰三角形的性质可得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，结合外角的性质可得∠2=2∠A，∠3=2∠C，则∠AOC=2(∠A+∠C)，由外角的性质可得∠AOG=52°-∠A，∠COF=52°-∠C，由平角的概念得∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180°，据此求解.
17．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，
∴AD＝6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度＝PB＋PD的最小值，
即PB＋PD的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】根据三角形的面积公式即可得到AD=6，与EF垂直平分AB，得到点A、B关于EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论。
18．【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长EB至E'，使BE=BE'，连接 ；
∵∠ABC=90°，
∴AB垂直平分EE＇，
∴AE=AE'，
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠1= ，
∴∠E'AE=2∠1=∠CAD，
∴∠E'AC=∠EAD，
又∵AD=AC，
∴ ，
∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正确），
∴∠3=∠4；
当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，
此时，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°，
当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，
此时，∠AME≠90°，
∴①不正确；
若CD∥AB，
则∠7=∠BAC，
∵AD=AC，
∴∠7=∠ADC，
∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°，
∴ ，
∴∠1+∠7=90°，
∴∠2+∠7=90°，
∴∠2+∠BAC=90°，
即∠E'AC=90°，
由 ，
∴∠EAD=∠CAE'=90°，E'C=DE，
∴AE⊥AD（即③正确），DE=E'B+BE+CE=2BE+CE（即④正确）.
故答案为：②③④.
【分析】延长EB至E′，使BE=BE′，连接AE′，由垂直平分线的性质可得AE=AE′，由等腰三角形的性质可得∠1=∠2，∠3=∠5，结合已知条件得∠E′AE=2∠1=∠CAD，推出∠E′AC=∠EAD，证△DAE≌△CAE，据此判断②；当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，利用内角和求出∠AME的度数；当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，此时∠AME≠90°，据此判断①；若CD∥AB，由平行线的性质可得∠7=∠BAC，由等腰三角形的性质可得∠7=∠ADC，在△ACD中，应用内角和定理可得∠1+∠7=90°，推出∠E′AC=90°，由全等三角形的性质可得∠EAD=∠CAE′=90°，E′C=DE，据此判断③④.
19．【答案】解：作线段CD的垂直平分线交AB于点P，
∴点P就是所求作的点.
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】由△PCD是以CD为底边的等腰三角形，可知作线段CD的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可证得PD=CP，由此可求解.
20．【答案】解：如图，点D即为所求作．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，做线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质，求出三角形的周长即可。
21．【答案】解：CD与DB的数量关系是：BD=2CD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD= ，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，
∵DE恰好是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=∠CAD，
∵∠C = 90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
在Rt△DEB中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2CD．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由条件线先证出∠BAD=∠B=∠CAD，再根据值角三角形两锐角的和为90°，求得∠B=30°，即可得出结论。
22．【答案】解：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD.
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】易证△AOB≌△COD，得到OB=OD，则点O在线段BD的垂直平分线上，由BE=DE可知：点E在线段BD的垂直平分线上，据此解答.
23．【答案】证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线， 即∠DAE=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF ⊥AC， 即∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴A和D均在EF的垂直平分线上，
∴ AD 垂直平分EF .
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】首先利用角角边定理证明△AED≌△AFD，得出AE=AF，DE=DF，进而可知A和D均在EF的垂直平分线上，最后由两点决定一条直线即可得出AD 垂直平分EF .
24．【答案】解：∵∠BAC=100°，∠C=50°，
∴∠B=180°-（∠BAC+∠C）=30°，
∵EF是边AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B=30°，
∴∠AED=∠EAB+∠B=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠EAD=90°-60°=30°．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，进而得到∠EAB=∠B=30°，根据三角形的外角性质，直角三角形的性质计算即可。
25．【答案】解：∵ AB，AC的垂直平分线MD和EN分别与BC交于D，E
∴ DA=DB，AE=CE，
∴∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，
∴∠BAD+∠EAC=∠ABD+∠ECA=180°-∠BAC=100°，
又∵∠BAD+∠EAC=∠ BAE+∠EAD+∠DAC+∠EAD=∠BAC+∠EAD=80°+∠EAD=100°，
∴∠EAD=100°-80°=20°，
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，结合∠BAC =80°推出180°-∠BAC=100°，然后根据角的和差关系得出80°+∠EAD=100°，即可求出∠EAD的度数.
26．【答案】（1）解：∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AD=BD，AE=CE，
∴ 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC= ；
（2）∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AO=BO=CO，
∵ 的周长=BC+BO+CO= ，BC= ，
∴BO=CO=6cm，
∴OA=OB=6cm．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，再利用的周长计算方法及等量代换可得 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）根据垂直平分线的性质可得AO=BO=CO，再利用的周长为20，AB=8，可求出OB=OC=6，所以OA=6.
27．【答案】（1）解：∵ ，
∴
∴
∵
在 中
∵ 垂直平分
∴
∴
∵
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
且 的周长为8，
∴ ，
∴
即
∴ ．
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据AD⊥BC于点D，BD＝DE，得出，从而得出，从而得出，再由垂直平分线的性质，得出，再根据三角形的外角性质即可求解；
（2）根据题意得出 ，再由三角形的周长，即可求解。
28．【答案】（1）证明：∵BG∥AC，
∴ ，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
在△BDG和△CDF中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
由 得 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的性质；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠C=∠GBD，由线段的中点可得BD=CD，根据“ASA”证明
，可得 ；
（2） ，理由：由可得DG=DF，结合ED⊥FG，可得EG=EF，在△BEG中，利用三角形三边关系可得，据此即得结论.
1 / 1苏科版数学八年级上册 2.4.1 线段的轴对称性 同步训练
一、单选题
1．（2021八上·乐陵期中）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵要确保游戏公平，只需满足凳子到每个人的距离相等，
∴凳子要放在三角形的外心位置处即三边垂直平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得答案。
2．（2021八上·中山期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，△ABC的周长为18，AE = 3，则△ABD的周长（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABC的周长为18，
∴AB+BC+AC＝18，
∴AB+BC＝12，
∴△ABD的周长=AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝12，
故答案为：A．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DA＝DC，AC＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算即可得出答案。
3．（2021八上·孝义期中）如图，在 ABC中，DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，若AB＝6，AC＝8，BC＝12，则 AEF的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，
∴AE=BE，AF=CF，
∵BC=12，
∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=12，即 AEF的周长是12．
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合等量代换，求出三角形AEF的周长即可。
4．（2021八上·大石桥月考）如图， 中， ， ，DE是BC边上的垂直平分线， 的周长为 ，则 的面积是（ ） ．
A．12 B．24 C．48 D．16
【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】 DE是BC边上的垂直平分线，
，
， ，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，求出，求出AB的值，代入算式即可求出答案。
5．（2021八上·河东期中）如图，在 中， ， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ， ，作直线 ，交 于点 ，连接 ，则 的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】由题意得： 是AC的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】先根据线段垂直平分线性质得出 ，再由三角形内角和定理求出角BAC的度数，根据即可得出结论。
6．（2021八上·红桥期中）如图，在 中， 、 的垂直平分线分别交 于点 、 ，若 ，则 为（ ）
A．38° B．40° C．24° D．44°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=102°，
∴∠C+∠B=78°，
∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EB=EA，FC=FA，
∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠EAB+∠FAC=78°，
∴∠EAF=24°，
故答案为：C．
【分析】利用三角形的内角和求出∠C+∠B=78°，再根据EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，可得∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，即可得到∠EAB+∠FAC=78°，最后利用∠BAC-（∠EAB+∠FAC）即可得到答案。
7．（2021八上·莒南期中）如图， 中， ， ， ， 于点 ， 是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使 最小，则这个最小值为（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴EF与AD的交点P即为所求，
如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为4，
故答案为：B．
【分析】根据AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，得出AD的值，由EF垂直平分AB，得出点A，B关于直线EF对称，即可得出PB+PD的最小值。
8．（2021八上·萧山期末）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是（ ）
A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在EA上截取EF=BE，连接CF，
∵CE⊥AB，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B，
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠D=∠AFC，
∵AC平分∠BAD，
即∠DAC=∠FAC，
在△ACD和△ACF中，
，
∴△ACD≌△ACF（AAS），
∴CD=CF，
∴CD=CB，
故①正确；
∴AD=AF，
∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE.
故②正确；
根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE，
故③错误；
AB-AD=AB-AF=BF=2BE，
故④正确.
其中正确的是①②④.
故答案为：C.
【分析】在EA上截取EF=BE，连接CF，根据“AC平分∠BAD”和“∠ADC＋∠ABC＝180°”证明出△ACD≌△ACF，故①正确；由①可知，AD=AF，再根据线段间的和差关系可得：AD＋AB＝2AE，AB－AD＝2BE，故②④正确.
9．（2021八上·玉州期末）如图，在 中， ，点 是 的中点， 交 于 ；点 在 上， ， ， ，则 的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作 于F，如图，
∵ ， ，
∴ ，
在Rt△CDE中， ，
∴ ， ，
∵D为AC的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△OEF中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】连接OC，过点O作 于F，先由线段之间关系得到DE=OD+OE=6，接着在Rt△CDE中，由30°所对直角边为斜边一半得到，接着由点D是AC的中点且DE⊥AC得到DE是AC的中垂线，根据垂直平分线的性质得出OA=OC，结合OA=OB得到OB=OC，再由等腰三角形三线合一得到，接着在Rt△OEF中由30°所对直角边为斜边一半得到EF的长度，最终由BE=BC-CE得到BE的长.
10．（2021八上·德阳月考）如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF，②CD=CG，③AD=BD，④BC=BE中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：①∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠BCF+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCF，故此小题正确；
②∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠DBA，
∵∠BCD=∠CFB=90°，利用互余关系，得∠BGF=∠BDC=∠CGD，
∴CD=CG，故此小题正确；
③由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，故此小题错误；
④∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CD，BD=BD，
∴△BCD≌△BED(HL)，
∴BC=BE，故此小题正确.
故①②④正确.
故答案为：C.
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠A+∠ABC=90°，利用垂直的定义及余角的性质，可证得∠A=∠BCF，可对①作出判断；利用角平分线的定义可证得∠DBC=∠DBA，利用余角的性质可证得∠BGF=∠BDC=∠CGD，再利用等角对等边，可对②作出判断；利用角平分线的性质可证得DE=DC，再利用HL证明△BCD≌△BED，利用全等三角形的性质，可对④作出判断；由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
11．（2021八上·罗庄期中）如图，在Rt ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为 °．
【答案】40
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠BEA=80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC．
∵∠BEA=∠C+∠EAC，
∴∠C=40°．
故答案为：40°．
【分析】根据垂直平分线的性质可得∠C=∠CAE，再利用三角形的外角的性质可得∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，再利用三角形的内角和及∠BAE=10°求出∠AEB，最后计算即可。
12．（2021八上·莒南期中）如图，在 中，DE垂直平分BC交AB于点E，若 ， 的周长为31，则 的周长为 ．
【答案】21
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，BD=5，
∴EB=EC，BC=2BD=10，
∵△ABC的周长为31，
∴AB+AC+BC=31，
∴AB+AC=21，
∴△ACE的周长=AC+AE+EC=AC+AE+EB=AB+AC=21，
故答案为：21．
【分析】先根据DE是BC的垂直平分线，BD=5，得出EB=EC，BC=2BD=10，再由△ACE的周长=AB+AC即可求出答案。
13．（2021八上·交城期中）如图，在△ABC中，已知∠CDE＝64°，∠A＝30°，DE垂直平分BC，则∠ABD的度数为 °
【答案】98
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分BC，∠CDE＝64°，
∴BD＝DC，
∠C＝∠DBE＝90°-64°=26°，
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣26°＝124°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE ＝124°﹣26°＝98°．
故答案为：98．
【分析】结合线段垂直平分线的性质以及三角形的内角和定理，求出∠ABD的度数即可。
14．（2021八上·潍坊期中）如图， 中， ， ，请依据尺规作图的作图痕迹，计算 ．
【答案】81
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
根据作图痕迹可得AD是 平分线，
∴ ，
根据作图痕迹可得EF是线段BC的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：81．
【分析】根据作图痕迹可得AD是 平分线，根据作图痕迹可得EF是线段BC的垂直平分线，得出，求出的度数，即可得出 的度数。
15．（2021八上·红桥期中）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC＝ ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】 EF是AB的垂直平分线，
，
，
故答案为：12．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AF=BF=10，因此AC=AF+CF=BF +CF，将数据代入计算即可。
16．（2021八上·宜兴期中）如图，线段AB、BC的垂直平分线 、 相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC的度数为 .
【答案】76 °
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BO并延长，
∵ 、 分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴.
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注、角标注，连接BO并延长，由垂直平分线的性质得OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90°，由等腰三角形的性质可得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，结合外角的性质可得∠2=2∠A，∠3=2∠C，则∠AOC=2(∠A+∠C)，由外角的性质可得∠AOG=52°-∠A，∠COF=52°-∠C，由平角的概念得∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180°，据此求解.
17．（2021八上·潍坊月考）如图， 中， ， ， ， 于点D， 垂直平分 ，交 于点F，在 上确定一点P，使 最小，则这个最小值为 ．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，
∴AD＝6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度＝PB＋PD的最小值，
即PB＋PD的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】根据三角形的面积公式即可得到AD=6，与EF垂直平分AB，得到点A、B关于EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论。
18．（2021八上·姜堰月考）如图，在 中， ，以 为边，作 ，满足 ，E为 上一点，连接 ， ，连接 .下列结论中正确的是 （填序号）
① ；② ；③若 ，则 ；④ .
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长EB至E'，使BE=BE'，连接 ；
∵∠ABC=90°，
∴AB垂直平分EE＇，
∴AE=AE'，
∴∠1=∠2，∠3=∠5，
∵∠1= ，
∴∠E'AE=2∠1=∠CAD，
∴∠E'AC=∠EAD，
又∵AD=AC，
∴ ，
∴∠5=∠4，∠ADE=∠ACB（即②正确），
∴∠3=∠4；
当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，
此时，∠AME=180°－（∠4+∠6）=90°，
当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，
此时，∠AME≠90°，
∴①不正确；
若CD∥AB，
则∠7=∠BAC，
∵AD=AC，
∴∠7=∠ADC，
∵∠CAD+∠7+∠ADC=180°，
∴ ，
∴∠1+∠7=90°，
∴∠2+∠7=90°，
∴∠2+∠BAC=90°，
即∠E'AC=90°，
由 ，
∴∠EAD=∠CAE'=90°，E'C=DE，
∴AE⊥AD（即③正确），DE=E'B+BE+CE=2BE+CE（即④正确）.
故答案为：②③④.
【分析】延长EB至E′，使BE=BE′，连接AE′，由垂直平分线的性质可得AE=AE′，由等腰三角形的性质可得∠1=∠2，∠3=∠5，结合已知条件得∠E′AE=2∠1=∠CAD，推出∠E′AC=∠EAD，证△DAE≌△CAE，据此判断②；当∠6=∠1时，∠4+∠6=∠3+∠1=90°，利用内角和求出∠AME的度数；当∠6≠∠1时，∠4+∠6≠∠3+∠1，∠4+∠6≠90°，此时∠AME≠90°，据此判断①；若CD∥AB，由平行线的性质可得∠7=∠BAC，由等腰三角形的性质可得∠7=∠ADC，在△ACD中，应用内角和定理可得∠1+∠7=90°，推出∠E′AC=90°，由全等三角形的性质可得∠EAD=∠CAE′=90°，E′C=DE，据此判断③④.
三、解答题
19．（2021八下·莲湖期中）请用尺规作图法在直线AB上作一点P，连接PC，PD使得△PCD是以CD为底边的等腰三角形．
【答案】解：作线段CD的垂直平分线交AB于点P，
∴点P就是所求作的点.
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】由△PCD是以CD为底边的等腰三角形，可知作线段CD的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可证得PD=CP，由此可求解.
20．（2021八上·孝义期中）作图题：如图，已知 ABC，在BC上找一点D，使 ABD的周长等于AB＋BC．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，点D即为所求作．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，做线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质，求出三角形的周长即可。
21．（2021八上·中山期中）如图，在△ABC中，∠C =
90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB． DE恰好是AB的垂直平分线．CD与DB有怎样的数量关系 请说明理由．
【答案】解：CD与DB的数量关系是：BD=2CD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD= ，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，
∵DE恰好是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=∠CAD，
∵∠C = 90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
在Rt△DEB中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2CD．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由条件线先证出∠BAD=∠B=∠CAD，再根据值角三角形两锐角的和为90°，求得∠B=30°，即可得出结论。
22．（2021八上·汉滨期中）如图，AD与BC相交于点O， ， ， ，试探索OE与BD的位置关系，并说明理由.
【答案】解：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD.
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】易证△AOB≌△COD，得到OB=OD，则点O在线段BD的垂直平分线上，由BE=DE可知：点E在线段BD的垂直平分线上，据此解答.
23．（2021八下·达州期中）如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别是E，F，连接 EF：求证：AD 垂直平分EF.
【答案】证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线， 即∠DAE=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF ⊥AC， 即∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴A和D均在EF的垂直平分线上，
∴ AD 垂直平分EF .
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】首先利用角角边定理证明△AED≌△AFD，得出AE=AF，DE=DF，进而可知A和D均在EF的垂直平分线上，最后由两点决定一条直线即可得出AD 垂直平分EF .
24．（2020八上·庐阳期末）如图， 中， ， ，垂足为 ， 是边 的垂直平分线，交 于 ，交 于点 ，求 的度数．
【答案】解：∵∠BAC=100°，∠C=50°，
∴∠B=180°-（∠BAC+∠C）=30°，
∵EF是边AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B=30°，
∴∠AED=∠EAB+∠B=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠EAD=90°-60°=30°．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，进而得到∠EAB=∠B=30°，根据三角形的外角性质，直角三角形的性质计算即可。
25．（2021八下·达州期中）如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，AB、AC 的垂直平分线分别与BC 交于 D、E，求∠EAD 的度数。
【答案】解：∵ AB，AC的垂直平分线MD和EN分别与BC交于D，E
∴ DA=DB，AE=CE，
∴∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，
∴∠BAD+∠EAC=∠ABD+∠ECA=180°-∠BAC=100°，
又∵∠BAD+∠EAC=∠ BAE+∠EAD+∠DAC+∠EAD=∠BAC+∠EAD=80°+∠EAD=100°，
∴∠EAD=100°-80°=20°，
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，结合∠BAC =80°推出180°-∠BAC=100°，然后根据角的和差关系得出80°+∠EAD=100°，即可求出∠EAD的度数.
26．（2021八上·肥城期中）如图，在 中， 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ， 与 相交于点 ，连结 ， ， ，若 的周长为 ， 的周长为 ．
（1）求线段 的长；
（2）求线段 的长．
【答案】（1）解：∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AD=BD，AE=CE，
∴ 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC= ；
（2）∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AO=BO=CO，
∵ 的周长=BC+BO+CO= ，BC= ，
∴BO=CO=6cm，
∴OA=OB=6cm．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，再利用的周长计算方法及等量代换可得 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）根据垂直平分线的性质可得AO=BO=CO，再利用的周长为20，AB=8，可求出OB=OC=6，所以OA=6.
27．（2021八上·汕头期中）如图，在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝DE，EF垂直平分AC，分别交BC，AC于点E，F，连接AE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若 ABC的周长为8，AC＝3，求CD的长．
【答案】（1）解：∵ ，
∴
∴
∵
在 中
∵ 垂直平分
∴
∴
∵
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
且 的周长为8，
∴ ，
∴
即
∴ ．
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据AD⊥BC于点D，BD＝DE，得出，从而得出，从而得出，再由垂直平分线的性质，得出，再根据三角形的外角性质即可求解；
（2）根据题意得出 ，再由三角形的周长，即可求解。
28．（2020八上·泉州月考）如图，在 中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，交AB于点E，连接EG、EF.
（1）求证： .
（2）请你判断： 与EF的大小关系，并加以证明.
【答案】（1）证明：∵BG∥AC，
∴ ，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
在△BDG和△CDF中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
由 得 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的性质；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠C=∠GBD，由线段的中点可得BD=CD，根据“ASA”证明
，可得 ；
（2） ，理由：由可得DG=DF，结合ED⊥FG，可得EG=EF，在△BEG中，利用三角形三边关系可得，据此即得结论.
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