苏科版数学八年级上册 2.4.3 线段、角的轴对称性 同步训练
一、单选题
1．（2021八上·乐陵期中）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点
2．（2021八上·孝义期中）如图，在 ABC中，DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，若AB＝6，AC＝8，BC＝12，则 AEF的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2021八下·武侯期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．（2020八上·大石桥期末）如图， 平分 交 于点D， 于点E， 于点F．若 ， ， ，则 的长是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（2020八上·莫旗期末）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，BC=10，则PE的最小值为（ ）
A．8 B．5 C．4 D．2
6．（2021八上·拱墅期末）在 中，已知 ，AD是 的角平分线， 于点E.若 的面积为S，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020八上·兴城期末）如图， 中， 的平分线 与边 的垂直平分线 相交于点D， 交 的延长线于点E， 于F，现有下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ ；其中，正确的结论的个数是______
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2021八上·德阳月考）如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF，②CD=CG，③AD=BD，④BC=BE中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2020八上·丹江口期中）如图，AD是角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EF∥BC交AC于F.下列结论：
①△ADC≌△ADE；②CE平分∠DEF；③AD垂直平分CE，④DE=DF.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①③
10．（2021八上·防城期中）如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AEF=∠AFE；②AD垂直平分EF ；③ ；④E一定平行于BC．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．（2021八上·平邑期中）如图，在 中， 分别以 为圆心， 为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点，连接BD，则△BCD的周长是 ．
12．（2021八上·盖州月考）通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为 ．
13．（2021八上·姜堰月考）如图， 中， ，DE垂直平分AB， ， ，则 .
14．（2021八上·陇县期中）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1 S2+S3.（填“＞“＜”或“＝”）
15．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
16．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝ .
17．（2021八上·泰州月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分别是AB，AC边的垂直平分线，点E、F在BC上，则∠FAE的度数为 .
18．（2021八上·青羊开学考）如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 .
三、解答题
19．（2021八上·卧龙期末）为了加强环境治理，某地准备在如图所示的公路m、n之间的S区域新建一座垃圾处理站P，按照设计要求，垃圾处理站P到区域S内的两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路m、n的距离也必须相等.请在图中用尺规作图的方法作出点P的位置并标出点P（不写作法但保留作图痕迹）.
20．（2021八下·达州期中）如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，AB、AC 的垂直平分线分别与BC 交于 D、E，求∠EAD 的度数。
21．（2021八上·泰州月考）已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC边的垂直平分线PQ交于点P，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，若BE＝10cm，AB＝6cm，求CE的长.
22．（2021八上·灌云期中）已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE=CF.
23．（2021八上·姜堰月考）已知：在 中，AD平分 ， 于F， 于 线段AD与EF有何关系？并说明理由.
24．（2021八上·姜堰月考）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，那么∠B与∠CAF相等吗？为什么？
25．（2021八上·乐清期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．
26．（2021八上·徐闻期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
27．（2021八上·陇县期中）如图，A、B两点在射线OM、ON上，CF垂直平分AB，垂足为F， ， ，垂足分别为D、E，且 .
（1）求证：OC平分 ；
（2）如果 ， ，求OD的长.
28．（2021八上·鹿城期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F.
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝ BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵要确保游戏公平，只需满足凳子到每个人的距离相等，
∴凳子要放在三角形的外心位置处即三边垂直平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得答案。
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，
∴AE=BE，AF=CF，
∵BC=12，
∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=12，即 AEF的周长是12．
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合等量代换，求出三角形AEF的周长即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，作DH⊥AC于H，
∵AD为∠BAC的平分线，DH⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DH，
∵DE=DG，
∴△DFE≌△DHG（HL），
同理△AFD≌△AHD，
设△AFD的面积=△AHD的面积=x，△DEF的面积=△DHG的面积=y，
∴S△ADG＝S△AHD+S△DHG=x+y=24，∴S△AED＝S△AFD-S△FED=x-y=18，
∴x+y-（x-y）=24-18，
解得x=3，即△DEF的面积为3，
故答案为：B.
【分析】 过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的性质可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，△AFD≌△AHD，可得S△EDF=S△GDH，S△AFD=S△AHD，设△AFD的面积=△AHD的面积=x，△DEF的面积=△DHG的面积=y，根据“ S△ADG＝24，S△AED＝18， ”分别列方程联立求解即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴8= ×AB×DE+ ×AC×DF，
∴16=AB×2+3×2，
∴AB=5，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质可以得到DE=DF=2，再利用割补法和三角形面积公式计算可得8= ×AB×DE+ ×AC×DF，再求解即可。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴AE＝PE，ED＝PE，
∴AE＝ED＝PE，
∵AD＝8，
∴PE＝4，
即PE的最小值是4，
故答案为：C．
【分析】过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，求出AD⊥CD，根据角平分线的性质得出AE＝ED＝PE，求出PE的长即可。
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
∵ ，
设AC=5k，BC=12k，AB=13k，
∴AC2+BC2=AB2
∴ 为直角三角形，∠C=90°，
∵AD是 的角平分线， ，
∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，
∵AD=AD，
∴ ，
∴ ，AE=AC=5k，
∴BE=13k-5k=8k，
∵ 和 同高，
∴ ，
∵ 的面积为S，
∴ .
故答案为：B.
【分析】设AC=5k，BC=12k，AB=13k，由勾股定理的逆定理可得 为直角三角形，∠C=90°，由角平分线的性质可得DE=CD，可得Rt△ACD≌Rt△ADE，故AE=AC=5k，可得BE=13k-5k=8k，根据 和 同高，根据同高三角形的面积之比等于相似比的平方可得 ，可得结果.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接BD、DC．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．故①符合题意．
∵ 的平分线 与边 的垂直平分线 相交于点D，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
又∵ED＝DF，
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，∠DAE=∠DAF，
∴ ，
∴∠ADE=∠ADF，即：AD平分
∴不能判定GD平分∠EDF．故③不符合题意．
④∵△BED≌△CFD．
∴BE＝FC，
∵ ，
∴AE＝AF，
∴AB＋AC＝AE BE＋AF＋FC，
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB＋AC＝2AE．故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，角平分线的性质对每个结论一一判断即可。
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：①∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠BCF+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCF，故此小题正确；
②∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠DBA，
∵∠BCD=∠CFB=90°，利用互余关系，得∠BGF=∠BDC=∠CGD，
∴CD=CG，故此小题正确；
③由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，故此小题错误；
④∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CD，BD=BD，
∴△BCD≌△BED(HL)，
∴BC=BE，故此小题正确.
故①②④正确.
故答案为：C.
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠A+∠ABC=90°，利用垂直的定义及余角的性质，可证得∠A=∠BCF，可对①作出判断；利用角平分线的定义可证得∠DBC=∠DBA，利用余角的性质可证得∠BGF=∠BDC=∠CGD，再利用等角对等边，可对②作出判断；利用角平分线的性质可证得DE=DC，再利用HL证明△BCD≌△BED，利用全等三角形的性质，可对④作出判断；由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD是角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△ADC和△ADE中，∠EAD=∠CAD，AE=AC，AD=AD，
∴△ADC≌△ADE（SAS），故①正确；
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠DCE=∠CEF，
∴∠DEC=∠CEF，
∴CE平分∠DEF，故②正确；
∵AE=AC，DE=DC，
∴A、D都在线段EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故③正确；
∵DC≠DF，DE=DC，
∴④不正确，
∴正确的有①②③3个.
故答案为：A.
【分析】由角平分线的概念可得∠EAD=∠CAD，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；由全等三角形的性质可得DE=DC，则∠DEC=∠DCE，由平行线的性质可得∠DCE=∠CEF， 推出∠DEC=∠CEF，据此判断②；由AE=AC，DE=DC可知A、D都在线段EF的垂直平分线上，据此判断③；根据DC≠DF，DE=DC可判断④.
10．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①在△ABC中，∵∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，∴AF=AE，∴∠AFE=∠AEF，正确；
②∵DF=DE，AF=AE，∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF，正确；
③∵S△CDE=CE×DE，DF=DE，∴，正确；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，∴EF不一定平行于BC，错误。
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，判断得到答案即可。
11．【答案】10.5
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，
则BD=AD，
则△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵AC=6，BC=4.5，
∴△BCD的周长=6+4.5=10.5．
故答案为：10.5．
【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=AD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC
=AC+BC，再将数据代入计算即可。
12．【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】∵P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，
∴点P到AC、BC的距离也为1.
∴S△ABC= S△ABP + S△ACP + S△BCP
= AB + AC + BC
= （AB+AC+BC）
=
= .
【分析】由P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，根据角平分线的性质在知道P到三边的距离相等，而S△ABC= S△ABP + S△ACP + S△BCP，依次表示出其他三角形的面积，再利用三角形ABC的周长求出其面积的值即可。
13．【答案】45
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠A＝∠ABE＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝(180－∠A)÷2＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°，
∵BF＝EF，
∴∠BEF＝∠EBC＝22.5°，
∴∠EFC＝∠EBC+∠BEF＝45°.
故答案为：45.
【分析】由垂直平分线的性质可得AE＝BE，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABE，求出∠A＝∠ABE＝45°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC＝∠C＝67.5°，进而求出∠EBC的度数，根据等腰三角形的性质可得∠BEF＝∠EBC＝22.5°，接下来根据外角的性质进行求解.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过 点作 于 ， 于 ， 于 ，如图，
和 的角平分线交于点 ，
， ，
，
设 ，
， ，
而 ，
.
故答案为： .
【分析】过P点作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，由角平分线的性质可得PD=PF=PE，设PD=PE=PF=t，然后表示出S1、S2+S3，由三角形的三边关系可得AB15．【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
16．【答案】1
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝∠DEA＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中， ，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴BE＝1.
故答案为：1.
【分析】连接CD，BD，由角平分线的性质可得DF＝DE，证明△ADF≌△ADE，得到AE＝AF，由线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，进而证明Rt△CDF≌Rt△BDE，得到BE＝CF，则AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，据此进行计算.
17．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，
∵DE、GF分别是AB、AC边的垂直平分线，
∴BE=AE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC=100°，
∵∠BAC=80°，
∴∠FAE=∠BAE+∠FAC-∠BAC=100°-80°=20°，
故答案为：20°.
【分析】由三角形的内角和定理得∠B+∠C=100°，由垂直平分线的性质得BE=AE，AF=CF，根据等边对等角得∠B=∠BAE，∠C=∠FAC，则可得到∠BAE+∠FAC=100°，然后根据角的和差关系推出∠FAE=∠BAE+∠FAC-∠BAC，即可解答.
18．【答案】3
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值.
∵三角形ABC的面积为15，AB＝10，
∴ ×10 CE＝15，
∴CE＝3.
即CM+MN的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，由角平分线的性质可得MN＝ME，则CE＝CM+ME＝CM+MN取得最小值，接下来根据三角形的面积公式求出CE的值即可.
19．【答案】解：如图所示，点P即为所求作.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点.
20．【答案】解：∵ AB，AC的垂直平分线MD和EN分别与BC交于D，E
∴ DA=DB，AE=CE，
∴∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，
∴∠BAD+∠EAC=∠ABD+∠ECA=180°-∠BAC=100°，
又∵∠BAD+∠EAC=∠ BAE+∠EAD+∠DAC+∠EAD=∠BAC+∠EAD=80°+∠EAD=100°，
∴∠EAD=100°-80°=20°，
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，结合∠BAC =80°推出180°-∠BAC=100°，然后根据角的和差关系得出80°+∠EAD=100°，即可求出∠EAD的度数.
21．【答案】解：如图，连接AP、CP，
∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PBD＝∠PBE，∠PDB＝∠PEC＝90°，PD＝PE，
在△BPD和△BPE中，
，
∴△BPD≌△BPE（AAS），
∴BD＝BE，
又∵BE＝10cm，AB＝6cm，
∴AD＝BD﹣AB＝BE﹣AB＝4cm，
∵PQ垂直平分AC，
∴PA＝PC，
在Rt△PAD和Rt△PCE中，
，
∴Rt△PAD≌Rt△PCE（HL），
∴CE＝AD＝4cm.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】连接AP、CP，由角平分线的性质可得∠PBD＝∠PBE，∠PDB＝∠PEC＝90°，PD＝PE，用角角边可证△BPD≌△BPE，由全等三角形的对应边相等得BD=BE，由线段的构成AD=BD-AB=BE-AB可求得AD的值，由线段的垂直平分线的性质可得PA=PC，用HL定理得Rt△PAD≌Rt△PCE求解.
22．【答案】证明：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，
∵D为∠BAC上面的点，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接BD、CD，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，由角平分线的性质可得DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，据此可得结论.
23．【答案】解： 垂直平分 ，理由如下：
， ，
，
是 的平分线，
，
在 与 中，
，
（AAS），
， ，
点A，D在线段 的垂直平分线上，
垂直平分 .
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由垂直的概念得∠AED=∠AFD=90°，由角平分线的概念得∠DAE=∠DAF，证△ADE≌△ADF，得到AE=AF，DE=DF，推出点A，D在线段EF的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线，即可解答.
24．【答案】解：∠B=∠CAF，
理由如下：∵FE垂直平分AD，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠CAF.
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质可得FA=FD，由等腰三角形的性质可得∠FAD=∠FDA，由角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，由外角的性质可得∠FDA=∠B+∠BAD，据此判断.
25．【答案】（1）证明：∵DF＝EF ∴点F为DE的中点
又∵CF⊥DE ∴CF为DE的中垂线
∴CD＝CE
又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
CD是斜边AB上的中线
∴CD＝ =AD
∴AD＝CE
（2）解：由（1）得CD＝CE= =5
AB=10 ∴BC= =8
∴EB=EC+BC=13
∴
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）易得点F为DE的中点，CF为DE的中垂线，则可得CD＝CE，由直角三角形斜边上中线的性质可得CD＝AB=AD，据此证明；
（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算.
26．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵ ，
∴ 点在 的角平分线上
∴ 平分
（2）解：∵
∴
又∵ ， ，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得出 ， ，再由，得出，推出，得出 点在 的角平分线上，由此得出结论；
（2）由 ， ， ，证明，得出，得出，由此得出答案。
27．【答案】（1）如图，连接CA，CB
垂直平分AB，
， ，
在 与 中
≌ .
在 与 中
≌ .
平分 ；
（2）由（1）得
设
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）连接CA，CB，由垂直平分线的性质可得AC=CB，由垂直的概念可得∠ODA=∠CEB=90°，证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，进而证明△ODC≌△OEC，得到∠DOC=∠EOC，据此进行证明；
（2）由（1）得OE=OD，设 BE=x，则OE=4+x，AD=BE=x，OA=4+2x=10，求出x的值，进而可得OD.
28．【答案】（1）证明：∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）解：由（1）知，△ABD≌ACF，
∴BD＝CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC＝BF，
∵BD⊥CE，
∴CE＝EF，
∴CE＝ CF＝ BD
（3）解：∠AED不变化
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，
∴BD AH＝CF AG，而BD＝CF，
∴AH＝AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA＝ ∠BEG＝45°，
即：∠AED不变化.
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，由对顶角的性质可得∠ADB＝∠CDE，根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠ACF，接下来结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝CF，易得BC＝BF，结合等腰三角形的性质可得CE＝EF，据此证明；
（3）过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，根据△ABD的面积公式可得AH＝AG，推出EA平分∠BEF，据此解答.
1 / 1苏科版数学八年级上册 2.4.3 线段、角的轴对称性 同步训练
一、单选题
1．（2021八上·乐陵期中）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵要确保游戏公平，只需满足凳子到每个人的距离相等，
∴凳子要放在三角形的外心位置处即三边垂直平分线的交点，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得答案。
2．（2021八上·孝义期中）如图，在 ABC中，DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，若AB＝6，AC＝8，BC＝12，则 AEF的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，
∴AE=BE，AF=CF，
∵BC=12，
∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=12，即 AEF的周长是12．
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合等量代换，求出三角形AEF的周长即可。
3．（2021八下·武侯期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，作DH⊥AC于H，
∵AD为∠BAC的平分线，DH⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DH，
∵DE=DG，
∴△DFE≌△DHG（HL），
同理△AFD≌△AHD，
设△AFD的面积=△AHD的面积=x，△DEF的面积=△DHG的面积=y，
∴S△ADG＝S△AHD+S△DHG=x+y=24，∴S△AED＝S△AFD-S△FED=x-y=18，
∴x+y-（x-y）=24-18，
解得x=3，即△DEF的面积为3，
故答案为：B.
【分析】 过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的性质可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，△AFD≌△AHD，可得S△EDF=S△GDH，S△AFD=S△AHD，设△AFD的面积=△AHD的面积=x，△DEF的面积=△DHG的面积=y，根据“ S△ADG＝24，S△AED＝18， ”分别列方程联立求解即可.
4．（2020八上·大石桥期末）如图， 平分 交 于点D， 于点E， 于点F．若 ， ， ，则 的长是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴8= ×AB×DE+ ×AC×DF，
∴16=AB×2+3×2，
∴AB=5，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质可以得到DE=DF=2，再利用割补法和三角形面积公式计算可得8= ×AB×DE+ ×AC×DF，再求解即可。
5．（2020八上·莫旗期末）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，BC=10，则PE的最小值为（ ）
A．8 B．5 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴AE＝PE，ED＝PE，
∴AE＝ED＝PE，
∵AD＝8，
∴PE＝4，
即PE的最小值是4，
故答案为：C．
【分析】过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，求出AD⊥CD，根据角平分线的性质得出AE＝ED＝PE，求出PE的长即可。
6．（2021八上·拱墅期末）在 中，已知 ，AD是 的角平分线， 于点E.若 的面积为S，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：
∵ ，
设AC=5k，BC=12k，AB=13k，
∴AC2+BC2=AB2
∴ 为直角三角形，∠C=90°，
∵AD是 的角平分线， ，
∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，
∵AD=AD，
∴ ，
∴ ，AE=AC=5k，
∴BE=13k-5k=8k，
∵ 和 同高，
∴ ，
∵ 的面积为S，
∴ .
故答案为：B.
【分析】设AC=5k，BC=12k，AB=13k，由勾股定理的逆定理可得 为直角三角形，∠C=90°，由角平分线的性质可得DE=CD，可得Rt△ACD≌Rt△ADE，故AE=AC=5k，可得BE=13k-5k=8k，根据 和 同高，根据同高三角形的面积之比等于相似比的平方可得 ，可得结果.
7．（2020八上·兴城期末）如图， 中， 的平分线 与边 的垂直平分线 相交于点D， 交 的延长线于点E， 于F，现有下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ ；其中，正确的结论的个数是______
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：连接BD、DC．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．故①符合题意．
∵ 的平分线 与边 的垂直平分线 相交于点D，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
又∵ED＝DF，
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，∠DAE=∠DAF，
∴ ，
∴∠ADE=∠ADF，即：AD平分
∴不能判定GD平分∠EDF．故③不符合题意．
④∵△BED≌△CFD．
∴BE＝FC，
∵ ，
∴AE＝AF，
∴AB＋AC＝AE BE＋AF＋FC，
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB＋AC＝2AE．故④符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，角平分线的性质对每个结论一一判断即可。
8．（2021八上·德阳月考）如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF，②CD=CG，③AD=BD，④BC=BE中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：①∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠BCF+∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCF，故此小题正确；
②∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠DBA，
∵∠BCD=∠CFB=90°，利用互余关系，得∠BGF=∠BDC=∠CGD，
∴CD=CG，故此小题正确；
③由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，故此小题错误；
④∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴DE=CD，BD=BD，
∴△BCD≌△BED(HL)，
∴BC=BE，故此小题正确.
故①②④正确.
故答案为：C.
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠A+∠ABC=90°，利用垂直的定义及余角的性质，可证得∠A=∠BCF，可对①作出判断；利用角平分线的定义可证得∠DBC=∠DBA，利用余角的性质可证得∠BGF=∠BDC=∠CGD，再利用等角对等边，可对②作出判断；利用角平分线的性质可证得DE=DC，再利用HL证明△BCD≌△BED，利用全等三角形的性质，可对④作出判断；由于DE是否是AB的垂直平分线不能确定，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．（2020八上·丹江口期中）如图，AD是角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EF∥BC交AC于F.下列结论：
①△ADC≌△ADE；②CE平分∠DEF；③AD垂直平分CE，④DE=DF.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①③
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD是角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△ADC和△ADE中，∠EAD=∠CAD，AE=AC，AD=AD，
∴△ADC≌△ADE（SAS），故①正确；
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠DCE=∠CEF，
∴∠DEC=∠CEF，
∴CE平分∠DEF，故②正确；
∵AE=AC，DE=DC，
∴A、D都在线段EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故③正确；
∵DC≠DF，DE=DC，
∴④不正确，
∴正确的有①②③3个.
故答案为：A.
【分析】由角平分线的概念可得∠EAD=∠CAD，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；由全等三角形的性质可得DE=DC，则∠DEC=∠DCE，由平行线的性质可得∠DCE=∠CEF， 推出∠DEC=∠CEF，据此判断②；由AE=AC，DE=DC可知A、D都在线段EF的垂直平分线上，据此判断③；根据DC≠DF，DE=DC可判断④.
10．（2021八上·防城期中）如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，下面四个结论：①∠AEF=∠AFE；②AD垂直平分EF ；③ ；④E一定平行于BC．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①在△ABC中，∵∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，∴AF=AE，∴∠AFE=∠AEF，正确；
②∵DF=DE，AF=AE，∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF，正确；
③∵S△CDE=CE×DE，DF=DE，∴，正确；
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，∴EF不一定平行于BC，错误。
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，判断得到答案即可。
二、填空题
11．（2021八上·平邑期中）如图，在 中， 分别以 为圆心， 为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点，连接BD，则△BCD的周长是 ．
【答案】10.5
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，
则BD=AD，
则△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵AC=6，BC=4.5，
∴△BCD的周长=6+4.5=10.5．
故答案为：10.5．
【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=AD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC
=AC+BC，再将数据代入计算即可。
12．（2021八上·盖州月考）通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为 ．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】∵P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，
∴点P到AC、BC的距离也为1.
∴S△ABC= S△ABP + S△ACP + S△BCP
= AB + AC + BC
= （AB+AC+BC）
=
= .
【分析】由P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，根据角平分线的性质在知道P到三边的距离相等，而S△ABC= S△ABP + S△ACP + S△BCP，依次表示出其他三角形的面积，再利用三角形ABC的周长求出其面积的值即可。
13．（2021八上·姜堰月考）如图， 中， ，DE垂直平分AB， ， ，则 .
【答案】45
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠A＝∠ABE＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝(180－∠A)÷2＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°，
∵BF＝EF，
∴∠BEF＝∠EBC＝22.5°，
∴∠EFC＝∠EBC+∠BEF＝45°.
故答案为：45.
【分析】由垂直平分线的性质可得AE＝BE，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABE，求出∠A＝∠ABE＝45°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC＝∠C＝67.5°，进而求出∠EBC的度数，根据等腰三角形的性质可得∠BEF＝∠EBC＝22.5°，接下来根据外角的性质进行求解.
14．（2021八上·陇县期中）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1 S2+S3.（填“＞“＜”或“＝”）
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过 点作 于 ， 于 ， 于 ，如图，
和 的角平分线交于点 ，
， ，
，
设 ，
， ，
而 ，
.
故答案为： .
【分析】过P点作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，由角平分线的性质可得PD=PF=PE，设PD=PE=PF=t，然后表示出S1、S2+S3，由三角形的三边关系可得AB15．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
16．（2021八上·乌鲁木齐期中）如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝ .
【答案】1
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝∠DEA＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中， ，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴BE＝1.
故答案为：1.
【分析】连接CD，BD，由角平分线的性质可得DF＝DE，证明△ADF≌△ADE，得到AE＝AF，由线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，进而证明Rt△CDF≌Rt△BDE，得到BE＝CF，则AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，据此进行计算.
17．（2021八上·泰州月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分别是AB，AC边的垂直平分线，点E、F在BC上，则∠FAE的度数为 .
【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=100°，
∵DE、GF分别是AB、AC边的垂直平分线，
∴BE=AE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC=100°，
∵∠BAC=80°，
∴∠FAE=∠BAE+∠FAC-∠BAC=100°-80°=20°，
故答案为：20°.
【分析】由三角形的内角和定理得∠B+∠C=100°，由垂直平分线的性质得BE=AE，AF=CF，根据等边对等角得∠B=∠BAE，∠C=∠FAC，则可得到∠BAE+∠FAC=100°，然后根据角的和差关系推出∠FAE=∠BAE+∠FAC-∠BAC，即可解答.
18．（2021八上·青羊开学考）如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 .
【答案】3
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值.
∵三角形ABC的面积为15，AB＝10，
∴ ×10 CE＝15，
∴CE＝3.
即CM+MN的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，由角平分线的性质可得MN＝ME，则CE＝CM+ME＝CM+MN取得最小值，接下来根据三角形的面积公式求出CE的值即可.
三、解答题
19．（2021八上·卧龙期末）为了加强环境治理，某地准备在如图所示的公路m、n之间的S区域新建一座垃圾处理站P，按照设计要求，垃圾处理站P到区域S内的两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路m、n的距离也必须相等.请在图中用尺规作图的方法作出点P的位置并标出点P（不写作法但保留作图痕迹）.
【答案】解：如图所示，点P即为所求作.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点.
20．（2021八下·达州期中）如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，AB、AC 的垂直平分线分别与BC 交于 D、E，求∠EAD 的度数。
【答案】解：∵ AB，AC的垂直平分线MD和EN分别与BC交于D，E
∴ DA=DB，AE=CE，
∴∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，
∴∠BAD+∠EAC=∠ABD+∠ECA=180°-∠BAC=100°，
又∵∠BAD+∠EAC=∠ BAE+∠EAD+∠DAC+∠EAD=∠BAC+∠EAD=80°+∠EAD=100°，
∴∠EAD=100°-80°=20°，
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，结合∠BAC =80°推出180°-∠BAC=100°，然后根据角的和差关系得出80°+∠EAD=100°，即可求出∠EAD的度数.
21．（2021八上·泰州月考）已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC边的垂直平分线PQ交于点P，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，若BE＝10cm，AB＝6cm，求CE的长.
【答案】解：如图，连接AP、CP，
∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PBD＝∠PBE，∠PDB＝∠PEC＝90°，PD＝PE，
在△BPD和△BPE中，
，
∴△BPD≌△BPE（AAS），
∴BD＝BE，
又∵BE＝10cm，AB＝6cm，
∴AD＝BD﹣AB＝BE﹣AB＝4cm，
∵PQ垂直平分AC，
∴PA＝PC，
在Rt△PAD和Rt△PCE中，
，
∴Rt△PAD≌Rt△PCE（HL），
∴CE＝AD＝4cm.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】连接AP、CP，由角平分线的性质可得∠PBD＝∠PBE，∠PDB＝∠PEC＝90°，PD＝PE，用角角边可证△BPD≌△BPE，由全等三角形的对应边相等得BD=BE，由线段的构成AD=BD-AB=BE-AB可求得AD的值，由线段的垂直平分线的性质可得PA=PC，用HL定理得Rt△PAD≌Rt△PCE求解.
22．（2021八上·灌云期中）已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE=CF.
【答案】证明：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，
∵D为∠BAC上面的点，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接BD、CD，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，由角平分线的性质可得DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，据此可得结论.
23．（2021八上·姜堰月考）已知：在 中，AD平分 ， 于F， 于 线段AD与EF有何关系？并说明理由.
【答案】解： 垂直平分 ，理由如下：
， ，
，
是 的平分线，
，
在 与 中，
，
（AAS），
， ，
点A，D在线段 的垂直平分线上，
垂直平分 .
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由垂直的概念得∠AED=∠AFD=90°，由角平分线的概念得∠DAE=∠DAF，证△ADE≌△ADF，得到AE=AF，DE=DF，推出点A，D在线段EF的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线，即可解答.
24．（2021八上·姜堰月考）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，那么∠B与∠CAF相等吗？为什么？
【答案】解：∠B=∠CAF，
理由如下：∵FE垂直平分AD，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，
∴∠B=∠CAF.
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由线段垂直平分线的性质可得FA=FD，由等腰三角形的性质可得∠FAD=∠FDA，由角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，由外角的性质可得∠FDA=∠B+∠BAD，据此判断.
25．（2021八上·乐清期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．
【答案】（1）证明：∵DF＝EF ∴点F为DE的中点
又∵CF⊥DE ∴CF为DE的中垂线
∴CD＝CE
又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
CD是斜边AB上的中线
∴CD＝ =AD
∴AD＝CE
（2）解：由（1）得CD＝CE= =5
AB=10 ∴BC= =8
∴EB=EC+BC=13
∴
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）易得点F为DE的中点，CF为DE的中垂线，则可得CD＝CE，由直角三角形斜边上中线的性质可得CD＝AB=AD，据此证明；
（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算.
26．（2021八上·徐闻期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵ ，
∴ 点在 的角平分线上
∴ 平分
（2）解：∵
∴
又∵ ， ，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得出 ， ，再由，得出，推出，得出 点在 的角平分线上，由此得出结论；
（2）由 ， ， ，证明，得出，得出，由此得出答案。
27．（2021八上·陇县期中）如图，A、B两点在射线OM、ON上，CF垂直平分AB，垂足为F， ， ，垂足分别为D、E，且 .
（1）求证：OC平分 ；
（2）如果 ， ，求OD的长.
【答案】（1）如图，连接CA，CB
垂直平分AB，
， ，
在 与 中
≌ .
在 与 中
≌ .
平分 ；
（2）由（1）得
设
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）连接CA，CB，由垂直平分线的性质可得AC=CB，由垂直的概念可得∠ODA=∠CEB=90°，证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，进而证明△ODC≌△OEC，得到∠DOC=∠EOC，据此进行证明；
（2）由（1）得OE=OD，设 BE=x，则OE=4+x，AD=BE=x，OA=4+2x=10，求出x的值，进而可得OD.
28．（2021八上·鹿城期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB＝AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F.
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE＝ BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，直接写出它的度数.
【答案】（1）证明：∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）解：由（1）知，△ABD≌ACF，
∴BD＝CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC＝BF，
∵BD⊥CE，
∴CE＝EF，
∴CE＝ CF＝ BD
（3）解：∠AED不变化
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，
∴BD AH＝CF AG，而BD＝CF，
∴AH＝AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，
∴∠BEA＝ ∠BEG＝45°，
即：∠AED不变化.
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠BAC＝∠CAF＝∠BEC＝90°，由对顶角的性质可得∠ADB＝∠CDE，根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠ACF，接下来结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD＝CF，易得BC＝BF，结合等腰三角形的性质可得CE＝EF，据此证明；
（3）过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAF，BD＝CF，根据△ABD的面积公式可得AH＝AG，推出EA平分∠BEF，据此解答.
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