高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用

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高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为（　　）
A．1 B．-1 C． D．-
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】 ．当 时， ，因为切线与直线 垂直，直线斜率为 ，所以切线斜率为2，即 ，得：
故答案为：A
【分析】求出函数的导数，可得曲线 在点 处的切线的斜率为2，再利用切线与已知直线垂直的条件：斜率之积为-1，建立方程，可求k的值.
2．（2021高三上·太原期中）曲线 在 处的切线也为 的切线，则 （　　）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由 求导得： ，则曲线 在 处的切线斜率为1，切线方程为：y=x，
设直线y=x与曲线 相切的切点为 ，由 求导得 ，
于是得 ，解得 ，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线 在 处的切线，再结合 在 处的切线也为 的切线，从而求出实数a的值。
3．（2021高三上·福田月考）函数 在定义城 内可导，其函数图象如图所示.记 的导函数为 ，则不等式 的解集为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由图像可知函数的单调增区间为 ， ，
由原函数单调性和导函数正负的关系，可得 的解集为 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合函数的图象，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出 的解集。
4．（2021高三上·湖州期中）已知 ，若 是函数 的极小值点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题意，显然 ，
因为 ，
所以 ，
因为 是函数 的极小值点，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 ，即 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值点，再利用 是函数 的极小值点， 从而求出a，b的关系式。
5．（2021高三上·太原期中）已知 ，对任意 都有 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意，不妨设 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
令 ，
则 ，所以 在 上为减函数，
所以 在 上恒成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 成立，符合题意；
当 时，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，不符合题意，
综上所述，实数 的取值范围是 。
故答案为：C.
【分析】由题意，不妨设 ，再利用 ，所以 ，令 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，进而求出实数a的取值范围。
6．（2021高三上·湖北期中）已知函数 ( 且 ， )的一个极值点为2，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．7
【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对 求导得： ，因函数 的一个极值点为2，则 ，
此时， ， ，
因 ，即 ，因此，在2左右两侧邻近的区域 值一正一负，2是函数 的一个极值点，则有 ，又 ， ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以 的最小值为 .
故答案为：B
【分析】首先由已知条件对函数求导，结合极值的定义即可得到，由此计算出，由此得到导函数的解析式，从而得出在2左右两侧邻近的区域 值一正一负，2是函数 的一个极值点，由此得到，由此整理化简原式再由基本不等式即可求出原式的最小值即可。
7．（2021高三上·赣州期中）已知函数 满足 ，且 的导数 ，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【解答】设 ，则 ，所以函数 为增函数，由 ，得 ，
由 ，得 ，所以由不等式 ，得 ，
∴ ，
故答案为：C
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数g(x)的单调性即可求解出x的取值范围，由此得到不等式，求解出x的取值范围由此即可得到不等式的解集。
8．（2021高三上·金华月考）设函数 ，若存在 ，使得当 ，恒有 ，则称函数 具有性质P．下列具有性质P的函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【解答】对于A， ，解得 ，故不存在 ，使得当 ，恒有 ，A不符合题意；
对于B，当 时，令 ， ，即函数 在 上单调递增，则 ，即 ，又 在 上单调递减，则存在 ，使得当 ，恒有 ，B符合题意；
对于C， ，当且仅当 时，取等号，即不存在 ，使得当 ，恒有 ，C不符合题意；
对于D，当 时，函数 的增长速度远大于 的增长速度，故不存在 ，使得当 ，恒有 ，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据题意由已知条件整理即可得出不等式，由此即可得出结论从而判断出选项A正确；由已知条件对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可得出不等式，利用函数的单调性即可得出结论成立，由此判断出选项B正确；根据题意由基本不等式结合已知条件即可判断出选项C错误；由指数函数的单调性结合题意即可判断出选项D正确，从而得出答案。
二、多选题
9．（2021高三上·海南月考）若函数 的图象在点 处与x轴相切，则实数a的值可能为（　　）
A．1 B．4 C．0 D．2
【答案】B,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意可知， ，
因为函数 的图象在点 处与x轴相切，
所以 ，解得 或 .
故答案为：BC.
【分析】首先根据题意对函数求导，由导函数的几何意义结合相切的性质即可得到，计算出a的取值即可。
10．（2021高三上·河北期中）已知 ，函数 的零点为b， 的极小值点为c，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
又函数 在 单调递增，
所以 ，因为 ，所以 .
，令 ，得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又因为 ，所以 ，故 .
故答案为：AD
【分析】由 ，利用零点判定定理可得 ，对求导，根据导数符号可得在 和 上单调性，求出c的值，进而得出答案。
11．（2021高三上·日照开学考）设函数 ， ，其中 ， 均为实数，下列条件中，使得函数 的图像与 的图像有且只有一个交点的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】设 ，由题意 只有一个零点．
，
若 ，则 恒成立， 在 上单调递减，只有一个零点，D满足，
若 ，由 得， ， 或 时， ， 时， ，
在 和 上单调递减，在 上单调递增，
所以 极大值＝ ， 极小值＝ ，观察ABC，
当 时， ， ， 只有一个零点，则 或
即 或 ， 或 ，只有C满足．
故答案为：CD．
【分析】 函数f (x )的图像与g (x )的图像有且只有一个交点，等价于方程有且只有一个根，设即函数h (x)只有一个零点，当 时， ，求导得到h (x)的单调性和极值，要使函数h (x)只有一个零点，需满足h (x )的极大值h(-1) < 0或极小值h(1) > 0，进而求出b的取值范围，从而求出结果.
12．（2021高三上·湖北期中）已知函数 ，下列结论成立的是（　　）
A．函数 在定义域内无极值
B．函数 在点 处的切线方程为
C．函数 在定义域内有且仅有一个零点
D．函数 在定义域内有两个零点 ， ，且
【答案】A,B,D
【知识点】对数函数的定义域；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】A，函数 定义域为 ，
，
在 和 上单调递增，则函数 在定义域内无极值，A符合题意；
B，由 ，则 ，
又 ，
函数 在点 处的切线方程为
即 ，B符合题意；
C， 在 上单调递增，
又 ， ，
所以函数 在 存在 ，使 ，
又 ，即 ，
且 ，
即 为函数 的一个零点，所以函数 在定义域内有两个零点，C不符合题意.
D，由C可得 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，再结合极值的定义即可判断出选项A正确；把点的坐标代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，再由点斜式即可求出直线的方程，进而判断出选项B正确；结合题意由零点存在性定理即可得证出选项C错误；由零点的定义，代入数值计算出结果由此判断出选项D正确，由此即可得出答案。
三、填空题
13．（2021高三上·苏州期中）已知曲线 在 处的切线方程为 ，则 　 　.
【答案】-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 的导数为 ，
又函数 在 处的切线方程为 ，
可得 ，解得 ，
所以 ，切点为 ，
代入直线方程得可得 ，即 。
故答案为：-1。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再利用 曲线 在 处的切线方程为 ， 进而求出实数n的值。
14．（2021高三上·赣州期中）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若关于x的方程 有三个不同的实数根，则实数m的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】当 时， ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，所以当 时，函数取得极小值 ，
又因为函数 是定义在R上的奇函数，所以当 时，函数取得极大值 ，
作出其图象，如图所示：
因为方程 有三个不同的实数根，由图象知：
所以实数m的取值范围为 ，
故答案为：
【分析】根据题意由x的取值范围结合奇函数的定义，即可求出函数的解析式，再由导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出函数的图象，由数形结合法结合方程根的情况，即可求出m的取值范围。
15．（2021高三上·河南月考）若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】设 ，因为 ，所以 .
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，故 .
由题可知 ，解得 ，
所以 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】设 ，利用 结合指数函数的单调性，从而得出实数t的取值范围，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用已知条件求出实数 的取值范围。
16．（2021高三上·广东月考）已知函数 有4个零点，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由 得 ，
令 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递减，
又 ， ， ，
所以函数 有2个零点，分别在 和 上；
令 ，则 ，
当 时， 恒成立，所以 在R上单调递增，不满足函数 有4个零点，故 不成立；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，
要使函数 有4个零点，则需 有2个零点，所以需 且 ，解得 ，
又 ， 时， ，
所以当 且 时，函数 有2个零点，函数 有4个零点，
综上得实数a的取值范围是 ，
故答案为： .
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合函数求导的方法判断函数的单调性，再利用不等式恒成立问题求解方法，再结合函数的零点存在性定理，从而判断出函数的零点个数，再利用函数 有4个零点，从而求出实数a的取值范围。
四、解答题
17．（2021高三上·福田月考）已知函数 在 处的切线与直线 平行.
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】（1）函数 的导数为 ，
即有在 处的切线 的斜率为 ，
由切线 与直线 平行，
即有 ，解得 ；
（2）关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，
即有 在 上恰有两个不相等的实数根.
令 ，
，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增.
即有 处 取得最小值，且为 ，
又 ， ，
，
∴ ，解得 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；用斜率判定两直线平行
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。
（2） 关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，即 在 上恰有两个不相等的实数根，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即在 处 取得最小值且为 ，再利用代入法得出 ， 的值从而得出，从而求出实数m的取值范围。
18．（2021高三上·南宁月考）已知函数 ．
（1）若 ，其中 为自然对数的底数，求函数 的单调区间；
（2）若函数 既有极大值，又有极小值，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
由 知，
设 ，
则 ， ，
∴ ，∴ 在 上单调递增，观察知 ，
∴当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
（2） ， ，
由 ，得 ．
设 ，则 ，由 ，得 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
∴ ．
又 时 ， 时 ，
∴ ，这是必要条件．
检验：当 时， 既无极大值，也无极小值；当 时，满足题意；当 时， 只有一个极值点，舍去；当 时，则 ，则 ．
综上，符合题意的 的范围为 且 且 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
(2)求出f (x)的导数，得 ，设 ，根据函数的单调性求出h(x)的最小值，从而求出a的范围即可.
19．（2021高三上·赣州期中）已知函数 ，且函数 在 处的切线为 ．
（1）求a，b的值并分析函数 单调性；
（2）若函数 恰有两个零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：由 得 ，
由题意知 ，
即 ，解得 ，
又 ，而切点 在切线 上，
所以 ，解得 ，
则 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）解：由（1）知 ，
且函数 在 上递减，在 上单调递增，而
因为函数 恰有两个零点，
所以函数 在区间 各有一个零点，
由零点存在性定理得 ，即 ，
解得 ；
∴ ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，把数值代入结合切线的斜率整理化简计算出a的值，再由点在直线上代入到直线的方程计算出b的值，由此得出函数的解析式，然后对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)由(1)的结论整理化简即可求出函数g(x)的解析式，再由函数g(x)的单调性以及零点的定义整理得出不m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
20．（2021高三上·通州期中）设函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 在区间 单调，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有极小值，求证： 的极小值小于1．
【答案】（1）解： 的定义域为 ．
当 时， ，
，
所以 ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）解： ．
若 在区间 上单调递增，则 在 恒成立．
因为 ，所以 在 恒成立．
记 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ；
若 在区间 上单调递减，则 在 恒成立．
因为 ，所以 在 恒成立．
所以 ，即 ，解得 ．
综上，若函数 在区间 单调，则实数 的取值范围是
（3）证明：由（2）知 ．
对于二次函数 ，若 ，
因为 ，所以 在 上恒成立，
而 ，所以 恒成立．
所以函数 在 上单调递增．这与函数 有极小值矛盾．
所以 ，即 ．
此时方程 有两个不相等的实数根： ， ．
由 可知， ．
当 变化时， 和 变化情况如下表：
0 0
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可知， 在 取得极小值，且在 单调递增，
所以 ，即 的极小值小于1．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意，结合导数的几何意义，即可求出曲线 在点 处的切线方程；
（2）根据题意，可知 在 恒成立，再结合二次函数的图象和性质，即可求解；
（3）根据题意，求导判断单调性，求出极小值即可。
21．（2021高三上·朝阳期中）已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证：函数 在区间 上有且仅有一个零点.
【答案】（1）解： ，
当 时， ，由 得： ，
由 ，得： ，故此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
当 时，令 得： 或
由 得： ，此时
由 得： 或 ，此时
故此时 的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为
综上：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为
（2）证明：由（1）可知，当 时， 的单调递增区间为 ，而 ，所以 在 上单调递增，又 ，
所以 ，由零点存在性定理可得：函数 在区间 上有且仅有一个零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 (1)求出导数，然后通过研究导数的符号研究函数的单调性；
(2)结合第一问的结果，判断出函数在(0， 1)上的单调性，然后结合端点处函数值的符号，利用零点存在性定理证明函数 在区间 上有且仅有一个零点.
22．（2021高三上·广东月考）已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若关于 的不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ， ， ．
①若 ，则 恒成立，故 在 上单调递增．
②若 ，令 ，得 ．
+ 0 -
极大值
③若 ，则 恒成立，故 在 上单调递减．
综上所述，若 ， 在 上单调递增；若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减；若 ， 在 上单调递减．
（2）令 ，故 ，
所以 ，令 ，
，
下面证明 ，其中 ．
令 ， ，则 ．
所以 在 上单调递增，故 ，
所以当 时， ．
所以 ，
所以 在 上单调递增，故 ．
①若 ，即 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 对 恒成立，所以 符合题意．
②若 ，即 ，此时 ，
，
且据 及 可得 ，故 ，
所以 ．
又 的图象在 上不间断，所以存在 ，使得 ，
且当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，其中 ，与题意矛盾，
所以 不符题意，舍去．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而结合不等式恒成立问题求解方法，进而讨论出函数的单调性。
（2） 令 ，从而结合函数f(x)的解析式求出函数g(x)的解析式，再利用导数的运算法则，从而求出函数的g(x)的导函数，再利用两次求导的方法判断函数的单调性，所以函数
在 上单调递增，从而求出函数的最小值，故 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最小值，进而求出实数 的取值范围。
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高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为（　　）
A．1 B．-1 C． D．-
2．（2021高三上·太原期中）曲线 在 处的切线也为 的切线，则 （　　）
A．0 B．1 C．-1 D．2
3．（2021高三上·福田月考）函数 在定义城 内可导，其函数图象如图所示.记 的导函数为 ，则不等式 的解集为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2021高三上·湖州期中）已知 ，若 是函数 的极小值点，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高三上·太原期中）已知 ，对任意 都有 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021高三上·湖北期中）已知函数 ( 且 ， )的一个极值点为2，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．7
7．（2021高三上·赣州期中）已知函数 满足 ，且 的导数 ，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021高三上·金华月考）设函数 ，若存在 ，使得当 ，恒有 ，则称函数 具有性质P．下列具有性质P的函数是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高三上·海南月考）若函数 的图象在点 处与x轴相切，则实数a的值可能为（　　）
A．1 B．4 C．0 D．2
10．（2021高三上·河北期中）已知 ，函数 的零点为b， 的极小值点为c，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2021高三上·日照开学考）设函数 ， ，其中 ， 均为实数，下列条件中，使得函数 的图像与 的图像有且只有一个交点的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
12．（2021高三上·湖北期中）已知函数 ，下列结论成立的是（　　）
A．函数 在定义域内无极值
B．函数 在点 处的切线方程为
C．函数 在定义域内有且仅有一个零点
D．函数 在定义域内有两个零点 ， ，且
三、填空题
13．（2021高三上·苏州期中）已知曲线 在 处的切线方程为 ，则 　 　.
14．（2021高三上·赣州期中）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若关于x的方程 有三个不同的实数根，则实数m的取值范围为　 　.
15．（2021高三上·河南月考）若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是　 　.
16．（2021高三上·广东月考）已知函数 有4个零点，则实数a的取值范围是　 　．
四、解答题
17．（2021高三上·福田月考）已知函数 在 处的切线与直线 平行.
（1）求实数 的值；
（2）若关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
18．（2021高三上·南宁月考）已知函数 ．
（1）若 ，其中 为自然对数的底数，求函数 的单调区间；
（2）若函数 既有极大值，又有极小值，求实数 的取值范围．
19．（2021高三上·赣州期中）已知函数 ，且函数 在 处的切线为 ．
（1）求a，b的值并分析函数 单调性；
（2）若函数 恰有两个零点，求实数m的取值范围．
20．（2021高三上·通州期中）设函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 在区间 单调，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有极小值，求证： 的极小值小于1．
21．（2021高三上·朝阳期中）已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证：函数 在区间 上有且仅有一个零点.
22．（2021高三上·广东月考）已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若关于 的不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】 ．当 时， ，因为切线与直线 垂直，直线斜率为 ，所以切线斜率为2，即 ，得：
故答案为：A
【分析】求出函数的导数，可得曲线 在点 处的切线的斜率为2，再利用切线与已知直线垂直的条件：斜率之积为-1，建立方程，可求k的值.
2．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由 求导得： ，则曲线 在 处的切线斜率为1，切线方程为：y=x，
设直线y=x与曲线 相切的切点为 ，由 求导得 ，
于是得 ，解得 ，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线 在 处的切线，再结合 在 处的切线也为 的切线，从而求出实数a的值。
3．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由图像可知函数的单调增区间为 ， ，
由原函数单调性和导函数正负的关系，可得 的解集为 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合函数的图象，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出 的解集。
4．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由题意，显然 ，
因为 ，
所以 ，
因为 是函数 的极小值点，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 ，即 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值点，再利用 是函数 的极小值点， 从而求出a，b的关系式。
5．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意，不妨设 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
令 ，
则 ，所以 在 上为减函数，
所以 在 上恒成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 成立，符合题意；
当 时，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，不符合题意，
综上所述，实数 的取值范围是 。
故答案为：C.
【分析】由题意，不妨设 ，再利用 ，所以 ，令 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的值域，进而求出实数a的取值范围。
6．【答案】B
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对 求导得： ，因函数 的一个极值点为2，则 ，
此时， ， ，
因 ，即 ，因此，在2左右两侧邻近的区域 值一正一负，2是函数 的一个极值点，则有 ，又 ， ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以 的最小值为 .
故答案为：B
【分析】首先由已知条件对函数求导，结合极值的定义即可得到，由此计算出，由此得到导函数的解析式，从而得出在2左右两侧邻近的区域 值一正一负，2是函数 的一个极值点，由此得到，由此整理化简原式再由基本不等式即可求出原式的最小值即可。
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【解答】设 ，则 ，所以函数 为增函数，由 ，得 ，
由 ，得 ，所以由不等式 ，得 ，
∴ ，
故答案为：C
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数g(x)的单调性即可求解出x的取值范围，由此得到不等式，求解出x的取值范围由此即可得到不等式的解集。
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合
【解析】【解答】对于A， ，解得 ，故不存在 ，使得当 ，恒有 ，A不符合题意；
对于B，当 时，令 ， ，即函数 在 上单调递增，则 ，即 ，又 在 上单调递减，则存在 ，使得当 ，恒有 ，B符合题意；
对于C， ，当且仅当 时，取等号，即不存在 ，使得当 ，恒有 ，C不符合题意；
对于D，当 时，函数 的增长速度远大于 的增长速度，故不存在 ，使得当 ，恒有 ，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据题意由已知条件整理即可得出不等式，由此即可得出结论从而判断出选项A正确；由已知条件对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可得出不等式，利用函数的单调性即可得出结论成立，由此判断出选项B正确；根据题意由基本不等式结合已知条件即可判断出选项C错误；由指数函数的单调性结合题意即可判断出选项D正确，从而得出答案。
9．【答案】B,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题意可知， ，
因为函数 的图象在点 处与x轴相切，
所以 ，解得 或 .
故答案为：BC.
【分析】首先根据题意对函数求导，由导函数的几何意义结合相切的性质即可得到，计算出a的取值即可。
10．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
又函数 在 单调递增，
所以 ，因为 ，所以 .
，令 ，得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又因为 ，所以 ，故 .
故答案为：AD
【分析】由 ，利用零点判定定理可得 ，对求导，根据导数符号可得在 和 上单调性，求出c的值，进而得出答案。
11．【答案】C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】设 ，由题意 只有一个零点．
，
若 ，则 恒成立， 在 上单调递减，只有一个零点，D满足，
若 ，由 得， ， 或 时， ， 时， ，
在 和 上单调递减，在 上单调递增，
所以 极大值＝ ， 极小值＝ ，观察ABC，
当 时， ， ， 只有一个零点，则 或
即 或 ， 或 ，只有C满足．
故答案为：CD．
【分析】 函数f (x )的图像与g (x )的图像有且只有一个交点，等价于方程有且只有一个根，设即函数h (x)只有一个零点，当 时， ，求导得到h (x)的单调性和极值，要使函数h (x)只有一个零点，需满足h (x )的极大值h(-1) < 0或极小值h(1) > 0，进而求出b的取值范围，从而求出结果.
12．【答案】A,B,D
【知识点】对数函数的定义域；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数的零点
【解析】【解答】A，函数 定义域为 ，
，
在 和 上单调递增，则函数 在定义域内无极值，A符合题意；
B，由 ，则 ，
又 ，
函数 在点 处的切线方程为
即 ，B符合题意；
C， 在 上单调递增，
又 ， ，
所以函数 在 存在 ，使 ，
又 ，即 ，
且 ，
即 为函数 的一个零点，所以函数 在定义域内有两个零点，C不符合题意.
D，由C可得 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，再结合极值的定义即可判断出选项A正确；把点的坐标代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，再由点斜式即可求出直线的方程，进而判断出选项B正确；结合题意由零点存在性定理即可得证出选项C错误；由零点的定义，代入数值计算出结果由此判断出选项D正确，由此即可得出答案。
13．【答案】-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 的导数为 ，
又函数 在 处的切线方程为 ，
可得 ，解得 ，
所以 ，切点为 ，
代入直线方程得可得 ，即 。
故答案为：-1。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再利用 曲线 在 处的切线方程为 ， 进而求出实数n的值。
14．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性；不等式的综合；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】当 时， ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，所以当 时，函数取得极小值 ，
又因为函数 是定义在R上的奇函数，所以当 时，函数取得极大值 ，
作出其图象，如图所示：
因为方程 有三个不同的实数根，由图象知：
所以实数m的取值范围为 ，
故答案为：
【分析】根据题意由x的取值范围结合奇函数的定义，即可求出函数的解析式，再由导函数的性质即可得出函数的单调性，从而得出函数的图象，由数形结合法结合方程根的情况，即可求出m的取值范围。
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】设 ，因为 ，所以 .
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，故 .
由题可知 ，解得 ，
所以 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】设 ，利用 结合指数函数的单调性，从而得出实数t的取值范围，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，再利用已知条件求出实数 的取值范围。
16．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由 得 ，
令 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递减，
又 ， ， ，
所以函数 有2个零点，分别在 和 上；
令 ，则 ，
当 时， 恒成立，所以 在R上单调递增，不满足函数 有4个零点，故 不成立；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，
要使函数 有4个零点，则需 有2个零点，所以需 且 ，解得 ，
又 ， 时， ，
所以当 且 时，函数 有2个零点，函数 有4个零点，
综上得实数a的取值范围是 ，
故答案为： .
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合函数求导的方法判断函数的单调性，再利用不等式恒成立问题求解方法，再结合函数的零点存在性定理，从而判断出函数的零点个数，再利用函数 有4个零点，从而求出实数a的取值范围。
17．【答案】（1）函数 的导数为 ，
即有在 处的切线 的斜率为 ，
由切线 与直线 平行，
即有 ，解得 ；
（2）关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，
即有 在 上恰有两个不相等的实数根.
令 ，
，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增.
即有 处 取得最小值，且为 ，
又 ， ，
，
∴ ，解得 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；用斜率判定两直线平行
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。
（2） 关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，即 在 上恰有两个不相等的实数根，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，即在 处 取得最小值且为 ，再利用代入法得出 ， 的值从而得出，从而求出实数m的取值范围。
18．【答案】（1） ，
由 知，
设 ，
则 ， ，
∴ ，∴ 在 上单调递增，观察知 ，
∴当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
（2） ， ，
由 ，得 ．
设 ，则 ，由 ，得 ．
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
∴ ．
又 时 ， 时 ，
∴ ，这是必要条件．
检验：当 时， 既无极大值，也无极小值；当 时，满足题意；当 时， 只有一个极值点，舍去；当 时，则 ，则 ．
综上，符合题意的 的范围为 且 且 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
(2)求出f (x)的导数，得 ，设 ，根据函数的单调性求出h(x)的最小值，从而求出a的范围即可.
19．【答案】（1）解：由 得 ，
由题意知 ，
即 ，解得 ，
又 ，而切点 在切线 上，
所以 ，解得 ，
则 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）解：由（1）知 ，
且函数 在 上递减，在 上单调递增，而
因为函数 恰有两个零点，
所以函数 在区间 各有一个零点，
由零点存在性定理得 ，即 ，
解得 ；
∴ ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，把数值代入结合切线的斜率整理化简计算出a的值，再由点在直线上代入到直线的方程计算出b的值，由此得出函数的解析式，然后对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)由(1)的结论整理化简即可求出函数g(x)的解析式，再由函数g(x)的单调性以及零点的定义整理得出不m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
20．【答案】（1）解： 的定义域为 ．
当 时， ，
，
所以 ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）解： ．
若 在区间 上单调递增，则 在 恒成立．
因为 ，所以 在 恒成立．
记 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ；
若 在区间 上单调递减，则 在 恒成立．
因为 ，所以 在 恒成立．
所以 ，即 ，解得 ．
综上，若函数 在区间 单调，则实数 的取值范围是
（3）证明：由（2）知 ．
对于二次函数 ，若 ，
因为 ，所以 在 上恒成立，
而 ，所以 恒成立．
所以函数 在 上单调递增．这与函数 有极小值矛盾．
所以 ，即 ．
此时方程 有两个不相等的实数根： ， ．
由 可知， ．
当 变化时， 和 变化情况如下表：
0 0
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可知， 在 取得极小值，且在 单调递增，
所以 ，即 的极小值小于1．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意，结合导数的几何意义，即可求出曲线 在点 处的切线方程；
（2）根据题意，可知 在 恒成立，再结合二次函数的图象和性质，即可求解；
（3）根据题意，求导判断单调性，求出极小值即可。
21．【答案】（1）解： ，
当 时， ，由 得： ，
由 ，得： ，故此时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
当 时，令 得： 或
由 得： ，此时
由 得： 或 ，此时
故此时 的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为
综上：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递减区间为 ， ，单调递增区间为
（2）证明：由（1）可知，当 时， 的单调递增区间为 ，而 ，所以 在 上单调递增，又 ，
所以 ，由零点存在性定理可得：函数 在区间 上有且仅有一个零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 (1)求出导数，然后通过研究导数的符号研究函数的单调性；
(2)结合第一问的结果，判断出函数在(0， 1)上的单调性，然后结合端点处函数值的符号，利用零点存在性定理证明函数 在区间 上有且仅有一个零点.
22．【答案】（1） ， ， ．
①若 ，则 恒成立，故 在 上单调递增．
②若 ，令 ，得 ．
+ 0 -
极大值
③若 ，则 恒成立，故 在 上单调递减．
综上所述，若 ， 在 上单调递增；若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减；若 ， 在 上单调递减．
（2）令 ，故 ，
所以 ，令 ，
，
下面证明 ，其中 ．
令 ， ，则 ．
所以 在 上单调递增，故 ，
所以当 时， ．
所以 ，
所以 在 上单调递增，故 ．
①若 ，即 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 对 恒成立，所以 符合题意．
②若 ，即 ，此时 ，
，
且据 及 可得 ，故 ，
所以 ．
又 的图象在 上不间断，所以存在 ，使得 ，
且当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，其中 ，与题意矛盾，
所以 不符题意，舍去．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而结合不等式恒成立问题求解方法，进而讨论出函数的单调性。
（2） 令 ，从而结合函数f(x)的解析式求出函数g(x)的解析式，再利用导数的运算法则，从而求出函数的g(x)的导函数，再利用两次求导的方法判断函数的单调性，所以函数
在 上单调递增，从而求出函数的最小值，故 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最小值，进而求出实数 的取值范围。
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