【精品解析】高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2021高二上·太原期中）椭圆 的长轴长为（　　）
A．4 B．8 C．6 D．18
2．（2021高二上·开封期中）椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则实数a等于（　　）
A． B．-1 C．1 D．-1或1
3．过双曲线 （ ， ）的右焦点 作双曲线渐近线的垂线段 ，垂足为 ，线段 与双曲线交于点 ，且满足 ，则双曲线离心率 等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高二上·太原期中）已知椭圆 ，其左焦点F且斜率为 的直线与椭圆C相交于两点A，B，若 ，则橢圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高二上·郫都期中）双曲线 的两个焦点为 ， ，双曲线上一点 到 的距离为11，则点 到 的距离为（　　）
A．1 B．21 C．1或21 D．2或21
6．（2021高二上·鸡东期中）已知抛物线 的焦点F到其准线的距离为2，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．9
7．（2021高三上·石家庄月考）已知抛物线 的焦点为F，经过点P(1，1)的直线l与该曲线交于A B两点，且点P恰好为AB的中点，则 （　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．（2021高二上·开封期中）如图，把椭圆 的长轴 分成8等份，过每个分点作 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点 ， ，…， ， 是左焦点，则 （　　）
A．21 B．28 C．35 D．42
二、多选题
9．（2021高二上·河北期中）已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直线 的交点恰好为线段 的中点，则（　　）
A． B．
C．直线 的斜率为1 D．直线 的斜率为4
10．（2021高二上·黑龙江期中）已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 ，使得由点 所作的圆 的两条切线相互垂直，则椭圆 的离心率可以是（　　）
A． B． C． D．
11．（2021高二上·白城期中）已知点 是椭圆 上的动点， 是圆 上的动点，点 则（　　）
A．椭圆 的离心率为
B．椭圆 中以 为中点的弦所在直线方程为
C．圆 在椭圆 的内部
D． 的最小值为
12．（2021高二上·河北期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 从点 射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线 射出，经过点Q．下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 平分
D．若 ，延长 交直线 于点M，则M，B，Q三点共线
三、填空题
13．（2021高二上·浙江期中）如果方程 表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是　 　.
14．（2021高二上·湖州期中）经过椭圆 的左焦点 作倾斜角为60 的直线 ，直线 与椭圆相交于 两点，则线段 的长为　 　．
15．（2021高二上·河北期中）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上， （ 为坐标原点）， ，则椭圆 的长轴长为　 　．
16．（2021高三上·南宁月考）抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上一点，且 不在直线 上，则 周长的最小值为　 　．
四、解答题
17．（2021高二上·河北期中）设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点．
（1）若 ，求 的方程．
（2）以 ， 为切点分别作抛物线 的两条切线，证明：两条切线的交点 一定在定直线上，且 ．
18．（2021高二上·太原期中）已知椭圆 的离心率是 ，且点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过点 的直线 与椭圆 相交于两个不同的点 、 ，且 ，求 （ 是坐标原点）的面积.
19．在直角坐标系 中，椭圆 （ ）的左右焦点分别为 和 ，若 为椭圆上动点，直线 与椭圆交于另一点 ，若三角形 的周长为为8，且点 在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线 、 与直线 分别交于点 、 ，记直线 和直线 的斜率分别为 和 ，若 ，试求直线 的斜率．
20．（2021高二上·沈阳期中）中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 ，且 ，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为4，离心率之比为 .
（1）求椭圆和双曲线的方程；
（2）若点 是椭圆和双曲线的一个交点，求 .
21．（2017高二上·靖江期中）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C： +y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y=﹣3分别交于点M、N．
（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1 k2为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
22．（2021高二上·河北期中）已知双曲线 ： 的离心率为 ，点 在 上， 为 的右焦点.
（1）求双曲线 的方程；
（2）设 为 的左顶点，过点 作直线 交 于 （ 不与 重合）两点，点 是 的中点，求证： .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程 得 ，所以 ，
所以长轴长为
故答案为：C
【分析】由椭圆的方程和简单性质，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 的焦点在横轴上，
所以由题意可得： ，
故答案为：D
【分析】由椭圆和双曲线的简单性质，即可求出a的取值。
3．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线渐近线方程为 ，所以 ，如图，在直角三角形 中， ， ，又因为
故 ， ，过 、A分别作 的垂线，垂足分别为 、 ，
则由 得： ，又 ，故 ，
，故可得点A的坐标为 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
故答案为：C．
【分析】利用渐进线的斜率，求出 ， ，进而利用相似和求出点A的坐标，代入到双曲线方程中，得到关于e的方程，求出离心率即可。
4．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：根据题意，设 ， 方程为 ，
所以联立方程 得 ，
所以 ①， ②
因为 ， ，
所以 ③，
所以由①③得 ④，
所以将④代入②得 ，
因为 ，所以 ，即
所以橢圆C的离心率 .
故答案为：A.
【分析】根据题意设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于y的方程，结合韦达定理计算出，，然后由向量的坐标公式整理即可得到，由椭圆里a、b、c的关系，整理得出，从而计算出椭圆的离心率。
5．【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】不妨设 ， 分别为双曲线的左右焦点，
当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以 ，
当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以 ，又 ，所以右支上不存在满足条件的点P.
故答案为：B.
【分析】由双曲线的定义，结合已知条件即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：因为抛物线 的焦点F到其准线的距离为2，
所以p=2，抛物线C的方程为y2=4x，
设直线l的方程为x=my+4 ，
将此方程代入y2=4x，整理得y2-4my-16=0．
设， 则 y1y2=-16，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
故选：B．
【分析】根据抛物线的定义与方程，以及直线与抛物线的位置关系，利用根与系数关系，结合基本不等式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】抛物线 中， ，其焦点 ，准线方程 ，
如图过点 作准线的垂线，垂足为 ，
由抛物线定义可知， ，
而P恰好为AB的中点，故 是梯形ABNM的中位线，故 ，
又P(1，1)，故 ，所以 .
故答案为：B.
【分析】 求出焦点坐标和准线方程，过A、B、P作准线的垂线段，垂足分别为M、N、R，利用抛物线的定义得到|AM|+|BN|=2|PR|，求得答案.
8．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的右焦点为 ，则由椭圆的定义，得
，由椭圆的对称性，知 ， ．
同理，可知 ， ．
又 ， ．
故答案为：C．
【分析】根据题意由椭圆的简单性质和定义整理即可求出以及，从而整理即可得出答案。
9．【答案】A,C
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得 ，整理可得 ．
设 ， ，则 ， ，两式相减可得 ．
因为直线 与直线 的交点恰好为线段 的中点，所以 ，
则直线 的斜率 ．
故答案为：AC
【分析】根据题意由椭圆的简单性质整理得到a与b的关系，再由设而不求法结合点差法和中点的坐标公式，整理即可得出斜率的结果。
10．【答案】A,D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】设两切点分别为 ，连接 ，由题意可得 四点共圆，
因为 ，
所以四边形 为正方形，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以AD符合条件。
故答案为：AD
【分析】设两切点分别为 ，连接 ，由题意可得 四点共圆，再利用 ，所以四边形 为正方形，所以 ，所以 ，即 ，再利用平方法结合椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的不等关系，再利用椭圆的离心率公式结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出椭圆 的离心率的取值范围，进而求出椭圆 的离心率可以的值。
11．【答案】A,B,C
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，由椭圆 得 ，b=1，，则离心率为 ，故A正确；
对于B，设以M为中点的弦交椭圆于(x1，y1)，(x2，y2)，
则 ，
两式相减得 ，则可得 ，即斜率为 ，则直线方程为 ，整理得 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ，所以圆D在椭圆C的内部，故C正确；
对于D，由C选项可得|PQ|的最小值为 ，故D错误.
故选：ABC.
【分析】对于A，根据椭圆方程可求出a，b，c，求出离心率e；对于B，利用点差法即可求出直线方程；对于C，利用距离公式可结合椭圆的有界性即可判断；对于D，由C选项即可得出.
12．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】如图，
若 ，则 ，C的焦点为 ，则 ，A符合题意；
延长 交直线 于点M，则 ，M，B，Q三点共线，D符合题意；
若 ，则 ，C的焦点为 ，直线 ，可得 ，B不正确；
时，因为 ，所以 ．又 ，所以 平分 ，C符合题意．
故答案为：ACD.
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合抛物线的简单性质即可判断出选项A正确；由抛物线的方程即可求出焦点的坐标，从而得出直线的方程，然后由抛物线的定义即可判断出选项B错误；由已知条件结合三角形中的几何计算关系即可判断出选项C正确；由抛物线的简单性质即可判断出选项D正确；从而得出答案。
13．【答案】k＞1
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】已知方程可化为 ，它表示焦点在 轴上的椭圆，
则 ，解得k＞1．
故答案为：k＞1．
【分析】首先整理化简椭圆的方程，结合椭圆的方程即可求出k的取值范围。
14．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得a2=2，b2=1所以c2=1，即c=1，故左焦点为F1(-1，0)，
而，
故直线l为： ，
联立 得：7x2+12x+4=0，
设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，由韦达定理得： ，
则由弦长公式得：.
故答案为：
【分析】根据椭圆的简单性质，运用直线与椭圆的位置关系结合弦长公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆 ，可得 ，
则 ，所以 ，
设 ， ，则 ，且 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的长轴长为 ．
故答案为： ．
【分析】首先由椭圆的简单性质求出c的大小，然后由三角形中的几何计算关系计算出，把结果代入到三角形的面积公式计算出a的取值，从而得出答案。
16．【答案】13
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d，即FP=d.所以周长
，填13.
【分析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离， 根据平面几何知识，当D、P、A三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出|PA|+|PF|的最小值，进而得出 周长的最小值 .
17．【答案】（1）解：由题意得 ，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 消元得 ，所以 ， ．
因为 ，
由题设知 ，解得 ，所以 的方程为 ．
（2）解：设与抛物线 相切的切线方程为 ，
则 化简得 ．
由 ，可得 ．
将 点坐标代入方程 ，可得 ， ，
所以过 的切线方程为 ．同理，过 的切线方程为 ，
联立方程组可得 ， ，
所以交点 在定直线 上．
当 时， 显然成立；
当 时， ，则 ，所以 ．
综上所述， ．
【知识点】斜率的计算公式；恒过定点的直线；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据题意由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积的值，然后由弦长公式整理计算出t的取值，由此得出直线的方程。
(2)首先设出切线的方程再联立直线与抛物线的方程，消元后得到关于y的方程，由一元二次方程跟的情况，求解出m的取值，从而得出点的坐标，然后由把点的坐标代入到斜率的坐标公式计算出 ，从而得出线线垂直。
18．【答案】（1）解：由已知条件可得 ，则 ，故 ，
所以，椭圆 的方程为 ，
将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，可得 ，则 ， ，
所以，椭圆 的方程为
（2）解：若直线 的斜率不存在，则 ，不合乎题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
，
整理得 ，即 ，解得 .
因此，直线 的方程为 或 .
原点 到直线 的距离为 ，因此， .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质计算出b与c的关系，再把结果代入到椭圆里a、b、c的关系，计算出a与b的取值，从而得出椭圆的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入计算出k的取值，再由点到直线的距离公式结合三角形的面积公式计算出结果看。
19．【答案】（1）解：由已知和椭圆的定义知：三角形 的周长 ，故 ，
所以椭圆的方程为 ，又点 在椭圆上，故 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为
（2）解：由已知可得直线 的斜率不为 ，故可设直线 的方程为 ，
设 ， ，
联立方程组 ，消去 得：
故有 ， ，故 ， ，
直线 的方程为 ，解得与直线 的交点 ，
同理解得 ，故 ， ，
．
故 ，解得 ．
所以直线 的斜率
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆定义求出a，再代入点 求出b，即可求出椭圆的标准方程；
（2） 由已知可得直线 的斜率不为 ，可设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理化简计算可求出直线 的斜率．
20．【答案】（1）由已知得 ，设椭圆长、短半轴长分别为 、 ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为 、 ，
则 解得 ．所以 ．
故椭圆方程为 ，双曲线方程为 ．
（2）由椭圆、双曲线的对称性，不妨设 、 分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则 ，
所以 ．又 ，
故 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【分析】 (1)根据半焦距 ，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程；
(2)由椭圆、双曲线的定义求出PF1与PF2的长，三角形F1PF2中，利用余弦定理求出 的值.
21．【答案】（1）解：由题设 +y2=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．所以，直线AP的斜率k1= ，PB的斜率为k2= ．又点P在椭圆上，所以 +y02=1（x0≠0），从而有
k1 k2=
= =﹣ ．
（2）解：由题设可以得到直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），
直线PB的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0）．
由 ，解得 ；由 ，解得 ．
所以，直线AP与直线l的交点 ，
直线PB与直线l的交点 ．
于是 ，又k1 k2=﹣ ，所以
≥2 = ，
等号成立的条件是 ，解得 ．
故线段MN长的最小值是
（3）解：设点Q（x，y）是以MN为直径的圆上的任意一点，则 =0，
故有 ．又k1 k2=﹣ ，
所以以MN为直径的圆的方程为 ．
令 ，解得 ．
所以，以MN为直径的圆恒过定点 （或点 ）
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设出点P的坐标，并表示出k1，k2，再结合点P在椭圆上求得k1 k2的值；（2）分别用k1，k2表示出点M，N，进而表示出MN的长度，结合k1 k2的值及基本不等式求得MN的最小值；（3）本小题的关键是：利用以MN为直径的圆上的任意一点与点M，N的向量关系将几何问题妆花为方程问题.
22．【答案】（1）由已知可得 ， ，解得： …①，
又点 在 上， …②，
由①②可得： ， ， 双曲线 的方程为 ；
（2）当 的斜率为 时，此时 中有一点与 重合，不符合题意.
当 斜率不为 时，设 ， ， ，
联立 得： ，
则 ，解得： .
，
，
，则 是直角三角形， 是斜边，
点 是斜边 的中点， ，即 .
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由双曲线 ： 的离心率为 ，从而结合双曲线的离心率公式，得出a，c的关系式，再利用点 在双曲线 上结合代入法，得出a，b的关系式，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而解方程组求出a，b，c的值，进而求出双曲线E的标准方程。
（2） 利用已知条件结合分类讨论的方法，当 的斜率为 时，此时 中有一点与 重合，不符合题意；当 斜率不为 时，设 ， ， ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出， ， ，再结合数量积的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，所以三角形 是直角三角形， 是斜边，再利用点 是斜边 的中点结合中点的性质，从而证出 。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2021高二上·太原期中）椭圆 的长轴长为（　　）
A．4 B．8 C．6 D．18
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程 得 ，所以 ，
所以长轴长为
故答案为：C
【分析】由椭圆的方程和简单性质，即可得出答案。
2．（2021高二上·开封期中）椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则实数a等于（　　）
A． B．-1 C．1 D．-1或1
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 的焦点在横轴上，
所以由题意可得： ，
故答案为：D
【分析】由椭圆和双曲线的简单性质，即可求出a的取值。
3．过双曲线 （ ， ）的右焦点 作双曲线渐近线的垂线段 ，垂足为 ，线段 与双曲线交于点 ，且满足 ，则双曲线离心率 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线渐近线方程为 ，所以 ，如图，在直角三角形 中， ， ，又因为
故 ， ，过 、A分别作 的垂线，垂足分别为 、 ，
则由 得： ，又 ，故 ，
，故可得点A的坐标为 ，
所以 ，整理得 ，解得 ，
故答案为：C．
【分析】利用渐进线的斜率，求出 ， ，进而利用相似和求出点A的坐标，代入到双曲线方程中，得到关于e的方程，求出离心率即可。
4．（2021高二上·太原期中）已知椭圆 ，其左焦点F且斜率为 的直线与椭圆C相交于两点A，B，若 ，则橢圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：根据题意，设 ， 方程为 ，
所以联立方程 得 ，
所以 ①， ②
因为 ， ，
所以 ③，
所以由①③得 ④，
所以将④代入②得 ，
因为 ，所以 ，即
所以橢圆C的离心率 .
故答案为：A.
【分析】根据题意设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于y的方程，结合韦达定理计算出，，然后由向量的坐标公式整理即可得到，由椭圆里a、b、c的关系，整理得出，从而计算出椭圆的离心率。
5．（2021高二上·郫都期中）双曲线 的两个焦点为 ， ，双曲线上一点 到 的距离为11，则点 到 的距离为（　　）
A．1 B．21 C．1或21 D．2或21
【答案】B
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】不妨设 ， 分别为双曲线的左右焦点，
当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以 ，
当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知， ，又 =11，所以 ，又 ，所以右支上不存在满足条件的点P.
故答案为：B.
【分析】由双曲线的定义，结合已知条件即可得出答案。
6．（2021高二上·鸡东期中）已知抛物线 的焦点F到其准线的距离为2，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．9
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：因为抛物线 的焦点F到其准线的距离为2，
所以p=2，抛物线C的方程为y2=4x，
设直线l的方程为x=my+4 ，
将此方程代入y2=4x，整理得y2-4my-16=0．
设， 则 y1y2=-16，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
故选：B．
【分析】根据抛物线的定义与方程，以及直线与抛物线的位置关系，利用根与系数关系，结合基本不等式求解即可.
7．（2021高三上·石家庄月考）已知抛物线 的焦点为F，经过点P(1，1)的直线l与该曲线交于A B两点，且点P恰好为AB的中点，则 （　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】抛物线 中， ，其焦点 ，准线方程 ，
如图过点 作准线的垂线，垂足为 ，
由抛物线定义可知， ，
而P恰好为AB的中点，故 是梯形ABNM的中位线，故 ，
又P(1，1)，故 ，所以 .
故答案为：B.
【分析】 求出焦点坐标和准线方程，过A、B、P作准线的垂线段，垂足分别为M、N、R，利用抛物线的定义得到|AM|+|BN|=2|PR|，求得答案.
8．（2021高二上·开封期中）如图，把椭圆 的长轴 分成8等份，过每个分点作 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点 ， ，…， ， 是左焦点，则 （　　）
A．21 B．28 C．35 D．42
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的右焦点为 ，则由椭圆的定义，得
，由椭圆的对称性，知 ， ．
同理，可知 ， ．
又 ， ．
故答案为：C．
【分析】根据题意由椭圆的简单性质和定义整理即可求出以及，从而整理即可得出答案。
二、多选题
9．（2021高二上·河北期中）已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直线 的交点恰好为线段 的中点，则（　　）
A． B．
C．直线 的斜率为1 D．直线 的斜率为4
【答案】A,C
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可得 ，整理可得 ．
设 ， ，则 ， ，两式相减可得 ．
因为直线 与直线 的交点恰好为线段 的中点，所以 ，
则直线 的斜率 ．
故答案为：AC
【分析】根据题意由椭圆的简单性质整理得到a与b的关系，再由设而不求法结合点差法和中点的坐标公式，整理即可得出斜率的结果。
10．（2021高二上·黑龙江期中）已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 ，使得由点 所作的圆 的两条切线相互垂直，则椭圆 的离心率可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】设两切点分别为 ，连接 ，由题意可得 四点共圆，
因为 ，
所以四边形 为正方形，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以AD符合条件。
故答案为：AD
【分析】设两切点分别为 ，连接 ，由题意可得 四点共圆，再利用 ，所以四边形 为正方形，所以 ，所以 ，即 ，再利用平方法结合椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的不等关系，再利用椭圆的离心率公式结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出椭圆 的离心率的取值范围，进而求出椭圆 的离心率可以的值。
11．（2021高二上·白城期中）已知点 是椭圆 上的动点， 是圆 上的动点，点 则（　　）
A．椭圆 的离心率为
B．椭圆 中以 为中点的弦所在直线方程为
C．圆 在椭圆 的内部
D． 的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】圆的标准方程；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，由椭圆 得 ，b=1，，则离心率为 ，故A正确；
对于B，设以M为中点的弦交椭圆于(x1，y1)，(x2，y2)，
则 ，
两式相减得 ，则可得 ，即斜率为 ，则直线方程为 ，整理得 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ，所以圆D在椭圆C的内部，故C正确；
对于D，由C选项可得|PQ|的最小值为 ，故D错误.
故选：ABC.
【分析】对于A，根据椭圆方程可求出a，b，c，求出离心率e；对于B，利用点差法即可求出直线方程；对于C，利用距离公式可结合椭圆的有界性即可判断；对于D，由C选项即可得出.
12．（2021高二上·河北期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 从点 射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线 射出，经过点Q．下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 平分
D．若 ，延长 交直线 于点M，则M，B，Q三点共线
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】如图，
若 ，则 ，C的焦点为 ，则 ，A符合题意；
延长 交直线 于点M，则 ，M，B，Q三点共线，D符合题意；
若 ，则 ，C的焦点为 ，直线 ，可得 ，B不正确；
时，因为 ，所以 ．又 ，所以 平分 ，C符合题意．
故答案为：ACD.
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合抛物线的简单性质即可判断出选项A正确；由抛物线的方程即可求出焦点的坐标，从而得出直线的方程，然后由抛物线的定义即可判断出选项B错误；由已知条件结合三角形中的几何计算关系即可判断出选项C正确；由抛物线的简单性质即可判断出选项D正确；从而得出答案。
三、填空题
13．（2021高二上·浙江期中）如果方程 表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是　 　.
【答案】k＞1
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】已知方程可化为 ，它表示焦点在 轴上的椭圆，
则 ，解得k＞1．
故答案为：k＞1．
【分析】首先整理化简椭圆的方程，结合椭圆的方程即可求出k的取值范围。
14．（2021高二上·湖州期中）经过椭圆 的左焦点 作倾斜角为60 的直线 ，直线 与椭圆相交于 两点，则线段 的长为　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得a2=2，b2=1所以c2=1，即c=1，故左焦点为F1(-1，0)，
而，
故直线l为： ，
联立 得：7x2+12x+4=0，
设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，由韦达定理得： ，
则由弦长公式得：.
故答案为：
【分析】根据椭圆的简单性质，运用直线与椭圆的位置关系结合弦长公式求解即可.
15．（2021高二上·河北期中）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上， （ 为坐标原点）， ，则椭圆 的长轴长为　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆 ，可得 ，
则 ，所以 ，
设 ， ，则 ，且 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的长轴长为 ．
故答案为： ．
【分析】首先由椭圆的简单性质求出c的大小，然后由三角形中的几何计算关系计算出，把结果代入到三角形的面积公式计算出a的取值，从而得出答案。
16．（2021高三上·南宁月考）抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上一点，且 不在直线 上，则 周长的最小值为　 　．
【答案】13
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d，即FP=d.所以周长
，填13.
【分析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离， 根据平面几何知识，当D、P、A三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出|PA|+|PF|的最小值，进而得出 周长的最小值 .
四、解答题
17．（2021高二上·河北期中）设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点．
（1）若 ，求 的方程．
（2）以 ， 为切点分别作抛物线 的两条切线，证明：两条切线的交点 一定在定直线上，且 ．
【答案】（1）解：由题意得 ，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 消元得 ，所以 ， ．
因为 ，
由题设知 ，解得 ，所以 的方程为 ．
（2）解：设与抛物线 相切的切线方程为 ，
则 化简得 ．
由 ，可得 ．
将 点坐标代入方程 ，可得 ， ，
所以过 的切线方程为 ．同理，过 的切线方程为 ，
联立方程组可得 ， ，
所以交点 在定直线 上．
当 时， 显然成立；
当 时， ，则 ，所以 ．
综上所述， ．
【知识点】斜率的计算公式；恒过定点的直线；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据题意由点斜式求出直线的方程，再联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，由韦达定理计算出两根之和与两根之积的值，然后由弦长公式整理计算出t的取值，由此得出直线的方程。
(2)首先设出切线的方程再联立直线与抛物线的方程，消元后得到关于y的方程，由一元二次方程跟的情况，求解出m的取值，从而得出点的坐标，然后由把点的坐标代入到斜率的坐标公式计算出 ，从而得出线线垂直。
18．（2021高二上·太原期中）已知椭圆 的离心率是 ，且点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过点 的直线 与椭圆 相交于两个不同的点 、 ，且 ，求 （ 是坐标原点）的面积.
【答案】（1）解：由已知条件可得 ，则 ，故 ，
所以，椭圆 的方程为 ，
将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，可得 ，则 ， ，
所以，椭圆 的方程为
（2）解：若直线 的斜率不存在，则 ，不合乎题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
，
整理得 ，即 ，解得 .
因此，直线 的方程为 或 .
原点 到直线 的距离为 ，因此， .
【知识点】平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质计算出b与c的关系，再把结果代入到椭圆里a、b、c的关系，计算出a与b的取值，从而得出椭圆的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入计算出k的取值，再由点到直线的距离公式结合三角形的面积公式计算出结果看。
19．在直角坐标系 中，椭圆 （ ）的左右焦点分别为 和 ，若 为椭圆上动点，直线 与椭圆交于另一点 ，若三角形 的周长为为8，且点 在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线 、 与直线 分别交于点 、 ，记直线 和直线 的斜率分别为 和 ，若 ，试求直线 的斜率．
【答案】（1）解：由已知和椭圆的定义知：三角形 的周长 ，故 ，
所以椭圆的方程为 ，又点 在椭圆上，故 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为
（2）解：由已知可得直线 的斜率不为 ，故可设直线 的方程为 ，
设 ， ，
联立方程组 ，消去 得：
故有 ， ，故 ， ，
直线 的方程为 ，解得与直线 的交点 ，
同理解得 ，故 ， ，
．
故 ，解得 ．
所以直线 的斜率
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆定义求出a，再代入点 求出b，即可求出椭圆的标准方程；
（2） 由已知可得直线 的斜率不为 ，可设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理化简计算可求出直线 的斜率．
20．（2021高二上·沈阳期中）中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 ，且 ，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为4，离心率之比为 .
（1）求椭圆和双曲线的方程；
（2）若点 是椭圆和双曲线的一个交点，求 .
【答案】（1）由已知得 ，设椭圆长、短半轴长分别为 、 ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为 、 ，
则 解得 ．所以 ．
故椭圆方程为 ，双曲线方程为 ．
（2）由椭圆、双曲线的对称性，不妨设 、 分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则 ，
所以 ．又 ，
故 ．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【分析】 (1)根据半焦距 ，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程；
(2)由椭圆、双曲线的定义求出PF1与PF2的长，三角形F1PF2中，利用余弦定理求出 的值.
21．（2017高二上·靖江期中）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C： +y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y=﹣3分别交于点M、N．
（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1 k2为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
【答案】（1）解：由题设 +y2=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．所以，直线AP的斜率k1= ，PB的斜率为k2= ．又点P在椭圆上，所以 +y02=1（x0≠0），从而有
k1 k2=
= =﹣ ．
（2）解：由题设可以得到直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），
直线PB的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0）．
由 ，解得 ；由 ，解得 ．
所以，直线AP与直线l的交点 ，
直线PB与直线l的交点 ．
于是 ，又k1 k2=﹣ ，所以
≥2 = ，
等号成立的条件是 ，解得 ．
故线段MN长的最小值是
（3）解：设点Q（x，y）是以MN为直径的圆上的任意一点，则 =0，
故有 ．又k1 k2=﹣ ，
所以以MN为直径的圆的方程为 ．
令 ，解得 ．
所以，以MN为直径的圆恒过定点 （或点 ）
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设出点P的坐标，并表示出k1，k2，再结合点P在椭圆上求得k1 k2的值；（2）分别用k1，k2表示出点M，N，进而表示出MN的长度，结合k1 k2的值及基本不等式求得MN的最小值；（3）本小题的关键是：利用以MN为直径的圆上的任意一点与点M，N的向量关系将几何问题妆花为方程问题.
22．（2021高二上·河北期中）已知双曲线 ： 的离心率为 ，点 在 上， 为 的右焦点.
（1）求双曲线 的方程；
（2）设 为 的左顶点，过点 作直线 交 于 （ 不与 重合）两点，点 是 的中点，求证： .
【答案】（1）由已知可得 ， ，解得： …①，
又点 在 上， …②，
由①②可得： ， ， 双曲线 的方程为 ；
（2）当 的斜率为 时，此时 中有一点与 重合，不符合题意.
当 斜率不为 时，设 ， ， ，
联立 得： ，
则 ，解得： .
，
，
，则 是直角三角形， 是斜边，
点 是斜边 的中点， ，即 .
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由双曲线 ： 的离心率为 ，从而结合双曲线的离心率公式，得出a，c的关系式，再利用点 在双曲线 上结合代入法，得出a，b的关系式，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而解方程组求出a，b，c的值，进而求出双曲线E的标准方程。
（2） 利用已知条件结合分类讨论的方法，当 的斜率为 时，此时 中有一点与 重合，不符合题意；当 斜率不为 时，设 ， ， ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出， ， ，再结合数量积的坐标表示和数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，所以三角形 是直角三角形， 是斜边，再利用点 是斜边 的中点结合中点的性质，从而证出 。
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