苏科版数学八年级上册2.5.1 等腰三角形的性质 同步训练
一、单选题
1．（2021八上·罗庄期中）等腰三角形周长为13cm，其中一边长3cm，则该等腰三角形底边长为（ ）
A．7cm B．7cm或3cm C．3cm D．8cm
2．（2021八上·罗庄期中）在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
3．（2021八上·滨州月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则顶角的度数为（ ）
A． B．
C． D． 或
4．（2021八上·余杭月考） 中， ，点D，E分别在 ， 边上，且 ，则一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·日照期中）如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．35° C．25° D．20°
6．（2021八上·绍兴期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
7．（2021八上·滨州月考）如图， 中， ，D、E分别是 两点，且 ，连接 ．则 的度数为（ ）度·
A．45 B．52.5 C．67.5 D．75
8．（2021八上·罗庄期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD＝18°，∠EDC＝12°，则∠DAE的度数是（ ）
A．52° B．58° C．60° D．62°
9．（2021八上·鄞州期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，
则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
10．（2021八上·灌云月考）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB.下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2021八上·铁锋期中）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是 ．
12．（2021八上·鲁甸期中）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为 和 ，则第三根木棒的长为 ．
13．（2021八上·温州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若BC＝4cm，AD＝6cm，则图中阴影部分的面积是 cm2.
14．（2021八上·温州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则△ABC的外角∠BCD= °．
15．（2021八上·东莞期中）如图， ， 的平分线相交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，那么下列结论：① ， 都是等腰三角形；② ；③ 的周长为 ；④ ．其中正确的是 ．
16．（2021八上·长沙月考）如图，在 中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则 周长的最小值为 .
17．（2021八上·宜兴月考）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 .
18．（2021八上·柯桥期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，第2021个三角形的底角度数是 ．
三、解答题
19．（2021八上·义乌月考）一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数．
20．（2020八上·渝北期中）如图，在△ABC≌△DEC，点D在AB上，且AB∥CE，∠A＝75°，求∠DCB的度数.
21．（2020八上·庐阳月考）如图所示，已知点 ， 在 的边 上， ， ．求证： ．
22．（2020八上·无锡期中）如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE＝ BD.求证；BD是∠ABC的角平分线.
23．（2020八上·沭阳期中）如图， 的外角平分线 、 相交于点 ， 过点 ，且 ，分别交 、 的延长线于点 ， .求证： .
24．（2020八上·南靖月考）如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts.当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
25．（2021八上·温州月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE.
（1）求证：EB⊥AB；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数.
26．（2021八上·温州期中）如图，在△ABC中，点D，E分別在边AB，AC上，连结CD，BE，BD=BC=BE．
（1）若∠A=30°，∠ACB=70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD=α°，∠ABE=β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．
27．（2021八下·莲湖期中）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC．
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
28．（2020八上·桐城期末）已知 和 均为等腰三角形，且 ， ， ．
（1）如图1，点 在 上，求证： ；
（2）如图2，点 在 的延长线上，写出 ， ， 的数量关系，并说明理由，
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当3cm为底边长时，腰长为（13 3）÷2＝5（cm），
当3cm为腰长时，底边长为13 3×2＝7（cm），
∵3＋3＜7，
∴当3cm为腰长时，不能组成三角形，
∴该等腰三角形的底边长为3cm，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，
∵AD为BC边上的中线，
∴则BD＝CD＝x，
∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，
则2x＋x＝15，且y＋x＝12，
由2x＋x＝15解得：x＝5，
∴y＋5＝12，
解得：y＝7，
∴三边长分别为10，10，7（符合题意），
∴AC＝7；
当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，
则2x＋x＝12，且y＋x＝15，
由2x＋x＝12解得：x＝4，
∴y＋4＝15，
解得：y＝11，
∴三边长分别为8，8，11（符合题意），
∴AC＝11，
综上所述：AC的长为7或11，
故答案为：C．
【分析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，根据中线的性质分两种情况：当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，再利用线段的和差计算及三角形三边的关系求解即可。
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图1
；
如图2
，故顶角 ．
故答案为：D
【分析】画出草图，分锐角三角形和钝角三角形两种情况，再结合三角形内角和及等腰三角形的性质求解即可。
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴D正确，而A、B、C项需要先证明△BDC≌△CEB得出，但由已知条件：BC=BC，∠DBC=∠ECB，BE=CD不能证明三角形全等.
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角可证得∠ABC=∠ACB，可对D作出判断；利用已知不能证明△BDC≌△CEB，可对A，B，C作出判断.
5．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝AD，∠DAC＝80°，
∴∠ADC=∠C=50°，
∵AD＝BD，∠ADC＝∠B+∠BAD=50°，
∴∠B=25°，
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，再发货等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可。
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：延长BD交AC于E，
∵CD平分∠ACB，CD⊥BE，
∴△BCE为等腰三角形，
∴CE=BC=3，
∵ ∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
设BD=x，
∴BE=AE=2x，
∵AE+EC=AC=5，
∴2x+3=5，
解得x=1.
故答案为：D.
【分析】延长BD交AC于E，根据三线合一判断△BCE为等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出EC长，再求出△AEB为等腰三角形，得出AE=EB，设BD=x，得出BE=AE=2x，再根据AE+EC=AC，建立方程求解，即可解答.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C=75°，
∵BD=BC=DE，
∴∠BED=∠BDE，∠BCD=∠BDC=75°，
∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°，
∴∠DBE=45°，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=75°，然后求出∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°，∠DBE=45°，由此求解即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】设∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，
∴∠B+18°=x°+12°，
∴∠B=x°-6°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°-6°，
∴∠DEA=∠C+∠EDC=x°-6°+12°=x°+6°，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE=x°+6°，
在△ADE中，由三角形内角和定理可得
x+x+6+x+6=180，
解得x=56，即∠ADE=56°，
∴∠DAE=62°
故答案为：D．
【分析】设∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，根据三角形的外角可得∠B+18°=x°+12°，化简为∠B=x°-6°，再利用等边对等角的性质可得∠C=∠B=x°-6°，∠DEA=∠DAE=x°+6°，最后利用三角形的内角和可得x+x+6+x+6=180，计算求出x的值即可得到∠DAE的度数。
9．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠COD=x，
∵OC=OD，
∴∠COD=∠CDO=x，
∴∠DCE=∠COD+∠CDO=2x，
∵CD=DE，
∴∠DEC=∠DCE=2x，
∴∠BDE=∠DEC+∠COD=3x=75°，
∴x=25°，
∴∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO=180°-25°-75°=80°.
故答案为：D.
【分析】设∠COD=x，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，求出∠CDO=x，∠BDE=3x=75°，则可求出x，然后根据∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO计算，即可解答.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABC与△AEF中，
AB=AE ∠ABC=∠AEF BC=EF ，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AF=AC，∠EAF=∠BAC；
∴②正确，
∠EAB=∠FAC= 40° ；
∴①正确
∵∠ABC=∠AEF，∠ADE=∠FDB，
∴∠EFB=∠EAB= 40° ，
∴⑤正确
∵AF=AC，∠FAC= 40° ；
∴∠AFC=∠C= 70° ；
∵∠EFB = 40° ，
∴∠EFC= 140°
∴∠EFA=∠AFC= 70°
∵∠BAF不一定等于 40° ，
∴∠ADF不一定等于 70°
∴∠ADF不一定等于∠EFA
∴AD不一定等于AF
∴④不正确
连接BE ∵AE=AB， ∠EAB=40°
∴∠AEB=∠ABE= 70°
∵ ∠ABC=∠AEF 不一定等于 40° ，
∴∠EBC不一定等于 110°
∴③不正确
故答案为：C.
【分析】利用SAS证出△ABC≌△AEF，得出AF=AC，∠EAF=∠BAC，从而得出∠EAB=∠FAC= 40°，即可判断①②正确；
利用∠ABC=∠AEF，∠ADE=∠FDB，得出∠EFB=∠EAB= 40° ，即可判断⑤正确；
根据等腰三角形的性质得出∠AFC=∠C= 70° ，再证出∠EFA=∠AFC= 70°，从而得出∠ADF不一定等于∠EFA，AD不一定等于AF，即可判④不正确；
连接BE，根据等腰三角形的性质得出∠AEB=∠ABE= 70°，得出∠EBC不一定等于110°，即可判③不正确.
11．【答案】55°或70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为70°，若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
若这个角为底角，则另一个底角也为70°，∴它的底角为55°或70°．
故答案为：55°或70°．
【分析】分两种情况，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
12．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当等腰三角形的腰为 时，三边长分别为 ， ， ，
∵ ，
∴不能构成三角形，
∴不满足条件，舍去；
②当等腰三角形的腰为 时，三边长分别为 ， ， ，
∵ ， ，
∴符合题意，
∴第三根木棒长为 ．
故答案为： ．
【分析】分两种情况：①当等腰三角形的腰为 时、②当等腰三角形的腰为 时，利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系分别求解即可.
13．【答案】6
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，
∴△CEF和△BEF的面积相等，
∴S阴影＝S△ABD，
∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC，
∵BC＝4cm，AD＝6cm，
∴S△ABC＝ BC AD＝ ×4×6＝12cm2，
∴S阴影＝12÷2＝6cm2.
故答案为：6.
【分析】由等腰三角形的性质易得S△CEF=S△BEF，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，则S阴影＝S△ABD=S△ABC，据此求解.
14．【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°-40°）÷2=70°，
∵∠BCD=∠A+∠B
∴∠BCD=70°+40°=110°.
故答案为：110.
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠B的度数；再利用三角形外角的性质，可求出∠BCD的度数.
15．【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
又∵DE//BC
∴∠CBF=∠DFB
∴∠ABF=∠DFB
∴DB=DF，即△BDF是等腰三角形，
同理可得 是等腰三角形，故①符合题意；
②∵△BDF是等腰三角形，
∴DB=DF
同理：EF=EC
∴DE=DF+EF=BD+CE，故②符合题意；
③∵DF=BD，EF=EC
∴ 的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC，故③符合题意；
④无法判断BD=CE，故④不符合题意．
故答案为①②③．
【分析】根据等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的内角和定理，求出答案即可。
16．【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接 ， ，
∵AB=AC，点 是 边的中点，
，
，
解得 ，
是线段 的垂直平分线，
，
当点 在 上时， 最小，最小值为 ，
的周长最短
.
故答案为：9.
【分析】连接AD、AM，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，由求出AD=7，由线段垂直平分线的性质得AM=CM，当点M在AD上时， 最小，最小值为AD的长，可得△CDM的周长最短，据此计算即得.
17．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N.
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，
∵∠BAD=125°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°.
∴∠MAN=180°﹣110°=70°.
故答案为：70°.
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN的周长最小，易得MA=MA′，NA=NA″，由等腰三角形的性质可得∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，结合外角的性质可得∠AMN=2∠A′，∠ANM=2∠A″，由内角和定理求出∠A′+∠A″的度数，进而得到∠AMN+∠ANM的度数，据此求解.
18．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝∠C，
∴∠BA1C＝（180°-∠B）=（180°-30°）=75°；
∵A1A2＝A1D，
∴∠DA2A1＝∠A1DA2，
∴∠BA1C＝∠DA2A1＋∠A2DA1＝2∠DA2A1，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝××150°=×150°；
同理可得：∠EA3A2＝∠DA2A1＝×150°=×75°；
…
∴以An为顶点的内角度数是∠An＝（）n×150°＝（）n 1×75°．
∴以A2021为顶点的内角度数是.
故答案为：
【分析】利用等边对等角可证得∠BA1C＝∠C，利用三角形的内角和定理求出∠BA1C的度数；再利用等边对等角可证得∠DA2A1＝∠A1DA2，利用三角形的外角的性质可证得∠DA2A1=×150°；同理可证∠DA2A1=×150°=×75°；由此规律可得到以An为顶点的内角度数是∠An的度数，即可退出第2021个三角形的底角度数.
19．【答案】解：①当都是底角时，设其为x，则x＝2x﹣30°，
解得：x＝30°，180°－30°－30°＝120°，
所以三个角为30°，30°，120°；
②当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+(2x-30)＝180°，
解得x＝52.5°，则2x-30＝75°，
所以三个角为52.5°，52.5°，75°．
③当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2(2x-30)＝180°，
解得x＝48°，则2x-30＝66°，
所以三个角为48°，66°，66°.
综上所述：这个三角形的三个内角的度数为30°，30°，120°或48°，66°，66°或52.5°，52.5°，75°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】①当都是底角时，设其为x，则x＝2x-30°，求出x，进而得到三个内角的度数；②当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+(2x-30)＝180°，同理可得内角的度数；③当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2(2x-30)＝180°，同理可得内角的度数.
20．【答案】解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠A＝75°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠ACD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∵AB∥CE，
∴∠DCE＝∠ADC＝75°，
∴∠ACB＝75°，
∴∠DCB＝75°﹣30°＝45°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由全等三角形的性质可得AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，由等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADC＝75°，结合三角形内角和定理可求出∠ACD的度数，由平行线的性质可得∠DCE＝∠ADC＝75°，接下来根据角之间的和差关系求解即可.
21．【答案】证明：作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
∵AD＝AE，AF⊥BC，
∴DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF，
即BD＝CE
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】作AF⊥BC，垂足为F，利用等腰三角形的性质得到BF＝CF，DF＝EF，即BF﹣DF＝CF﹣EF，问题得证．
22．【答案】证明：延长AE、BC交于点F
∵AE⊥BD
∴∠BEF=90°
∴∠DBC＋∠F=90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠FAC＋∠F=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△DBC和△FAC中
∴△DBC≌△FAC
∴BD=AF
∵AE＝ BD
∴AE＝ AF
∴点E为AF的中点
∴BE垂直平分AF
∴BA=BF
∴BD是∠ABC的角平分线.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】延长AE、BC交于点F，利用ASA即可证出△DBC≌△FAC，从而得出BD=AF，结合题意可得BE垂直平分AF，根据垂直平分线的性质可得BA=BF，利用三线合一即可证出结论.
23．【答案】证明：∵ 的外角平分线 、 相交于点 ，
∴ ∠MBO=∠OBC，∠BCO=∠OCN，
∵ ，
∴∠OBC=∠BOM，∠BCO=∠CON，
∴∠MBO=∠MOB，∠OCN=∠NOC，
∴MB=MO，NC=NO，
∵MN=MO+NO，
∴ MN=MB+NC.
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】利用三角形的角平分线的定义，可证得∠MBO=∠OBC，∠BCO=∠OCN，利用平行线的性质，可证得∠OBC=∠BOM，∠BCO=∠CON；由此可推出∠MBO=∠MOB，∠OCN=∠NOC；然后利用等角对等边及MN=OM+ON，可证得结论.
24．【答案】解：∵点Q在BC上，0 t 6
由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，
解得t＝ ， 6，
∴出发 秒后△PQB能形成等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】根据点Q在BC上，可得到t的取值范围，同时可表示出BP的长；再利用等腰三角形的定义，可知BP=BQ，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
25．【答案】（1）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴BE⊥AB；
（2）解：∵AD＝BF，BE＝AD，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠CBE＝45°，
∴∠BEF＝ ＝67.5°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°，证明△ACD≌△BCE，得到BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝45°，然后求出∠ABE的度数，据此证明；
（2）根据AD＝BF，BE＝AD可得BE＝BF，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理求解即可.
26．【答案】（1）解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=30°，∠ACB=70°，
∴∠ABC=80°．
∵在△BDC中，BD=BC，
∴ ，
∴∠ACD=∠BDC－∠A=20°
（2）解：设∠BCD=x°，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=(α+x)°，
∴∠DBC=180°－2x°，∠EBC=180°－2(α+x)°．
∴∠DBC－∠EBC=(180°－2x°)－[180°－2(α+x)°]=2α°，
又∵∠DBC－∠EBC=∠ABE=β°，
∴2α=β
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC=80°，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BDC的度数，然后求出∠ACD的度数.
（2）设∠BCD=x°，利用等腰三角形的性质可表示出∠BEC，∠BCE及∠DBC，∠EBC的度数；再表示出∠DBC－∠EBC的值；然后根据∠DBC－∠EBC=∠ABE=β°，可得到α与β之间的数量关系.
27．【答案】（1）证明：∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC=AF；
∵∠CAF＝∠BAE
∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，即∠BAC=∠EAF；
在△ABC和△AEF中
∴△ABC≌△AEF（SAS）
∴EF=BC.
（2）解：∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=65°，
∠BAE=∠GAF=（180°-2∠ABE）=180°-2×65°=50°；
∵△ABC≌△AEF，
∴∠ACB=∠F=28°
∴∠FGC=∠GAF+∠F=50°+28°=78°.
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可证得AC=AF，再证明∠BAC=∠EAF，利用SAS证明△ABC≌△AEF；然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用等腰三角形的性质可求出∠AEB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAE，∠GAF的度数；再利用全等三角形的性质可求出∠F的度数；然后利用三角形的外角的性质可求出∠FGC的度数.
28．【答案】（1）解：证明： ，
，
即 ，
又 ， ，
，
，
；
（2）解： ．
理由： ，
，
即 ，
又 ， ，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）通过证明，得出，即可得出结论；
（2）通过证明证出，得出结论。
1 / 1苏科版数学八年级上册2.5.1 等腰三角形的性质 同步训练
一、单选题
1．（2021八上·罗庄期中）等腰三角形周长为13cm，其中一边长3cm，则该等腰三角形底边长为（ ）
A．7cm B．7cm或3cm C．3cm D．8cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当3cm为底边长时，腰长为（13 3）÷2＝5（cm），
当3cm为腰长时，底边长为13 3×2＝7（cm），
∵3＋3＜7，
∴当3cm为腰长时，不能组成三角形，
∴该等腰三角形的底边长为3cm，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
2．（2021八上·罗庄期中）在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，
∵AD为BC边上的中线，
∴则BD＝CD＝x，
∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，
则2x＋x＝15，且y＋x＝12，
由2x＋x＝15解得：x＝5，
∴y＋5＝12，
解得：y＝7，
∴三边长分别为10，10，7（符合题意），
∴AC＝7；
当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，
则2x＋x＝12，且y＋x＝15，
由2x＋x＝12解得：x＝4，
∴y＋4＝15，
解得：y＝11，
∴三边长分别为8，8，11（符合题意），
∴AC＝11，
综上所述：AC的长为7或11，
故答案为：C．
【分析】设AB＝BC＝2x，AC＝y，根据中线的性质分两种情况：当AB＋BD＝15，且AC＋CD＝12时，当AB＋BD＝12，且AC＋CD＝15时，再利用线段的和差计算及三角形三边的关系求解即可。
3．（2021八上·滨州月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则顶角的度数为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图1
；
如图2
，故顶角 ．
故答案为：D
【分析】画出草图，分锐角三角形和钝角三角形两种情况，再结合三角形内角和及等腰三角形的性质求解即可。
4．（2021八上·余杭月考） 中， ，点D，E分别在 ， 边上，且 ，则一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴D正确，而A、B、C项需要先证明△BDC≌△CEB得出，但由已知条件：BC=BC，∠DBC=∠ECB，BE=CD不能证明三角形全等.
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角可证得∠ABC=∠ACB，可对D作出判断；利用已知不能证明△BDC≌△CEB，可对A，B，C作出判断.
5．（2021八上·日照期中）如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．35° C．25° D．20°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC＝AD，∠DAC＝80°，
∴∠ADC=∠C=50°，
∵AD＝BD，∠ADC＝∠B+∠BAD=50°，
∴∠B=25°，
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，再发货等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可。
6．（2021八上·绍兴期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：延长BD交AC于E，
∵CD平分∠ACB，CD⊥BE，
∴△BCE为等腰三角形，
∴CE=BC=3，
∵ ∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
设BD=x，
∴BE=AE=2x，
∵AE+EC=AC=5，
∴2x+3=5，
解得x=1.
故答案为：D.
【分析】延长BD交AC于E，根据三线合一判断△BCE为等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出EC长，再求出△AEB为等腰三角形，得出AE=EB，设BD=x，得出BE=AE=2x，再根据AE+EC=AC，建立方程求解，即可解答.
7．（2021八上·滨州月考）如图， 中， ，D、E分别是 两点，且 ，连接 ．则 的度数为（ ）度·
A．45 B．52.5 C．67.5 D．75
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C=75°，
∵BD=BC=DE，
∴∠BED=∠BDE，∠BCD=∠BDC=75°，
∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°，
∴∠DBE=45°，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=75°，然后求出∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°，∠DBE=45°，由此求解即可。
8．（2021八上·罗庄期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD＝18°，∠EDC＝12°，则∠DAE的度数是（ ）
A．52° B．58° C．60° D．62°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】设∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，
∴∠B+18°=x°+12°，
∴∠B=x°-6°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°-6°，
∴∠DEA=∠C+∠EDC=x°-6°+12°=x°+6°，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE=x°+6°，
在△ADE中，由三角形内角和定理可得
x+x+6+x+6=180，
解得x=56，即∠ADE=56°，
∴∠DAE=62°
故答案为：D．
【分析】设∠ADE=x°，且∠BAD=18°，∠EDC=12°，根据三角形的外角可得∠B+18°=x°+12°，化简为∠B=x°-6°，再利用等边对等角的性质可得∠C=∠B=x°-6°，∠DEA=∠DAE=x°+6°，最后利用三角形的内角和可得x+x+6+x+6=180，计算求出x的值即可得到∠DAE的度数。
9．（2021八上·鄞州期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，
则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠COD=x，
∵OC=OD，
∴∠COD=∠CDO=x，
∴∠DCE=∠COD+∠CDO=2x，
∵CD=DE，
∴∠DEC=∠DCE=2x，
∴∠BDE=∠DEC+∠COD=3x=75°，
∴x=25°，
∴∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO=180°-25°-75°=80°.
故答案为：D.
【分析】设∠COD=x，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，求出∠CDO=x，∠BDE=3x=75°，则可求出x，然后根据∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO计算，即可解答.
10．（2021八上·灌云月考）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB.下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABC与△AEF中，
AB=AE ∠ABC=∠AEF BC=EF ，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AF=AC，∠EAF=∠BAC；
∴②正确，
∠EAB=∠FAC= 40° ；
∴①正确
∵∠ABC=∠AEF，∠ADE=∠FDB，
∴∠EFB=∠EAB= 40° ，
∴⑤正确
∵AF=AC，∠FAC= 40° ；
∴∠AFC=∠C= 70° ；
∵∠EFB = 40° ，
∴∠EFC= 140°
∴∠EFA=∠AFC= 70°
∵∠BAF不一定等于 40° ，
∴∠ADF不一定等于 70°
∴∠ADF不一定等于∠EFA
∴AD不一定等于AF
∴④不正确
连接BE ∵AE=AB， ∠EAB=40°
∴∠AEB=∠ABE= 70°
∵ ∠ABC=∠AEF 不一定等于 40° ，
∴∠EBC不一定等于 110°
∴③不正确
故答案为：C.
【分析】利用SAS证出△ABC≌△AEF，得出AF=AC，∠EAF=∠BAC，从而得出∠EAB=∠FAC= 40°，即可判断①②正确；
利用∠ABC=∠AEF，∠ADE=∠FDB，得出∠EFB=∠EAB= 40° ，即可判断⑤正确；
根据等腰三角形的性质得出∠AFC=∠C= 70° ，再证出∠EFA=∠AFC= 70°，从而得出∠ADF不一定等于∠EFA，AD不一定等于AF，即可判④不正确；
连接BE，根据等腰三角形的性质得出∠AEB=∠ABE= 70°，得出∠EBC不一定等于110°，即可判③不正确.
二、填空题
11．（2021八上·铁锋期中）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是 ．
【答案】55°或70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为70°，若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
若这个角为底角，则另一个底角也为70°，∴它的底角为55°或70°．
故答案为：55°或70°．
【分析】分两种情况，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
12．（2021八上·鲁甸期中）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为 和 ，则第三根木棒的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当等腰三角形的腰为 时，三边长分别为 ， ， ，
∵ ，
∴不能构成三角形，
∴不满足条件，舍去；
②当等腰三角形的腰为 时，三边长分别为 ， ， ，
∵ ， ，
∴符合题意，
∴第三根木棒长为 ．
故答案为： ．
【分析】分两种情况：①当等腰三角形的腰为 时、②当等腰三角形的腰为 时，利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系分别求解即可.
13．（2021八上·温州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若BC＝4cm，AD＝6cm，则图中阴影部分的面积是 cm2.
【答案】6
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，
∴△CEF和△BEF的面积相等，
∴S阴影＝S△ABD，
∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC，
∵BC＝4cm，AD＝6cm，
∴S△ABC＝ BC AD＝ ×4×6＝12cm2，
∴S阴影＝12÷2＝6cm2.
故答案为：6.
【分析】由等腰三角形的性质易得S△CEF=S△BEF，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，则S阴影＝S△ABD=S△ABC，据此求解.
14．（2021八上·温州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则△ABC的外角∠BCD= °．
【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°-40°）÷2=70°，
∵∠BCD=∠A+∠B
∴∠BCD=70°+40°=110°.
故答案为：110.
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠B的度数；再利用三角形外角的性质，可求出∠BCD的度数.
15．（2021八上·东莞期中）如图， ， 的平分线相交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，那么下列结论：① ， 都是等腰三角形；② ；③ 的周长为 ；④ ．其中正确的是 ．
【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
又∵DE//BC
∴∠CBF=∠DFB
∴∠ABF=∠DFB
∴DB=DF，即△BDF是等腰三角形，
同理可得 是等腰三角形，故①符合题意；
②∵△BDF是等腰三角形，
∴DB=DF
同理：EF=EC
∴DE=DF+EF=BD+CE，故②符合题意；
③∵DF=BD，EF=EC
∴ 的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC，故③符合题意；
④无法判断BD=CE，故④不符合题意．
故答案为①②③．
【分析】根据等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的内角和定理，求出答案即可。
16．（2021八上·长沙月考）如图，在 中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则 周长的最小值为 .
【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接 ， ，
∵AB=AC，点 是 边的中点，
，
，
解得 ，
是线段 的垂直平分线，
，
当点 在 上时， 最小，最小值为 ，
的周长最短
.
故答案为：9.
【分析】连接AD、AM，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，由求出AD=7，由线段垂直平分线的性质得AM=CM，当点M在AD上时， 最小，最小值为AD的长，可得△CDM的周长最短，据此计算即得.
17．（2021八上·宜兴月考）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 .
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N.
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，
∵∠BAD=125°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°.
∴∠MAN=180°﹣110°=70°.
故答案为：70°.
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN的周长最小，易得MA=MA′，NA=NA″，由等腰三角形的性质可得∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，结合外角的性质可得∠AMN=2∠A′，∠ANM=2∠A″，由内角和定理求出∠A′+∠A″的度数，进而得到∠AMN+∠ANM的度数，据此求解.
18．（2021八上·柯桥期中）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，第2021个三角形的底角度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝∠C，
∴∠BA1C＝（180°-∠B）=（180°-30°）=75°；
∵A1A2＝A1D，
∴∠DA2A1＝∠A1DA2，
∴∠BA1C＝∠DA2A1＋∠A2DA1＝2∠DA2A1，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝××150°=×150°；
同理可得：∠EA3A2＝∠DA2A1＝×150°=×75°；
…
∴以An为顶点的内角度数是∠An＝（）n×150°＝（）n 1×75°．
∴以A2021为顶点的内角度数是.
故答案为：
【分析】利用等边对等角可证得∠BA1C＝∠C，利用三角形的内角和定理求出∠BA1C的度数；再利用等边对等角可证得∠DA2A1＝∠A1DA2，利用三角形的外角的性质可证得∠DA2A1=×150°；同理可证∠DA2A1=×150°=×75°；由此规律可得到以An为顶点的内角度数是∠An的度数，即可退出第2021个三角形的底角度数.
三、解答题
19．（2021八上·义乌月考）一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数．
【答案】解：①当都是底角时，设其为x，则x＝2x﹣30°，
解得：x＝30°，180°－30°－30°＝120°，
所以三个角为30°，30°，120°；
②当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+(2x-30)＝180°，
解得x＝52.5°，则2x-30＝75°，
所以三个角为52.5°，52.5°，75°．
③当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2(2x-30)＝180°，
解得x＝48°，则2x-30＝66°，
所以三个角为48°，66°，66°.
综上所述：这个三角形的三个内角的度数为30°，30°，120°或48°，66°，66°或52.5°，52.5°，75°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】①当都是底角时，设其为x，则x＝2x-30°，求出x，进而得到三个内角的度数；②当顶角比底角2倍少30°时，设底角为x，则2x+(2x-30)＝180°，同理可得内角的度数；③当底角比顶角2倍少30°时，设顶角为x，则x+2(2x-30)＝180°，同理可得内角的度数.
20．（2020八上·渝北期中）如图，在△ABC≌△DEC，点D在AB上，且AB∥CE，∠A＝75°，求∠DCB的度数.
【答案】解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠A＝75°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠ACD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∵AB∥CE，
∴∠DCE＝∠ADC＝75°，
∴∠ACB＝75°，
∴∠DCB＝75°﹣30°＝45°.
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】由全等三角形的性质可得AC＝CD，∠ACB＝∠DCE，由等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADC＝75°，结合三角形内角和定理可求出∠ACD的度数，由平行线的性质可得∠DCE＝∠ADC＝75°，接下来根据角之间的和差关系求解即可.
21．（2020八上·庐阳月考）如图所示，已知点 ， 在 的边 上， ， ．求证： ．
【答案】证明：作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
∵AD＝AE，AF⊥BC，
∴DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF，
即BD＝CE
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】作AF⊥BC，垂足为F，利用等腰三角形的性质得到BF＝CF，DF＝EF，即BF﹣DF＝CF﹣EF，问题得证．
22．（2020八上·无锡期中）如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE＝ BD.求证；BD是∠ABC的角平分线.
【答案】证明：延长AE、BC交于点F
∵AE⊥BD
∴∠BEF=90°
∴∠DBC＋∠F=90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠FAC＋∠F=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△DBC和△FAC中
∴△DBC≌△FAC
∴BD=AF
∵AE＝ BD
∴AE＝ AF
∴点E为AF的中点
∴BE垂直平分AF
∴BA=BF
∴BD是∠ABC的角平分线.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】延长AE、BC交于点F，利用ASA即可证出△DBC≌△FAC，从而得出BD=AF，结合题意可得BE垂直平分AF，根据垂直平分线的性质可得BA=BF，利用三线合一即可证出结论.
23．（2020八上·沭阳期中）如图， 的外角平分线 、 相交于点 ， 过点 ，且 ，分别交 、 的延长线于点 ， .求证： .
【答案】证明：∵ 的外角平分线 、 相交于点 ，
∴ ∠MBO=∠OBC，∠BCO=∠OCN，
∵ ，
∴∠OBC=∠BOM，∠BCO=∠CON，
∴∠MBO=∠MOB，∠OCN=∠NOC，
∴MB=MO，NC=NO，
∵MN=MO+NO，
∴ MN=MB+NC.
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】利用三角形的角平分线的定义，可证得∠MBO=∠OBC，∠BCO=∠OCN，利用平行线的性质，可证得∠OBC=∠BOM，∠BCO=∠CON；由此可推出∠MBO=∠MOB，∠OCN=∠NOC；然后利用等角对等边及MN=OM+ON，可证得结论.
24．（2020八上·南靖月考）如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts.当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
【答案】解：∵点Q在BC上，0 t 6
由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，
解得t＝ ， 6，
∴出发 秒后△PQB能形成等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】根据点Q在BC上，可得到t的取值范围，同时可表示出BP的长；再利用等腰三角形的定义，可知BP=BQ，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
25．（2021八上·温州月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE.
（1）求证：EB⊥AB；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数.
【答案】（1）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴BE⊥AB；
（2）解：∵AD＝BF，BE＝AD，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠CBE＝45°，
∴∠BEF＝ ＝67.5°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°，证明△ACD≌△BCE，得到BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝45°，然后求出∠ABE的度数，据此证明；
（2）根据AD＝BF，BE＝AD可得BE＝BF，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理求解即可.
26．（2021八上·温州期中）如图，在△ABC中，点D，E分別在边AB，AC上，连结CD，BE，BD=BC=BE．
（1）若∠A=30°，∠ACB=70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD=α°，∠ABE=β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=30°，∠ACB=70°，
∴∠ABC=80°．
∵在△BDC中，BD=BC，
∴ ，
∴∠ACD=∠BDC－∠A=20°
（2）解：设∠BCD=x°，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=(α+x)°，
∴∠DBC=180°－2x°，∠EBC=180°－2(α+x)°．
∴∠DBC－∠EBC=(180°－2x°)－[180°－2(α+x)°]=2α°，
又∵∠DBC－∠EBC=∠ABE=β°，
∴2α=β
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC=80°，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BDC的度数，然后求出∠ACD的度数.
（2）设∠BCD=x°，利用等腰三角形的性质可表示出∠BEC，∠BCE及∠DBC，∠EBC的度数；再表示出∠DBC－∠EBC的值；然后根据∠DBC－∠EBC=∠ABE=β°，可得到α与β之间的数量关系.
27．（2021八下·莲湖期中）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC．
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
【答案】（1）证明：∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC=AF；
∵∠CAF＝∠BAE
∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，即∠BAC=∠EAF；
在△ABC和△AEF中
∴△ABC≌△AEF（SAS）
∴EF=BC.
（2）解：∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=65°，
∠BAE=∠GAF=（180°-2∠ABE）=180°-2×65°=50°；
∵△ABC≌△AEF，
∴∠ACB=∠F=28°
∴∠FGC=∠GAF+∠F=50°+28°=78°.
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可证得AC=AF，再证明∠BAC=∠EAF，利用SAS证明△ABC≌△AEF；然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用等腰三角形的性质可求出∠AEB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAE，∠GAF的度数；再利用全等三角形的性质可求出∠F的度数；然后利用三角形的外角的性质可求出∠FGC的度数.
28．（2020八上·桐城期末）已知 和 均为等腰三角形，且 ， ， ．
（1）如图1，点 在 上，求证： ；
（2）如图2，点 在 的延长线上，写出 ， ， 的数量关系，并说明理由，
【答案】（1）解：证明： ，
，
即 ，
又 ， ，
，
，
；
（2）解： ．
理由： ，
，
即 ，
又 ， ，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）通过证明，得出，即可得出结论；
（2）通过证明证出，得出结论。
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