苏科版数学八年级上册2.5.1 等腰三角形的性质 同步训练
一、单选题
1.(2021八上·罗庄期中)等腰三角形周长为13cm,其中一边长3cm,则该等腰三角形底边长为( )
A.7cm B.7cm或3cm C.3cm D.8cm
2.(2021八上·罗庄期中)在△ABC中,AB=BC,中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分,则AC的长为( )
A.7 B.11 C.7或11 D.8或10
3.(2021八上·滨州月考)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ,则顶角的度数为( )
A. B.
C. D. 或
4.(2021八上·余杭月考) 中, ,点D,E分别在 , 边上,且 ,则一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.(2021八上·日照期中)如图所示,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°,则∠B的度数为( )
A.40° B.35° C.25° D.20°
6.(2021八上·绍兴期中)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.2.5 B.2 C.1.5 D.1
7.(2021八上·滨州月考)如图, 中, ,D、E分别是 两点,且 ,连接 .则 的度数为( )度·
A.45 B.52.5 C.67.5 D.75
8.(2021八上·罗庄期中)如图,△ABC中,AB=AC,AD=DE,∠BAD=18°,∠EDC=12°,则∠DAE的度数是( )
A.52° B.58° C.60° D.62°
9.(2021八上·鄞州期中)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,
则∠CDE的度数是( )
A.60° B.65° C.75° D.80°
10.(2021八上·灌云月考)如图,在△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠ABC=∠AEF,∠EAB=40°,AB交EF于点D,连接EB.下列结论:①∠FAC=40°;②AF=AC;③∠EBC=110°;④AD=AC;⑤∠EFB=40°,正确的个数为( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
11.(2021八上·铁锋期中)等腰三角形的一个角是70°,则它的底角是 .
12.(2021八上·鲁甸期中)用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形,其中两根木棒的长度分别为 和 ,则第三根木棒的长为 .
13.(2021八上·温州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E、F是AD的三等分点,若BC=4cm,AD=6cm,则图中阴影部分的面积是 cm2.
14.(2021八上·温州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则△ABC的外角∠BCD= °.
15.(2021八上·东莞期中)如图, , 的平分线相交于点 ,过点 作 ,交 于 ,交 于 ,那么下列结论:① , 都是等腰三角形;② ;③ 的周长为 ;④ .其中正确的是 .
16.(2021八上·长沙月考)如图,在 中,AB=AC,BC=4,面积是14,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E、F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则 周长的最小值为 .
17.(2021八上·宜兴月考)四边形ABCD中,∠BAD=125°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当三角形AMN周长最小时,∠MAN的度数为 .
18.(2021八上·柯桥期中)如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,第2021个三角形的底角度数是 .
三、解答题
19.(2021八上·义乌月考)一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°,求这个三角形的三个内角的度数.
20.(2020八上·渝北期中)如图,在△ABC≌△DEC,点D在AB上,且AB∥CE,∠A=75°,求∠DCB的度数.
21.(2020八上·庐阳月考)如图所示,已知点 , 在 的边 上, , .求证: .
22.(2020八上·无锡期中)如图,在△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于点E,且AE= BD.求证;BD是∠ABC的角平分线.
23.(2020八上·沭阳期中)如图, 的外角平分线 、 相交于点 , 过点 ,且 ,分别交 、 的延长线于点 , .求证: .
24.(2020八上·南靖月考)如图所示,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为ts.当点Q在边BC上运动时,出发多久后,△PQB能形成等腰三角形?
25.(2021八上·温州月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:EB⊥AB;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.
26.(2021八上·温州期中)如图,在△ABC中,点D,E分別在边AB,AC上,连结CD,BE,BD=BC=BE.
(1)若∠A=30°,∠ACB=70°,求∠BDC,∠ACD的度数;
(2)设∠ACD=α°,∠ABE=β°,求α与β之间的数量关系,并说明理由.
27.(2021八下·莲湖期中)如图,在△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证:EF=BC.
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
28.(2020八上·桐城期末)已知 和 均为等腰三角形,且 , , .
(1)如图1,点 在 上,求证: ;
(2)如图2,点 在 的延长线上,写出 , , 的数量关系,并说明理由,
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】三角形三边关系;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:当3cm为底边长时,腰长为(13 3)÷2=5(cm),
当3cm为腰长时,底边长为13 3×2=7(cm),
∵3+3<7,
∴当3cm为腰长时,不能组成三角形,
∴该等腰三角形的底边长为3cm,
故答案为:C.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
2.【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:设AB=BC=2x,AC=y,
∵AD为BC边上的中线,
∴则BD=CD=x,
∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分,
∴当AB+BD=15,且AC+CD=12时,
则2x+x=15,且y+x=12,
由2x+x=15解得:x=5,
∴y+5=12,
解得:y=7,
∴三边长分别为10,10,7(符合题意),
∴AC=7;
当AB+BD=12,且AC+CD=15时,
则2x+x=12,且y+x=15,
由2x+x=12解得:x=4,
∴y+4=15,
解得:y=11,
∴三边长分别为8,8,11(符合题意),
∴AC=11,
综上所述:AC的长为7或11,
故答案为:C.
【分析】设AB=BC=2x,AC=y,根据中线的性质分两种情况:当AB+BD=15,且AC+CD=12时,当AB+BD=12,且AC+CD=15时,再利用线段的和差计算及三角形三边的关系求解即可。
3.【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图1
;
如图2
,故顶角 .
故答案为:D
【分析】画出草图,分锐角三角形和钝角三角形两种情况,再结合三角形内角和及等腰三角形的性质求解即可。
4.【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:如图:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴D正确,而A、B、C项需要先证明△BDC≌△CEB得出,但由已知条件:BC=BC,∠DBC=∠ECB,BE=CD不能证明三角形全等.
故答案为:D.
【分析】利用等边对等角可证得∠ABC=∠ACB,可对D作出判断;利用已知不能证明△BDC≌△CEB,可对A,B,C作出判断.
5.【答案】C
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵AC=AD,∠DAC=80°,
∴∠ADC=∠C=50°,
∵AD=BD,∠ADC=∠B+∠BAD=50°,
∴∠B=25°,
故答案为:C.
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ADC的度数,再发货等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可。
6.【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:延长BD交AC于E,
∵CD平分∠ACB,CD⊥BE,
∴△BCE为等腰三角形,
∴CE=BC=3,
∵ ∠A=∠ABD,
∴BE=AE,
设BD=x,
∴BE=AE=2x,
∵AE+EC=AC=5,
∴2x+3=5,
解得x=1.
故答案为:D.
【分析】延长BD交AC于E,根据三线合一判断△BCE为等腰三角形,根据等腰三角形的性质求出EC长,再求出△AEB为等腰三角形,得出AE=EB,设BD=x,得出BE=AE=2x,再根据AE+EC=AC,建立方程求解,即可解答.
7.【答案】C
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵∠ABC+∠C+∠A=180°,∠A=30°,
∴∠ABC=∠C=75°,
∵BD=BC=DE,
∴∠BED=∠BDE,∠BCD=∠BDC=75°,
∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°,
∴∠DBE=45°,
∴ ,
故答案为:C.
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=75°,然后求出∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°,∠DBE=45°,由此求解即可。
8.【答案】D
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】设∠ADE=x°,且∠BAD=18°,∠EDC=12°,
∴∠B+18°=x°+12°,
∴∠B=x°-6°,
∵AB=AC,
∴∠C=∠B=x°-6°,
∴∠DEA=∠C+∠EDC=x°-6°+12°=x°+6°,
∵AD=DE,
∴∠DEA=∠DAE=x°+6°,
在△ADE中,由三角形内角和定理可得
x+x+6+x+6=180,
解得x=56,即∠ADE=56°,
∴∠DAE=62°
故答案为:D.
【分析】设∠ADE=x°,且∠BAD=18°,∠EDC=12°,根据三角形的外角可得∠B+18°=x°+12°,化简为∠B=x°-6°,再利用等边对等角的性质可得∠C=∠B=x°-6°,∠DEA=∠DAE=x°+6°,最后利用三角形的内角和可得x+x+6+x+6=180,计算求出x的值即可得到∠DAE的度数。
9.【答案】D
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:设∠COD=x,
∵OC=OD,
∴∠COD=∠CDO=x,
∴∠DCE=∠COD+∠CDO=2x,
∵CD=DE,
∴∠DEC=∠DCE=2x,
∴∠BDE=∠DEC+∠COD=3x=75°,
∴x=25°,
∴∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO=180°-25°-75°=80°.
故答案为:D.
【分析】设∠COD=x,根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质,求出∠CDO=x,∠BDE=3x=75°,则可求出x,然后根据∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO计算,即可解答.
10.【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解:在△ABC与△AEF中,
AB=AE ∠ABC=∠AEF BC=EF ,
∴△ABC≌△AEF(SAS),
∴AF=AC,∠EAF=∠BAC;
∴②正确,
∠EAB=∠FAC= 40° ;
∴①正确
∵∠ABC=∠AEF,∠ADE=∠FDB,
∴∠EFB=∠EAB= 40° ,
∴⑤正确
∵AF=AC,∠FAC= 40° ;
∴∠AFC=∠C= 70° ;
∵∠EFB = 40° ,
∴∠EFC= 140°
∴∠EFA=∠AFC= 70°
∵∠BAF不一定等于 40° ,
∴∠ADF不一定等于 70°
∴∠ADF不一定等于∠EFA
∴AD不一定等于AF
∴④不正确
连接BE ∵AE=AB, ∠EAB=40°
∴∠AEB=∠ABE= 70°
∵ ∠ABC=∠AEF 不一定等于 40° ,
∴∠EBC不一定等于 110°
∴③不正确
故答案为:C.
【分析】利用SAS证出△ABC≌△AEF,得出AF=AC,∠EAF=∠BAC,从而得出∠EAB=∠FAC= 40°,即可判断①②正确;
利用∠ABC=∠AEF,∠ADE=∠FDB,得出∠EFB=∠EAB= 40° ,即可判断⑤正确;
根据等腰三角形的性质得出∠AFC=∠C= 70° ,再证出∠EFA=∠AFC= 70°,从而得出∠ADF不一定等于∠EFA,AD不一定等于AF,即可判④不正确;
连接BE,根据等腰三角形的性质得出∠AEB=∠ABE= 70°,得出∠EBC不一定等于110°,即可判③不正确.
11.【答案】55°或70°
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵等腰三角形的一个内角为70°,若这个角为顶角,则底角为:(180°﹣70°)÷2=55°;
若这个角为底角,则另一个底角也为70°,∴它的底角为55°或70°.
故答案为:55°或70°.
【分析】分两种情况,再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
12.【答案】
【知识点】三角形三边关系;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:①当等腰三角形的腰为 时,三边长分别为 , , ,
∵ ,
∴不能构成三角形,
∴不满足条件,舍去;
②当等腰三角形的腰为 时,三边长分别为 , , ,
∵ , ,
∴符合题意,
∴第三根木棒长为 .
故答案为: .
【分析】分两种情况:①当等腰三角形的腰为 时、②当等腰三角形的腰为 时,利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系分别求解即可.
13.【答案】6
【知识点】三角形的面积;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,
∴△ABC是轴对称图形,且直线AD是对称轴,
∴△CEF和△BEF的面积相等,
∴S阴影=S△ABD,
∵AB=AC,AD是BC边上的高,
∴BD=CD,
∴S△ABD=S△ACD= S△ABC,
∵BC=4cm,AD=6cm,
∴S△ABC= BC AD= ×4×6=12cm2,
∴S阴影=12÷2=6cm2.
故答案为:6.
【分析】由等腰三角形的性质易得S△CEF=S△BEF,S△ABD=S△ACD=S△ABC,则S阴影=S△ABD=S△ABC,据此求解.
14.【答案】110
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=(180°-40°)÷2=70°,
∵∠BCD=∠A+∠B
∴∠BCD=70°+40°=110°.
故答案为:110.
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠B的度数;再利用三角形外角的性质,可求出∠BCD的度数.
15.【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理;角平分线的性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:①∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
又∵DE//BC
∴∠CBF=∠DFB
∴∠ABF=∠DFB
∴DB=DF,即△BDF是等腰三角形,
同理可得 是等腰三角形,故①符合题意;
②∵△BDF是等腰三角形,
∴DB=DF
同理:EF=EC
∴DE=DF+EF=BD+CE,故②符合题意;
③∵DF=BD,EF=EC
∴ 的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC,故③符合题意;
④无法判断BD=CE,故④不符合题意.
故答案为①②③.
【分析】根据等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的内角和定理,求出答案即可。
16.【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:连接 , ,
∵AB=AC,点 是 边的中点,
,
,
解得 ,
是线段 的垂直平分线,
,
当点 在 上时, 最小,最小值为 ,
的周长最短
.
故答案为:9.
【分析】连接AD、AM,根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,由求出AD=7,由线段垂直平分线的性质得AM=CM,当点M在AD上时, 最小,最小值为AD的长,可得△CDM的周长最短,据此计算即得.
17.【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:延长AB到A′使得BA′=AB,延长AD到A″使得DA″=AD,连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴A、A′关于BC对称,A、A″关于CD对称,
此时△AMN的周长最小,
∵BA=BA′,MB⊥AB,
∴MA=MA′,同理:NA=NA″,
∴∠A′=∠MAB,∠A″=∠NAD,
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′,∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″,
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″),
∵∠BAD=125°,
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°,
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°.
∴∠MAN=180°﹣110°=70°.
故答案为:70°.
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB,延长AD到A″使得DA″=AD,连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N,此时△AMN的周长最小,易得MA=MA′,NA=NA″,由等腰三角形的性质可得∠A′=∠MAB,∠A″=∠NAD,结合外角的性质可得∠AMN=2∠A′,∠ANM=2∠A″,由内角和定理求出∠A′+∠A″的度数,进而得到∠AMN+∠ANM的度数,据此求解.
18.【答案】
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质;探索图形规律
【解析】【解答】解:∠B=30°,A1B=CB,
∴∠BA1C=∠C,
∴∠BA1C=(180°-∠B)=(180°-30°)=75°;
∵A1A2=A1D,
∴∠DA2A1=∠A1DA2,
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1,
∴∠DA2A1=∠BA1C=××150°=×150°;
同理可得:∠EA3A2=∠DA2A1=×150°=×75°;
…
∴以An为顶点的内角度数是∠An=()n×150°=()n 1×75°.
∴以A2021为顶点的内角度数是.
故答案为:
【分析】利用等边对等角可证得∠BA1C=∠C,利用三角形的内角和定理求出∠BA1C的度数;再利用等边对等角可证得∠DA2A1=∠A1DA2,利用三角形的外角的性质可证得∠DA2A1=×150°;同理可证∠DA2A1=×150°=×75°;由此规律可得到以An为顶点的内角度数是∠An的度数,即可退出第2021个三角形的底角度数.
19.【答案】解:①当都是底角时,设其为x,则x=2x﹣30°,
解得:x=30°,180°-30°-30°=120°,
所以三个角为30°,30°,120°;
②当顶角比底角2倍少30°时,设底角为x,则2x+(2x-30)=180°,
解得x=52.5°,则2x-30=75°,
所以三个角为52.5°,52.5°,75°.
③当底角比顶角2倍少30°时,设顶角为x,则x+2(2x-30)=180°,
解得x=48°,则2x-30=66°,
所以三个角为48°,66°,66°.
综上所述:这个三角形的三个内角的度数为30°,30°,120°或48°,66°,66°或52.5°,52.5°,75°.
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【分析】①当都是底角时,设其为x,则x=2x-30°,求出x,进而得到三个内角的度数;②当顶角比底角2倍少30°时,设底角为x,则2x+(2x-30)=180°,同理可得内角的度数;③当底角比顶角2倍少30°时,设顶角为x,则x+2(2x-30)=180°,同理可得内角的度数.
20.【答案】解:∵△ABC≌△DEC,
∴AC=CD,∠ACB=∠DCE,
∴∠A=∠ADC,
∵∠A=75°,
∴∠ADC=75°,
∴∠ACD=180°﹣75°﹣75°=30°,
∴∠ACB=30°,
∵AB∥CE,
∴∠DCE=∠ADC=75°,
∴∠ACB=75°,
∴∠DCB=75°﹣30°=45°.
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理;三角形全等及其性质;等腰三角形的性质
【解析】【分析】由全等三角形的性质可得AC=CD,∠ACB=∠DCE,由等腰三角形的性质可得∠A=∠ADC=75°,结合三角形内角和定理可求出∠ACD的度数,由平行线的性质可得∠DCE=∠ADC=75°,接下来根据角之间的和差关系求解即可.
21.【答案】证明:作AF⊥BC,垂足为F,
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=CF,
∵AD=AE,AF⊥BC,
∴DF=EF,
∴BF﹣DF=CF﹣EF,
即BD=CE
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】作AF⊥BC,垂足为F,利用等腰三角形的性质得到BF=CF,DF=EF,即BF﹣DF=CF﹣EF,问题得证.
22.【答案】证明:延长AE、BC交于点F
∵AE⊥BD
∴∠BEF=90°
∴∠DBC+∠F=90°
∵∠ACB=90°,
∴∠FAC+∠F=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△DBC和△FAC中
∴△DBC≌△FAC
∴BD=AF
∵AE= BD
∴AE= AF
∴点E为AF的中点
∴BE垂直平分AF
∴BA=BF
∴BD是∠ABC的角平分线.
【知识点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】延长AE、BC交于点F,利用ASA即可证出△DBC≌△FAC,从而得出BD=AF,结合题意可得BE垂直平分AF,根据垂直平分线的性质可得BA=BF,利用三线合一即可证出结论.
23.【答案】证明:∵ 的外角平分线 、 相交于点 ,
∴ ∠MBO=∠OBC,∠BCO=∠OCN,
∵ ,
∴∠OBC=∠BOM,∠BCO=∠CON,
∴∠MBO=∠MOB,∠OCN=∠NOC,
∴MB=MO,NC=NO,
∵MN=MO+NO,
∴ MN=MB+NC.
【知识点】等腰三角形的性质;角平分线的概念
【解析】【分析】利用三角形的角平分线的定义,可证得∠MBO=∠OBC,∠BCO=∠OCN,利用平行线的性质,可证得∠OBC=∠BOM,∠BCO=∠CON;由此可推出∠MBO=∠MOB,∠OCN=∠NOC;然后利用等角对等边及MN=OM+ON,可证得结论.
24.【答案】解:∵点Q在BC上,0 t 6
由题意可知AP=t,BQ=2t,
∵AB=16,
∴BP=AB﹣AP=16﹣t,
当△PQB为等腰三角形时,则有BP=BQ,
即16﹣t=2t,
解得t= , 6,
∴出发 秒后△PQB能形成等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质;三角形-动点问题
【解析】【分析】根据点Q在BC上,可得到t的取值范围,同时可表示出BP的长;再利用等腰三角形的定义,可知BP=BQ,由此可得到关于t的方程,解方程求出t的值.
25.【答案】(1)证明:∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,
∴CD=CE,∠DCE=90°=∠ACB,
∴∠ACD=∠BCE,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴BE=AD,∠CBE=∠CAD=45°,
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°,
∴BE⊥AB;
(2)解:∵AD=BF,BE=AD,
∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE,
∵∠CBE=45°,
∴∠BEF= =67.5°.
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质;旋转的性质;等腰直角三角形;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由旋转的性质可得CD=CE,∠DCE=90°=∠ACB,根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB=∠CBA=45°,证明△ACD≌△BCE,得到BE=AD,∠CBE=∠CAD=45°,然后求出∠ABE的度数,据此证明;
(2)根据AD=BF,BE=AD可得BE=BF,接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理求解即可.
26.【答案】(1)解:∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∠A=30°,∠ACB=70°,
∴∠ABC=80°.
∵在△BDC中,BD=BC,
∴ ,
∴∠ACD=∠BDC-∠A=20°
(2)解:设∠BCD=x°,
∵BE=BC,
∴∠BEC=∠BCE=(α+x)°,
∴∠DBC=180°-2x°,∠EBC=180°-2(α+x)°.
∴∠DBC-∠EBC=(180°-2x°)-[180°-2(α+x)°]=2α°,
又∵∠DBC-∠EBC=∠ABE=β°,
∴2α=β
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)利用三角形的内角和定理求出∠ABC=80°,利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BDC的度数,然后求出∠ACD的度数.
(2)设∠BCD=x°,利用等腰三角形的性质可表示出∠BEC,∠BCE及∠DBC,∠EBC的度数;再表示出∠DBC-∠EBC的值;然后根据∠DBC-∠EBC=∠ABE=β°,可得到α与β之间的数量关系.
27.【答案】(1)证明:∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置,
∴AC=AF;
∵∠CAF=∠BAE
∴∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC,即∠BAC=∠EAF;
在△ABC和△AEF中
∴△ABC≌△AEF(SAS)
∴EF=BC.
(2)解:∵AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB=65°,
∠BAE=∠GAF=(180°-2∠ABE)=180°-2×65°=50°;
∵△ABC≌△AEF,
∴∠ACB=∠F=28°
∴∠FGC=∠GAF+∠F=50°+28°=78°.
【知识点】等腰三角形的性质;旋转的性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用旋转的性质可证得AC=AF,再证明∠BAC=∠EAF,利用SAS证明△ABC≌△AEF;然后利用全等三角形的对应边相等,可证得结论.
(2)利用等腰三角形的性质可求出∠AEB的度数,利用三角形的内角和定理求出∠BAE,∠GAF的度数;再利用全等三角形的性质可求出∠F的度数;然后利用三角形的外角的性质可求出∠FGC的度数.
28.【答案】(1)解:证明: ,
,
即 ,
又 , ,
,
,
;
(2)解: .
理由: ,
,
即 ,
又 , ,
,
,
.
【知识点】三角形全等的判定;等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)通过证明,得出,即可得出结论;
(2)通过证明证出,得出结论。
1 / 1苏科版数学八年级上册2.5.1 等腰三角形的性质 同步训练
一、单选题
1.(2021八上·罗庄期中)等腰三角形周长为13cm,其中一边长3cm,则该等腰三角形底边长为( )
A.7cm B.7cm或3cm C.3cm D.8cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:当3cm为底边长时,腰长为(13 3)÷2=5(cm),
当3cm为腰长时,底边长为13 3×2=7(cm),
∵3+3<7,
∴当3cm为腰长时,不能组成三角形,
∴该等腰三角形的底边长为3cm,
故答案为:C.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
2.(2021八上·罗庄期中)在△ABC中,AB=BC,中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分,则AC的长为( )
A.7 B.11 C.7或11 D.8或10
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:设AB=BC=2x,AC=y,
∵AD为BC边上的中线,
∴则BD=CD=x,
∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分,
∴当AB+BD=15,且AC+CD=12时,
则2x+x=15,且y+x=12,
由2x+x=15解得:x=5,
∴y+5=12,
解得:y=7,
∴三边长分别为10,10,7(符合题意),
∴AC=7;
当AB+BD=12,且AC+CD=15时,
则2x+x=12,且y+x=15,
由2x+x=12解得:x=4,
∴y+4=15,
解得:y=11,
∴三边长分别为8,8,11(符合题意),
∴AC=11,
综上所述:AC的长为7或11,
故答案为:C.
【分析】设AB=BC=2x,AC=y,根据中线的性质分两种情况:当AB+BD=15,且AC+CD=12时,当AB+BD=12,且AC+CD=15时,再利用线段的和差计算及三角形三边的关系求解即可。
3.(2021八上·滨州月考)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ,则顶角的度数为( )
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图1
;
如图2
,故顶角 .
故答案为:D
【分析】画出草图,分锐角三角形和钝角三角形两种情况,再结合三角形内角和及等腰三角形的性质求解即可。
4.(2021八上·余杭月考) 中, ,点D,E分别在 , 边上,且 ,则一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:如图:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴D正确,而A、B、C项需要先证明△BDC≌△CEB得出,但由已知条件:BC=BC,∠DBC=∠ECB,BE=CD不能证明三角形全等.
故答案为:D.
【分析】利用等边对等角可证得∠ABC=∠ACB,可对D作出判断;利用已知不能证明△BDC≌△CEB,可对A,B,C作出判断.
5.(2021八上·日照期中)如图所示,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°,则∠B的度数为( )
A.40° B.35° C.25° D.20°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵AC=AD,∠DAC=80°,
∴∠ADC=∠C=50°,
∵AD=BD,∠ADC=∠B+∠BAD=50°,
∴∠B=25°,
故答案为:C.
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ADC的度数,再发货等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可。
6.(2021八上·绍兴期中)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.2.5 B.2 C.1.5 D.1
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:延长BD交AC于E,
∵CD平分∠ACB,CD⊥BE,
∴△BCE为等腰三角形,
∴CE=BC=3,
∵ ∠A=∠ABD,
∴BE=AE,
设BD=x,
∴BE=AE=2x,
∵AE+EC=AC=5,
∴2x+3=5,
解得x=1.
故答案为:D.
【分析】延长BD交AC于E,根据三线合一判断△BCE为等腰三角形,根据等腰三角形的性质求出EC长,再求出△AEB为等腰三角形,得出AE=EB,设BD=x,得出BE=AE=2x,再根据AE+EC=AC,建立方程求解,即可解答.
7.(2021八上·滨州月考)如图, 中, ,D、E分别是 两点,且 ,连接 .则 的度数为( )度·
A.45 B.52.5 C.67.5 D.75
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵∠ABC+∠C+∠A=180°,∠A=30°,
∴∠ABC=∠C=75°,
∵BD=BC=DE,
∴∠BED=∠BDE,∠BCD=∠BDC=75°,
∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°,
∴∠DBE=45°,
∴ ,
故答案为:C.
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC=∠C=75°,然后求出∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=30°,∠DBE=45°,由此求解即可。
8.(2021八上·罗庄期中)如图,△ABC中,AB=AC,AD=DE,∠BAD=18°,∠EDC=12°,则∠DAE的度数是( )
A.52° B.58° C.60° D.62°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】设∠ADE=x°,且∠BAD=18°,∠EDC=12°,
∴∠B+18°=x°+12°,
∴∠B=x°-6°,
∵AB=AC,
∴∠C=∠B=x°-6°,
∴∠DEA=∠C+∠EDC=x°-6°+12°=x°+6°,
∵AD=DE,
∴∠DEA=∠DAE=x°+6°,
在△ADE中,由三角形内角和定理可得
x+x+6+x+6=180,
解得x=56,即∠ADE=56°,
∴∠DAE=62°
故答案为:D.
【分析】设∠ADE=x°,且∠BAD=18°,∠EDC=12°,根据三角形的外角可得∠B+18°=x°+12°,化简为∠B=x°-6°,再利用等边对等角的性质可得∠C=∠B=x°-6°,∠DEA=∠DAE=x°+6°,最后利用三角形的内角和可得x+x+6+x+6=180,计算求出x的值即可得到∠DAE的度数。
9.(2021八上·鄞州期中)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,
则∠CDE的度数是( )
A.60° B.65° C.75° D.80°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:设∠COD=x,
∵OC=OD,
∴∠COD=∠CDO=x,
∴∠DCE=∠COD+∠CDO=2x,
∵CD=DE,
∴∠DEC=∠DCE=2x,
∴∠BDE=∠DEC+∠COD=3x=75°,
∴x=25°,
∴∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO=180°-25°-75°=80°.
故答案为:D.
【分析】设∠COD=x,根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质,求出∠CDO=x,∠BDE=3x=75°,则可求出x,然后根据∠CDE=180°-∠BDE-∠CDO计算,即可解答.
10.(2021八上·灌云月考)如图,在△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠ABC=∠AEF,∠EAB=40°,AB交EF于点D,连接EB.下列结论:①∠FAC=40°;②AF=AC;③∠EBC=110°;④AD=AC;⑤∠EFB=40°,正确的个数为( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解:在△ABC与△AEF中,
AB=AE ∠ABC=∠AEF BC=EF ,
∴△ABC≌△AEF(SAS),
∴AF=AC,∠EAF=∠BAC;
∴②正确,
∠EAB=∠FAC= 40° ;
∴①正确
∵∠ABC=∠AEF,∠ADE=∠FDB,
∴∠EFB=∠EAB= 40° ,
∴⑤正确
∵AF=AC,∠FAC= 40° ;
∴∠AFC=∠C= 70° ;
∵∠EFB = 40° ,
∴∠EFC= 140°
∴∠EFA=∠AFC= 70°
∵∠BAF不一定等于 40° ,
∴∠ADF不一定等于 70°
∴∠ADF不一定等于∠EFA
∴AD不一定等于AF
∴④不正确
连接BE ∵AE=AB, ∠EAB=40°
∴∠AEB=∠ABE= 70°
∵ ∠ABC=∠AEF 不一定等于 40° ,
∴∠EBC不一定等于 110°
∴③不正确
故答案为:C.
【分析】利用SAS证出△ABC≌△AEF,得出AF=AC,∠EAF=∠BAC,从而得出∠EAB=∠FAC= 40°,即可判断①②正确;
利用∠ABC=∠AEF,∠ADE=∠FDB,得出∠EFB=∠EAB= 40° ,即可判断⑤正确;
根据等腰三角形的性质得出∠AFC=∠C= 70° ,再证出∠EFA=∠AFC= 70°,从而得出∠ADF不一定等于∠EFA,AD不一定等于AF,即可判④不正确;
连接BE,根据等腰三角形的性质得出∠AEB=∠ABE= 70°,得出∠EBC不一定等于110°,即可判③不正确.
二、填空题
11.(2021八上·铁锋期中)等腰三角形的一个角是70°,则它的底角是 .
【答案】55°或70°
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵等腰三角形的一个内角为70°,若这个角为顶角,则底角为:(180°﹣70°)÷2=55°;
若这个角为底角,则另一个底角也为70°,∴它的底角为55°或70°.
故答案为:55°或70°.
【分析】分两种情况,再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
12.(2021八上·鲁甸期中)用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形,其中两根木棒的长度分别为 和 ,则第三根木棒的长为 .
【答案】
【知识点】三角形三边关系;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:①当等腰三角形的腰为 时,三边长分别为 , , ,
∵ ,
∴不能构成三角形,
∴不满足条件,舍去;
②当等腰三角形的腰为 时,三边长分别为 , , ,
∵ , ,
∴符合题意,
∴第三根木棒长为 .
故答案为: .
【分析】分两种情况:①当等腰三角形的腰为 时、②当等腰三角形的腰为 时,利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系分别求解即可.
13.(2021八上·温州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E、F是AD的三等分点,若BC=4cm,AD=6cm,则图中阴影部分的面积是 cm2.
【答案】6
【知识点】三角形的面积;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,
∴△ABC是轴对称图形,且直线AD是对称轴,
∴△CEF和△BEF的面积相等,
∴S阴影=S△ABD,
∵AB=AC,AD是BC边上的高,
∴BD=CD,
∴S△ABD=S△ACD= S△ABC,
∵BC=4cm,AD=6cm,
∴S△ABC= BC AD= ×4×6=12cm2,
∴S阴影=12÷2=6cm2.
故答案为:6.
【分析】由等腰三角形的性质易得S△CEF=S△BEF,S△ABD=S△ACD=S△ABC,则S阴影=S△ABD=S△ABC,据此求解.
14.(2021八上·温州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则△ABC的外角∠BCD= °.
【答案】110
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=(180°-40°)÷2=70°,
∵∠BCD=∠A+∠B
∴∠BCD=70°+40°=110°.
故答案为:110.
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠B的度数;再利用三角形外角的性质,可求出∠BCD的度数.
15.(2021八上·东莞期中)如图, , 的平分线相交于点 ,过点 作 ,交 于 ,交 于 ,那么下列结论:① , 都是等腰三角形;② ;③ 的周长为 ;④ .其中正确的是 .
【答案】①②③
【知识点】三角形内角和定理;角平分线的性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:①∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
又∵DE//BC
∴∠CBF=∠DFB
∴∠ABF=∠DFB
∴DB=DF,即△BDF是等腰三角形,
同理可得 是等腰三角形,故①符合题意;
②∵△BDF是等腰三角形,
∴DB=DF
同理:EF=EC
∴DE=DF+EF=BD+CE,故②符合题意;
③∵DF=BD,EF=EC
∴ 的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC,故③符合题意;
④无法判断BD=CE,故④不符合题意.
故答案为①②③.
【分析】根据等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的内角和定理,求出答案即可。
16.(2021八上·长沙月考)如图,在 中,AB=AC,BC=4,面积是14,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E、F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则 周长的最小值为 .
【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:连接 , ,
∵AB=AC,点 是 边的中点,
,
,
解得 ,
是线段 的垂直平分线,
,
当点 在 上时, 最小,最小值为 ,
的周长最短
.
故答案为:9.
【分析】连接AD、AM,根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,由求出AD=7,由线段垂直平分线的性质得AM=CM,当点M在AD上时, 最小,最小值为AD的长,可得△CDM的周长最短,据此计算即得.
17.(2021八上·宜兴月考)四边形ABCD中,∠BAD=125°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当三角形AMN周长最小时,∠MAN的度数为 .
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:延长AB到A′使得BA′=AB,延长AD到A″使得DA″=AD,连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N.
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴A、A′关于BC对称,A、A″关于CD对称,
此时△AMN的周长最小,
∵BA=BA′,MB⊥AB,
∴MA=MA′,同理:NA=NA″,
∴∠A′=∠MAB,∠A″=∠NAD,
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′,∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″,
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″),
∵∠BAD=125°,
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°,
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°.
∴∠MAN=180°﹣110°=70°.
故答案为:70°.
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB,延长AD到A″使得DA″=AD,连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N,此时△AMN的周长最小,易得MA=MA′,NA=NA″,由等腰三角形的性质可得∠A′=∠MAB,∠A″=∠NAD,结合外角的性质可得∠AMN=2∠A′,∠ANM=2∠A″,由内角和定理求出∠A′+∠A″的度数,进而得到∠AMN+∠ANM的度数,据此求解.
18.(2021八上·柯桥期中)如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,第2021个三角形的底角度数是 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质;探索图形规律
【解析】【解答】解:∠B=30°,A1B=CB,
∴∠BA1C=∠C,
∴∠BA1C=(180°-∠B)=(180°-30°)=75°;
∵A1A2=A1D,
∴∠DA2A1=∠A1DA2,
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1,
∴∠DA2A1=∠BA1C=××150°=×150°;
同理可得:∠EA3A2=∠DA2A1=×150°=×75°;
…
∴以An为顶点的内角度数是∠An=()n×150°=()n 1×75°.
∴以A2021为顶点的内角度数是.
故答案为:
【分析】利用等边对等角可证得∠BA1C=∠C,利用三角形的内角和定理求出∠BA1C的度数;再利用等边对等角可证得∠DA2A1=∠A1DA2,利用三角形的外角的性质可证得∠DA2A1=×150°;同理可证∠DA2A1=×150°=×75°;由此规律可得到以An为顶点的内角度数是∠An的度数,即可退出第2021个三角形的底角度数.
三、解答题
19.(2021八上·义乌月考)一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°,求这个三角形的三个内角的度数.
【答案】解:①当都是底角时,设其为x,则x=2x﹣30°,
解得:x=30°,180°-30°-30°=120°,
所以三个角为30°,30°,120°;
②当顶角比底角2倍少30°时,设底角为x,则2x+(2x-30)=180°,
解得x=52.5°,则2x-30=75°,
所以三个角为52.5°,52.5°,75°.
③当底角比顶角2倍少30°时,设顶角为x,则x+2(2x-30)=180°,
解得x=48°,则2x-30=66°,
所以三个角为48°,66°,66°.
综上所述:这个三角形的三个内角的度数为30°,30°,120°或48°,66°,66°或52.5°,52.5°,75°.
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【分析】①当都是底角时,设其为x,则x=2x-30°,求出x,进而得到三个内角的度数;②当顶角比底角2倍少30°时,设底角为x,则2x+(2x-30)=180°,同理可得内角的度数;③当底角比顶角2倍少30°时,设顶角为x,则x+2(2x-30)=180°,同理可得内角的度数.
20.(2020八上·渝北期中)如图,在△ABC≌△DEC,点D在AB上,且AB∥CE,∠A=75°,求∠DCB的度数.
【答案】解:∵△ABC≌△DEC,
∴AC=CD,∠ACB=∠DCE,
∴∠A=∠ADC,
∵∠A=75°,
∴∠ADC=75°,
∴∠ACD=180°﹣75°﹣75°=30°,
∴∠ACB=30°,
∵AB∥CE,
∴∠DCE=∠ADC=75°,
∴∠ACB=75°,
∴∠DCB=75°﹣30°=45°.
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理;三角形全等及其性质;等腰三角形的性质
【解析】【分析】由全等三角形的性质可得AC=CD,∠ACB=∠DCE,由等腰三角形的性质可得∠A=∠ADC=75°,结合三角形内角和定理可求出∠ACD的度数,由平行线的性质可得∠DCE=∠ADC=75°,接下来根据角之间的和差关系求解即可.
21.(2020八上·庐阳月考)如图所示,已知点 , 在 的边 上, , .求证: .
【答案】证明:作AF⊥BC,垂足为F,
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=CF,
∵AD=AE,AF⊥BC,
∴DF=EF,
∴BF﹣DF=CF﹣EF,
即BD=CE
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】作AF⊥BC,垂足为F,利用等腰三角形的性质得到BF=CF,DF=EF,即BF﹣DF=CF﹣EF,问题得证.
22.(2020八上·无锡期中)如图,在△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于点E,且AE= BD.求证;BD是∠ABC的角平分线.
【答案】证明:延长AE、BC交于点F
∵AE⊥BD
∴∠BEF=90°
∴∠DBC+∠F=90°
∵∠ACB=90°,
∴∠FAC+∠F=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△DBC和△FAC中
∴△DBC≌△FAC
∴BD=AF
∵AE= BD
∴AE= AF
∴点E为AF的中点
∴BE垂直平分AF
∴BA=BF
∴BD是∠ABC的角平分线.
【知识点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】延长AE、BC交于点F,利用ASA即可证出△DBC≌△FAC,从而得出BD=AF,结合题意可得BE垂直平分AF,根据垂直平分线的性质可得BA=BF,利用三线合一即可证出结论.
23.(2020八上·沭阳期中)如图, 的外角平分线 、 相交于点 , 过点 ,且 ,分别交 、 的延长线于点 , .求证: .
【答案】证明:∵ 的外角平分线 、 相交于点 ,
∴ ∠MBO=∠OBC,∠BCO=∠OCN,
∵ ,
∴∠OBC=∠BOM,∠BCO=∠CON,
∴∠MBO=∠MOB,∠OCN=∠NOC,
∴MB=MO,NC=NO,
∵MN=MO+NO,
∴ MN=MB+NC.
【知识点】等腰三角形的性质;角平分线的概念
【解析】【分析】利用三角形的角平分线的定义,可证得∠MBO=∠OBC,∠BCO=∠OCN,利用平行线的性质,可证得∠OBC=∠BOM,∠BCO=∠CON;由此可推出∠MBO=∠MOB,∠OCN=∠NOC;然后利用等角对等边及MN=OM+ON,可证得结论.
24.(2020八上·南靖月考)如图所示,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为ts.当点Q在边BC上运动时,出发多久后,△PQB能形成等腰三角形?
【答案】解:∵点Q在BC上,0 t 6
由题意可知AP=t,BQ=2t,
∵AB=16,
∴BP=AB﹣AP=16﹣t,
当△PQB为等腰三角形时,则有BP=BQ,
即16﹣t=2t,
解得t= , 6,
∴出发 秒后△PQB能形成等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质;三角形-动点问题
【解析】【分析】根据点Q在BC上,可得到t的取值范围,同时可表示出BP的长;再利用等腰三角形的定义,可知BP=BQ,由此可得到关于t的方程,解方程求出t的值.
25.(2021八上·温州月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连结DE交BC于点F,连接BE.
(1)求证:EB⊥AB;
(2)当AD=BF时,求∠BEF的度数.
【答案】(1)证明:∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,
∴CD=CE,∠DCE=90°=∠ACB,
∴∠ACD=∠BCE,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴BE=AD,∠CBE=∠CAD=45°,
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°,
∴BE⊥AB;
(2)解:∵AD=BF,BE=AD,
∴BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE,
∵∠CBE=45°,
∴∠BEF= =67.5°.
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质;旋转的性质;等腰直角三角形;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由旋转的性质可得CD=CE,∠DCE=90°=∠ACB,根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB=∠CBA=45°,证明△ACD≌△BCE,得到BE=AD,∠CBE=∠CAD=45°,然后求出∠ABE的度数,据此证明;
(2)根据AD=BF,BE=AD可得BE=BF,接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理求解即可.
26.(2021八上·温州期中)如图,在△ABC中,点D,E分別在边AB,AC上,连结CD,BE,BD=BC=BE.
(1)若∠A=30°,∠ACB=70°,求∠BDC,∠ACD的度数;
(2)设∠ACD=α°,∠ABE=β°,求α与β之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)解:∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∠A=30°,∠ACB=70°,
∴∠ABC=80°.
∵在△BDC中,BD=BC,
∴ ,
∴∠ACD=∠BDC-∠A=20°
(2)解:设∠BCD=x°,
∵BE=BC,
∴∠BEC=∠BCE=(α+x)°,
∴∠DBC=180°-2x°,∠EBC=180°-2(α+x)°.
∴∠DBC-∠EBC=(180°-2x°)-[180°-2(α+x)°]=2α°,
又∵∠DBC-∠EBC=∠ABE=β°,
∴2α=β
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)利用三角形的内角和定理求出∠ABC=80°,利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠BDC的度数,然后求出∠ACD的度数.
(2)设∠BCD=x°,利用等腰三角形的性质可表示出∠BEC,∠BCE及∠DBC,∠EBC的度数;再表示出∠DBC-∠EBC的值;然后根据∠DBC-∠EBC=∠ABE=β°,可得到α与β之间的数量关系.
27.(2021八下·莲湖期中)如图,在△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证:EF=BC.
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
【答案】(1)证明:∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置,
∴AC=AF;
∵∠CAF=∠BAE
∴∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC,即∠BAC=∠EAF;
在△ABC和△AEF中
∴△ABC≌△AEF(SAS)
∴EF=BC.
(2)解:∵AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB=65°,
∠BAE=∠GAF=(180°-2∠ABE)=180°-2×65°=50°;
∵△ABC≌△AEF,
∴∠ACB=∠F=28°
∴∠FGC=∠GAF+∠F=50°+28°=78°.
【知识点】等腰三角形的性质;旋转的性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用旋转的性质可证得AC=AF,再证明∠BAC=∠EAF,利用SAS证明△ABC≌△AEF;然后利用全等三角形的对应边相等,可证得结论.
(2)利用等腰三角形的性质可求出∠AEB的度数,利用三角形的内角和定理求出∠BAE,∠GAF的度数;再利用全等三角形的性质可求出∠F的度数;然后利用三角形的外角的性质可求出∠FGC的度数.
28.(2020八上·桐城期末)已知 和 均为等腰三角形,且 , , .
(1)如图1,点 在 上,求证: ;
(2)如图2,点 在 的延长线上,写出 , , 的数量关系,并说明理由,
【答案】(1)解:证明: ,
,
即 ,
又 , ,
,
,
;
(2)解: .
理由: ,
,
即 ,
又 , ,
,
,
.
【知识点】三角形全等的判定;等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)通过证明,得出,即可得出结论;
(2)通过证明证出,得出结论。
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