【精品解析】苏科版数学八年级上册2.5.2 等腰三角形的判定 同步训练

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名称 【精品解析】苏科版数学八年级上册2.5.2 等腰三角形的判定 同步训练
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科目 数学
更新时间 2021-12-16 16:39:04

文档简介

苏科版数学八年级上册2.5.2 等腰三角形的判定 同步训练
一、单选题
1.(2019八下·福田期末) 中, ,则 一定是(  )
A.锐角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是(  )
A.a=3,b=3,c=4 B.a:b:c=2:3:4
C.∠B=50°,∠C= 80° D.∠A:∠B:∠C=1:1:2
3.(2021七下·滦南期末)已知a、b、c是 的三条边,且满足 ,则 是(  )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
4.(2020八上·临沭期中)下列给出的5个图中,能判定 是等腰三角形的有(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
5.(2020八下·南海月考)如图, , , ,则图中等腰三角形有(  )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.(2021八下·莲湖期中)如图,AC,BD相交于点O,∠A=∠D.若请你再补充一个条件,使得△BOC是等腰三角形,则你补充的条件不能是(  )
A.OA=OD B.AB=CD
C.∠ABO=∠DCO D.∠ABC=∠DCB
7.(2020八上·龙凤期末)已知三角形三边长为a、b、c,且满足 , , ,则此三角形的形状是(  )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定
8.(2020八上·兴县期末)如图, 中, , ,动点P在斜边AB所在的直线m上运动,连结PC,那点P在直线m上运动时,能使图中出现等腰三角形的点P的位置有(  )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
9.(2020·定兴模拟)如图,在由边长相同的7个正六边形组成的网格中,点A,B在格点上.再选择一个格点C,使△ABC是以AB为腰的等腰三角形,符合点C条件的格点个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2021八下·新昌期中)如图,△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为(  )
A.1 B. C. D.
二、填空题
11.(2019七下·泰兴期中)如图,已知OC平分∠AOB,CD//OB,若OD=3cm,则CD=   cm.
12.(2019·零陵模拟)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC交AC于点E,若DE=6cm,AE=5cm,则AC=   cm.
13.(2019八上·上饶期中)如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,DE//BC,则图中等腰三角形有   个.
14.(2020八上·密山期末)如图已知∠B=∠C,请同学从这①BE=CE,②AB=DC,③∠BAE=∠CDE三个等式中再选出一个作为条件,可以推出△AED是等腰三角形的有   (填序号).
15.(2021八下·金水期中)如图,在 中, , ,BD平分 ,CD平分 , ,且EF过点D,则 的周长是   .
16.(2020·青海)已知a,b,c为 的三边长.b,c满足 ,且a为方程 的解,则 的形状为   三角形.
17.(2020八上·丘北期末)在 中, , , ,动点P从点B出发,沿射线BC以每秒1个单位长度的速度运动,若 是以AB为腰的等腰三角形,则点P的运动时间为   秒.
18.(2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 单元测试B)如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点.若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是   .
三、解答题
19.(2021八上·铁东期中)如图,AD=BC,AC=BD,求证:△EAB是等腰三角形.
20.(2021八上·巨野月考)如图,四边形ABCD中,AD//BC,BD平分∠ABC,试判断△ABD是否为等腰三角形,并说明理由.
21.(2021八上·万山期末)已知:如图, , , 与 相交于点 ,求证: .
22.(2020八上·长春月考)已知:如图,D是△ABC的BC边的中点, , 且DE=DF.
求证:△ABC是等腰三角形.
23.(2020八下·中宁期中)如图, 是等腰三角形, , 是 上一点, 于 , 的延长线交 的延长线于F,试说明 是等腰三角形的理由.
24.(2021八上·昌乐月考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点.
(1)用尺规过点D作DE⊥BC于点E,与CA的延长线相交于点F(要求保留作图痕迹,不写作法);
(2)△ADF是什么样的三角形?请说明理由.
25.(2021八上·龙沙期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数.
26.(2021八上·哈尔滨月考)如图, 是等边三角形, 是中线,延长 至 ,使 .
(1)求证: ;
(2)如图2,点 为 的中点,连接 ,直接写出图中所有的等腰三角形(不包括 ).
27.(2021八上·绍兴期中)如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.
(1)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?
(2)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?
28.(2021八上·灌云月考)如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠B=∠C=50°,点D在线段BC上运动(D不与B,C重合),连接AD,作∠ADE=50°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BDA=120°时,∠EDC   ;点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变   (填“大”或“小”);
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数,若不可以,请说明理由.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】根据在三角形中“等角对等边”,可知,选项B符合题意.
【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形判断即可.
2.【答案】B
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的判定
【解析】【解答】A.∵a=3,b=3,c=4,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形;
B.∵a:b:c=2:3:4,∴a≠b≠c,∴△ABC不是等腰三角形;
C.∵∠B=50°,∠C=80°,∴∠A=180°-∠B-∠C= 50°,
∴∠A=∠B,∴BC=AC,∴△ABC是等腰三角形;
D.∵∠A:∠B:∠C=1:1 :2,∴∠A=∠B,∴BC=AC,△ABC是等腰三角形.
故答案为:B.
【分析】利用等腰三角形的性质,结合三角形的内角和等于180°计算求解即可。
3.【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】已知等式变形得:(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b)(a+b-c)=0,
∵a+b-c≠0,
∴a-b=0,即a=b,
则△ABC为等腰三角形.
故答案为:C.
【分析】先移项,将原式变成(a-b)(a+b-c)=0,再判断即可得得到答案。
4.【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:
①∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-56°=54°,∠B=56°,∠C≠∠B,不是等腰三角形,
②∠C=∠140°-∠B=70°=∠B,是等腰三角形,
③∵AD∥BC,∴∠C=∠DAC=50°,∠C=∠B=50°,△ABC是等腰三角形,
④∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,∵∠CAD=30°,∠CAB=60°-∠CAD=60°-30°=30°,∵AD∥BC,∴∠BCA=∠CAD=30°,∴∠BCA=∠CAB=30°,∴△ABC是等腰三角形,
⑤∵AB∥DE ,∴∠D=∠A=30°,∵∠DCB=∠A+∠B,∴∠B=∠DCB-∠A=60°-30°=30°, △ABC是等腰三角形.
故选择:C.
【分析】利用等腰三角形的判定定理,通过计算推出有两个角相等即可①利用三角形内角和计算即可,②利用三角形的外角性质计算即可,③利用平行线的性质得出∠C=∠B=50°即可,④利用AD∥BC,推出同旁内角互补∠ABC+∠BAD=180°,由∠ABC=120°,得∠BAD=60°,由∠CAD=30°,则∠CAB=60°-∠CAD=30°,由内错角相等∠BCA=∠CAD=30°,则∠BCA=∠CAB=30°即可,⑤利用平行线性质与外角性质即可推出.
5.【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵ ,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形

∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°
∴BC=BD
∴△BCD是等腰三角形
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
故答案为:D.
【分析】先利用三角形的内角和及外角的性质求出角的度数,再利用等腰三角形的定义判定即可。
6.【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定;三角形全等的判定-ASA;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:A、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC(ASA)
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形,故A不符合题意;
B、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC(AAS)
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形,故B不符合题意;
C、补充∠ABO=∠DCO,不能证明△AOB≌△DOC,
因此不能证明△BOC是等腰三角形,故C符合题意;
D、在△ACB和△DBC中
∴△ACB≌△DBC(AAS)
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形,故D不符合题意;
故答案为:C.
【分析】图形中的隐含条件为:∠AOB=∠DOC,BC=CB,利用ASA可证得△AOB≌△DOC,利用全等三角形的对应边相等,可证得OB=OC,可对A作出判断;利用AAS可证得△AOB≌△DOC,利用全等三角形的性质,可证得OB=CO,可对B作出判断;再根据证明两三角形全等至少要有一组对应边相等,可对C作出判断;利用AAS证明△ACB≌△DBC,利用全等三角形的对应角相等,可证得∠ACB=∠DBC,利用等角对等边,可证得OB=OC,可对D作出判断.
7.【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用;等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:∵a2﹣4b=7,b2﹣4c=﹣6,c2﹣6a=﹣18,∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18,整理得:a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0,即(a﹣3)2+(b﹣2)2+(c﹣2)2=0,∴a=3,b=2,c=2,∴此三角形为等腰三角形.
故答案为:A.
【分析】将三个等式相加可得:a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18,整理得到(a﹣3)2+(b﹣2)2+(c﹣2)2=0,再求出a、b、c的值,即可判断出答案。
8.【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:如图所示:
以A为圆心,AC长为半径画弧,交直线m于点P1,P3;以B为圆心,BC长为半径画弧,交直线m于点P4,P2;以C为圆心,BC为半径画弧,交直线m于点P5与P1两点重合.
因此出现等腰三角形的点P的位置有4个.
故答案为:C.
【分析】根据等腰三角形的判定和含30° 角的直角三角形的性质求解即可。
9.【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长,
据此可以确定共有2个点C,位置如图,
故答案为:B.
【分析】确定AB的长度后即可确定点C的位置.
10.【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解: ∵AD是△ABC角平分线,CG⊥AD于F,
∴△ AGC是等腰三角形,
∴AG=AC=3,GF=CF,
∵AB=4,AC=3,
∴BG=1,
∵AE是△ABC中线,
∴BE=CE,
∴EF为△CBG的中位线,
∴;
故答案为:D.
【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形,因此F为GC中点,接着由已知条件可得EF为△CBG的中位线,根据中位线的性质即可求出线段EF的长.
11.【答案】3
【知识点】平行线的性质;等腰三角形的判定
【解析】【解答】 CD//OB, ∠C=∠COB, OC平分∠AOB, ,
CD=OD=3.
【分析】由平行线的性质可得∠C=∠COB,由角平分线的性质可得∠AOC=∠COB,所以可得∠AOC=∠C,再根据等角对等边即可求解。
12.【答案】11
【知识点】平行线的性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵CD是∠ACB的平分线,.
∴∠ACD=∠BCD,.
又∵DE∥BC,.
∴∠BCD=∠EDC..
∴∠ACD=∠EDC..
∴DE=CE..
∴AC=AE+CE=5+6=11..
故答案为11.
【分析】由CD是∠ACB的平分线,可得∠ACD=∠BCD,而DE∥BC,则∠BCD=∠EDC,于是∠ACD=∠EDC,再利用等角对等边可求出DE=CE,从而求出AC的长.
13.【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:∵AB=AC,∠A=36°,
∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠ACB= =72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBD=∠DBC=36°,
∵ED∥BC,
∴∠AED=∠ADE=72°,∠EDB=∠CBC=36°,
∴在△ADE中,∠AED=∠ADE=72°,AD=AE,△ADE为等腰三角形,
在△ABD中,∠A=∠ABD=36°,AD=BD,△ABD是等腰三角形,
在△BED中,∠EBD=∠EDB=36°,ED=BE,△BED是等腰三角形,
在△BDC中,∠C=∠BDC=72°,BD=BC,△BDC是等腰三角形,
故图中共有5个等腰三角形.
故填5.
【分析】根据等腰三角形的判定及角平分线,平行线的性质作答即可.
14.【答案】①或②
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:选①BE=CE;
理由:∵∠B=∠C,∠BEA=∠CED,BE=CE,
∴△BEA≌△CED(ASA),
∴AE=DE,
∴△AED是等腰三角形.
选①AB=DC;
理由:∵∠BEA=∠CED,∠B=∠C,AB=DC,
∴△BEA≌△CED(ASA),
∴AE=DE,
∴△AED是等腰三角形.
选③,
∵∠B=∠C,∠BAE=∠CDE,∠BEA=∠CED,没有对应边相等,不能判定△BEA≌△CED,
故答案为:③不符合题意;
故答案为:①或②.
【分析】利用等腰三角形的判定方法一一判断即可。
15.【答案】8cm
【知识点】平行线的性质;等腰三角形的判定;角平分线的概念
【解析】【解答】 平分 ,CD平分 ,
, ,
, , ,
, ,
, ,
的周长 .
故答案为:8cm.
【分析】利用角平分线的概念与平行线的性质可推出∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠FCD,然后根据等腰三角形的判定定理可得BE=ED,DF=CF,接下来根据周长的概念求解即可.
16.【答案】等腰
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程;等腰三角形的判定;非负数之和为0
【解析】【解答】解:∵ ,
∴ , ,
∴ , ,
又∵ ,
∴ , ,
∵a是方程的解且a,b,c为 的三边长,
∴ ,
∴ 是等腰三角形.
【分析】根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值,再根据式子及三角形三边的关系得出a的值,进而即可得出结果.
17.【答案】5或8
【知识点】等腰三角形的判定;三角形-动点问题
【解析】【解答】解:根据题意,
∵ 是以AB为腰的等腰三角形,
①当AB=BP时,如图:
∴BP=AB=5,
∴点P运动的时间为: (秒);
②AB=AP时,如上图,
∵AC⊥BC,
∴AC是△PAB的中线,
∴PB=2BC=8,
∴点P运动的时间为: (秒);
综合上述,点P的运动时间为5秒或8秒.
故答案为:5或8.
【分析】再直角三角形ABC中,利用勾股定理可求出BC的长,分BA=BP和AB=AP两种情况考虑,当BA=BP时,有BA的长度可得出BP的长度,再结合点P的运动速度,即可得出t的值;当AB=PC时,利用等腰三角形的性质可得出BC=PC,进而可得出BC的长度,再结合点P的运动速度,解开得出t的值。
18.【答案】x=0或x=4 ﹣4或4
【知识点】等腰三角形的判定;三角形-动点问题
【解析】【解答】解:分三种情况:
①如图1,当M与O重合时,即x=0时,点P恰好有三个;
②如图2,以M为圆心,以4为半径画圆,当⊙M与OB相切时,设切点为C,⊙M与OA交于D,
∴MC⊥OB,
∵∠AOB=45°,
∴△MCO是等腰直角三角形,
∴MC=OC=4,
∴OM=4 ,
当M与D重合时,即x=OM﹣DM=4 ﹣4时,同理可知:点P恰好有三个;
③如图3,
取OM=4,以M为圆心,以OM为半径画圆,
则⊙M与OB除了O外只有一个交点,此时x=4,即以∠PMN为顶角,MN为腰,符合条件的点P有一个,以N圆心,以MN为半径画圆,与直线OB相离,说明此时以∠PNM为顶角,以MN为腰,符合条件的点P不存在,还有一个是以NM为底边的符合条件的点P;
点M沿OA运动,到M1时,发现⊙M1与直线OB有一个交点;
∴当4<x<4 时,圆M在移动过程中,则会与OB除了O外有两个交点,满足点P恰好有三个;
综上所述,若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是:x=0或x=4 ﹣4或4 .
故答案为:x=0或x=4 ﹣4或4 .
【分析】分三种情况讨论:①如图1,当M与O重合时,即x=0时,点P恰好有三个;②如图2,以M为圆心,以4为半径画圆,当⊙M与OB相切时,设切点为C,⊙M与OA交于D,同理可知:点P恰好有三个;③如图3,取OM=4,以M为圆心,以OM为半径画圆,利用等腰三角形的判定,即可得出x的取值范围。
19.【答案】证明:在△ADB和△BCA中,AD=BC,AC=BD,AB=BA,
∴△ADB≌△BCA(SSS).
∴∠DBA=∠CAB.
∴AE=BE.
∴△EAB是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】先利用“SSS”证明△ADB≌△BCA,即可得到∠DBA=∠CAB,即可证明△EAB是等腰三角形.
20.【答案】解:△ABD为等腰三角形
理由:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD
又∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠ADB
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
即:△ABD为等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD,再根据三角形角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,利用等量代换得到∠ABD=∠ADB,即可证明 △ABD为等腰三角形。
21.【答案】证明:在 和 中,

∴ .
∴ ,
即 ,
∴ (等角对等边).
【知识点】等腰三角形的判定;三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】首先根据SSS证明 ,根据全等三角形的对应角相等得到 ,从而根据等角对等边得出结论即可.
22.【答案】证明:∵D是△ABC的BC边的中点
∴ BD=CD
∵ ,
∴ △BDE和△CDF是直角三角形
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴ ∠B=∠C,
∴AB=AC,
∴ △ABC是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】先根据DE⊥AC,DF⊥AB,得出△DEC和△DFB是直角三角形,再根据HL得出Rt△BDE≌Rt△CDF,证出∠C=∠B,从而判断出△ABC的形状.
23.【答案】解:∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质;等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得 ,根据余角的性质得 ,结合 ,得 ,进而即可得到结论.
24.【答案】(1)解:如图,点E、F为所作:
(2)解:△ADF是等腰三角形.
理由如下:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE⊥BC,
∴∠DEB=∠DEC=90°,
∴∠B+∠BDE=90°,∠C+∠CFE=90°,
∴∠BDE=∠CFE,
而∠BDE=∠ADF,
∴∠CFE=∠ADF,
∴△ADF为等腰三角形,
【知识点】等腰三角形的判定;尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)利用基本作图(过一点已知直线的垂线)作DE⊥BC于点E,与CA的延长线相交于点F;
(2)利用等腰三角形的性质得出∠B=∠C,再利用垂直得到∠DEB=∠DEC=90°,则根据等角的余角相等得到∠BDE=∠CFE,而∠BDE=∠ADF,所以∠CFE=∠ADF,于是可判定△ADF是等腰三角形。
25.【答案】(1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
在△DBE和△ECF中,

∴△DBE≌△ECF,
∴DE=EF,
∴△DEF是等腰三角形;
(2)∵△DBE≌△ECF,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠B= (180°-40°)=70°,
∴∠1+∠2=110°,
∴∠3+∠2=110°,
∴∠DEF=70°.
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的判定
【解析】【分析】(1)利用边角变定理证明△DBE≌△ECF,得出DE=EF,即可证明△DEF是等腰三角形;
(2)根据△DBE≌△ECF,得出∠1=∠3,∠2=∠4,根据∠A+∠B+∠C=180°,求出∠B的度数,由此得出答案。
26.【答案】(1)解:设 , , , ,

,在 中, ,

是等边三角形,


且 是 的中线,
是 的角平分线,




(2)解:由(1)可知 ,
∴ 是等腰三角形;
∵ ,
∴ 是等腰三角形;
∵ 为 的中点, ,
∴ ,
∴ 是等腰三角形;
∴ ,
∴ ,
又∵ ,
∴ ,
∴ 是等腰三角形.
∴等腰三角形有: , , , .
【知识点】等腰三角形的判定;等边三角形的性质
【解析】【分析】(1) 设 , , , ,在 中, , 得出 , 由 是等边三角形,得出 是 的角平分线,由此得出结论;
(2)由(1)可知 , 得出 是等腰三角形; 是等腰三角形; 是等腰三角形; 是等腰三角形.
27.【答案】(1)解:若P在边AC上时,BC=CP=6cm,
此时用的时间为6s,△BCP为等腰三角形;
若P在AB边上时,有两种情况:
①若使BP=CB=6cm,此时AP=4cm,P运动的路程为12cm,
所以用的时间为12s,故t=12s时△BCP为等腰三角形;
②若CP=BC=6cm,如图,过C作斜边AB的高,
∵S△ABC=AB×CH=AC×BC,
解得CH=4.8cm,
BH==3.6cm,
∴BP=2BH=7.2cm,
所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm,
∴t的时间为10.8s,△BCP为等腰三角形;
③若BP=CP时,则∠PCB=∠PBC,
∵∠ACP+∠BCP=90°,∠PBC+∠CAP=90°,∴∠ACP=∠CAP,∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm,所以时间为13s时,△BCP为等腰三角形.
∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形;
(2)解:当P点在AC上,Q在AB上,则AP=8﹣t,AQ=16﹣2t,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
∴8﹣t+16﹣2t=12,∴t=4;
当P点在AB上,Q在AC上,则AP=t﹣8,AQ=2t﹣16,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
∴t﹣8+2t﹣16=12,
∴t=12,
∴当t为4或12秒时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.
【知识点】等腰三角形的判定;勾股定理;一元一次方程的实际应用-几何问题;一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)①当P点在AC上,可知PC=BC, 根据速度公式求时间t即可; ②当P点在AB上时,分三种情况讨论,若BP= CB,根据等边三角形的性质求出BP的长度,再求出点P运动的距离,再根据速度公式求时间;若CP= BC,此时过C作斜边AB的高,根据面积法求得高,再根据勾股定理求得BH的长,则可得出BP的长,然后求出P的运动路程,利用速度公式求时间; 若BP= CP,根据余角的性质求出 ∠ACP=∠CAP, 则知PA= PC,则可得到PA= PB,再利用速度公式求时间;
(2)分两种情况讨论,即当P点在AC上, Q在AB上时,先把AP和AQ分别用含t的代数式表示,根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分建立关于t的方程求解;当P点在AB上, Q在AC上时,先把AP和AQ分别用含t的代数式表示,根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分建立关于t的方程求解即可.
28.【答案】(1)10;小
(2)解:当DC=4时,△ABD≌△DCE,
理由:∵∠C=50°,
∴∠DEC+∠EDC=130°,
又∵∠ADE=50°,
∴∠ADB+∠EDC=130°,
∴∠ADB=∠DEC,
又∵AB=DC=4,
在△ABD和△DCE中,
∴△ABD≌△DCE(AAS),
即当DC=4时,△ABD≌△DCE.
(3)可以,100°或115°
【知识点】等腰三角形的判定;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:∵在△BAD中,∠B=∠C=∠50°,∠BDA=120°,
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-50°-120°=10°;
∴∠EDC=180°-∠BDA-∠ADE=180°-120°-50°=10°.
点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变小,
故答案为:10,小;
(3)当∠BDA的度数为100°或115°时,△ADE的形状是等腰三角形,
∵∠BDA=100°时,
∴∠ADC=80°,
∵∠C=50°,
∴∠DAC=50°,
∴∠DAC=∠ADE,
∴△ADE的形状是等腰三角形;
∵当∠BDA的度数为115°时,
∴∠ADC=65°,
∵∠C=50°,
∴∠DAC=65°,
∵∠ADE=50°,
∴∠AED=65°,
∴∠DAC=∠AED,
∴△ADE的形状是等腰三角形.
【分析】(1)利用邻补角的性质和三角形内角和定理解答即可;
(2)当DC=4时,利用∠DEC+∠EDC=130°,∠ADB+∠EDC=130°,求出∠ADB=∠DEC,再利用AB=DC=4,即可得出△ABD≌△DCE;
(3)当∠BDA的度数为100°时,得出∠DAC=∠ADE,即可得出△ADE的形状是等腰三角形,当∠BDA的度数为115°时,得出∠DAC=∠AED,即可得出△ADE的形状是等腰三角形.
1 / 1苏科版数学八年级上册2.5.2 等腰三角形的判定 同步训练
一、单选题
1.(2019八下·福田期末) 中, ,则 一定是(  )
A.锐角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】根据在三角形中“等角对等边”,可知,选项B符合题意.
【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形判断即可.
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是(  )
A.a=3,b=3,c=4 B.a:b:c=2:3:4
C.∠B=50°,∠C= 80° D.∠A:∠B:∠C=1:1:2
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的判定
【解析】【解答】A.∵a=3,b=3,c=4,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形;
B.∵a:b:c=2:3:4,∴a≠b≠c,∴△ABC不是等腰三角形;
C.∵∠B=50°,∠C=80°,∴∠A=180°-∠B-∠C= 50°,
∴∠A=∠B,∴BC=AC,∴△ABC是等腰三角形;
D.∵∠A:∠B:∠C=1:1 :2,∴∠A=∠B,∴BC=AC,△ABC是等腰三角形.
故答案为:B.
【分析】利用等腰三角形的性质,结合三角形的内角和等于180°计算求解即可。
3.(2021七下·滦南期末)已知a、b、c是 的三条边,且满足 ,则 是(  )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】已知等式变形得:(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b)(a+b-c)=0,
∵a+b-c≠0,
∴a-b=0,即a=b,
则△ABC为等腰三角形.
故答案为:C.
【分析】先移项,将原式变成(a-b)(a+b-c)=0,再判断即可得得到答案。
4.(2020八上·临沭期中)下列给出的5个图中,能判定 是等腰三角形的有(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:
①∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-56°=54°,∠B=56°,∠C≠∠B,不是等腰三角形,
②∠C=∠140°-∠B=70°=∠B,是等腰三角形,
③∵AD∥BC,∴∠C=∠DAC=50°,∠C=∠B=50°,△ABC是等腰三角形,
④∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,∵∠CAD=30°,∠CAB=60°-∠CAD=60°-30°=30°,∵AD∥BC,∴∠BCA=∠CAD=30°,∴∠BCA=∠CAB=30°,∴△ABC是等腰三角形,
⑤∵AB∥DE ,∴∠D=∠A=30°,∵∠DCB=∠A+∠B,∴∠B=∠DCB-∠A=60°-30°=30°, △ABC是等腰三角形.
故选择:C.
【分析】利用等腰三角形的判定定理,通过计算推出有两个角相等即可①利用三角形内角和计算即可,②利用三角形的外角性质计算即可,③利用平行线的性质得出∠C=∠B=50°即可,④利用AD∥BC,推出同旁内角互补∠ABC+∠BAD=180°,由∠ABC=120°,得∠BAD=60°,由∠CAD=30°,则∠CAB=60°-∠CAD=30°,由内错角相等∠BCA=∠CAD=30°,则∠BCA=∠CAB=30°即可,⑤利用平行线性质与外角性质即可推出.
5.(2020八下·南海月考)如图, , , ,则图中等腰三角形有(  )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵ ,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形

∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°
∴BC=BD
∴△BCD是等腰三角形
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
故答案为:D.
【分析】先利用三角形的内角和及外角的性质求出角的度数,再利用等腰三角形的定义判定即可。
6.(2021八下·莲湖期中)如图,AC,BD相交于点O,∠A=∠D.若请你再补充一个条件,使得△BOC是等腰三角形,则你补充的条件不能是(  )
A.OA=OD B.AB=CD
C.∠ABO=∠DCO D.∠ABC=∠DCB
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定;三角形全等的判定-ASA;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:A、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC(ASA)
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形,故A不符合题意;
B、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC(AAS)
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形,故B不符合题意;
C、补充∠ABO=∠DCO,不能证明△AOB≌△DOC,
因此不能证明△BOC是等腰三角形,故C符合题意;
D、在△ACB和△DBC中
∴△ACB≌△DBC(AAS)
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形,故D不符合题意;
故答案为:C.
【分析】图形中的隐含条件为:∠AOB=∠DOC,BC=CB,利用ASA可证得△AOB≌△DOC,利用全等三角形的对应边相等,可证得OB=OC,可对A作出判断;利用AAS可证得△AOB≌△DOC,利用全等三角形的性质,可证得OB=CO,可对B作出判断;再根据证明两三角形全等至少要有一组对应边相等,可对C作出判断;利用AAS证明△ACB≌△DBC,利用全等三角形的对应角相等,可证得∠ACB=∠DBC,利用等角对等边,可证得OB=OC,可对D作出判断.
7.(2020八上·龙凤期末)已知三角形三边长为a、b、c,且满足 , , ,则此三角形的形状是(  )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用;等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:∵a2﹣4b=7,b2﹣4c=﹣6,c2﹣6a=﹣18,∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18,整理得:a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0,即(a﹣3)2+(b﹣2)2+(c﹣2)2=0,∴a=3,b=2,c=2,∴此三角形为等腰三角形.
故答案为:A.
【分析】将三个等式相加可得:a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18,整理得到(a﹣3)2+(b﹣2)2+(c﹣2)2=0,再求出a、b、c的值,即可判断出答案。
8.(2020八上·兴县期末)如图, 中, , ,动点P在斜边AB所在的直线m上运动,连结PC,那点P在直线m上运动时,能使图中出现等腰三角形的点P的位置有(  )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:如图所示:
以A为圆心,AC长为半径画弧,交直线m于点P1,P3;以B为圆心,BC长为半径画弧,交直线m于点P4,P2;以C为圆心,BC为半径画弧,交直线m于点P5与P1两点重合.
因此出现等腰三角形的点P的位置有4个.
故答案为:C.
【分析】根据等腰三角形的判定和含30° 角的直角三角形的性质求解即可。
9.(2020·定兴模拟)如图,在由边长相同的7个正六边形组成的网格中,点A,B在格点上.再选择一个格点C,使△ABC是以AB为腰的等腰三角形,符合点C条件的格点个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长,
据此可以确定共有2个点C,位置如图,
故答案为:B.
【分析】确定AB的长度后即可确定点C的位置.
10.(2021八下·新昌期中)如图,△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为(  )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解: ∵AD是△ABC角平分线,CG⊥AD于F,
∴△ AGC是等腰三角形,
∴AG=AC=3,GF=CF,
∵AB=4,AC=3,
∴BG=1,
∵AE是△ABC中线,
∴BE=CE,
∴EF为△CBG的中位线,
∴;
故答案为:D.
【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形,因此F为GC中点,接着由已知条件可得EF为△CBG的中位线,根据中位线的性质即可求出线段EF的长.
二、填空题
11.(2019七下·泰兴期中)如图,已知OC平分∠AOB,CD//OB,若OD=3cm,则CD=   cm.
【答案】3
【知识点】平行线的性质;等腰三角形的判定
【解析】【解答】 CD//OB, ∠C=∠COB, OC平分∠AOB, ,
CD=OD=3.
【分析】由平行线的性质可得∠C=∠COB,由角平分线的性质可得∠AOC=∠COB,所以可得∠AOC=∠C,再根据等角对等边即可求解。
12.(2019·零陵模拟)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC交AC于点E,若DE=6cm,AE=5cm,则AC=   cm.
【答案】11
【知识点】平行线的性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵CD是∠ACB的平分线,.
∴∠ACD=∠BCD,.
又∵DE∥BC,.
∴∠BCD=∠EDC..
∴∠ACD=∠EDC..
∴DE=CE..
∴AC=AE+CE=5+6=11..
故答案为11.
【分析】由CD是∠ACB的平分线,可得∠ACD=∠BCD,而DE∥BC,则∠BCD=∠EDC,于是∠ACD=∠EDC,再利用等角对等边可求出DE=CE,从而求出AC的长.
13.(2019八上·上饶期中)如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,DE//BC,则图中等腰三角形有   个.
【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:∵AB=AC,∠A=36°,
∴△ABC是等腰三角形,∠ABC=∠ACB= =72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBD=∠DBC=36°,
∵ED∥BC,
∴∠AED=∠ADE=72°,∠EDB=∠CBC=36°,
∴在△ADE中,∠AED=∠ADE=72°,AD=AE,△ADE为等腰三角形,
在△ABD中,∠A=∠ABD=36°,AD=BD,△ABD是等腰三角形,
在△BED中,∠EBD=∠EDB=36°,ED=BE,△BED是等腰三角形,
在△BDC中,∠C=∠BDC=72°,BD=BC,△BDC是等腰三角形,
故图中共有5个等腰三角形.
故填5.
【分析】根据等腰三角形的判定及角平分线,平行线的性质作答即可.
14.(2020八上·密山期末)如图已知∠B=∠C,请同学从这①BE=CE,②AB=DC,③∠BAE=∠CDE三个等式中再选出一个作为条件,可以推出△AED是等腰三角形的有   (填序号).
【答案】①或②
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:选①BE=CE;
理由:∵∠B=∠C,∠BEA=∠CED,BE=CE,
∴△BEA≌△CED(ASA),
∴AE=DE,
∴△AED是等腰三角形.
选①AB=DC;
理由:∵∠BEA=∠CED,∠B=∠C,AB=DC,
∴△BEA≌△CED(ASA),
∴AE=DE,
∴△AED是等腰三角形.
选③,
∵∠B=∠C,∠BAE=∠CDE,∠BEA=∠CED,没有对应边相等,不能判定△BEA≌△CED,
故答案为:③不符合题意;
故答案为:①或②.
【分析】利用等腰三角形的判定方法一一判断即可。
15.(2021八下·金水期中)如图,在 中, , ,BD平分 ,CD平分 , ,且EF过点D,则 的周长是   .
【答案】8cm
【知识点】平行线的性质;等腰三角形的判定;角平分线的概念
【解析】【解答】 平分 ,CD平分 ,
, ,
, , ,
, ,
, ,
的周长 .
故答案为:8cm.
【分析】利用角平分线的概念与平行线的性质可推出∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠FCD,然后根据等腰三角形的判定定理可得BE=ED,DF=CF,接下来根据周长的概念求解即可.
16.(2020·青海)已知a,b,c为 的三边长.b,c满足 ,且a为方程 的解,则 的形状为   三角形.
【答案】等腰
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程;等腰三角形的判定;非负数之和为0
【解析】【解答】解:∵ ,
∴ , ,
∴ , ,
又∵ ,
∴ , ,
∵a是方程的解且a,b,c为 的三边长,
∴ ,
∴ 是等腰三角形.
【分析】根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值,再根据式子及三角形三边的关系得出a的值,进而即可得出结果.
17.(2020八上·丘北期末)在 中, , , ,动点P从点B出发,沿射线BC以每秒1个单位长度的速度运动,若 是以AB为腰的等腰三角形,则点P的运动时间为   秒.
【答案】5或8
【知识点】等腰三角形的判定;三角形-动点问题
【解析】【解答】解:根据题意,
∵ 是以AB为腰的等腰三角形,
①当AB=BP时,如图:
∴BP=AB=5,
∴点P运动的时间为: (秒);
②AB=AP时,如上图,
∵AC⊥BC,
∴AC是△PAB的中线,
∴PB=2BC=8,
∴点P运动的时间为: (秒);
综合上述,点P的运动时间为5秒或8秒.
故答案为:5或8.
【分析】再直角三角形ABC中,利用勾股定理可求出BC的长,分BA=BP和AB=AP两种情况考虑,当BA=BP时,有BA的长度可得出BP的长度,再结合点P的运动速度,即可得出t的值;当AB=PC时,利用等腰三角形的性质可得出BC=PC,进而可得出BC的长度,再结合点P的运动速度,解开得出t的值。
18.(2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 单元测试B)如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点.若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是   .
【答案】x=0或x=4 ﹣4或4
【知识点】等腰三角形的判定;三角形-动点问题
【解析】【解答】解:分三种情况:
①如图1,当M与O重合时,即x=0时,点P恰好有三个;
②如图2,以M为圆心,以4为半径画圆,当⊙M与OB相切时,设切点为C,⊙M与OA交于D,
∴MC⊥OB,
∵∠AOB=45°,
∴△MCO是等腰直角三角形,
∴MC=OC=4,
∴OM=4 ,
当M与D重合时,即x=OM﹣DM=4 ﹣4时,同理可知:点P恰好有三个;
③如图3,
取OM=4,以M为圆心,以OM为半径画圆,
则⊙M与OB除了O外只有一个交点,此时x=4,即以∠PMN为顶角,MN为腰,符合条件的点P有一个,以N圆心,以MN为半径画圆,与直线OB相离,说明此时以∠PNM为顶角,以MN为腰,符合条件的点P不存在,还有一个是以NM为底边的符合条件的点P;
点M沿OA运动,到M1时,发现⊙M1与直线OB有一个交点;
∴当4<x<4 时,圆M在移动过程中,则会与OB除了O外有两个交点,满足点P恰好有三个;
综上所述,若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是:x=0或x=4 ﹣4或4 .
故答案为:x=0或x=4 ﹣4或4 .
【分析】分三种情况讨论:①如图1,当M与O重合时,即x=0时,点P恰好有三个;②如图2,以M为圆心,以4为半径画圆,当⊙M与OB相切时,设切点为C,⊙M与OA交于D,同理可知:点P恰好有三个;③如图3,取OM=4,以M为圆心,以OM为半径画圆,利用等腰三角形的判定,即可得出x的取值范围。
三、解答题
19.(2021八上·铁东期中)如图,AD=BC,AC=BD,求证:△EAB是等腰三角形.
【答案】证明:在△ADB和△BCA中,AD=BC,AC=BD,AB=BA,
∴△ADB≌△BCA(SSS).
∴∠DBA=∠CAB.
∴AE=BE.
∴△EAB是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】先利用“SSS”证明△ADB≌△BCA,即可得到∠DBA=∠CAB,即可证明△EAB是等腰三角形.
20.(2021八上·巨野月考)如图,四边形ABCD中,AD//BC,BD平分∠ABC,试判断△ABD是否为等腰三角形,并说明理由.
【答案】解:△ABD为等腰三角形
理由:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD
又∵AD∥BC,
∴∠CBD=∠ADB
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
即:△ABD为等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD,再根据三角形角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,利用等量代换得到∠ABD=∠ADB,即可证明 △ABD为等腰三角形。
21.(2021八上·万山期末)已知:如图, , , 与 相交于点 ,求证: .
【答案】证明:在 和 中,

∴ .
∴ ,
即 ,
∴ (等角对等边).
【知识点】等腰三角形的判定;三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】首先根据SSS证明 ,根据全等三角形的对应角相等得到 ,从而根据等角对等边得出结论即可.
22.(2020八上·长春月考)已知:如图,D是△ABC的BC边的中点, , 且DE=DF.
求证:△ABC是等腰三角形.
【答案】证明:∵D是△ABC的BC边的中点
∴ BD=CD
∵ ,
∴ △BDE和△CDF是直角三角形
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴ ∠B=∠C,
∴AB=AC,
∴ △ABC是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】先根据DE⊥AC,DF⊥AB,得出△DEC和△DFB是直角三角形,再根据HL得出Rt△BDE≌Rt△CDF,证出∠C=∠B,从而判断出△ABC的形状.
23.(2020八下·中宁期中)如图, 是等腰三角形, , 是 上一点, 于 , 的延长线交 的延长线于F,试说明 是等腰三角形的理由.
【答案】解:∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质;等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得 ,根据余角的性质得 ,结合 ,得 ,进而即可得到结论.
24.(2021八上·昌乐月考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点.
(1)用尺规过点D作DE⊥BC于点E,与CA的延长线相交于点F(要求保留作图痕迹,不写作法);
(2)△ADF是什么样的三角形?请说明理由.
【答案】(1)解:如图,点E、F为所作:
(2)解:△ADF是等腰三角形.
理由如下:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE⊥BC,
∴∠DEB=∠DEC=90°,
∴∠B+∠BDE=90°,∠C+∠CFE=90°,
∴∠BDE=∠CFE,
而∠BDE=∠ADF,
∴∠CFE=∠ADF,
∴△ADF为等腰三角形,
【知识点】等腰三角形的判定;尺规作图-垂线
【解析】【分析】(1)利用基本作图(过一点已知直线的垂线)作DE⊥BC于点E,与CA的延长线相交于点F;
(2)利用等腰三角形的性质得出∠B=∠C,再利用垂直得到∠DEB=∠DEC=90°,则根据等角的余角相等得到∠BDE=∠CFE,而∠BDE=∠ADF,所以∠CFE=∠ADF,于是可判定△ADF是等腰三角形。
25.(2021八上·龙沙期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数.
【答案】(1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
在△DBE和△ECF中,

∴△DBE≌△ECF,
∴DE=EF,
∴△DEF是等腰三角形;
(2)∵△DBE≌△ECF,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠B= (180°-40°)=70°,
∴∠1+∠2=110°,
∴∠3+∠2=110°,
∴∠DEF=70°.
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的判定
【解析】【分析】(1)利用边角变定理证明△DBE≌△ECF,得出DE=EF,即可证明△DEF是等腰三角形;
(2)根据△DBE≌△ECF,得出∠1=∠3,∠2=∠4,根据∠A+∠B+∠C=180°,求出∠B的度数,由此得出答案。
26.(2021八上·哈尔滨月考)如图, 是等边三角形, 是中线,延长 至 ,使 .
(1)求证: ;
(2)如图2,点 为 的中点,连接 ,直接写出图中所有的等腰三角形(不包括 ).
【答案】(1)解:设 , , , ,

,在 中, ,

是等边三角形,


且 是 的中线,
是 的角平分线,




(2)解:由(1)可知 ,
∴ 是等腰三角形;
∵ ,
∴ 是等腰三角形;
∵ 为 的中点, ,
∴ ,
∴ 是等腰三角形;
∴ ,
∴ ,
又∵ ,
∴ ,
∴ 是等腰三角形.
∴等腰三角形有: , , , .
【知识点】等腰三角形的判定;等边三角形的性质
【解析】【分析】(1) 设 , , , ,在 中, , 得出 , 由 是等边三角形,得出 是 的角平分线,由此得出结论;
(2)由(1)可知 , 得出 是等腰三角形; 是等腰三角形; 是等腰三角形; 是等腰三角形.
27.(2021八上·绍兴期中)如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=6cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒.
(1)问t为何值时,△BCP为等腰三角形?
(2)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?
【答案】(1)解:若P在边AC上时,BC=CP=6cm,
此时用的时间为6s,△BCP为等腰三角形;
若P在AB边上时,有两种情况:
①若使BP=CB=6cm,此时AP=4cm,P运动的路程为12cm,
所以用的时间为12s,故t=12s时△BCP为等腰三角形;
②若CP=BC=6cm,如图,过C作斜边AB的高,
∵S△ABC=AB×CH=AC×BC,
解得CH=4.8cm,
BH==3.6cm,
∴BP=2BH=7.2cm,
所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm,
∴t的时间为10.8s,△BCP为等腰三角形;
③若BP=CP时,则∠PCB=∠PBC,
∵∠ACP+∠BCP=90°,∠PBC+∠CAP=90°,∴∠ACP=∠CAP,∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm,所以时间为13s时,△BCP为等腰三角形.
∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形;
(2)解:当P点在AC上,Q在AB上,则AP=8﹣t,AQ=16﹣2t,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
∴8﹣t+16﹣2t=12,∴t=4;
当P点在AB上,Q在AC上,则AP=t﹣8,AQ=2t﹣16,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,
∴t﹣8+2t﹣16=12,
∴t=12,
∴当t为4或12秒时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.
【知识点】等腰三角形的判定;勾股定理;一元一次方程的实际应用-几何问题;一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)①当P点在AC上,可知PC=BC, 根据速度公式求时间t即可; ②当P点在AB上时,分三种情况讨论,若BP= CB,根据等边三角形的性质求出BP的长度,再求出点P运动的距离,再根据速度公式求时间;若CP= BC,此时过C作斜边AB的高,根据面积法求得高,再根据勾股定理求得BH的长,则可得出BP的长,然后求出P的运动路程,利用速度公式求时间; 若BP= CP,根据余角的性质求出 ∠ACP=∠CAP, 则知PA= PC,则可得到PA= PB,再利用速度公式求时间;
(2)分两种情况讨论,即当P点在AC上, Q在AB上时,先把AP和AQ分别用含t的代数式表示,根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分建立关于t的方程求解;当P点在AB上, Q在AC上时,先把AP和AQ分别用含t的代数式表示,根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分建立关于t的方程求解即可.
28.(2021八上·灌云月考)如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠B=∠C=50°,点D在线段BC上运动(D不与B,C重合),连接AD,作∠ADE=50°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BDA=120°时,∠EDC   ;点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变   (填“大”或“小”);
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数,若不可以,请说明理由.
【答案】(1)10;小
(2)解:当DC=4时,△ABD≌△DCE,
理由:∵∠C=50°,
∴∠DEC+∠EDC=130°,
又∵∠ADE=50°,
∴∠ADB+∠EDC=130°,
∴∠ADB=∠DEC,
又∵AB=DC=4,
在△ABD和△DCE中,
∴△ABD≌△DCE(AAS),
即当DC=4时,△ABD≌△DCE.
(3)可以,100°或115°
【知识点】等腰三角形的判定;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:∵在△BAD中,∠B=∠C=∠50°,∠BDA=120°,
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-50°-120°=10°;
∴∠EDC=180°-∠BDA-∠ADE=180°-120°-50°=10°.
点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变小,
故答案为:10,小;
(3)当∠BDA的度数为100°或115°时,△ADE的形状是等腰三角形,
∵∠BDA=100°时,
∴∠ADC=80°,
∵∠C=50°,
∴∠DAC=50°,
∴∠DAC=∠ADE,
∴△ADE的形状是等腰三角形;
∵当∠BDA的度数为115°时,
∴∠ADC=65°,
∵∠C=50°,
∴∠DAC=65°,
∵∠ADE=50°,
∴∠AED=65°,
∴∠DAC=∠AED,
∴△ADE的形状是等腰三角形.
【分析】(1)利用邻补角的性质和三角形内角和定理解答即可;
(2)当DC=4时,利用∠DEC+∠EDC=130°,∠ADB+∠EDC=130°,求出∠ADB=∠DEC,再利用AB=DC=4,即可得出△ABD≌△DCE;
(3)当∠BDA的度数为100°时,得出∠DAC=∠ADE,即可得出△ADE的形状是等腰三角形,当∠BDA的度数为115°时,得出∠DAC=∠AED,即可得出△ADE的形状是等腰三角形.
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