苏科版数学八年级上册2.5.2 等腰三角形的判定 同步训练
一、单选题
1．（2019八下·福田期末） 中， ，则 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4
C．∠B=50°，∠C= 80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2
3．（2021七下·滦南期末）已知a、b、c是 的三条边，且满足 ，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
4．（2020八上·临沭期中）下列给出的5个图中，能判定 是等腰三角形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2020八下·南海月考）如图， ， ， ，则图中等腰三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2021八下·莲湖期中）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D．若请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，则你补充的条件不能是（ ）
A．OA＝OD B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
7．（2020八上·龙凤期末）已知三角形三边长为a、b、c，且满足 ， ， ，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
8．（2020八上·兴县期末）如图， 中， ， ，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
9．（2020·定兴模拟）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021八下·新昌期中）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
11．（2019七下·泰兴期中）如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD= cm.
12．（2019·零陵模拟）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于点E，若DE＝6cm，AE＝5cm，则AC＝ cm．
13．（2019八上·上饶期中）如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE//BC，则图中等腰三角形有 个．
14．（2020八上·密山期末）如图已知∠B=∠C，请同学从这①BE=CE，②AB=DC，③∠BAE=∠CDE三个等式中再选出一个作为条件，可以推出△AED是等腰三角形的有 （填序号）．
15．（2021八下·金水期中）如图，在 中， ， ，BD平分 ，CD平分 ， ，且EF过点D，则 的周长是 .
16．（2020·青海）已知a，b，c为 的三边长.b，c满足 ，且a为方程 的解，则 的形状为 三角形.
17．（2020八上·丘北期末）在 中， ， ， ，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒1个单位长度的速度运动，若 是以AB为腰的等腰三角形，则点P的运动时间为 秒．
18．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 单元测试B）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ．
三、解答题
19．（2021八上·铁东期中）如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
20．（2021八上·巨野月考）如图，四边形ABCD中，AD//BC，BD平分∠ABC，试判断△ABD是否为等腰三角形，并说明理由．
21．（2021八上·万山期末）已知：如图， ， ， 与 相交于点 ，求证： .
22．（2020八上·长春月考）已知：如图，D是△ABC的BC边的中点， ， 且DE=DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
23．（2020八下·中宁期中）如图， 是等腰三角形， ， 是 上一点， 于 ， 的延长线交 的延长线于F，试说明 是等腰三角形的理由.
24．（2021八上·昌乐月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点．
（1）用尺规过点D作DE⊥BC于点E，与CA的延长线相交于点F（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△ADF是什么样的三角形？请说明理由．
25．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
26．（2021八上·哈尔滨月考）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至 ，使 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，点 为 的中点，连接 ，直接写出图中所有的等腰三角形（不包括 ）．
27．（2021八上·绍兴期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（2）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
28．（2021八上·灌云月考）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E.
（1）当∠BDA=120°时，∠EDC ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”)；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】根据在三角形中“等角对等边”，可知，选项B符合题意.
【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】A．∵a=3，b=3，c=4，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
B．∵a：b：c=2：3：4，∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；
C．∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=180°-∠B-∠C= 50°，
∴∠A=∠B，∴BC=AC，∴△ABC是等腰三角形；
D．∵∠A：∠B：∠C=1：1 ：2，∴∠A=∠B，∴BC=AC，△ABC是等腰三角形．
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的性质，结合三角形的内角和等于180°计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，
∵a+b-c≠0，
∴a-b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故答案为：C．
【分析】先移项，将原式变成（a-b）（a+b-c）=0，再判断即可得得到答案。
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：
①∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-56°=54°，∠B=56°，∠C≠∠B，不是等腰三角形，
②∠C=∠140°-∠B=70°=∠B，是等腰三角形，
③∵AD∥BC，∴∠C=∠DAC=50°，∠C=∠B=50°，△ABC是等腰三角形，
④∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∵∠CAD=30°，∠CAB=60°-∠CAD=60°-30°=30°，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=30°，∴∠BCA=∠CAB=30°，∴△ABC是等腰三角形，
⑤∵AB∥DE ，∴∠D=∠A=30°，∵∠DCB=∠A+∠B，∴∠B=∠DCB-∠A=60°-30°=30°， △ABC是等腰三角形．
故选择：C．
【分析】利用等腰三角形的判定定理，通过计算推出有两个角相等即可①利用三角形内角和计算即可，②利用三角形的外角性质计算即可，③利用平行线的性质得出∠C=∠B=50°即可，④利用AD∥BC，推出同旁内角互补∠ABC+∠BAD=180°，由∠ABC=120°，得∠BAD=60°，由∠CAD=30°，则∠CAB=60°-∠CAD=30°，由内错角相等∠BCA=∠CAD=30°，则∠BCA=∠CAB=30°即可，⑤利用平行线性质与外角性质即可推出．
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵ ，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°
∴BC=BD
∴△BCD是等腰三角形
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
故答案为：D.
【分析】先利用三角形的内角和及外角的性质求出角的度数，再利用等腰三角形的定义判定即可。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（ASA）
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故A不符合题意；
B、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS）
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故B不符合题意；
C、补充∠ABO＝∠DCO，不能证明△AOB≌△DOC，
因此不能证明△BOC是等腰三角形，故C符合题意；
D、在△ACB和△DBC中
∴△ACB≌△DBC（AAS）
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】图形中的隐含条件为：∠AOB=∠DOC，BC=CB，利用ASA可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的对应边相等，可证得OB=OC，可对A作出判断；利用AAS可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性质，可证得OB=CO，可对B作出判断；再根据证明两三角形全等至少要有一组对应边相等，可对C作出判断；利用AAS证明△ACB≌△DBC，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ACB=∠DBC，利用等角对等边，可证得OB=OC，可对D作出判断.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．
故答案为：A．
【分析】将三个等式相加可得：a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得到（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，再求出a、b、c的值，即可判断出答案。
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合．
因此出现等腰三角形的点P的位置有4个．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的判定和含30° 角的直角三角形的性质求解即可。
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，
故答案为：B．
【分析】确定AB的长度后即可确定点C的位置．
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，
∴△ AGC是等腰三角形，
∴AG=AC=3，GF=CF，
∵AB=4，AC=3，
∴BG=1，
∵AE是△ABC中线，
∴BE=CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴；
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，因此F为GC中点，接着由已知条件可得EF为△CBG的中位线，根据中位线的性质即可求出线段EF的长.
11．【答案】3
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】 CD//OB， ∠C=∠COB， OC平分∠AOB， ，
CD=OD=3.
【分析】由平行线的性质可得∠C=∠COB，由角平分线的性质可得∠AOC=∠COB，所以可得∠AOC=∠C，再根据等角对等边即可求解。
12．【答案】11
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵CD是∠ACB的平分线，.
∴∠ACD=∠BCD，.
又∵DE∥BC，.
∴∠BCD=∠EDC．.
∴∠ACD=∠EDC．.
∴DE=CE．.
∴AC=AE+CE=5+6=11．.
故答案为11．
【分析】由CD是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠BCD，而DE∥BC，则∠BCD=∠EDC，于是∠ACD=∠EDC，再利用等角对等边可求出DE=CE，从而求出AC的长．
13．【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB= =72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC=36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ADE=72°，∠EDB=∠CBC=36°，
∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD=∠EDB=36°，ED=BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形．
故填5．
【分析】根据等腰三角形的判定及角平分线，平行线的性质作答即可.
14．【答案】①或②
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：选①BE=CE；
理由：∵∠B=∠C，∠BEA=∠CED，BE=CE，
∴△BEA≌△CED（ASA），
∴AE=DE，
∴△AED是等腰三角形．
选①AB=DC；
理由：∵∠BEA=∠CED，∠B=∠C，AB=DC，
∴△BEA≌△CED（ASA），
∴AE=DE，
∴△AED是等腰三角形．
选③，
∵∠B=∠C，∠BAE=∠CDE，∠BEA=∠CED，没有对应边相等，不能判定△BEA≌△CED，
故答案为：③不符合题意；
故答案为：①或②．
【分析】利用等腰三角形的判定方法一一判断即可。
15．【答案】8cm
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】 平分 ，CD平分 ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
的周长 .
故答案为：8cm.
【分析】利用角平分线的概念与平行线的性质可推出∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，然后根据等腰三角形的判定定理可得BE=ED，DF=CF，接下来根据周长的概念求解即可.
16．【答案】等腰
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；等腰三角形的判定；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
∵a是方程的解且a，b，c为 的三边长，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
【分析】根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子及三角形三边的关系得出a的值，进而即可得出结果.
17．【答案】5或8
【知识点】等腰三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：根据题意，
∵ 是以AB为腰的等腰三角形，
①当AB=BP时，如图：
∴BP=AB=5，
∴点P运动的时间为： （秒）；
②AB=AP时，如上图，
∵AC⊥BC，
∴AC是△PAB的中线，
∴PB=2BC=8，
∴点P运动的时间为： （秒）；
综合上述，点P的运动时间为5秒或8秒．
故答案为：5或8．
【分析】再直角三角形ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，分BA=BP和AB=AP两种情况考虑，当BA=BP时，有BA的长度可得出BP的长度，再结合点P的运动速度，即可得出t的值；当AB=PC时，利用等腰三角形的性质可得出BC=PC，进而可得出BC的长度，再结合点P的运动速度，解开得出t的值。
18．【答案】x=0或x=4 ﹣4或4
【知识点】等腰三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：分三种情况：
①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；
②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，
∴MC⊥OB，
∵∠AOB=45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC=OC=4，
∴OM=4 ，
当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4 ﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；
③如图3，
取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，
则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；
点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；
∴当4＜x＜4 时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；
综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4 ﹣4或4 ．
故答案为：x=0或x=4 ﹣4或4 ．
【分析】分三种情况讨论：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，利用等腰三角形的判定，即可得出x的取值范围。
19．【答案】证明：在△ADB和△BCA中，AD=BC，AC=BD，AB=BA，
∴△ADB≌△BCA（SSS）．
∴∠DBA=∠CAB．
∴AE=BE．
∴△EAB是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】先利用“SSS”证明△ADB≌△BCA，即可得到∠DBA=∠CAB，即可证明△EAB是等腰三角形．
20．【答案】解：△ABD为等腰三角形
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD
又∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
即：△ABD为等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，再根据三角形角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，利用等量代换得到∠ABD=∠ADB，即可证明 △ABD为等腰三角形。
21．【答案】证明：在 和 中，
，
∴ .
∴ ，
即 ，
∴ （等角对等边）.
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】首先根据SSS证明 ，根据全等三角形的对应角相等得到 ，从而根据等角对等边得出结论即可.
22．【答案】证明：∵D是△ABC的BC边的中点
∴ BD=CD
∵ ，
∴ △BDE和△CDF是直角三角形
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴ ∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】先根据DE⊥AC，DF⊥AB，得出△DEC和△DFB是直角三角形，再根据HL得出Rt△BDE≌Rt△CDF，证出∠C＝∠B，从而判断出△ABC的形状．
23．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得 ，根据余角的性质得 ，结合 ，得 ，进而即可得到结论.
24．【答案】（1）解：如图，点E、F为所作：
（2）解：△ADF是等腰三角形．
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，∠C+∠CFE=90°，
∴∠BDE=∠CFE，
而∠BDE=∠ADF，
∴∠CFE=∠ADF，
∴△ADF为等腰三角形，
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用基本作图（过一点已知直线的垂线）作DE⊥BC于点E，与CA的延长线相交于点F；
（2）利用等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再利用垂直得到∠DEB=∠DEC=90°，则根据等角的余角相等得到∠BDE=∠CFE，而∠BDE=∠ADF，所以∠CFE=∠ADF，于是可判定△ADF是等腰三角形。
25．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B= （180°-40°）=70°，
∴∠1+∠2=110°，
∴∠3+∠2=110°，
∴∠DEF=70°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用边角变定理证明△DBE≌△ECF，得出DE=EF，即可证明△DEF是等腰三角形；
（2）根据△DBE≌△ECF，得出∠1=∠3，∠2=∠4，根据∠A+∠B+∠C=180°，求出∠B的度数，由此得出答案。
26．【答案】（1）解：设 ， ， ， ，
，
，在 中， ，
，
是等边三角形，
，
，
且 是 的中线，
是 的角平分线，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知 ，
∴ 是等腰三角形；
∵ ，
∴ 是等腰三角形；
∵ 为 的中点， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
∴等腰三角形有： ， ， ， ．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1） 设 ， ， ， ，在 中， ， 得出 ， 由 是等边三角形，得出 是 的角平分线，由此得出结论；
（2）由（1）可知 ， 得出 是等腰三角形； 是等腰三角形； 是等腰三角形； 是等腰三角形．
27．【答案】（1）解：若P在边AC上时，BC=CP=6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP=BC=6cm，如图，过C作斜边AB的高，
∵S△ABC=AB×CH=AC×BC，
解得CH=4.8cm，
BH==3.6cm，
∴BP=2BH=7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；
（2）解：当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴8﹣t+16﹣2t=12，∴t=4；
当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣8+2t﹣16=12，
∴t=12，
∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)①当P点在AC上，可知PC=BC， 根据速度公式求时间t即可； ②当P点在AB上时，分三种情况讨论，若BP= CB，根据等边三角形的性质求出BP的长度，再求出点P运动的距离，再根据速度公式求时间；若CP= BC，此时过C作斜边AB的高，根据面积法求得高，再根据勾股定理求得BH的长，则可得出BP的长，然后求出P的运动路程，利用速度公式求时间； 若BP= CP，根据余角的性质求出 ∠ACP=∠CAP， 则知PA= PC，则可得到PA= PB，再利用速度公式求时间；
(2)分两种情况讨论，即当P点在AC上， Q在AB上时，先把AP和AQ分别用含t的代数式表示，根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分建立关于t的方程求解；当P点在AB上， Q在AC上时，先把AP和AQ分别用含t的代数式表示，根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分建立关于t的方程求解即可.
28．【答案】（1）10；小
（2）解：当DC=4时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=50°，
∴∠DEC+∠EDC=130°，
又∵∠ADE=50°，
∴∠ADB+∠EDC=130°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=4，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
即当DC=4时，△ABD≌△DCE.
（3）可以，100°或115°
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵在△BAD中，∠B=∠C=∠50°，∠BDA=120°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-50°-120°=10°；
∴∠EDC=180°-∠BDA-∠ADE=180°-120°-50°=10°.
点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，
故答案为：10，小；
（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA=100°时，
∴∠ADC=80°，
∵∠C=50°，
∴∠DAC=50°，
∴∠DAC=∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为115°时，
∴∠ADC=65°，
∵∠C=50°，
∴∠DAC=65°，
∵∠ADE=50°，
∴∠AED=65°，
∴∠DAC=∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形.
【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解答即可；
（2）当DC=4时，利用∠DEC+∠EDC=130°，∠ADB+∠EDC=130°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=4，即可得出△ABD≌△DCE；
（3）当∠BDA的度数为100°时，得出∠DAC=∠ADE，即可得出△ADE的形状是等腰三角形，当∠BDA的度数为115°时，得出∠DAC=∠AED，即可得出△ADE的形状是等腰三角形.
1 / 1苏科版数学八年级上册2.5.2 等腰三角形的判定 同步训练
一、单选题
1．（2019八下·福田期末） 中， ，则 一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】根据在三角形中“等角对等边”，可知，选项B符合题意.
【分析】根据两角相等的三角形是等腰三角形判断即可.
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4
C．∠B=50°，∠C= 80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】A．∵a=3，b=3，c=4，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
B．∵a：b：c=2：3：4，∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；
C．∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=180°-∠B-∠C= 50°，
∴∠A=∠B，∴BC=AC，∴△ABC是等腰三角形；
D．∵∠A：∠B：∠C=1：1 ：2，∴∠A=∠B，∴BC=AC，△ABC是等腰三角形．
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的性质，结合三角形的内角和等于180°计算求解即可。
3．（2021七下·滦南期末）已知a、b、c是 的三条边，且满足 ，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，
∵a+b-c≠0，
∴a-b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故答案为：C．
【分析】先移项，将原式变成（a-b）（a+b-c）=0，再判断即可得得到答案。
4．（2020八上·临沭期中）下列给出的5个图中，能判定 是等腰三角形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：
①∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-56°=54°，∠B=56°，∠C≠∠B，不是等腰三角形，
②∠C=∠140°-∠B=70°=∠B，是等腰三角形，
③∵AD∥BC，∴∠C=∠DAC=50°，∠C=∠B=50°，△ABC是等腰三角形，
④∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∵∠CAD=30°，∠CAB=60°-∠CAD=60°-30°=30°，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=30°，∴∠BCA=∠CAB=30°，∴△ABC是等腰三角形，
⑤∵AB∥DE ，∴∠D=∠A=30°，∵∠DCB=∠A+∠B，∴∠B=∠DCB-∠A=60°-30°=30°， △ABC是等腰三角形．
故选择：C．
【分析】利用等腰三角形的判定定理，通过计算推出有两个角相等即可①利用三角形内角和计算即可，②利用三角形的外角性质计算即可，③利用平行线的性质得出∠C=∠B=50°即可，④利用AD∥BC，推出同旁内角互补∠ABC+∠BAD=180°，由∠ABC=120°，得∠BAD=60°，由∠CAD=30°，则∠CAB=60°-∠CAD=30°，由内错角相等∠BCA=∠CAD=30°，则∠BCA=∠CAB=30°即可，⑤利用平行线性质与外角性质即可推出．
5．（2020八下·南海月考）如图， ， ， ，则图中等腰三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵ ，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°
∴BC=BD
∴△BCD是等腰三角形
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
故答案为：D.
【分析】先利用三角形的内角和及外角的性质求出角的度数，再利用等腰三角形的定义判定即可。
6．（2021八下·莲湖期中）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D．若请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，则你补充的条件不能是（ ）
A．OA＝OD B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（ASA）
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故A不符合题意；
B、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS）
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故B不符合题意；
C、补充∠ABO＝∠DCO，不能证明△AOB≌△DOC，
因此不能证明△BOC是等腰三角形，故C符合题意；
D、在△ACB和△DBC中
∴△ACB≌△DBC（AAS）
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】图形中的隐含条件为：∠AOB=∠DOC，BC=CB，利用ASA可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的对应边相等，可证得OB=OC，可对A作出判断；利用AAS可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性质，可证得OB=CO，可对B作出判断；再根据证明两三角形全等至少要有一组对应边相等，可对C作出判断；利用AAS证明△ACB≌△DBC，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ACB=∠DBC，利用等角对等边，可证得OB=OC，可对D作出判断.
7．（2020八上·龙凤期末）已知三角形三边长为a、b、c，且满足 ， ， ，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．
故答案为：A．
【分析】将三个等式相加可得：a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得到（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，再求出a、b、c的值，即可判断出答案。
8．（2020八上·兴县期末）如图， 中， ， ，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合．
因此出现等腰三角形的点P的位置有4个．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的判定和含30° 角的直角三角形的性质求解即可。
9．（2020·定兴模拟）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，
故答案为：B．
【分析】确定AB的长度后即可确定点C的位置．
10．（2021八下·新昌期中）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，
∴△ AGC是等腰三角形，
∴AG=AC=3，GF=CF，
∵AB=4，AC=3，
∴BG=1，
∵AE是△ABC中线，
∴BE=CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴；
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，因此F为GC中点，接着由已知条件可得EF为△CBG的中位线，根据中位线的性质即可求出线段EF的长.
二、填空题
11．（2019七下·泰兴期中）如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD= cm.
【答案】3
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】 CD//OB， ∠C=∠COB， OC平分∠AOB， ，
CD=OD=3.
【分析】由平行线的性质可得∠C=∠COB，由角平分线的性质可得∠AOC=∠COB，所以可得∠AOC=∠C，再根据等角对等边即可求解。
12．（2019·零陵模拟）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于点E，若DE＝6cm，AE＝5cm，则AC＝ cm．
【答案】11
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】∵CD是∠ACB的平分线，.
∴∠ACD=∠BCD，.
又∵DE∥BC，.
∴∠BCD=∠EDC．.
∴∠ACD=∠EDC．.
∴DE=CE．.
∴AC=AE+CE=5+6=11．.
故答案为11．
【分析】由CD是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠BCD，而DE∥BC，则∠BCD=∠EDC，于是∠ACD=∠EDC，再利用等角对等边可求出DE=CE，从而求出AC的长．
13．（2019八上·上饶期中）如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE//BC，则图中等腰三角形有 个．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB= =72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC=36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ADE=72°，∠EDB=∠CBC=36°，
∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD=∠EDB=36°，ED=BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形．
故填5．
【分析】根据等腰三角形的判定及角平分线，平行线的性质作答即可.
14．（2020八上·密山期末）如图已知∠B=∠C，请同学从这①BE=CE，②AB=DC，③∠BAE=∠CDE三个等式中再选出一个作为条件，可以推出△AED是等腰三角形的有 （填序号）．
【答案】①或②
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：选①BE=CE；
理由：∵∠B=∠C，∠BEA=∠CED，BE=CE，
∴△BEA≌△CED（ASA），
∴AE=DE，
∴△AED是等腰三角形．
选①AB=DC；
理由：∵∠BEA=∠CED，∠B=∠C，AB=DC，
∴△BEA≌△CED（ASA），
∴AE=DE，
∴△AED是等腰三角形．
选③，
∵∠B=∠C，∠BAE=∠CDE，∠BEA=∠CED，没有对应边相等，不能判定△BEA≌△CED，
故答案为：③不符合题意；
故答案为：①或②．
【分析】利用等腰三角形的判定方法一一判断即可。
15．（2021八下·金水期中）如图，在 中， ， ，BD平分 ，CD平分 ， ，且EF过点D，则 的周长是 .
【答案】8cm
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】 平分 ，CD平分 ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
的周长 .
故答案为：8cm.
【分析】利用角平分线的概念与平行线的性质可推出∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，然后根据等腰三角形的判定定理可得BE=ED，DF=CF，接下来根据周长的概念求解即可.
16．（2020·青海）已知a，b，c为 的三边长.b，c满足 ，且a为方程 的解，则 的形状为 三角形.
【答案】等腰
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；等腰三角形的判定；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ， ，
∵a是方程的解且a，b，c为 的三边长，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
【分析】根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子及三角形三边的关系得出a的值，进而即可得出结果.
17．（2020八上·丘北期末）在 中， ， ， ，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒1个单位长度的速度运动，若 是以AB为腰的等腰三角形，则点P的运动时间为 秒．
【答案】5或8
【知识点】等腰三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：根据题意，
∵ 是以AB为腰的等腰三角形，
①当AB=BP时，如图：
∴BP=AB=5，
∴点P运动的时间为： （秒）；
②AB=AP时，如上图，
∵AC⊥BC，
∴AC是△PAB的中线，
∴PB=2BC=8，
∴点P运动的时间为： （秒）；
综合上述，点P的运动时间为5秒或8秒．
故答案为：5或8．
【分析】再直角三角形ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，分BA=BP和AB=AP两种情况考虑，当BA=BP时，有BA的长度可得出BP的长度，再结合点P的运动速度，即可得出t的值；当AB=PC时，利用等腰三角形的性质可得出BC=PC，进而可得出BC的长度，再结合点P的运动速度，解开得出t的值。
18．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 单元测试B）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ．
【答案】x=0或x=4 ﹣4或4
【知识点】等腰三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：分三种情况：
①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；
②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，
∴MC⊥OB，
∵∠AOB=45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC=OC=4，
∴OM=4 ，
当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4 ﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；
③如图3，
取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，
则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；
点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；
∴当4＜x＜4 时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；
综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4 ﹣4或4 ．
故答案为：x=0或x=4 ﹣4或4 ．
【分析】分三种情况讨论：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，利用等腰三角形的判定，即可得出x的取值范围。
三、解答题
19．（2021八上·铁东期中）如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
【答案】证明：在△ADB和△BCA中，AD=BC，AC=BD，AB=BA，
∴△ADB≌△BCA（SSS）．
∴∠DBA=∠CAB．
∴AE=BE．
∴△EAB是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】先利用“SSS”证明△ADB≌△BCA，即可得到∠DBA=∠CAB，即可证明△EAB是等腰三角形．
20．（2021八上·巨野月考）如图，四边形ABCD中，AD//BC，BD平分∠ABC，试判断△ABD是否为等腰三角形，并说明理由．
【答案】解：△ABD为等腰三角形
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD
又∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
即：△ABD为等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，再根据三角形角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，利用等量代换得到∠ABD=∠ADB，即可证明 △ABD为等腰三角形。
21．（2021八上·万山期末）已知：如图， ， ， 与 相交于点 ，求证： .
【答案】证明：在 和 中，
，
∴ .
∴ ，
即 ，
∴ （等角对等边）.
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】首先根据SSS证明 ，根据全等三角形的对应角相等得到 ，从而根据等角对等边得出结论即可.
22．（2020八上·长春月考）已知：如图，D是△ABC的BC边的中点， ， 且DE=DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】证明：∵D是△ABC的BC边的中点
∴ BD=CD
∵ ，
∴ △BDE和△CDF是直角三角形
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴ ∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】先根据DE⊥AC，DF⊥AB，得出△DEC和△DFB是直角三角形，再根据HL得出Rt△BDE≌Rt△CDF，证出∠C＝∠B，从而判断出△ABC的形状．
23．（2020八下·中宁期中）如图， 是等腰三角形， ， 是 上一点， 于 ， 的延长线交 的延长线于F，试说明 是等腰三角形的理由.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得 ，根据余角的性质得 ，结合 ，得 ，进而即可得到结论.
24．（2021八上·昌乐月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点．
（1）用尺规过点D作DE⊥BC于点E，与CA的延长线相交于点F（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△ADF是什么样的三角形？请说明理由．
【答案】（1）解：如图，点E、F为所作：
（2）解：△ADF是等腰三角形．
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，∠C+∠CFE=90°，
∴∠BDE=∠CFE，
而∠BDE=∠ADF，
∴∠CFE=∠ADF，
∴△ADF为等腰三角形，
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用基本作图（过一点已知直线的垂线）作DE⊥BC于点E，与CA的延长线相交于点F；
（2）利用等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再利用垂直得到∠DEB=∠DEC=90°，则根据等角的余角相等得到∠BDE=∠CFE，而∠BDE=∠ADF，所以∠CFE=∠ADF，于是可判定△ADF是等腰三角形。
25．（2021八上·龙沙期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B= （180°-40°）=70°，
∴∠1+∠2=110°，
∴∠3+∠2=110°，
∴∠DEF=70°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用边角变定理证明△DBE≌△ECF，得出DE=EF，即可证明△DEF是等腰三角形；
（2）根据△DBE≌△ECF，得出∠1=∠3，∠2=∠4，根据∠A+∠B+∠C=180°，求出∠B的度数，由此得出答案。
26．（2021八上·哈尔滨月考）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至 ，使 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，点 为 的中点，连接 ，直接写出图中所有的等腰三角形（不包括 ）．
【答案】（1）解：设 ， ， ， ，
，
，在 中， ，
，
是等边三角形，
，
，
且 是 的中线，
是 的角平分线，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知 ，
∴ 是等腰三角形；
∵ ，
∴ 是等腰三角形；
∵ 为 的中点， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
∴等腰三角形有： ， ， ， ．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1） 设 ， ， ， ，在 中， ， 得出 ， 由 是等边三角形，得出 是 的角平分线，由此得出结论；
（2）由（1）可知 ， 得出 是等腰三角形； 是等腰三角形； 是等腰三角形； 是等腰三角形．
27．（2021八上·绍兴期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（2）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【答案】（1）解：若P在边AC上时，BC=CP=6cm，
此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，
所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP=BC=6cm，如图，过C作斜边AB的高，
∵S△ABC=AB×CH=AC×BC，
解得CH=4.8cm，
BH==3.6cm，
∴BP=2BH=7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，
∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．
∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；
（2）解：当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴8﹣t+16﹣2t=12，∴t=4；
当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣8+2t﹣16=12，
∴t=12，
∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)①当P点在AC上，可知PC=BC， 根据速度公式求时间t即可； ②当P点在AB上时，分三种情况讨论，若BP= CB，根据等边三角形的性质求出BP的长度，再求出点P运动的距离，再根据速度公式求时间；若CP= BC，此时过C作斜边AB的高，根据面积法求得高，再根据勾股定理求得BH的长，则可得出BP的长，然后求出P的运动路程，利用速度公式求时间； 若BP= CP，根据余角的性质求出 ∠ACP=∠CAP， 则知PA= PC，则可得到PA= PB，再利用速度公式求时间；
(2)分两种情况讨论，即当P点在AC上， Q在AB上时，先把AP和AQ分别用含t的代数式表示，根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分建立关于t的方程求解；当P点在AB上， Q在AC上时，先把AP和AQ分别用含t的代数式表示，根据直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分建立关于t的方程求解即可.
28．（2021八上·灌云月考）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于E.
（1）当∠BDA=120°时，∠EDC ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”)；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由.
【答案】（1）10；小
（2）解：当DC=4时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=50°，
∴∠DEC+∠EDC=130°，
又∵∠ADE=50°，
∴∠ADB+∠EDC=130°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=4，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
即当DC=4时，△ABD≌△DCE.
（3）可以，100°或115°
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵在△BAD中，∠B=∠C=∠50°，∠BDA=120°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-50°-120°=10°；
∴∠EDC=180°-∠BDA-∠ADE=180°-120°-50°=10°.
点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，
故答案为：10，小；
（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA=100°时，
∴∠ADC=80°，
∵∠C=50°，
∴∠DAC=50°，
∴∠DAC=∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为115°时，
∴∠ADC=65°，
∵∠C=50°，
∴∠DAC=65°，
∵∠ADE=50°，
∴∠AED=65°，
∴∠DAC=∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形.
【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解答即可；
（2）当DC=4时，利用∠DEC+∠EDC=130°，∠ADB+∠EDC=130°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=4，即可得出△ABD≌△DCE；
（3）当∠BDA的度数为100°时，得出∠DAC=∠ADE，即可得出△ADE的形状是等腰三角形，当∠BDA的度数为115°时，得出∠DAC=∠AED，即可得出△ADE的形状是等腰三角形.
1 / 1
