苏科版数学八年级上册2.5.4 等边三角形的性质 同步训练
一、单选题
1.关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系,下列说法中不正确的是( )
A.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B.等边三角形是等腰三角形的特殊情况
C.等边三角形的底角与顶角相等
D.等边三角形包括等腰三角形
2.(2021八上·莒南期中)如图,在正方形 的外侧,作等边三角形 ,则 为( )
A.45° B.25° C.30° D.40°
3.(2021八上·日照期中)如图,△ABC是边长为2的等边三角形,点P在AB上,过点P作PE⊥AC,垂足为E,延长BC到点Q,使CQ=PA,连接PQ交AC于点D,则DE的长为( )
A.0.5 B.0.9 C.1 D.1.25
4.(2021八上·绍兴期中)等边△ABC中,AB=7,DE绕点D逆时针转过60°,E点落在BC边的F处,已知AE=2,则BF=( )
A.2 B.3 C.3.5 D.5
5.(2019八下·东莞月考)如图,△ABC是边长为20的等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则BE+CF=( )
A.5 B.10 C.15 D.20
6.(2020八下·扶风期末)如图所示,ΔABC是等边三角形,且BD=CE,∠1=15°,则∠2的度数为( )
A.15° B.40° C.45° D.60°
7.(2021八上·无棣期中)已知,如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于点P,下列说法:①∠APE=∠C,②AQ=BQ,③BP=2PQ,④AE+BD=AB,其正确的个数有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2021八上·沿河期末)如图,已知 ,点 , , ,…,在射线 上,点 , , , ,…,在射线 上, , , ,…,均为等边三角形.若 ,则 的边长为( )
A. B. C. D.
9.(2021八上·邵阳期末)如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;② CM=CN;③ AC=DN.其中,正确结论的个数是 ( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
10.(2020八上·襄汾期末)如图所示,已知 和 均是等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,连接 、 、 , 与 交于点O, 与 交于点G, 与 交于点F,则下列结论中:
① ; ② ; ③ ; ④ ,以上结论正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11.(2021八上·乐陵期中)小明在纸上面了一个边长为5cm的等边三角形 ,并将一个宽为2cm直尺如图所示放在所画 上,使得直尺一条边与 的边BC重合,另一条边交边AB于点E,则AE= .
12.(2021八上·肥城期中)如图, 是等边 的 边上的中点,点 在 的延长线上, , 的周长是9,则 .
13.(2021八上·蒙阴期中)如图,△ABC是等边三角形,∠CBD=90°,BD=BC,连接AD交BC于点E,则∠AEC的度数是 .
14.(2021八下·陕州期中)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠EBD= .
15.(2021八下·龙华期中)如图,过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为 .
16.(2020八下·惠来期末)如图,已知:等边三角形ABC,点D是AB的中点,过点D作DF⊥AC,垂足为F,过点F作FE⊥BC,垂足为E,若三角形ABC的边长为4.则线段BE的长为 .
17.(2020八上·香河期末)如图,已知等边△ABC的边长为8cm,∠A=∠B=60°,点D为边BC上一点,且BD=3cm.若点M在线段CA上以2cm/s的速度由点C向点A运动,同时,点N在线段AB上由点A向点B运动,△CDM与△AMN全等,则点N的运动速度是
18.(2020八上·夏津期末)如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,有下列四个结论:①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AB;④△BRP≌△CSP.其中,正确的有 (填序号即可).
三、解答题
19.(2021八上·莒南期中)如图,已知等边 分别在 上,且 ,连接 交 点.求证:
20.(2020八上·南丹月考)如图:△ABC和△CDE是等边三角形.求证:BE=AD.
21.(2021八上·卫辉期末)如图所示: 是等边三角形, 、 分别是 及 延长线上的一点,且 ,连接 交 于点 .
求证:
22.(2020八上·朔城月考)如图, 是边长为1的等边三角形, , ,点 , 分别在 , 上,且 ,求 的周长.
23.(2020八上·昆明期中)已知:如图,B、C、D在同一直线上,△ABC,△ADE是等边三角形,求证:CE=AB+CD.
24.(2020八上·蒙阴月考)已知, 和 都是等边三角形,且点B,C,D在同一条直线上.求证:BE=AD.
25.(2020八下·凤县月考)如图,点P是等边三角形ABC内一点,AD⊥BC于点D,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G.求证:AD=PE+PF+PG.
26.(2021八上·温州期中)如图, 与 都是等边三角形,连结 .
(1)求证: ;
(2)连结 ,若 ,求 的长.
27.(2021八上·徐闻期中)如图,点C为线段 上一点, , 是等边三角形,直线 交于点E,直线 交于点F.
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)求证: .
28.(2021八上·台州期中)如图, 是边长为12 的等边三角形,动点 同时从 两点出发,分别沿 方向匀速移动.
(1)若点 的运动速度是2 ,点 的运动速度是4 ,当N到达点C时, 两点都停止运动,设运动时间为 ,当 时,判断 的形状,并说明理由;
(2)当它们的速度都是2 ,且当点M到达点B时, 两点停止运动,设点M的运动时间为 ,则当t为何值时, 是直角三角形?
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质;等边三角形的性质
【解析】【解答】解:A、有一个角是60°的等腰三角形的三个内角都是60°,则该等腰三角形是等边三角形.故本选项正确;
B、等边三角形是底边与腰相等的等腰三角形,即等边三角形是特殊的等腰三角形.故本选项正确;
C、等边三角形的三个内角都是60°,所以等边三角形的底角与顶角相等.故本选项正确;
D、等腰三角形包括等边三角形.故本选项错误;
故选D.
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质进行分析,从而得到答案.
2.【答案】A
【知识点】等边三角形的性质;正方形的性质
【解析】【解答】 等边三角形ADE,
AE=AB, EAD= AED=60°,
正方形ABCD,
AB=AD, DAB=90°,
EAB=150°, AEB= ABE,
AEB=(180°-150°) 2=15°,
BED=60°-15°=45°.
故答案为:A.
【分析】由等边三角形的性质可得AE=AB, EAD= AED=60°,由正方形的性质可得 AB=AD, DAB=90°,最后根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出AEB的度数即可。
3.【答案】C
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】解:过 作 的平行线交 于 ,
,
是等边三角形,
, ,
是等边三角形,
,
在 中和 中,
,
≌ ,
,
于 , 是等边三角形,
,
,
,
,
,
故答案为:C.
【分析】 过 作 的平行线交 于 ,通过AAS证明 ≌ ,得出 ,再由 是等边三角形,即可得出结论。
4.【答案】A
【知识点】等边三角形的性质;旋转的性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】解:∵DF是由DE旋转得到,
∴DE=DF,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠DAE=∠DCF,
∵∠EDF=60°,
∵∠ADE+∠CDF=120°,
∵∠AED+∠ADE=180°-∠DAE=120°,
∴∠AED=∠CDF,
在△DAE和△FDC中,
,
∴△DAE≌△FDC(AAS),
∴CD=AE=2,AD=FC,
∴AD=AC-CD=AB-CD=7-2=5,
∴FC=5,
∴BF=BC-FC=AB-FC=7-5=2.
故答案为:A.
【分析】由旋转的性质得到DE=DF,再利用等边三角形的性质,结合旋转角等于60°,推出∠AED=∠CDF,然后利用AAS证明△DAE≌△FDC,则可CD=AE=2,AD=FC,最后根据等边三角形的性质和线段间的和差关系求BF即可.
5.【答案】B
【知识点】等边三角形的性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC是边长为20的等边三角形,
所以BC=20 ,∠B=∠C=60 ,
又因为DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
所以,∠BDE=30 ,∠CDF=30 ,
所以,BE= BD, CF= DC,
所以,BE+CF= BD+ DC= BC=10.
故答案为:B
【分析】根据题中所给的条件,在直角三角形中解题.运用含30 直角三角形性质可解决.
6.【答案】D
【知识点】三角形的外角性质;三角形全等及其性质;等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【解答】解:∵ ΔABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°,
∵ BD=CE,
∴ΔABD≌ BCD(SAS),
∴∠1=∠CBE=15°,
∴ ∠ABE=60°-15°=45°,
∴∠2=∠1+∠ABE=60°.
故答案为:D.
【分析】根据等边三角形的性质,得出AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°,从而证得ΔABD≌ BCD,得到∠1=∠CBE,求出 ∠ABE的度数,根据三角形外角定理,得到∠2=∠1+∠ABE,即可求出∠2的度数.
7.【答案】C
【知识点】等边三角形的性质;含30°角的直角三角形;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【解答】解:∵ △ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAE=∠C=60°,
∵ AE=CD,
∴△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°,
∴∠APE=∠BPQ=60°,
∴ ∠APE=∠C, 故①正确;
②无法证明AQ=BQ,故②错误;
③∵ BQ⊥AD于Q,
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-∠APE=90°-60°=30°,
∴ BP=2PQ, 故③正确;
④∵△ABE≌△CAD,
∴AE=CD,
∴ AE+BD=CD+BD=BC=AB,故④正确,
∴正确的个数由3个.
故答案为:C.
【分析】①根据等边三角形的性质得出∠C=60°,再证出△ABE≌△CAD,得出∠ABE=∠CAD,从而得出∠APE=∠BPQ=60°,即可判断①正确;
②无法证明AQ=BQ,即可判断②错误;
③证出∠PBQ=30°,从而得出BP=2PQ, 即可判断③正确;
④根据全等三角形的性质得出AE=CD,从而得出AE+BD=CD+BD=BC=AB,即可判断④正确.
8.【答案】A
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的判定;等边三角形的性质;探索数与式的规律
【解析】【解答】∵△A1B1B2是等边三角形,
∴∠A1B1B2=∠A1B2O=60°,A1B1=A1B2,
∵∠O=30°,
∴∠A2A1B2=∠O+∠A1B2O=90°,
∵∠A1B1B2=∠O+∠OA1B1,
∴∠O=∠OA1B1=30°,
∴OB1=A1B1=A1B2=1,
在Rt△A2A1B2中,
∵∠A1A2B2=30°,
∴A2B2=2A1B2=2,
同法可得A3B3=22,A4B4=23,…,AnBn=2n-1,
∴ 的边长=22019,
故答案为:A.
【分析】根据等边三角形的性质及三角形的外角性质得出∠O=∠OA1B1=30°,OB1=A1B2=B1B2=1,同理得出A2B2=2A1B2=2,A3B3=22,A4B4=23,…,AnBn=2n-1,把n=2020代入计算得出A2020B2020=22019,即可得出答案.
9.【答案】B
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS);三角形全等的判定(ASA)
【解析】【解答】解:∵△DAC和△EBC均是等边三角形,
∴CA=CD,CE=CB,∠ACD=60°,∠BCE=60°,
∴∠DCE=60°,
∴∠ACE=∠DCB=120°,
在△ACE和△DCB中,
CA=CD,∠ACE=∠DCB,CE=CB,
∴△ACE≌△DCB(SAS);所以①正确
∴∠AEC=∠CBD,
在△CBN和△CEM中,
∠CBN=∠CEM,CB=CE,∠BCN=∠ECM,
∴△CBN≌△CEM(ASA),∴CM=CN,所以②正确
在△DCN中,∠DCN=60°,∠DNC>∠NCB,即∠DNC>60°,
∴∠DNC>∠DCN,
∴DC>DN,
∴AC>DN,所以③错误
∴正确选项有两个,B正确.
故答案为:B.
【分析】利用等边三角形的性质可证得CA=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°,可推出∠ACE=∠DCB,利用SAS证明△ACE≌△DCB,可对①作出判断;再利用ASA可证得△CBN≌△CEM,利用全等三角形的性质可证得CM=CN,可对②作出判断;在△DCN中,DC≠DN,由此可推出AC≠DN,可对③作出判断,综上所述可得到正确结论的个数.
10.【答案】D
【知识点】三角形全等的判定;等边三角形的性质
【解析】【解答】解:∵△ABC与△CDE为等边三角形,
∴BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD,∠ACD=60°,
即:∠ACE=∠BCD,
在△BCD与△ACE中,
∵BC=AC,∠ACE=∠BCD,CD=CE,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴AE=BD,即①符合题意;
在△BCF与△ACG中,
由①可知∠CBF=∠CAG,
又∵AC=BC,∠BCF=∠ACG=60°,
∴△BCF≌△ACG(ASA),
∴AG=BF,即②符合题意;
在△DFC与△EGC中,
∵△BCF≌△ACG,
∴CF=CG.即④符合题意;
∵∠GCF =60°,
∴△CFG为等边三角形,
∴∠CFG=∠FCB=60°,
∴FG∥BE,即③符合题意;
综上,①②③④都符合题意.
故答案为:D.
【分析】首先根据等边三角形的性质,得到BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠BCD=60°,然后由SAS判定△BCD≌△ACE,根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确;又由全等三角形的对应角相等,得到∠CBD=∠CAE,根据ASA证得△BCF≌△ACG,即可得到②正确,同理证得CF=CG,得到△CFG为等边三角形,易得③④正确。
11.【答案】1cm
【知识点】等边三角形的性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解:由图可得BD=2,DE⊥BC
∵ 是等边三角形
∴∠ABC=60°
∴∠BED=90°-60°=30°
∴BE=2BD=4cm
∴AE=AB-BE=1cm
故答案为:1cm.
【分析】根据题意可得BD=2,DE⊥BC,∠BED=90°-60°=30°,再利用含30°角的直角三角形的性质可得BE=2BD=4cm,最后利用线段的和差计算即可。
12.【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质;等边三角形的性质
【解析】【解答】解:∵ 是等边三角形,周长是9,
∴AB=BC=AC=3,∠ACB=60°,
∵ 是 边上的中点,
∴BD⊥AC,AD=CD= ,∠DBC=30°,
∵ ,
∴∠E=∠DBC=30°,
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,
∴∠CDE=∠E,
∴CE=CD= ,
故答案为: .
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC=3,∠CBD=30°,∠BDC=90°,再利用含30°角的直角三角形的性质可得DC=,再利用BD=DE可得∠E=∠DBE=30°,再利用∠ECD=120°及三角形的内角和可求出∠CDE=30°,所以CE=CD=。
13.【答案】75°.
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=60°,
∵BD=BC,
∴AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵∠CBD=90°,
∴∠ABD=90°+60°=150°,
∴∠BDA=15°,
∵∠CBD=90°,BD=BC,
∴∠BCD=∠BDC=45°,
∴∠ADC=45°-15°=30°,
∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°.
【分析】根据等腰直角三角形和等边三角形可得∠ABD=90°+60°=150°,再根据AB=BD,利用三角形的内角和及等边对等角可得∠BAE=15°,最后利用三角形的外角可得∠AEC=∠DAB+∠ABC,即可得到答案。
14.【答案】30°
【知识点】角的运算;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;等边三角形的性质;正方形的性质
【解析】【解答】解:因为四边形ABCD是正方形,
所以AB=AD,∠BAD=90°,∠ABD=45°.
因为△ADE是等边三角形,
所以AD=AE,∠DAE=60°,
所以AB=AE,∠BAE=150°,
所以∠EBA= (180°-150°)=15°,
所以∠EBD=∠ABD-∠EBA=45°-15°=30°.
故答案为30°.
【分析】首先根据正方形的性质可得∠BAD=90°,∠ABD=45°,根据等边三角形的性质可得∠DAE=60°,进而求得∠BAE=150°,然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可求出∠EBA的度数,最后根据∠EBD=∠ABD-∠EBA计算即可.
15.【答案】
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】过P作PF∥BC交AC于F,
∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,
∴∠PFD=∠QCD,∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°,∠A=60°,
∴△APF是等边三角形,
∴AP=PF=AF.
∵PE⊥AC,
∴AE=EF.
∵AP=PF,AP=CQ,
∴PF=CQ,
在△PFD和△QCD中,
∵ ,
∴△PFD≌△QCD(AAS),
∴FD=CD.
∵AE=EF,
∴EF+FD=AE+CD,
∴AE+CD=DEAC.
∵AC=3,
∴DE .
故答案为: .
【分析】过P作PF∥BC交AC于F,得出△APF是等边三角形,推出AP=PF=AF.根据等腰三角形性质求出AE=EF,证出△PFD≌△QCD,推出FD=CD.推出DEAC即可。
16.【答案】
【知识点】等边三角形的性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解:∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠C=60°,AB=AC=4,
∵DF⊥AC,FE⊥BC,
∴∠AFD=∠CEF=90°,
∴∠ADF=∠CFE=30°,
∴AF= AD,CE= CF,
∵点D是AB的中点,
∴AD=2,
∴AF=1,CF=3,CE= ,
∴BE= .
故答案为 .
【分析】先求出∠A=∠C=60°,AB=AC=4,再求出AF= AD,CE= CF,最后计算求解即可。
17.【答案】2 cm/s或 cm/s
【知识点】等边三角形的性质;三角形-动点问题
【解析】【解答】解:设点M、N的运动时间为ts,则CM=2tcm.
∵三角形ABC是等边三角形,
∴∠C=∠A=60°,
∴当△CDM与△AMN全等时,分两种情况:
①如果△CDM≌△AMN,那么AN=CM=2tcm,
∴点N的运动速度是 =2(cm/s);
②如果△CDM≌△ANM,那么CM=AM= AC=4cm,AN=CD=BC-BD=5cm,
∴点M的运动时间为: =2(s),
∴点N的运动速度是 cm/s.
综上可知,点N的运动速度是2或 cm/s.
故答案为:2 cm/s或 cm/s.
【分析】分类讨论,利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
18.【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定;等边三角形的性质
【解析】【解答】∵PR⊥AB于点R,PS⊥AC,PR=PS,∴点P在∠A的平分线上,∴①符合题意;
∵点P在∠A的平分线上,∴∠QAP=∠BAP.
在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2﹣PR2,AS2=AP2﹣PS2.
∵AP=AP,PR=PS,∴AR=AS,∴②符合题意;
∵AQ=QP,∴∠QAP=∠QPA.
∵∠QAP=∠BAP,∴∠QPA=∠BAP,∴QP∥AB ,∴③符合题意;
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠CAB=60°,AB=AC.
∵∠QAP=∠BAP,∴BP=CP.
∵PR⊥AB,PS⊥AC,∴∠BRP=∠PSQ=90°.
在Rt△BRP和Rt△CSP中,∵BP=CP,PR=PS,∴△BRP≌△CSP,∴④符合题意.
【分析】根据角平分线的性质即可推出①符合题意;利用勾股定理即可推出②符合题意;利用平行线的判定即可推出③符合题意;证明出△BRP≌△CSP,即可推出④符合题意.
19.【答案】∵ 是等边三角形
∴ ,
在△ABD和△BCE中
∴
∴
∴ .
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】根据 是等边三角形得出 , ,利用SAS证明,得出,即可得出结论。
20.【答案】证明:∵△ABC、△ECD都是等边三角形,
∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°,
在△BCE和△ACD中,
,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴AD=BE(全等三角形的对应边相等).
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出 AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°, 根据全等三角形的判定定理SAS证得△BCE≌△ACD,然后由全等三角形的对应边相等知AD=BE.
21.【答案】过点D作DE∥AC,交BC于点E,
∵ 是等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,
∵DE∥AC,
∴∠DEB=∠ACB=60°,∠MDE=∠MEC,
∴ 是等边三角形,
∴BD=DE,
∵ ,
∴DE=CE,
又∵∠EMD=∠CME,
∴ EMD CME,
∴ .
【知识点】平行线的性质;等边三角形的性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【分析】 过点D作DF∥AC,交BC于点F, 由等边三角形和平行线的性质可得 ∠MDE=∠MEC , DE=CE ,再根据AAS可证 EMD CME ,进而根据全等三角形对应边相等可得结果.
22.【答案】解:如图,延长 至点 ,使 ,连接 .
∵ 是等边三角形,
∴ .
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
在 和 中, ,
∴ ,
∴ , .
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
在 和 中, ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 的周长 .
【知识点】等腰三角形的性质;等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】 如图,延长至点,使,连接,先根据等边三角形及等腰三角形的性质先证明△BDE≌△CDP,可得DE=DP,∠BDE=∠CDP,根据SAS可证△DEF≌△DPF,可得EF=FP,从而得出EF=FC+CP=FC+BE,由的周长计算即得结论.
23.【答案】证明:∵△ABC,△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC+∠CAD=∠BAC+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴BD=CE.
∵BD=BC+CD
∴CE=AB+CD.
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】利用等边三角形的性质可证得AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,由此可得到∠BAD=∠CAE;再利用SAS证明△BAD≌△CAE,然后利用全等三角形的对应边相等,可推出BD=CE,由BD=BC+CD,由此可推出结论。
24.【答案】证明: 和 都是等边三角形,
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】由 和 都是等边三角形,得到 再证明 得到 ,利用全等三角形的性质可得答案.
25.【答案】证明:连接PA,PB,PC,如图.
∵AD⊥BC于点D,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G,
∴S△ABC= ×BC×AD,S△PAB= ×AB×PE,S△PAC= ×AC×PF,S△PBC= ×BC×PG.
∵S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC,
∴ ×BC×AD= (AB×PE+AC×PF+BC×PG).
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∴BC×AD=BC×(PE+PF+PG),
∴AD=PE+PF+PG.
【知识点】三角形的面积;等边三角形的性质
【解析】【分析】 连接PA,PB,PC, 用面积法求解,△ABC的面积可以划分为三个小三角形的面积,根据面积相等列式,由于每个三角形的底边相等,则三个小三角形的高之和等于大三角形的高,从而得证。
26.【答案】(1)证明:∵ 与 都是等边三角形,
∴ , , ,
∴ ,
∴ ;
(2)∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】等边三角形的性质;勾股定理;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得AB=BC,BE=BD,∠ABC=∠DBE=∠BED=60°,推出∠DBC=∠ABE,然后借助全等三角形的判定定理进行证明;
(2)由全等三角形的性质可得∠BDC=∠BEA=150°,CD=AE=5,根据∠DEA=∠BEA-∠BED可得∠DEA=90°,然后利用勾股定理求解即可.
27.【答案】(1)解:∵△ACM和△CBN都是等边三角形,
∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°,
∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°,
∴∠CAN=∠ACM+∠MCN=∠MCN+∠BCN=∠BCM=120°,
∴△CAN≌△CMB(SAS),
∴AN=BM;
(2)∵△CAN≌△CMB,
∴∠EAC=∠FNC,
∵AC=MC,∠ACE=∠MCF=60°,
∴△AEC≌△MFC(ASA),
∴CE=CF;
(3)∵CE=CF,∠ECF=60°,
∴△ECF是等边三角形,
∴∠CEF=∠ACE=60°,
∴EF∥AB.
【知识点】三角形全等的判定;等边三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据△ACM和△CBN都是等边三角形,得出AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°,推出∠MCN、∠CAN的度数,证明△CAN≌△CMB(SAS),即可得出结论;
(2)根据△CAN≌△CMB,得出∠EAC=∠FNC,在根据AC=MC,∠ACE=∠MCF=60°,可得出△AEC≌△MFC(ASA),由此得出结论;
(3)证出△ECF是等边三角形,得出∠CEF=∠ACE=60°,由此得出结论。
28.【答案】(1)解:△BMN是等边三角形
当t=2时,AM =4,BN=8,
∵△ABC是等边三角形且边长是12
∴BM=12-4=8,
且∠B=60°∴BM=BN∴△BMN是等边三角形
(2)解:△BMN中,BM=12-2t,BN=2t
①当∠BNM=90°时,∠B=60°∴∠BMN=30°∴∴∴t=2
②当∠BMN=90°时,∠B=60°∴∠BNM=30°∴∴∴t=4
综上:当t=2或t=4时,△BMN是直角三角形.
【知识点】等边三角形的性质;含30°角的直角三角形;一元一次方程的实际应用-行程问题;三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)先求出t=2时点M和点N行走的路程,则可得出BM和BN相等,结合∠B为60°,求出△BMN为等边三角形;
(2)首先用含t的代数式表示出BM和BN,然后分两种情况讨论, ①当∠BNM=90°时, 根据含30°角的直角三角形的性质得出 ,据此建立方程求解; ②当∠BMN=90°时, 根据含30°角的直角三角形的性质得出 ,据此建立方程求解即可.
1 / 1苏科版数学八年级上册2.5.4 等边三角形的性质 同步训练
一、单选题
1.关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系,下列说法中不正确的是( )
A.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B.等边三角形是等腰三角形的特殊情况
C.等边三角形的底角与顶角相等
D.等边三角形包括等腰三角形
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质;等边三角形的性质
【解析】【解答】解:A、有一个角是60°的等腰三角形的三个内角都是60°,则该等腰三角形是等边三角形.故本选项正确;
B、等边三角形是底边与腰相等的等腰三角形,即等边三角形是特殊的等腰三角形.故本选项正确;
C、等边三角形的三个内角都是60°,所以等边三角形的底角与顶角相等.故本选项正确;
D、等腰三角形包括等边三角形.故本选项错误;
故选D.
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质进行分析,从而得到答案.
2.(2021八上·莒南期中)如图,在正方形 的外侧,作等边三角形 ,则 为( )
A.45° B.25° C.30° D.40°
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质;正方形的性质
【解析】【解答】 等边三角形ADE,
AE=AB, EAD= AED=60°,
正方形ABCD,
AB=AD, DAB=90°,
EAB=150°, AEB= ABE,
AEB=(180°-150°) 2=15°,
BED=60°-15°=45°.
故答案为:A.
【分析】由等边三角形的性质可得AE=AB, EAD= AED=60°,由正方形的性质可得 AB=AD, DAB=90°,最后根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出AEB的度数即可。
3.(2021八上·日照期中)如图,△ABC是边长为2的等边三角形,点P在AB上,过点P作PE⊥AC,垂足为E,延长BC到点Q,使CQ=PA,连接PQ交AC于点D,则DE的长为( )
A.0.5 B.0.9 C.1 D.1.25
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】解:过 作 的平行线交 于 ,
,
是等边三角形,
, ,
是等边三角形,
,
在 中和 中,
,
≌ ,
,
于 , 是等边三角形,
,
,
,
,
,
故答案为:C.
【分析】 过 作 的平行线交 于 ,通过AAS证明 ≌ ,得出 ,再由 是等边三角形,即可得出结论。
4.(2021八上·绍兴期中)等边△ABC中,AB=7,DE绕点D逆时针转过60°,E点落在BC边的F处,已知AE=2,则BF=( )
A.2 B.3 C.3.5 D.5
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质;旋转的性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】解:∵DF是由DE旋转得到,
∴DE=DF,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠DAE=∠DCF,
∵∠EDF=60°,
∵∠ADE+∠CDF=120°,
∵∠AED+∠ADE=180°-∠DAE=120°,
∴∠AED=∠CDF,
在△DAE和△FDC中,
,
∴△DAE≌△FDC(AAS),
∴CD=AE=2,AD=FC,
∴AD=AC-CD=AB-CD=7-2=5,
∴FC=5,
∴BF=BC-FC=AB-FC=7-5=2.
故答案为:A.
【分析】由旋转的性质得到DE=DF,再利用等边三角形的性质,结合旋转角等于60°,推出∠AED=∠CDF,然后利用AAS证明△DAE≌△FDC,则可CD=AE=2,AD=FC,最后根据等边三角形的性质和线段间的和差关系求BF即可.
5.(2019八下·东莞月考)如图,△ABC是边长为20的等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则BE+CF=( )
A.5 B.10 C.15 D.20
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC是边长为20的等边三角形,
所以BC=20 ,∠B=∠C=60 ,
又因为DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
所以,∠BDE=30 ,∠CDF=30 ,
所以,BE= BD, CF= DC,
所以,BE+CF= BD+ DC= BC=10.
故答案为:B
【分析】根据题中所给的条件,在直角三角形中解题.运用含30 直角三角形性质可解决.
6.(2020八下·扶风期末)如图所示,ΔABC是等边三角形,且BD=CE,∠1=15°,则∠2的度数为( )
A.15° B.40° C.45° D.60°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质;三角形全等及其性质;等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【解答】解:∵ ΔABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°,
∵ BD=CE,
∴ΔABD≌ BCD(SAS),
∴∠1=∠CBE=15°,
∴ ∠ABE=60°-15°=45°,
∴∠2=∠1+∠ABE=60°.
故答案为:D.
【分析】根据等边三角形的性质,得出AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°,从而证得ΔABD≌ BCD,得到∠1=∠CBE,求出 ∠ABE的度数,根据三角形外角定理,得到∠2=∠1+∠ABE,即可求出∠2的度数.
7.(2021八上·无棣期中)已知,如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于点P,下列说法:①∠APE=∠C,②AQ=BQ,③BP=2PQ,④AE+BD=AB,其正确的个数有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质;含30°角的直角三角形;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【解答】解:∵ △ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAE=∠C=60°,
∵ AE=CD,
∴△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°,
∴∠APE=∠BPQ=60°,
∴ ∠APE=∠C, 故①正确;
②无法证明AQ=BQ,故②错误;
③∵ BQ⊥AD于Q,
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-∠APE=90°-60°=30°,
∴ BP=2PQ, 故③正确;
④∵△ABE≌△CAD,
∴AE=CD,
∴ AE+BD=CD+BD=BC=AB,故④正确,
∴正确的个数由3个.
故答案为:C.
【分析】①根据等边三角形的性质得出∠C=60°,再证出△ABE≌△CAD,得出∠ABE=∠CAD,从而得出∠APE=∠BPQ=60°,即可判断①正确;
②无法证明AQ=BQ,即可判断②错误;
③证出∠PBQ=30°,从而得出BP=2PQ, 即可判断③正确;
④根据全等三角形的性质得出AE=CD,从而得出AE+BD=CD+BD=BC=AB,即可判断④正确.
8.(2021八上·沿河期末)如图,已知 ,点 , , ,…,在射线 上,点 , , , ,…,在射线 上, , , ,…,均为等边三角形.若 ,则 的边长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质;等腰三角形的判定;等边三角形的性质;探索数与式的规律
【解析】【解答】∵△A1B1B2是等边三角形,
∴∠A1B1B2=∠A1B2O=60°,A1B1=A1B2,
∵∠O=30°,
∴∠A2A1B2=∠O+∠A1B2O=90°,
∵∠A1B1B2=∠O+∠OA1B1,
∴∠O=∠OA1B1=30°,
∴OB1=A1B1=A1B2=1,
在Rt△A2A1B2中,
∵∠A1A2B2=30°,
∴A2B2=2A1B2=2,
同法可得A3B3=22,A4B4=23,…,AnBn=2n-1,
∴ 的边长=22019,
故答案为:A.
【分析】根据等边三角形的性质及三角形的外角性质得出∠O=∠OA1B1=30°,OB1=A1B2=B1B2=1,同理得出A2B2=2A1B2=2,A3B3=22,A4B4=23,…,AnBn=2n-1,把n=2020代入计算得出A2020B2020=22019,即可得出答案.
9.(2021八上·邵阳期末)如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;② CM=CN;③ AC=DN.其中,正确结论的个数是 ( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS);三角形全等的判定(ASA)
【解析】【解答】解:∵△DAC和△EBC均是等边三角形,
∴CA=CD,CE=CB,∠ACD=60°,∠BCE=60°,
∴∠DCE=60°,
∴∠ACE=∠DCB=120°,
在△ACE和△DCB中,
CA=CD,∠ACE=∠DCB,CE=CB,
∴△ACE≌△DCB(SAS);所以①正确
∴∠AEC=∠CBD,
在△CBN和△CEM中,
∠CBN=∠CEM,CB=CE,∠BCN=∠ECM,
∴△CBN≌△CEM(ASA),∴CM=CN,所以②正确
在△DCN中,∠DCN=60°,∠DNC>∠NCB,即∠DNC>60°,
∴∠DNC>∠DCN,
∴DC>DN,
∴AC>DN,所以③错误
∴正确选项有两个,B正确.
故答案为:B.
【分析】利用等边三角形的性质可证得CA=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°,可推出∠ACE=∠DCB,利用SAS证明△ACE≌△DCB,可对①作出判断;再利用ASA可证得△CBN≌△CEM,利用全等三角形的性质可证得CM=CN,可对②作出判断;在△DCN中,DC≠DN,由此可推出AC≠DN,可对③作出判断,综上所述可得到正确结论的个数.
10.(2020八上·襄汾期末)如图所示,已知 和 均是等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,连接 、 、 , 与 交于点O, 与 交于点G, 与 交于点F,则下列结论中:
① ; ② ; ③ ; ④ ,以上结论正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定;等边三角形的性质
【解析】【解答】解:∵△ABC与△CDE为等边三角形,
∴BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD,∠ACD=60°,
即:∠ACE=∠BCD,
在△BCD与△ACE中,
∵BC=AC,∠ACE=∠BCD,CD=CE,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴AE=BD,即①符合题意;
在△BCF与△ACG中,
由①可知∠CBF=∠CAG,
又∵AC=BC,∠BCF=∠ACG=60°,
∴△BCF≌△ACG(ASA),
∴AG=BF,即②符合题意;
在△DFC与△EGC中,
∵△BCF≌△ACG,
∴CF=CG.即④符合题意;
∵∠GCF =60°,
∴△CFG为等边三角形,
∴∠CFG=∠FCB=60°,
∴FG∥BE,即③符合题意;
综上,①②③④都符合题意.
故答案为:D.
【分析】首先根据等边三角形的性质,得到BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠BCD=60°,然后由SAS判定△BCD≌△ACE,根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确;又由全等三角形的对应角相等,得到∠CBD=∠CAE,根据ASA证得△BCF≌△ACG,即可得到②正确,同理证得CF=CG,得到△CFG为等边三角形,易得③④正确。
二、填空题
11.(2021八上·乐陵期中)小明在纸上面了一个边长为5cm的等边三角形 ,并将一个宽为2cm直尺如图所示放在所画 上,使得直尺一条边与 的边BC重合,另一条边交边AB于点E,则AE= .
【答案】1cm
【知识点】等边三角形的性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解:由图可得BD=2,DE⊥BC
∵ 是等边三角形
∴∠ABC=60°
∴∠BED=90°-60°=30°
∴BE=2BD=4cm
∴AE=AB-BE=1cm
故答案为:1cm.
【分析】根据题意可得BD=2,DE⊥BC,∠BED=90°-60°=30°,再利用含30°角的直角三角形的性质可得BE=2BD=4cm,最后利用线段的和差计算即可。
12.(2021八上·肥城期中)如图, 是等边 的 边上的中点,点 在 的延长线上, , 的周长是9,则 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质;等边三角形的性质
【解析】【解答】解:∵ 是等边三角形,周长是9,
∴AB=BC=AC=3,∠ACB=60°,
∵ 是 边上的中点,
∴BD⊥AC,AD=CD= ,∠DBC=30°,
∵ ,
∴∠E=∠DBC=30°,
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,
∴∠CDE=∠E,
∴CE=CD= ,
故答案为: .
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC=3,∠CBD=30°,∠BDC=90°,再利用含30°角的直角三角形的性质可得DC=,再利用BD=DE可得∠E=∠DBE=30°,再利用∠ECD=120°及三角形的内角和可求出∠CDE=30°,所以CE=CD=。
13.(2021八上·蒙阴期中)如图,△ABC是等边三角形,∠CBD=90°,BD=BC,连接AD交BC于点E,则∠AEC的度数是 .
【答案】75°.
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=60°,
∵BD=BC,
∴AB=BD,
∴∠BAD=∠BDA,
∵∠CBD=90°,
∴∠ABD=90°+60°=150°,
∴∠BDA=15°,
∵∠CBD=90°,BD=BC,
∴∠BCD=∠BDC=45°,
∴∠ADC=45°-15°=30°,
∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°.
【分析】根据等腰直角三角形和等边三角形可得∠ABD=90°+60°=150°,再根据AB=BD,利用三角形的内角和及等边对等角可得∠BAE=15°,最后利用三角形的外角可得∠AEC=∠DAB+∠ABC,即可得到答案。
14.(2021八下·陕州期中)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠EBD= .
【答案】30°
【知识点】角的运算;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;等边三角形的性质;正方形的性质
【解析】【解答】解:因为四边形ABCD是正方形,
所以AB=AD,∠BAD=90°,∠ABD=45°.
因为△ADE是等边三角形,
所以AD=AE,∠DAE=60°,
所以AB=AE,∠BAE=150°,
所以∠EBA= (180°-150°)=15°,
所以∠EBD=∠ABD-∠EBA=45°-15°=30°.
故答案为30°.
【分析】首先根据正方形的性质可得∠BAD=90°,∠ABD=45°,根据等边三角形的性质可得∠DAE=60°,进而求得∠BAE=150°,然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可求出∠EBA的度数,最后根据∠EBD=∠ABD-∠EBA计算即可.
15.(2021八下·龙华期中)如图,过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】过P作PF∥BC交AC于F,
∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,
∴∠PFD=∠QCD,∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°,∠A=60°,
∴△APF是等边三角形,
∴AP=PF=AF.
∵PE⊥AC,
∴AE=EF.
∵AP=PF,AP=CQ,
∴PF=CQ,
在△PFD和△QCD中,
∵ ,
∴△PFD≌△QCD(AAS),
∴FD=CD.
∵AE=EF,
∴EF+FD=AE+CD,
∴AE+CD=DEAC.
∵AC=3,
∴DE .
故答案为: .
【分析】过P作PF∥BC交AC于F,得出△APF是等边三角形,推出AP=PF=AF.根据等腰三角形性质求出AE=EF,证出△PFD≌△QCD,推出FD=CD.推出DEAC即可。
16.(2020八下·惠来期末)如图,已知:等边三角形ABC,点D是AB的中点,过点D作DF⊥AC,垂足为F,过点F作FE⊥BC,垂足为E,若三角形ABC的边长为4.则线段BE的长为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解:∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠C=60°,AB=AC=4,
∵DF⊥AC,FE⊥BC,
∴∠AFD=∠CEF=90°,
∴∠ADF=∠CFE=30°,
∴AF= AD,CE= CF,
∵点D是AB的中点,
∴AD=2,
∴AF=1,CF=3,CE= ,
∴BE= .
故答案为 .
【分析】先求出∠A=∠C=60°,AB=AC=4,再求出AF= AD,CE= CF,最后计算求解即可。
17.(2020八上·香河期末)如图,已知等边△ABC的边长为8cm,∠A=∠B=60°,点D为边BC上一点,且BD=3cm.若点M在线段CA上以2cm/s的速度由点C向点A运动,同时,点N在线段AB上由点A向点B运动,△CDM与△AMN全等,则点N的运动速度是
【答案】2 cm/s或 cm/s
【知识点】等边三角形的性质;三角形-动点问题
【解析】【解答】解:设点M、N的运动时间为ts,则CM=2tcm.
∵三角形ABC是等边三角形,
∴∠C=∠A=60°,
∴当△CDM与△AMN全等时,分两种情况:
①如果△CDM≌△AMN,那么AN=CM=2tcm,
∴点N的运动速度是 =2(cm/s);
②如果△CDM≌△ANM,那么CM=AM= AC=4cm,AN=CD=BC-BD=5cm,
∴点M的运动时间为: =2(s),
∴点N的运动速度是 cm/s.
综上可知,点N的运动速度是2或 cm/s.
故答案为:2 cm/s或 cm/s.
【分析】分类讨论,利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
18.(2020八上·夏津期末)如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,有下列四个结论:①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AB;④△BRP≌△CSP.其中,正确的有 (填序号即可).
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定;等边三角形的性质
【解析】【解答】∵PR⊥AB于点R,PS⊥AC,PR=PS,∴点P在∠A的平分线上,∴①符合题意;
∵点P在∠A的平分线上,∴∠QAP=∠BAP.
在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2﹣PR2,AS2=AP2﹣PS2.
∵AP=AP,PR=PS,∴AR=AS,∴②符合题意;
∵AQ=QP,∴∠QAP=∠QPA.
∵∠QAP=∠BAP,∴∠QPA=∠BAP,∴QP∥AB ,∴③符合题意;
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠CAB=60°,AB=AC.
∵∠QAP=∠BAP,∴BP=CP.
∵PR⊥AB,PS⊥AC,∴∠BRP=∠PSQ=90°.
在Rt△BRP和Rt△CSP中,∵BP=CP,PR=PS,∴△BRP≌△CSP,∴④符合题意.
【分析】根据角平分线的性质即可推出①符合题意;利用勾股定理即可推出②符合题意;利用平行线的判定即可推出③符合题意;证明出△BRP≌△CSP,即可推出④符合题意.
三、解答题
19.(2021八上·莒南期中)如图,已知等边 分别在 上,且 ,连接 交 点.求证:
【答案】∵ 是等边三角形
∴ ,
在△ABD和△BCE中
∴
∴
∴ .
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】根据 是等边三角形得出 , ,利用SAS证明,得出,即可得出结论。
20.(2020八上·南丹月考)如图:△ABC和△CDE是等边三角形.求证:BE=AD.
【答案】证明:∵△ABC、△ECD都是等边三角形,
∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°,
在△BCE和△ACD中,
,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴AD=BE(全等三角形的对应边相等).
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出 AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=60°, 根据全等三角形的判定定理SAS证得△BCE≌△ACD,然后由全等三角形的对应边相等知AD=BE.
21.(2021八上·卫辉期末)如图所示: 是等边三角形, 、 分别是 及 延长线上的一点,且 ,连接 交 于点 .
求证:
【答案】过点D作DE∥AC,交BC于点E,
∵ 是等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,
∵DE∥AC,
∴∠DEB=∠ACB=60°,∠MDE=∠MEC,
∴ 是等边三角形,
∴BD=DE,
∵ ,
∴DE=CE,
又∵∠EMD=∠CME,
∴ EMD CME,
∴ .
【知识点】平行线的性质;等边三角形的性质;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【分析】 过点D作DF∥AC,交BC于点F, 由等边三角形和平行线的性质可得 ∠MDE=∠MEC , DE=CE ,再根据AAS可证 EMD CME ,进而根据全等三角形对应边相等可得结果.
22.(2020八上·朔城月考)如图, 是边长为1的等边三角形, , ,点 , 分别在 , 上,且 ,求 的周长.
【答案】解:如图,延长 至点 ,使 ,连接 .
∵ 是等边三角形,
∴ .
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
在 和 中, ,
∴ ,
∴ , .
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
在 和 中, ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 的周长 .
【知识点】等腰三角形的性质;等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】 如图,延长至点,使,连接,先根据等边三角形及等腰三角形的性质先证明△BDE≌△CDP,可得DE=DP,∠BDE=∠CDP,根据SAS可证△DEF≌△DPF,可得EF=FP,从而得出EF=FC+CP=FC+BE,由的周长计算即得结论.
23.(2020八上·昆明期中)已知:如图,B、C、D在同一直线上,△ABC,△ADE是等边三角形,求证:CE=AB+CD.
【答案】证明:∵△ABC,△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC+∠CAD=∠BAC+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴BD=CE.
∵BD=BC+CD
∴CE=AB+CD.
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】利用等边三角形的性质可证得AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,由此可得到∠BAD=∠CAE;再利用SAS证明△BAD≌△CAE,然后利用全等三角形的对应边相等,可推出BD=CE,由BD=BC+CD,由此可推出结论。
24.(2020八上·蒙阴月考)已知, 和 都是等边三角形,且点B,C,D在同一条直线上.求证:BE=AD.
【答案】证明: 和 都是等边三角形,
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】由 和 都是等边三角形,得到 再证明 得到 ,利用全等三角形的性质可得答案.
25.(2020八下·凤县月考)如图,点P是等边三角形ABC内一点,AD⊥BC于点D,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G.求证:AD=PE+PF+PG.
【答案】证明:连接PA,PB,PC,如图.
∵AD⊥BC于点D,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G,
∴S△ABC= ×BC×AD,S△PAB= ×AB×PE,S△PAC= ×AC×PF,S△PBC= ×BC×PG.
∵S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC,
∴ ×BC×AD= (AB×PE+AC×PF+BC×PG).
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∴BC×AD=BC×(PE+PF+PG),
∴AD=PE+PF+PG.
【知识点】三角形的面积;等边三角形的性质
【解析】【分析】 连接PA,PB,PC, 用面积法求解,△ABC的面积可以划分为三个小三角形的面积,根据面积相等列式,由于每个三角形的底边相等,则三个小三角形的高之和等于大三角形的高,从而得证。
26.(2021八上·温州期中)如图, 与 都是等边三角形,连结 .
(1)求证: ;
(2)连结 ,若 ,求 的长.
【答案】(1)证明:∵ 与 都是等边三角形,
∴ , , ,
∴ ,
∴ ;
(2)∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】等边三角形的性质;勾股定理;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得AB=BC,BE=BD,∠ABC=∠DBE=∠BED=60°,推出∠DBC=∠ABE,然后借助全等三角形的判定定理进行证明;
(2)由全等三角形的性质可得∠BDC=∠BEA=150°,CD=AE=5,根据∠DEA=∠BEA-∠BED可得∠DEA=90°,然后利用勾股定理求解即可.
27.(2021八上·徐闻期中)如图,点C为线段 上一点, , 是等边三角形,直线 交于点E,直线 交于点F.
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)求证: .
【答案】(1)解:∵△ACM和△CBN都是等边三角形,
∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°,
∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°,
∴∠CAN=∠ACM+∠MCN=∠MCN+∠BCN=∠BCM=120°,
∴△CAN≌△CMB(SAS),
∴AN=BM;
(2)∵△CAN≌△CMB,
∴∠EAC=∠FNC,
∵AC=MC,∠ACE=∠MCF=60°,
∴△AEC≌△MFC(ASA),
∴CE=CF;
(3)∵CE=CF,∠ECF=60°,
∴△ECF是等边三角形,
∴∠CEF=∠ACE=60°,
∴EF∥AB.
【知识点】三角形全等的判定;等边三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据△ACM和△CBN都是等边三角形,得出AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°,推出∠MCN、∠CAN的度数,证明△CAN≌△CMB(SAS),即可得出结论;
(2)根据△CAN≌△CMB,得出∠EAC=∠FNC,在根据AC=MC,∠ACE=∠MCF=60°,可得出△AEC≌△MFC(ASA),由此得出结论;
(3)证出△ECF是等边三角形,得出∠CEF=∠ACE=60°,由此得出结论。
28.(2021八上·台州期中)如图, 是边长为12 的等边三角形,动点 同时从 两点出发,分别沿 方向匀速移动.
(1)若点 的运动速度是2 ,点 的运动速度是4 ,当N到达点C时, 两点都停止运动,设运动时间为 ,当 时,判断 的形状,并说明理由;
(2)当它们的速度都是2 ,且当点M到达点B时, 两点停止运动,设点M的运动时间为 ,则当t为何值时, 是直角三角形?
【答案】(1)解:△BMN是等边三角形
当t=2时,AM =4,BN=8,
∵△ABC是等边三角形且边长是12
∴BM=12-4=8,
且∠B=60°∴BM=BN∴△BMN是等边三角形
(2)解:△BMN中,BM=12-2t,BN=2t
①当∠BNM=90°时,∠B=60°∴∠BMN=30°∴∴∴t=2
②当∠BMN=90°时,∠B=60°∴∠BNM=30°∴∴∴t=4
综上:当t=2或t=4时,△BMN是直角三角形.
【知识点】等边三角形的性质;含30°角的直角三角形;一元一次方程的实际应用-行程问题;三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)先求出t=2时点M和点N行走的路程,则可得出BM和BN相等,结合∠B为60°,求出△BMN为等边三角形;
(2)首先用含t的代数式表示出BM和BN,然后分两种情况讨论, ①当∠BNM=90°时, 根据含30°角的直角三角形的性质得出 ,据此建立方程求解; ②当∠BMN=90°时, 根据含30°角的直角三角形的性质得出 ,据此建立方程求解即可.
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