苏科版数学八年级上册2.5.4 等边三角形的性质 同步训练
一、单选题
1．关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形是等腰三角形的特殊情况
C．等边三角形的底角与顶角相等
D．等边三角形包括等腰三角形
2．（2021八上·莒南期中）如图，在正方形 的外侧，作等边三角形 ，则 为（ ）
A．45° B．25° C．30° D．40°
3．（2021八上·日照期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
4．（2021八上·绍兴期中）等边△ABC中，AB=7，DE绕点D逆时针转过60°，E点落在BC边的F处，已知AE=2，则BF=（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．5
5．（2019八下·东莞月考）如图，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF=（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．（2020八下·扶风期末）如图所示，ΔABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为( )
A．15° B．40° C．45° D．60°
7．（2021八上·无棣期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021八上·沿河期末）如图，已知 ，点 ， ， ，…，在射线 上，点 ， ， ， ，…，在射线 上， ， ， ，…，均为等边三角形．若 ，则 的边长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021八上·邵阳期末）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN.其中，正确结论的个数是 （ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10．（2020八上·襄汾期末）如图所示，已知 和 均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接 、 、 ， 与 交于点O， 与 交于点G， 与 交于点F，则下列结论中：
① ； ② ； ③ ； ④ ，以上结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2021八上·乐陵期中）小明在纸上面了一个边长为5cm的等边三角形 ，并将一个宽为2cm直尺如图所示放在所画 上，使得直尺一条边与 的边BC重合，另一条边交边AB于点E，则AE= ．
12．（2021八上·肥城期中）如图， 是等边 的 边上的中点，点 在 的延长线上， ， 的周长是9，则 ．
13．（2021八上·蒙阴期中）如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，则∠AEC的度数是 ．
14．（2021八下·陕州期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠EBD= .
15．（2021八下·龙华期中）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
16．（2020八下·惠来期末）如图，已知：等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．则线段BE的长为 ．
17．（2020八上·香河期末）如图，已知等边△ABC的边长为8cm，∠A＝∠B＝60°，点D为边BC上一点，且BD＝3cm．若点M在线段CA上以2cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点N在线段AB上由点A向点B运动，△CDM与△AMN全等，则点N的运动速度是
18．（2020八上·夏津期末）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，有下列四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AB；④△BRP≌△CSP.其中，正确的有 (填序号即可)．
三、解答题
19．（2021八上·莒南期中）如图，已知等边 分别在 上，且 ，连接 交 点．求证：
20．（2020八上·南丹月考）如图：△ABC和△CDE是等边三角形.求证：BE=AD.
21．（2021八上·卫辉期末）如图所示： 是等边三角形， 、 分别是 及 延长线上的一点，且 ，连接 交 于点 .
求证：
22．（2020八上·朔城月考）如图， 是边长为1的等边三角形， ， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ，求 的周长．
23．（2020八上·昆明期中）已知：如图，B、C、D在同一直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，求证：CE＝AB+CD.
24．（2020八上·蒙阴月考）已知， 和 都是等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上．求证：BE=AD．
25．（2020八下·凤县月考）如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.
26．（2021八上·温州期中）如图， 与 都是等边三角形，连结 .
（1）求证： ；
（2）连结 ，若 ，求 的长.
27．（2021八上·徐闻期中）如图，点C为线段 上一点， ， 是等边三角形，直线 交于点E，直线 交于点F．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）求证： ．
28．（2021八上·台州期中）如图， 是边长为12 的等边三角形，动点 同时从 两点出发，分别沿 方向匀速移动.
（1）若点 的运动速度是2 ，点 的运动速度是4 ，当N到达点C时， 两点都停止运动，设运动时间为 ，当 时，判断 的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是2 ，且当点M到达点B时， 两点停止运动，设点M的运动时间为 ，则当t为何值时， 是直角三角形？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形的三个内角都是60°，则该等腰三角形是等边三角形．故本选项正确；
B、等边三角形是底边与腰相等的等腰三角形，即等边三角形是特殊的等腰三角形．故本选项正确；
C、等边三角形的三个内角都是60°，所以等边三角形的底角与顶角相等．故本选项正确；
D、等腰三角形包括等边三角形．故本选项错误；
故选D．
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质进行分析，从而得到答案．
2．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】 等边三角形ADE，
AE=AB， EAD= AED=60°，
正方形ABCD，
AB=AD， DAB=90°，
EAB=150°， AEB= ABE，
AEB=(180°－150°) 2=15°，
BED=60°－15°=45°．
故答案为：A．
【分析】由等边三角形的性质可得AE=AB， EAD= AED=60°，由正方形的性质可得 AB=AD， DAB=90°，最后根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出AEB的度数即可。
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过 作 的平行线交 于 ，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
，
在 中和 中，
，
≌ ，
，
于 ， 是等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】 过 作 的平行线交 于 ，通过AAS证明 ≌ ，得出 ，再由 是等边三角形，即可得出结论。
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵DF是由DE旋转得到，
∴DE=DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠EDF=60°，
∵∠ADE+∠CDF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠DAE=120°，
∴∠AED=∠CDF，
在△DAE和△FDC中，
，
∴△DAE≌△FDC（AAS），
∴CD=AE=2，AD=FC，
∴AD=AC-CD=AB-CD=7-2=5，
∴FC=5，
∴BF=BC-FC=AB-FC=7-5=2.
故答案为：A.
【分析】由旋转的性质得到DE=DF，再利用等边三角形的性质，结合旋转角等于60°，推出∠AED=∠CDF，然后利用AAS证明△DAE≌△FDC，则可CD=AE=2，AD=FC，最后根据等边三角形的性质和线段间的和差关系求BF即可.
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC是边长为20的等边三角形，
所以BC=20 ，∠B=∠C=60 ,
又因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
所以，∠BDE=30 ,∠CDF=30 ,
所以，BE= BD, CF= DC,
所以，BE+CF= BD+ DC= BC=10.
故答案为：B
【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．运用含30 直角三角形性质可解决．
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵ ΔABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵ BD=CE，
∴ΔABD≌ BCD（SAS），
∴∠1=∠CBE=15°，
∴ ∠ABE=60°-15°=45°，
∴∠2=∠1+∠ABE=60°.
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质，得出AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，从而证得ΔABD≌ BCD，得到∠1=∠CBE，求出 ∠ABE的度数，根据三角形外角定理，得到∠2=∠1+∠ABE，即可求出∠2的度数.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
∵ AE=CD，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠BPQ=60°，
∴ ∠APE=∠C， 故①正确；
②无法证明AQ=BQ，故②错误；
③∵ BQ⊥AD于Q，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-∠APE=90°-60°=30°，
∴ BP=2PQ， 故③正确；
④∵△ABE≌△CAD，
∴AE=CD，
∴ AE+BD=CD+BD=BC=AB，故④正确，
∴正确的个数由3个.
故答案为：C.
【分析】①根据等边三角形的性质得出∠C=60°，再证出△ABE≌△CAD，得出∠ABE=∠CAD，从而得出∠APE=∠BPQ=60°，即可判断①正确；
②无法证明AQ=BQ，即可判断②错误；
③证出∠PBQ=30°，从而得出BP=2PQ， 即可判断③正确；
④根据全等三角形的性质得出AE=CD，从而得出AE+BD=CD+BD=BC=AB，即可判断④正确.
8．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】∵△A1B1B2是等边三角形，
∴∠A1B1B2=∠A1B2O=60°，A1B1=A1B2，
∵∠O=30°，
∴∠A2A1B2=∠O+∠A1B2O=90°，
∵∠A1B1B2=∠O+∠OA1B1，
∴∠O=∠OA1B1=30°，
∴OB1=A1B1=A1B2=1，
在Rt△A2A1B2中，
∵∠A1A2B2=30°，
∴A2B2=2A1B2=2，
同法可得A3B3=22，A4B4=23，…，AnBn=2n-1，
∴ 的边长=22019，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质及三角形的外角性质得出∠O=∠OA1B1=30°，OB1=A1B2=B1B2=1，同理得出A2B2=2A1B2=2，A3B3=22，A4B4=23，…，AnBn=2n-1，把n=2020代入计算得出A2020B2020=22019，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB＝120°，
在△ACE和△DCB中，
CA＝CD，∠ACE＝∠DCB，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；所以①正确
∴∠AEC＝∠CBD，
在△CBN和△CEM中，
∠CBN＝∠CEM，CB＝CE，∠BCN＝∠ECM，
∴△CBN≌△CEM（ASA），∴CM=CN，所以②正确
在△DCN中，∠DCN＝60°，∠DNC＞∠NCB，即∠DNC＞60°，
∴∠DNC＞∠DCN，
∴DC＞DN，
∴AC＞DN，所以③错误
∴正确选项有两个，B正确.
故答案为：B.
【分析】利用等边三角形的性质可证得CA＝CD，CE＝CB，∠ACD=∠BCE＝60°，可推出∠ACE＝∠DCB，利用SAS证明△ACE≌△DCB，可对①作出判断；再利用ASA可证得△CBN≌△CEM，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②作出判断；在△DCN中，DC≠DN，由此可推出AC≠DN，可对③作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
即：∠ACE=∠BCD，
在△BCD与△ACE中，
∵BC=AC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD，即①符合题意；
在△BCF与△ACG中，
由①可知∠CBF=∠CAG，
又∵AC=BC，∠BCF=∠ACG=60°，
∴△BCF≌△ACG(ASA)，
∴AG=BF，即②符合题意；
在△DFC与△EGC中，
∵△BCF≌△ACG，
∴CF=CG．即④符合题意；
∵∠GCF =60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE，即③符合题意；
综上，①②③④都符合题意．
故答案为：D．
【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，得到△CFG为等边三角形，易得③④正确。
11．【答案】1cm
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由图可得BD=2，DE⊥BC
∵ 是等边三角形
∴∠ABC=60°
∴∠BED=90°-60°=30°
∴BE=2BD=4cm
∴AE=AB-BE=1cm
故答案为：1cm．
【分析】根据题意可得BD=2，DE⊥BC，∠BED=90°-60°=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BE=2BD=4cm，最后利用线段的和差计算即可。
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 是等边三角形，周长是9，
∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°，
∵ 是 边上的中点，
∴BD⊥AC，AD=CD= ，∠DBC=30°，
∵ ，
∴∠E=∠DBC=30°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CE=CD= ，
故答案为： ．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC=3，∠CBD=30°，∠BDC=90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得DC=，再利用BD=DE可得∠E=∠DBE=30°，再利用∠ECD=120°及三角形的内角和可求出∠CDE=30°，所以CE=CD=。
13．【答案】75°．
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BD=BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°+60°=150°，
∴∠BDA=15°，
∵∠CBD=90°，BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=45°，
∴∠ADC=45°-15°=30°，
∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°．
【分析】根据等腰直角三角形和等边三角形可得∠ABD=90°+60°=150°，再根据AB=BD，利用三角形的内角和及等边对等角可得∠BAE=15°，最后利用三角形的外角可得∠AEC=∠DAB+∠ABC，即可得到答案。
14．【答案】30°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是正方形，
所以AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝45°.
因为△ADE是等边三角形，
所以AD＝AE，∠DAE＝60°，
所以AB＝AE，∠BAE＝150°，
所以∠EBA＝ (180°－150°)＝15°，
所以∠EBD＝∠ABD－∠EBA＝45°－15°＝30°.
故答案为30°.
【分析】首先根据正方形的性质可得∠BAD=90°，∠ABD=45°，根据等边三角形的性质可得∠DAE=60°，进而求得∠BAE=150°，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可求出∠EBA的度数，最后根据∠EBD=∠ABD-∠EBA计算即可.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，
∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵ ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEAC．
∵AC=3，
∴DE ．
故答案为： ．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出△APF是等边三角形，推出AP=PF=AF．根据等腰三角形性质求出AE=EF，证出△PFD≌△QCD，推出FD=CD．推出DEAC即可。
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝4，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴AF＝ AD，CE＝ CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝2，
∴AF＝1，CF＝3，CE＝ ，
∴BE＝ ．
故答案为 ．
【分析】先求出∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝4，再求出AF＝ AD，CE＝ CF，最后计算求解即可。
17．【答案】2 cm/s或 cm/s
【知识点】等边三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设点M、N的运动时间为ts，则CM=2tcm．
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠C=∠A=60°，
∴当△CDM与△AMN全等时，分两种情况：
①如果△CDM≌△AMN，那么AN=CM=2tcm，
∴点N的运动速度是 =2（cm/s）；
②如果△CDM≌△ANM，那么CM=AM= AC=4cm，AN=CD=BC-BD=5cm，
∴点M的运动时间为： =2（s），
∴点N的运动速度是 cm/s．
综上可知，点N的运动速度是2或 cm/s．
故答案为：2 cm/s或 cm/s．
【分析】分类讨论，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
18．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∴①符合题意；
∵点P在∠A的平分线上，∴∠QAP=∠BAP．
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2．
∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴②符合题意；
∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA．
∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AB ，∴③符合题意；
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC．
∵∠QAP=∠BAP，∴BP=CP．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠PSQ=90°．
在Rt△BRP和Rt△CSP中，∵BP=CP，PR=PS，∴△BRP≌△CSP，∴④符合题意．
【分析】根据角平分线的性质即可推出①符合题意；利用勾股定理即可推出②符合题意；利用平行线的判定即可推出③符合题意；证明出△BRP≌△CSP，即可推出④符合题意．
19．【答案】∵ 是等边三角形
∴ ，
在△ABD和△BCE中
∴
∴
∴ ．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据 是等边三角形得出 ， ，利用SAS证明，得出，即可得出结论。
20．【答案】证明：∵△ABC、△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE（全等三角形的对应边相等）.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出 AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°， 根据全等三角形的判定定理SAS证得△BCE≌△ACD，然后由全等三角形的对应边相等知AD＝BE.
21．【答案】过点D作DE∥AC，交BC于点E，
∵ 是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，
∴ 是等边三角形，
∴BD=DE，
∵ ，
∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，
∴ EMD CME，
∴ .
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 过点D作DF∥AC，交BC于点F， 由等边三角形和平行线的性质可得 ∠MDE=∠MEC ， DE=CE ，再根据AAS可证 EMD CME ，进而根据全等三角形对应边相等可得结果.
22．【答案】解：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ．
∵ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 .
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 如图，延长至点，使，连接，先根据等边三角形及等腰三角形的性质先证明△BDE≌△CDP，可得DE=DP，∠BDE=∠CDP，根据SAS可证△DEF≌△DPF，可得EF=FP，从而得出EF=FC+CP=FC+BE，由的周长计算即得结论.
23．【答案】证明：∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
∴∠BAC+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）.
∴BD＝CE.
∵BD=BC+CD
∴CE＝AB+CD.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等边三角形的性质可证得AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，由此可得到∠BAD＝∠CAE；再利用SAS证明△BAD≌△CAE，然后利用全等三角形的对应边相等，可推出BD＝CE，由BD=BC+CD，由此可推出结论。
24．【答案】证明： 和 都是等边三角形，
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由 和 都是等边三角形，得到 再证明 得到 ，利用全等三角形的性质可得答案．
25．【答案】证明：连接PA，PB，PC，如图.
∵AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G，
∴S△ABC＝ ×BC×AD，S△PAB＝ ×AB×PE，S△PAC＝ ×AC×PF，S△PBC＝ ×BC×PG.
∵S△ABC＝S△PAB＋S△PAC＋S△PBC，
∴ ×BC×AD＝ (AB×PE＋AC×PF＋BC×PG).
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴BC×AD＝BC×(PE＋PF＋PG)，
∴AD＝PE＋PF＋PG.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质
【解析】【分析】 连接PA，PB，PC， 用面积法求解，△ABC的面积可以划分为三个小三角形的面积，根据面积相等列式，由于每个三角形的底边相等，则三个小三角形的高之和等于大三角形的高，从而得证。
26．【答案】（1）证明：∵ 与 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=∠BED=60°，推出∠DBC=∠ABE，然后借助全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠BDC=∠BEA=150°，CD=AE=5，根据∠DEA=∠BEA-∠BED可得∠DEA=90°，然后利用勾股定理求解即可.
27．【答案】（1）解：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°，
∴∠CAN=∠ACM+∠MCN=∠MCN+∠BCN=∠BCM=120°，
∴△CAN≌△CMB（SAS），
∴AN=BM；
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠EAC=∠FNC，
∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，
∴△AEC≌△MFC（ASA），
∴CE=CF；
（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠CEF=∠ACE=60°，
∴EF∥AB．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据△ACM和△CBN都是等边三角形，得出AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，推出∠MCN、∠CAN的度数，证明△CAN≌△CMB（SAS），即可得出结论；
（2）根据△CAN≌△CMB，得出∠EAC=∠FNC，在根据AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，可得出△AEC≌△MFC（ASA），由此得出结论；
（3）证出△ECF是等边三角形，得出∠CEF=∠ACE=60°，由此得出结论。
28．【答案】（1）解：△BMN是等边三角形
当t=2时，AM =4，BN=8，
∵△ABC是等边三角形且边长是12
∴BM=12-4=8，
且∠B=60°∴BM=BN∴△BMN是等边三角形
（2）解：△BMN中，BM=12-2t，BN=2t
①当∠BNM=90°时，∠B=60°∴∠BMN=30°∴∴∴t=2
②当∠BMN=90°时，∠B=60°∴∠BNM=30°∴∴∴t=4
综上：当t=2或t=4时，△BMN是直角三角形.
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-行程问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)先求出t=2时点M和点N行走的路程，则可得出BM和BN相等，结合∠B为60°，求出△BMN为等边三角形；
(2)首先用含t的代数式表示出BM和BN，然后分两种情况讨论， ①当∠BNM=90°时， 根据含30°角的直角三角形的性质得出 ，据此建立方程求解； ②当∠BMN=90°时， 根据含30°角的直角三角形的性质得出 ，据此建立方程求解即可.
1 / 1苏科版数学八年级上册2.5.4 等边三角形的性质 同步训练
一、单选题
1．关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形是等腰三角形的特殊情况
C．等边三角形的底角与顶角相等
D．等边三角形包括等腰三角形
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形的三个内角都是60°，则该等腰三角形是等边三角形．故本选项正确；
B、等边三角形是底边与腰相等的等腰三角形，即等边三角形是特殊的等腰三角形．故本选项正确；
C、等边三角形的三个内角都是60°，所以等边三角形的底角与顶角相等．故本选项正确；
D、等腰三角形包括等边三角形．故本选项错误；
故选D．
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质进行分析，从而得到答案．
2．（2021八上·莒南期中）如图，在正方形 的外侧，作等边三角形 ，则 为（ ）
A．45° B．25° C．30° D．40°
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】 等边三角形ADE，
AE=AB， EAD= AED=60°，
正方形ABCD，
AB=AD， DAB=90°，
EAB=150°， AEB= ABE，
AEB=(180°－150°) 2=15°，
BED=60°－15°=45°．
故答案为：A．
【分析】由等边三角形的性质可得AE=AB， EAD= AED=60°，由正方形的性质可得 AB=AD， DAB=90°，最后根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出AEB的度数即可。
3．（2021八上·日照期中）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过 作 的平行线交 于 ，
，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
，
在 中和 中，
，
≌ ，
，
于 ， 是等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】 过 作 的平行线交 于 ，通过AAS证明 ≌ ，得出 ，再由 是等边三角形，即可得出结论。
4．（2021八上·绍兴期中）等边△ABC中，AB=7，DE绕点D逆时针转过60°，E点落在BC边的F处，已知AE=2，则BF=（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．5
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵DF是由DE旋转得到，
∴DE=DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠EDF=60°，
∵∠ADE+∠CDF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠DAE=120°，
∴∠AED=∠CDF，
在△DAE和△FDC中，
，
∴△DAE≌△FDC（AAS），
∴CD=AE=2，AD=FC，
∴AD=AC-CD=AB-CD=7-2=5，
∴FC=5，
∴BF=BC-FC=AB-FC=7-5=2.
故答案为：A.
【分析】由旋转的性质得到DE=DF，再利用等边三角形的性质，结合旋转角等于60°，推出∠AED=∠CDF，然后利用AAS证明△DAE≌△FDC，则可CD=AE=2，AD=FC，最后根据等边三角形的性质和线段间的和差关系求BF即可.
5．（2019八下·东莞月考）如图，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF=（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC是边长为20的等边三角形，
所以BC=20 ，∠B=∠C=60 ,
又因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
所以，∠BDE=30 ,∠CDF=30 ,
所以，BE= BD, CF= DC,
所以，BE+CF= BD+ DC= BC=10.
故答案为：B
【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．运用含30 直角三角形性质可解决．
6．（2020八下·扶风期末）如图所示，ΔABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为( )
A．15° B．40° C．45° D．60°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵ ΔABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵ BD=CE，
∴ΔABD≌ BCD（SAS），
∴∠1=∠CBE=15°，
∴ ∠ABE=60°-15°=45°，
∴∠2=∠1+∠ABE=60°.
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质，得出AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，从而证得ΔABD≌ BCD，得到∠1=∠CBE，求出 ∠ABE的度数，根据三角形外角定理，得到∠2=∠1+∠ABE，即可求出∠2的度数.
7．（2021八上·无棣期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
∵ AE=CD，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠BPQ=60°，
∴ ∠APE=∠C， 故①正确；
②无法证明AQ=BQ，故②错误；
③∵ BQ⊥AD于Q，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-∠APE=90°-60°=30°，
∴ BP=2PQ， 故③正确；
④∵△ABE≌△CAD，
∴AE=CD，
∴ AE+BD=CD+BD=BC=AB，故④正确，
∴正确的个数由3个.
故答案为：C.
【分析】①根据等边三角形的性质得出∠C=60°，再证出△ABE≌△CAD，得出∠ABE=∠CAD，从而得出∠APE=∠BPQ=60°，即可判断①正确；
②无法证明AQ=BQ，即可判断②错误；
③证出∠PBQ=30°，从而得出BP=2PQ， 即可判断③正确；
④根据全等三角形的性质得出AE=CD，从而得出AE+BD=CD+BD=BC=AB，即可判断④正确.
8．（2021八上·沿河期末）如图，已知 ，点 ， ， ，…，在射线 上，点 ， ， ， ，…，在射线 上， ， ， ，…，均为等边三角形．若 ，则 的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】∵△A1B1B2是等边三角形，
∴∠A1B1B2=∠A1B2O=60°，A1B1=A1B2，
∵∠O=30°，
∴∠A2A1B2=∠O+∠A1B2O=90°，
∵∠A1B1B2=∠O+∠OA1B1，
∴∠O=∠OA1B1=30°，
∴OB1=A1B1=A1B2=1，
在Rt△A2A1B2中，
∵∠A1A2B2=30°，
∴A2B2=2A1B2=2，
同法可得A3B3=22，A4B4=23，…，AnBn=2n-1，
∴ 的边长=22019，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质及三角形的外角性质得出∠O=∠OA1B1=30°，OB1=A1B2=B1B2=1，同理得出A2B2=2A1B2=2，A3B3=22，A4B4=23，…，AnBn=2n-1，把n=2020代入计算得出A2020B2020=22019，即可得出答案.
9．（2021八上·邵阳期末）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN.其中，正确结论的个数是 （ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB＝120°，
在△ACE和△DCB中，
CA＝CD，∠ACE＝∠DCB，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；所以①正确
∴∠AEC＝∠CBD，
在△CBN和△CEM中，
∠CBN＝∠CEM，CB＝CE，∠BCN＝∠ECM，
∴△CBN≌△CEM（ASA），∴CM=CN，所以②正确
在△DCN中，∠DCN＝60°，∠DNC＞∠NCB，即∠DNC＞60°，
∴∠DNC＞∠DCN，
∴DC＞DN，
∴AC＞DN，所以③错误
∴正确选项有两个，B正确.
故答案为：B.
【分析】利用等边三角形的性质可证得CA＝CD，CE＝CB，∠ACD=∠BCE＝60°，可推出∠ACE＝∠DCB，利用SAS证明△ACE≌△DCB，可对①作出判断；再利用ASA可证得△CBN≌△CEM，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②作出判断；在△DCN中，DC≠DN，由此可推出AC≠DN，可对③作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
10．（2020八上·襄汾期末）如图所示，已知 和 均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接 、 、 ， 与 交于点O， 与 交于点G， 与 交于点F，则下列结论中：
① ； ② ； ③ ； ④ ，以上结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
即：∠ACE=∠BCD，
在△BCD与△ACE中，
∵BC=AC，∠ACE=∠BCD，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD，即①符合题意；
在△BCF与△ACG中，
由①可知∠CBF=∠CAG，
又∵AC=BC，∠BCF=∠ACG=60°，
∴△BCF≌△ACG(ASA)，
∴AG=BF，即②符合题意；
在△DFC与△EGC中，
∵△BCF≌△ACG，
∴CF=CG．即④符合题意；
∵∠GCF =60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE，即③符合题意；
综上，①②③④都符合题意．
故答案为：D．
【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，得到△CFG为等边三角形，易得③④正确。
二、填空题
11．（2021八上·乐陵期中）小明在纸上面了一个边长为5cm的等边三角形 ，并将一个宽为2cm直尺如图所示放在所画 上，使得直尺一条边与 的边BC重合，另一条边交边AB于点E，则AE= ．
【答案】1cm
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由图可得BD=2，DE⊥BC
∵ 是等边三角形
∴∠ABC=60°
∴∠BED=90°-60°=30°
∴BE=2BD=4cm
∴AE=AB-BE=1cm
故答案为：1cm．
【分析】根据题意可得BD=2，DE⊥BC，∠BED=90°-60°=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BE=2BD=4cm，最后利用线段的和差计算即可。
12．（2021八上·肥城期中）如图， 是等边 的 边上的中点，点 在 的延长线上， ， 的周长是9，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 是等边三角形，周长是9，
∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°，
∵ 是 边上的中点，
∴BD⊥AC，AD=CD= ，∠DBC=30°，
∵ ，
∴∠E=∠DBC=30°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CE=CD= ，
故答案为： ．
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC=3，∠CBD=30°，∠BDC=90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得DC=，再利用BD=DE可得∠E=∠DBE=30°，再利用∠ECD=120°及三角形的内角和可求出∠CDE=30°，所以CE=CD=。
13．（2021八上·蒙阴期中）如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，则∠AEC的度数是 ．
【答案】75°．
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵BD=BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°+60°=150°，
∴∠BDA=15°，
∵∠CBD=90°，BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=45°，
∴∠ADC=45°-15°=30°，
∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=30°+45°=75°．
【分析】根据等腰直角三角形和等边三角形可得∠ABD=90°+60°=150°，再根据AB=BD，利用三角形的内角和及等边对等角可得∠BAE=15°，最后利用三角形的外角可得∠AEC=∠DAB+∠ABC，即可得到答案。
14．（2021八下·陕州期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠EBD= .
【答案】30°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD是正方形，
所以AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝45°.
因为△ADE是等边三角形，
所以AD＝AE，∠DAE＝60°，
所以AB＝AE，∠BAE＝150°，
所以∠EBA＝ (180°－150°)＝15°，
所以∠EBD＝∠ABD－∠EBA＝45°－15°＝30°.
故答案为30°.
【分析】首先根据正方形的性质可得∠BAD=90°，∠ABD=45°，根据等边三角形的性质可得∠DAE=60°，进而求得∠BAE=150°，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可求出∠EBA的度数，最后根据∠EBD=∠ABD-∠EBA计算即可.
15．（2021八下·龙华期中）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，
∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∵ ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEAC．
∵AC=3，
∴DE ．
故答案为： ．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出△APF是等边三角形，推出AP=PF=AF．根据等腰三角形性质求出AE=EF，证出△PFD≌△QCD，推出FD=CD．推出DEAC即可。
16．（2020八下·惠来期末）如图，已知：等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．则线段BE的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝4，
∵DF⊥AC，FE⊥BC，
∴∠AFD＝∠CEF＝90°，
∴∠ADF＝∠CFE＝30°，
∴AF＝ AD，CE＝ CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝2，
∴AF＝1，CF＝3，CE＝ ，
∴BE＝ ．
故答案为 ．
【分析】先求出∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝4，再求出AF＝ AD，CE＝ CF，最后计算求解即可。
17．（2020八上·香河期末）如图，已知等边△ABC的边长为8cm，∠A＝∠B＝60°，点D为边BC上一点，且BD＝3cm．若点M在线段CA上以2cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点N在线段AB上由点A向点B运动，△CDM与△AMN全等，则点N的运动速度是
【答案】2 cm/s或 cm/s
【知识点】等边三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设点M、N的运动时间为ts，则CM=2tcm．
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠C=∠A=60°，
∴当△CDM与△AMN全等时，分两种情况：
①如果△CDM≌△AMN，那么AN=CM=2tcm，
∴点N的运动速度是 =2（cm/s）；
②如果△CDM≌△ANM，那么CM=AM= AC=4cm，AN=CD=BC-BD=5cm，
∴点M的运动时间为： =2（s），
∴点N的运动速度是 cm/s．
综上可知，点N的运动速度是2或 cm/s．
故答案为：2 cm/s或 cm/s．
【分析】分类讨论，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
18．（2020八上·夏津期末）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，有下列四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AB；④△BRP≌△CSP.其中，正确的有 (填序号即可)．
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∴①符合题意；
∵点P在∠A的平分线上，∴∠QAP=∠BAP．
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2．
∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴②符合题意；
∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA．
∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AB ，∴③符合题意；
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC．
∵∠QAP=∠BAP，∴BP=CP．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠PSQ=90°．
在Rt△BRP和Rt△CSP中，∵BP=CP，PR=PS，∴△BRP≌△CSP，∴④符合题意．
【分析】根据角平分线的性质即可推出①符合题意；利用勾股定理即可推出②符合题意；利用平行线的判定即可推出③符合题意；证明出△BRP≌△CSP，即可推出④符合题意．
三、解答题
19．（2021八上·莒南期中）如图，已知等边 分别在 上，且 ，连接 交 点．求证：
【答案】∵ 是等边三角形
∴ ，
在△ABD和△BCE中
∴
∴
∴ ．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据 是等边三角形得出 ， ，利用SAS证明，得出，即可得出结论。
20．（2020八上·南丹月考）如图：△ABC和△CDE是等边三角形.求证：BE=AD.
【答案】证明：∵△ABC、△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE（全等三角形的对应边相等）.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出 AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°， 根据全等三角形的判定定理SAS证得△BCE≌△ACD，然后由全等三角形的对应边相等知AD＝BE.
21．（2021八上·卫辉期末）如图所示： 是等边三角形， 、 分别是 及 延长线上的一点，且 ，连接 交 于点 .
求证：
【答案】过点D作DE∥AC，交BC于点E，
∵ 是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，
∴ 是等边三角形，
∴BD=DE，
∵ ，
∴DE=CE，
又∵∠EMD=∠CME，
∴ EMD CME，
∴ .
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 过点D作DF∥AC，交BC于点F， 由等边三角形和平行线的性质可得 ∠MDE=∠MEC ， DE=CE ，再根据AAS可证 EMD CME ，进而根据全等三角形对应边相等可得结果.
22．（2020八上·朔城月考）如图， 是边长为1的等边三角形， ， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ，求 的周长．
【答案】解：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ．
∵ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 .
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 如图，延长至点，使，连接，先根据等边三角形及等腰三角形的性质先证明△BDE≌△CDP，可得DE=DP，∠BDE=∠CDP，根据SAS可证△DEF≌△DPF，可得EF=FP，从而得出EF=FC+CP=FC+BE，由的周长计算即得结论.
23．（2020八上·昆明期中）已知：如图，B、C、D在同一直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，求证：CE＝AB+CD.
【答案】证明：∵△ABC，△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
∴∠BAC+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）.
∴BD＝CE.
∵BD=BC+CD
∴CE＝AB+CD.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等边三角形的性质可证得AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，由此可得到∠BAD＝∠CAE；再利用SAS证明△BAD≌△CAE，然后利用全等三角形的对应边相等，可推出BD＝CE，由BD=BC+CD，由此可推出结论。
24．（2020八上·蒙阴月考）已知， 和 都是等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上．求证：BE=AD．
【答案】证明： 和 都是等边三角形，
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由 和 都是等边三角形，得到 再证明 得到 ，利用全等三角形的性质可得答案．
25．（2020八下·凤县月考）如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.
【答案】证明：连接PA，PB，PC，如图.
∵AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G，
∴S△ABC＝ ×BC×AD，S△PAB＝ ×AB×PE，S△PAC＝ ×AC×PF，S△PBC＝ ×BC×PG.
∵S△ABC＝S△PAB＋S△PAC＋S△PBC，
∴ ×BC×AD＝ (AB×PE＋AC×PF＋BC×PG).
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴BC×AD＝BC×(PE＋PF＋PG)，
∴AD＝PE＋PF＋PG.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质
【解析】【分析】 连接PA，PB，PC， 用面积法求解，△ABC的面积可以划分为三个小三角形的面积，根据面积相等列式，由于每个三角形的底边相等，则三个小三角形的高之和等于大三角形的高，从而得证。
26．（2021八上·温州期中）如图， 与 都是等边三角形，连结 .
（1）求证： ；
（2）连结 ，若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵ 与 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=∠BED=60°，推出∠DBC=∠ABE，然后借助全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠BDC=∠BEA=150°，CD=AE=5，根据∠DEA=∠BEA-∠BED可得∠DEA=90°，然后利用勾股定理求解即可.
27．（2021八上·徐闻期中）如图，点C为线段 上一点， ， 是等边三角形，直线 交于点E，直线 交于点F．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）求证： ．
【答案】（1）解：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°，
∴∠CAN=∠ACM+∠MCN=∠MCN+∠BCN=∠BCM=120°，
∴△CAN≌△CMB（SAS），
∴AN=BM；
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠EAC=∠FNC，
∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，
∴△AEC≌△MFC（ASA），
∴CE=CF；
（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠CEF=∠ACE=60°，
∴EF∥AB．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据△ACM和△CBN都是等边三角形，得出AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，推出∠MCN、∠CAN的度数，证明△CAN≌△CMB（SAS），即可得出结论；
（2）根据△CAN≌△CMB，得出∠EAC=∠FNC，在根据AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，可得出△AEC≌△MFC（ASA），由此得出结论；
（3）证出△ECF是等边三角形，得出∠CEF=∠ACE=60°，由此得出结论。
28．（2021八上·台州期中）如图， 是边长为12 的等边三角形，动点 同时从 两点出发，分别沿 方向匀速移动.
（1）若点 的运动速度是2 ，点 的运动速度是4 ，当N到达点C时， 两点都停止运动，设运动时间为 ，当 时，判断 的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是2 ，且当点M到达点B时， 两点停止运动，设点M的运动时间为 ，则当t为何值时， 是直角三角形？
【答案】（1）解：△BMN是等边三角形
当t=2时，AM =4，BN=8，
∵△ABC是等边三角形且边长是12
∴BM=12-4=8，
且∠B=60°∴BM=BN∴△BMN是等边三角形
（2）解：△BMN中，BM=12-2t，BN=2t
①当∠BNM=90°时，∠B=60°∴∠BMN=30°∴∴∴t=2
②当∠BMN=90°时，∠B=60°∴∠BNM=30°∴∴∴t=4
综上：当t=2或t=4时，△BMN是直角三角形.
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-行程问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)先求出t=2时点M和点N行走的路程，则可得出BM和BN相等，结合∠B为60°，求出△BMN为等边三角形；
(2)首先用含t的代数式表示出BM和BN，然后分两种情况讨论， ①当∠BNM=90°时， 根据含30°角的直角三角形的性质得出 ，据此建立方程求解； ②当∠BMN=90°时， 根据含30°角的直角三角形的性质得出 ，据此建立方程求解即可.
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