苏科版数学八年级上册2.5.5 等边三角形的性质和判定 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·定边期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2020八下·定边期末）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝30°，且AB＝CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
3．（2020八上·大冶月考）如图，正 的边长为4，过点 的直线 ，且 与 关于直线 对称， 为线段 上一动点，则 的最小值是（ ）.
A． B． C．8 D．
4．（2020八上·碾子山期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若 ，当 取得最小值时，则 的度数为（ ）
A．15° B．225° C．30° D．45°
5．（2020八上·寻乌期末）如图所示，在 中， ， ， 于D， 是 的平分线，且交 于P，如果 ，则AC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2018八上·孝感月考）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=2，则AB的长为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．7.5
7．（2019八上·武汉期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．如图，正三角形ABC的三边表示三面镜子，BP=AB=1。一束光线从点P发射至BC上P1点，且∠BPP1=60。光线依次经BC反射，AC反射，AB反射…一直继续下去。当光线第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为（ ）
A．6 B．9 C． D．27
9．（2020八上·汉阳月考）如图，P是等边△ABC内部一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5：6：7，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个内角的大小之比是（从小到大）（ ）
A．2：3：4 B．4：5：6 C．3：4：5 D．不确定
10．（2019八上·涵江月考）如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD，其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
11．（2016八上·龙湾期中）已知△ABC中，AB=AC=4，∠A=60°，则△ABC的周长为 .
12．（2021八下·铁西期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为 ．
13．（2021八上·乾安期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E、F是边BC上的三等分点.分别过点E、F沿着平行于BA、CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 .
14．（2020八上·武城期末）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点且OP=8，则△PMN的周长的最小值= 。
15．（2020八上·奎文期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC＝8，则△PMN的周长是 ．
16．（2021八上·德保期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，有以下四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②△BRP≌△QSP；③QP∥AR；④△PQC是等边三角形，其中正确的有 个.
17．（2020八上·铁东期中）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点P为AB边上一点，EF垂直平分线段BP，EF与线段AD交于F，连接CF、PF，以下结论：①PF＝CF；②∠PFC＝120°，③∠PFE+∠ACF＝90°；④∠PFA＝∠DCF．其中一定正确的有 ．（填序号即可）
三、解答题
18．（2021八上·河池期末）如图，在 中， ，点 为 边的中点， 于 ， .求 的长.
19．边 中，点 是 边上的两个动点(不与点 重合)，点 在点 的左侧，且 ，点 关于直线 的的对称点为 ，连接 求证： ．
20．（2018八下·灵石期中）如图，△ABC为等边三角形，∠BAD=∠ACF=∠CBE，求∠DEC的度数。
21．（2020八上·沭阳期中）如图， 是等边 外一点， 在 的延长线上，连接 ， ，且有 ， .求证： 为等边三角形.
22．（2020八上·黄石港期中）已知：等边△ABC，CE∥AB，D为BC上一点，且∠ADE=60°，求证：△ADE是等边三角形.
23．（2021八上·诸暨期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA＝PC＝1，PB＝ ，求证：PC⊥CQ．
24．（2021八上·乐清期中）已知，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°．
（1）求证：△ADE≌△ABC；
（2）求证：AE＝CE．
25．（2021八上·交城期中）如图，已知∠AOB＝60°，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD交OE于点F．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）若EF＝6，求线段OE的长．
26．（2021八上·云县期末）如图，在 中， ， 为 的中点， 于点 ， 于点 ，且 ，连接 ，点 在 的延长线上，且 .
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求 的长.
27．（2021八上·东莞期中）如图， 是边长为 的等边三角形， 是 边上一动点，由 向 运动 与 ， 不重合 ， 是 延长线上一点，与点 同时以相同的速度由 向 延长线方向运动 不与 重合 ，过 作 于点 ，连接 交 于点 ．
（1）若设AP=x，则PC= ，QC= ；(用含x的式子表示)
（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．
28．（2021八上·杭州期中）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F.
（1）如图1，求证：∠1＝60°；
（2）如图2，连结FG，求∠2的度数；
（3）如图3，连结OC，若BD＝10，OC＝4，求△ACE的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，
∴DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∵∠B＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC＝4，
故答案为：B.
【分析】根据平移的性质可得DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，然后根据等边三角形的定义列式计算即可得解.
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分线段AE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝30°，
∴∠ACB＝∠E+∠CAE＝60°，
∵AB＝CE＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠BAE＝∠CAB+∠CAE＝90°，
故答案为：C.
【分析】利用线段的垂直平分线的性质，推出CE＝CA，想办法证明△CAB是等边三角形即可解决问题.
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接
正 的边长为4
与 关于直线 对称
也是边长为4的等边三角形
在 和 中，
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点D与点B重合，即点 共线时， 取得最小值，最小值为
即 的最小值为8
故答案为：C.
【分析】连接A'D，利用等边三角形的性质可证得AB=BC，∠ABC=60°，利用轴对称的性质可知△A'BC'是等边三角形，可推出A'B=4，∠A'BC'=60°；利用SAS证明△BCD≌△BA'D，利用全等三角形的性质可证得CD=A'D，由此可推出AD+CD=AD+A连接A'D，利用等边三角形的性质可证得AB=BC，∠ABC=60°，利用轴对称的性质可知△A'BC'是等边三角形，可推出A'B=4，∠A'BC'=60°；利用SAS证明△BCD≌△BA'D，利用全等三角形的性质可证得CD+AD=AD+A'D，利用三角形的三边关系定理及两点之间线段最短，可知当点B和点D重合时，点A，D，A'共线，然后求出AA'的长即可.
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
取AB的中点G，连接CG交AD于点F，
∵等边△ABC的边长为4，AE=2，
∴点E是AC的中点，
所以点G和点E关于AD对称，
此时EF+FC=CG最小，
根据等边三角形的性质可知：
∠ECF= ∠ACB=30°．
所以∠ECF的度数为30°．
故答案为：C．
【分析】几何题要先找出推理的突破口，因为点F的是动点，所以“EF+CF取得最小值时”是突破口，再结合是等边三角形，由等边三角形三线合一可知AD也是的高和角平分线，即可求出∠ECF的度数
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 于D， 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=BP=AE=PE=1，
∵ ，
∴CE=BE=1+1=2，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再证明△APE是等边三角形，最后计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在等边△ABC中∠C=60°
∵DE⊥BC
∴∠CDE=30°又CE=2
∴CD=4
又∵AB=BC，BD平分∠ABC
∴AD=CD=4
∴AC=8
AB=8
【分析】易由等边三角形性质及30°所对的直角边等于斜边的一半可得CD =4，再利用三线合一可得AD=CD=4，最后的到AB=8.
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：B.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：根据轴对称的性质得出∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，故OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，根据三角形的周长的计算方法及周长的最小值是6得出CD=6=OP，然后判断出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可解决问题.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】∵BP=AB=1，∠BPP1=60°，∴PP1=1，
根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时，这束光经过了三圈反射，
∴当第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9，故选B．
【点评】本题关键是分析光线第一次回到点P时经过了几圈反射．
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，
∵AP′=AP，∠P′AP=60°，
∴△AP′P是等边三角形，
∴PP′=AP，
∵P′C=PB，
∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PP′C=∠AP′C ∠AP′P=∠APB ∠AP′P=100°-60°=40°，
∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°
∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，
∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4.
故答案为：A.
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，由旋转的性质得出△AP′C≌△APB，连PP′，推出△AP′P是等边三角形，再根据角的比例关系求出分别∠APB、∠BPC和∠CPA，然后根据角的和差关系求出∠PP′C和∠PP′C，最后根据三角形内角和求∠PCP′，即可解答.
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵△ABC与△BDE为等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，
又∵∠DBG=∠FBE=60°，
∴△BGD≌△BFE，
∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG∥AD，
∵BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°，
∴△ABF≌△CGB，
∴∠BAF=∠BCG，
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，
∴∠AHC=60°，
∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°，
∴B、G、H、F四点共圆，
∵FB=GB，
∴∠FHB=∠GHB，
∴BH平分∠GHF，
∴题中①②③④⑤⑥都符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的性质得到相等的边和角，易证△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而证明△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由边角关系求解进行判断.
11．【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形可得：AB=AC=BC=4，则△ABC的周长为12.
【分析】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AB=AC=BC=4，再根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
由题意得△ACD是等边三角形，
∴ ，
∵AB＝BC＝2， ，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ADB=∠CDB=30°，
∴ ，
∵∠BAC＝30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．
【分析】根据题意可得△ADC为等边三角形，继而由等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求出四边形ABCD的面积即可。
13．【答案】6
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形纸片
∴∠B=∠C=60°
∵DE∥AB，DF∥AC
∴∠DEF=∠DFE=60°
∴△DEF为等腰三角形
∴DE=EF=DF
∵点E和点F为BC上的三等分点，BC=6
∴EF=2
∴DE=EF=DF=2
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=6
【分析】根据平行线的性质得到△DEF为等边三角形，继而由三等分点求出答案即可。
14．【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，CD与射线OA、OB的交点即为M点、N点，此时△PMN的周长的最小，连接OC、OD、PM、PN，
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=8．
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=8．
故答案为：8.
【分析】 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，CD与射线OA、OB的交点即为M点、N点，此时△PMN的周长的最小，连接OC、OD、PM、PN，根据对称的性质得出△COD是等边三角形，得出CD=OC=OD=8，利用△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD，即可得出答案.
15．【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P、N是AB和BD的中点，
∴PN= AD= ×8=4，PN∥AD，
∴∠NPB=∠DAB=50°，
同理，PM=4，∠MPA=∠CBA=70°，
∴PM=PN=4，∠MPN=180°-50°-70°=60°，
∴△PMN是等边三角形．
∴MN=PM=PN=4，
∴△PMN的周长是12，
故答案为：12．
【分析】由P、N分别是AB和BD的中点得PN是三角形ADB的中位线，由此可得：PN= AD，PN∥AD，同理得到PM=PN=4，由PN//AD，PM//BC可得：∠NPB=∠DAB=50°，∠MPA=∠CBA=70°，由此可得∠MPN=180°-50°-70°=60°，因此△PMN是等边三角形，即可求出其周长。
16．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：
点P在 的平分线上，故①正确；
AP平分
，故③正确；
为等边三角形
是等边三角形，故④正确；
在 和 中
故②正确
综上所述①②③④都正确
故答案为：4.
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可知①正确；根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，可得 ， ，所以 ，由内错角相等，两直线平行得出 ，所以 ， 为等边三角形，所以可判断③④正确，再根据①③④的结论易证②正确.
17．【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AD垂直平分BC，AD平分∠BAC，
∴FB＝FC，∠5＝30°，
∵EF垂直平分线段BP，
∴FB＝FP，
∴FP＝FC，所以①符合题意；
∵FP＝FB，FB＝FC，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2（∠1+∠3）＝2×60°＝120°，
∴∠PFB+∠BFC＝180°+180°﹣120°＝240°，
∴∠PFC＝360°﹣240°＝120°，所以②符合题意；
∵∠ACF＝60°﹣∠2＝60°﹣∠1，∠PFE＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，
∴∠ACF+∠PFE＝60°﹣∠1+90°﹣∠3＝60°﹣（∠1+∠3）+90°＝90°，所以③正
确；
∵∠4＝∠5+∠AFP，
∴∠AFP＝∠4﹣30°＝∠3﹣30°，
∵∠DCF＝∠1，
而∠1+∠3＝60°，
∴只有当∠3＝45°，∠1＝15°，∠PFA＝∠DCF，所以④不符合题意．
故答案为：①②③．
【分析】利用等边三角形的性质，垂直平分线的性质，结合图形，对每个结论一一判断即可。
18．【答案】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BD=2BE=2，
∵点D为AB边的中点，
∴AB=2BD=4，
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=4.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先根据直角三角形两锐角互余，得到∠BDE=30°，再由30°所对直角边为斜边一半，得到 BD=2BE=2 ，根据点D为AB边的中点 ，得到AB=2BD=4，再根据三个角都为60°的三角形为等边三角形，得到 △ABC为等边三角形 ，根据等边三角形的三边相等得到AC=AB=4.
19．【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴ ，
又∵AP=AQ，
∴ ,
∴
∴∠PAB=∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°，AP=AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA=PM．
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】 根据等边三角形的性质，可得，根据等腰三角形的性质，可得∠PAB=∠QAC，根据轴对称的性质，可∠QAC=
∠MAC，AQ=AM，从而可得出△APM为等边三角形，根据等边三角形的性质即得结论.
20．【答案】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB；
又∵∠BAD=∠CBE=∠ACF，
∴∠BAC-∠BAD=∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠ACF，
∴∠CAF=∠ABE=∠BCE，
∴△ACF≌△CBE≌△BAD（ASA）.
∴AF=BD=CE，AD=BE=CF，
∴AD-AF=BE-BD=CF-CE，
∴DF=DE=EF，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，
又点C点F点E三点共线，
∴∠DEC=120°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质和已知条件易证△ACF≌△CBE≌△BAD，再由等边三角形的性质和等边三角形的判定方法易证△DEF为等边三角形，可得∠DEF=60°，根据平角的定义即可求得∠DEC的度数.
21．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，
在△BCE和△ACD中，
∵CB=CA， ， ，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，
∴∠ECD=∠ACB=60°，
∴△CDE是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等边三角形的性质可证得CA=CB，∠ACB=60°；利用SAS证明△BCE≌△ACD，利用全等三角形的性质可推出CE=CD，∠BCE=∠ACD=60°，然后利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得结论.
22．【答案】证明：如图, 在AC上截取CM=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，
∴∠AMD=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠MDC，
∴∠ADM=∠EDC，
∵直线CE∥AB，
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠DCE=120°=∠AMD，
在△ADM和△EDC中，
，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】在AC上截取CM=CD，利用等边三角形的性质可得到∠ACB=60°，可证得△CDM是等边三角形，再证明∠ADM=∠EDC，∠DCE=∠AMD，利用ASA证明△ADM≌△EDC，根据全等三角形饿对应边相等，可推出AD=DE，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得结论。
23．【答案】（1）解：∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC，∠ABC＝60°，
∵∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ （SAS），
∴AP＝CQ；
（2）证明：连接PQ，
∵PA＝PC＝1，AP＝CQ，
∴PC＝CQ＝1，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝ ，
∴PC2+CQ2＝PQ2，
∴∠PCQ＝90°，
∴PC⊥CQ
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB＝AC，∠ABC＝60°，证明△ABP≌△CBQ，据此可得结论；
（2）连接PQ，易得PC＝CQ＝1，推出△BPQ是等边三角形，则PQ＝PB＝，结合勾股定理逆定理可得∠PCQ＝90°，据此证明.
24．【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2
∴∠1+ ＝∠2+
即∠DAE=∠BAC
在△ADE和△ABC中
∴△ADE≌△ABC
（2）证明：∵△ADE≌△ABC
∴AE＝AC
又∵∠2＝60°
∴△AEC为等边三角形
∴AE＝CE
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据∠1＝∠2可推出∠DAE=∠BAC，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得AE＝AC，结合∠2＝60°可推出△AEC为等边三角形，据此证明.
25．【答案】（1）证明：∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别是C，D，
∴DE=CE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OD=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：∵△OCD是等边三角形，OF是∠COD的平分线，
∴OE⊥DC，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵∠ODF=60°，ED⊥OA，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF=12，
∴OE=2DE=24．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，结合直角三角形全等的判定定理，证明△OCD为等边三角形即可；
（2）根据等边三角形以及角平分线的性质，求出答案即可。
26．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形.
（2）∵DE⊥AB，DF⊥BC，且 ，
∴ 平分 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由线段中点定义可得AD=DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，用HL定理可得证Rt△ADE≌Rt△CDF，由全等三角形的对应角相等可得∠A=∠C，由等角对等边和已知条件可得AB=BC=AC，根据三边相等的三角形是等边三角形可知△ABC是等边三角形；
（2）由角平分线的判定“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”可得BD平分∠ABC，由等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，由直角三角形两锐角互余可得∠CBD=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=2CD，结合已知条件CD=CG得BC=2CG可求解.
27．【答案】（1）6 x；6＋x
（2）解：∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝ QC，即6 x＝ （6＋x），解得x＝2，
∴AP＝2；
（3）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
如图，作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
∴在△APE和△BQF中， ，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE＝ EF，
∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB，
∴DE＝ AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE＝3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
设AP＝x，则PC＝6 x，QB＝x，
∴QC＝QB＋BC＝6＋x，
故答案为：6 x，6＋x；
【分析】（1）根据等边三角形的性质，求出答案即可；
（2）在直角三角形QCP中，根据30°角所对的直角边的性质，求出x的值；
（3）根据全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质证明得到答案即可。
28．【答案】（1）证明：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在△BCD和△ACE中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在△BCF和△ACG中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（3）解：作CM⊥BD交BD于点M，作CN⊥AE交AE于点N，
∵ ，CM是△BCD中BD边上的高，CN是△ACE中AE边上的高，
∵BD=AE，
∴CM=CN，
∴OC是∠BOE的角平分线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，根据角的和差关系可推出∠BCD=∠ACE，证明△BCD≌△ACE，得到∠CBD=∠CAE，由对顶角的性质可得∠BFC=∠AFO，然后结合内角和定理进行证明；
（2）由等边三角形的性质可得∠BCA=∠DCE=60°，推出∠FCG=∠BCA，证明△BCF≌△ACG，得到CF=CG，推出△FCG是等边三角形，据此可得∠2的度数；
（3）作CM⊥BD交BD于点M，作CN⊥AE交AE于点N，根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式可得CM=CN，则OC是∠BOE的角平分线，由邻补角的性质可得∠BOE=120°，根据角平分线的概念可得∠BOC=∠EOC=60°，则∠OCM=30°，求出OM、CM的值，然后根据三角形的面积公式以及全等三角形的性质进行解答.
1 / 1苏科版数学八年级上册2.5.5 等边三角形的性质和判定 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·定边期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF，
∴DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∵∠B＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC＝4，
故答案为：B.
【分析】根据平移的性质可得DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，然后根据等边三角形的定义列式计算即可得解.
2．（2020八下·定边期末）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E＝30°，且AB＝CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分线段AE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝30°，
∴∠ACB＝∠E+∠CAE＝60°，
∵AB＝CE＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠BAE＝∠CAB+∠CAE＝90°，
故答案为：C.
【分析】利用线段的垂直平分线的性质，推出CE＝CA，想办法证明△CAB是等边三角形即可解决问题.
3．（2020八上·大冶月考）如图，正 的边长为4，过点 的直线 ，且 与 关于直线 对称， 为线段 上一动点，则 的最小值是（ ）.
A． B． C．8 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接
正 的边长为4
与 关于直线 对称
也是边长为4的等边三角形
在 和 中，
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点D与点B重合，即点 共线时， 取得最小值，最小值为
即 的最小值为8
故答案为：C.
【分析】连接A'D，利用等边三角形的性质可证得AB=BC，∠ABC=60°，利用轴对称的性质可知△A'BC'是等边三角形，可推出A'B=4，∠A'BC'=60°；利用SAS证明△BCD≌△BA'D，利用全等三角形的性质可证得CD=A'D，由此可推出AD+CD=AD+A连接A'D，利用等边三角形的性质可证得AB=BC，∠ABC=60°，利用轴对称的性质可知△A'BC'是等边三角形，可推出A'B=4，∠A'BC'=60°；利用SAS证明△BCD≌△BA'D，利用全等三角形的性质可证得CD+AD=AD+A'D，利用三角形的三边关系定理及两点之间线段最短，可知当点B和点D重合时，点A，D，A'共线，然后求出AA'的长即可.
4．（2020八上·碾子山期末）如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若 ，当 取得最小值时，则 的度数为（ ）
A．15° B．225° C．30° D．45°
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
取AB的中点G，连接CG交AD于点F，
∵等边△ABC的边长为4，AE=2，
∴点E是AC的中点，
所以点G和点E关于AD对称，
此时EF+FC=CG最小，
根据等边三角形的性质可知：
∠ECF= ∠ACB=30°．
所以∠ECF的度数为30°．
故答案为：C．
【分析】几何题要先找出推理的突破口，因为点F的是动点，所以“EF+CF取得最小值时”是突破口，再结合是等边三角形，由等边三角形三线合一可知AD也是的高和角平分线，即可求出∠ECF的度数
5．（2020八上·寻乌期末）如图所示，在 中， ， ， 于D， 是 的平分线，且交 于P，如果 ，则AC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 于D， 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=BP=AE=PE=1，
∵ ，
∴CE=BE=1+1=2，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再证明△APE是等边三角形，最后计算求解即可。
6．（2018八上·孝感月考）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=2，则AB的长为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．7.5
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在等边△ABC中∠C=60°
∵DE⊥BC
∴∠CDE=30°又CE=2
∴CD=4
又∵AB=BC，BD平分∠ABC
∴AD=CD=4
∴AC=8
AB=8
【分析】易由等边三角形性质及30°所对的直角边等于斜边的一半可得CD =4，再利用三线合一可得AD=CD=4，最后的到AB=8.
7．（2019八上·武汉期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，
即CD=6=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°，
故答案为：B.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：根据轴对称的性质得出∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，故OC=OP=OD，∠AOB= ∠COD，根据三角形的周长的计算方法及周长的最小值是6得出CD=6=OP，然后判断出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可解决问题.
8．如图，正三角形ABC的三边表示三面镜子，BP=AB=1。一束光线从点P发射至BC上P1点，且∠BPP1=60。光线依次经BC反射，AC反射，AB反射…一直继续下去。当光线第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为（ ）
A．6 B．9 C． D．27
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】∵BP=AB=1，∠BPP1=60°，∴PP1=1，
根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时，这束光经过了三圈反射，
∴当第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9，故选B．
【点评】本题关键是分析光线第一次回到点P时经过了几圈反射．
9．（2020八上·汉阳月考）如图，P是等边△ABC内部一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5：6：7，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个内角的大小之比是（从小到大）（ ）
A．2：3：4 B．4：5：6 C．3：4：5 D．不确定
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，
∵AP′=AP，∠P′AP=60°，
∴△AP′P是等边三角形，
∴PP′=AP，
∵P′C=PB，
∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PP′C=∠AP′C ∠AP′P=∠APB ∠AP′P=100°-60°=40°，
∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°
∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，
∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4.
故答案为：A.
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，由旋转的性质得出△AP′C≌△APB，连PP′，推出△AP′P是等边三角形，再根据角的比例关系求出分别∠APB、∠BPC和∠CPA，然后根据角的和差关系求出∠PP′C和∠PP′C，最后根据三角形内角和求∠PCP′，即可解答.
10．（2019八上·涵江月考）如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD，其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵△ABC与△BDE为等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，
又∵∠DBG=∠FBE=60°，
∴△BGD≌△BFE，
∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG∥AD，
∵BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°，
∴△ABF≌△CGB，
∴∠BAF=∠BCG，
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，
∴∠AHC=60°，
∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°，
∴B、G、H、F四点共圆，
∵FB=GB，
∴∠FHB=∠GHB，
∴BH平分∠GHF，
∴题中①②③④⑤⑥都符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的性质得到相等的边和角，易证△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而证明△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由边角关系求解进行判断.
二、填空题
11．（2016八上·龙湾期中）已知△ABC中，AB=AC=4，∠A=60°，则△ABC的周长为 .
【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形可得：AB=AC=BC=4，则△ABC的周长为12.
【分析】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AB=AC=BC=4，再根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
12．（2021八下·铁西期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
由题意得△ACD是等边三角形，
∴ ，
∵AB＝BC＝2， ，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ADB=∠CDB=30°，
∴ ，
∵∠BAC＝30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．
【分析】根据题意可得△ADC为等边三角形，继而由等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求出四边形ABCD的面积即可。
13．（2021八上·乾安期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E、F是边BC上的三等分点.分别过点E、F沿着平行于BA、CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 .
【答案】6
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形纸片
∴∠B=∠C=60°
∵DE∥AB，DF∥AC
∴∠DEF=∠DFE=60°
∴△DEF为等腰三角形
∴DE=EF=DF
∵点E和点F为BC上的三等分点，BC=6
∴EF=2
∴DE=EF=DF=2
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=6
【分析】根据平行线的性质得到△DEF为等边三角形，继而由三等分点求出答案即可。
14．（2020八上·武城期末）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点且OP=8，则△PMN的周长的最小值= 。
【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，CD与射线OA、OB的交点即为M点、N点，此时△PMN的周长的最小，连接OC、OD、PM、PN，
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=8．
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=8．
故答案为：8.
【分析】 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，CD与射线OA、OB的交点即为M点、N点，此时△PMN的周长的最小，连接OC、OD、PM、PN，根据对称的性质得出△COD是等边三角形，得出CD=OC=OD=8，利用△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD，即可得出答案.
15．（2020八上·奎文期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC＝8，则△PMN的周长是 ．
【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P、N是AB和BD的中点，
∴PN= AD= ×8=4，PN∥AD，
∴∠NPB=∠DAB=50°，
同理，PM=4，∠MPA=∠CBA=70°，
∴PM=PN=4，∠MPN=180°-50°-70°=60°，
∴△PMN是等边三角形．
∴MN=PM=PN=4，
∴△PMN的周长是12，
故答案为：12．
【分析】由P、N分别是AB和BD的中点得PN是三角形ADB的中位线，由此可得：PN= AD，PN∥AD，同理得到PM=PN=4，由PN//AD，PM//BC可得：∠NPB=∠DAB=50°，∠MPA=∠CBA=70°，由此可得∠MPN=180°-50°-70°=60°，因此△PMN是等边三角形，即可求出其周长。
16．（2021八上·德保期末）如图，已知△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，有以下四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②△BRP≌△QSP；③QP∥AR；④△PQC是等边三角形，其中正确的有 个.
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：
点P在 的平分线上，故①正确；
AP平分
，故③正确；
为等边三角形
是等边三角形，故④正确；
在 和 中
故②正确
综上所述①②③④都正确
故答案为：4.
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可知①正确；根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，可得 ， ，所以 ，由内错角相等，两直线平行得出 ，所以 ， 为等边三角形，所以可判断③④正确，再根据①③④的结论易证②正确.
17．（2020八上·铁东期中）如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点P为AB边上一点，EF垂直平分线段BP，EF与线段AD交于F，连接CF、PF，以下结论：①PF＝CF；②∠PFC＝120°，③∠PFE+∠ACF＝90°；④∠PFA＝∠DCF．其中一定正确的有 ．（填序号即可）
【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AD垂直平分BC，AD平分∠BAC，
∴FB＝FC，∠5＝30°，
∵EF垂直平分线段BP，
∴FB＝FP，
∴FP＝FC，所以①符合题意；
∵FP＝FB，FB＝FC，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2（∠1+∠3）＝2×60°＝120°，
∴∠PFB+∠BFC＝180°+180°﹣120°＝240°，
∴∠PFC＝360°﹣240°＝120°，所以②符合题意；
∵∠ACF＝60°﹣∠2＝60°﹣∠1，∠PFE＝90°﹣∠4＝90°﹣∠3，
∴∠ACF+∠PFE＝60°﹣∠1+90°﹣∠3＝60°﹣（∠1+∠3）+90°＝90°，所以③正
确；
∵∠4＝∠5+∠AFP，
∴∠AFP＝∠4﹣30°＝∠3﹣30°，
∵∠DCF＝∠1，
而∠1+∠3＝60°，
∴只有当∠3＝45°，∠1＝15°，∠PFA＝∠DCF，所以④不符合题意．
故答案为：①②③．
【分析】利用等边三角形的性质，垂直平分线的性质，结合图形，对每个结论一一判断即可。
三、解答题
18．（2021八上·河池期末）如图，在 中， ，点 为 边的中点， 于 ， .求 的长.
【答案】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BD=2BE=2，
∵点D为AB边的中点，
∴AB=2BD=4，
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=4.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先根据直角三角形两锐角互余，得到∠BDE=30°，再由30°所对直角边为斜边一半，得到 BD=2BE=2 ，根据点D为AB边的中点 ，得到AB=2BD=4，再根据三个角都为60°的三角形为等边三角形，得到 △ABC为等边三角形 ，根据等边三角形的三边相等得到AC=AB=4.
19．边 中，点 是 边上的两个动点(不与点 重合)，点 在点 的左侧，且 ，点 关于直线 的的对称点为 ，连接 求证： ．
【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴ ，
又∵AP=AQ，
∴ ,
∴
∴∠PAB=∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°，AP=AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA=PM．
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】 根据等边三角形的性质，可得，根据等腰三角形的性质，可得∠PAB=∠QAC，根据轴对称的性质，可∠QAC=
∠MAC，AQ=AM，从而可得出△APM为等边三角形，根据等边三角形的性质即得结论.
20．（2018八下·灵石期中）如图，△ABC为等边三角形，∠BAD=∠ACF=∠CBE，求∠DEC的度数。
【答案】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB；
又∵∠BAD=∠CBE=∠ACF，
∴∠BAC-∠BAD=∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠ACF，
∴∠CAF=∠ABE=∠BCE，
∴△ACF≌△CBE≌△BAD（ASA）.
∴AF=BD=CE，AD=BE=CF，
∴AD-AF=BE-BD=CF-CE，
∴DF=DE=EF，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，
又点C点F点E三点共线，
∴∠DEC=120°.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质和已知条件易证△ACF≌△CBE≌△BAD，再由等边三角形的性质和等边三角形的判定方法易证△DEF为等边三角形，可得∠DEF=60°，根据平角的定义即可求得∠DEC的度数.
21．（2020八上·沭阳期中）如图， 是等边 外一点， 在 的延长线上，连接 ， ，且有 ， .求证： 为等边三角形.
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，
在△BCE和△ACD中，
∵CB=CA， ， ，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，
∴∠ECD=∠ACB=60°，
∴△CDE是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等边三角形的性质可证得CA=CB，∠ACB=60°；利用SAS证明△BCE≌△ACD，利用全等三角形的性质可推出CE=CD，∠BCE=∠ACD=60°，然后利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得结论.
22．（2020八上·黄石港期中）已知：等边△ABC，CE∥AB，D为BC上一点，且∠ADE=60°，求证：△ADE是等边三角形.
【答案】证明：如图, 在AC上截取CM=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，
∴∠AMD=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠MDC，
∴∠ADM=∠EDC，
∵直线CE∥AB，
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠DCE=120°=∠AMD，
在△ADM和△EDC中，
，
∴△ADM≌△EDC（ASA），
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】在AC上截取CM=CD，利用等边三角形的性质可得到∠ACB=60°，可证得△CDM是等边三角形，再证明∠ADM=∠EDC，∠DCE=∠AMD，利用ASA证明△ADM≌△EDC，根据全等三角形饿对应边相等，可推出AD=DE，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得结论。
23．（2021八上·诸暨期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA＝PC＝1，PB＝ ，求证：PC⊥CQ．
【答案】（1）解：∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC，∠ABC＝60°，
∵∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ （SAS），
∴AP＝CQ；
（2）证明：连接PQ，
∵PA＝PC＝1，AP＝CQ，
∴PC＝CQ＝1，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝ ，
∴PC2+CQ2＝PQ2，
∴∠PCQ＝90°，
∴PC⊥CQ
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB＝AC，∠ABC＝60°，证明△ABP≌△CBQ，据此可得结论；
（2）连接PQ，易得PC＝CQ＝1，推出△BPQ是等边三角形，则PQ＝PB＝，结合勾股定理逆定理可得∠PCQ＝90°，据此证明.
24．（2021八上·乐清期中）已知，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°．
（1）求证：△ADE≌△ABC；
（2）求证：AE＝CE．
【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2
∴∠1+ ＝∠2+
即∠DAE=∠BAC
在△ADE和△ABC中
∴△ADE≌△ABC
（2）证明：∵△ADE≌△ABC
∴AE＝AC
又∵∠2＝60°
∴△AEC为等边三角形
∴AE＝CE
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据∠1＝∠2可推出∠DAE=∠BAC，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得AE＝AC，结合∠2＝60°可推出△AEC为等边三角形，据此证明.
25．（2021八上·交城期中）如图，已知∠AOB＝60°，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD交OE于点F．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）若EF＝6，求线段OE的长．
【答案】（1）证明：∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别是C，D，
∴DE=CE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OD=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：∵△OCD是等边三角形，OF是∠COD的平分线，
∴OE⊥DC，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵∠ODF=60°，ED⊥OA，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF=12，
∴OE=2DE=24．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，结合直角三角形全等的判定定理，证明△OCD为等边三角形即可；
（2）根据等边三角形以及角平分线的性质，求出答案即可。
26．（2021八上·云县期末）如图，在 中， ， 为 的中点， 于点 ， 于点 ，且 ，连接 ，点 在 的延长线上，且 .
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形.
（2）∵DE⊥AB，DF⊥BC，且 ，
∴ 平分 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由线段中点定义可得AD=DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，用HL定理可得证Rt△ADE≌Rt△CDF，由全等三角形的对应角相等可得∠A=∠C，由等角对等边和已知条件可得AB=BC=AC，根据三边相等的三角形是等边三角形可知△ABC是等边三角形；
（2）由角平分线的判定“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”可得BD平分∠ABC，由等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，由直角三角形两锐角互余可得∠CBD=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=2CD，结合已知条件CD=CG得BC=2CG可求解.
27．（2021八上·东莞期中）如图， 是边长为 的等边三角形， 是 边上一动点，由 向 运动 与 ， 不重合 ， 是 延长线上一点，与点 同时以相同的速度由 向 延长线方向运动 不与 重合 ，过 作 于点 ，连接 交 于点 ．
（1）若设AP=x，则PC= ，QC= ；(用含x的式子表示)
（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）6 x；6＋x
（2）解：∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝ QC，即6 x＝ （6＋x），解得x＝2，
∴AP＝2；
（3）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
如图，作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
∴在△APE和△BQF中， ，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE＝ EF，
∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB，
∴DE＝ AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE＝3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
设AP＝x，则PC＝6 x，QB＝x，
∴QC＝QB＋BC＝6＋x，
故答案为：6 x，6＋x；
【分析】（1）根据等边三角形的性质，求出答案即可；
（2）在直角三角形QCP中，根据30°角所对的直角边的性质，求出x的值；
（3）根据全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质证明得到答案即可。
28．（2021八上·杭州期中）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F.
（1）如图1，求证：∠1＝60°；
（2）如图2，连结FG，求∠2的度数；
（3）如图3，连结OC，若BD＝10，OC＝4，求△ACE的面积.
【答案】（1）证明：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在△BCD和△ACE中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在△BCF和△ACG中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
（3）解：作CM⊥BD交BD于点M，作CN⊥AE交AE于点N，
∵ ，CM是△BCD中BD边上的高，CN是△ACE中AE边上的高，
∵BD=AE，
∴CM=CN，
∴OC是∠BOE的角平分线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，根据角的和差关系可推出∠BCD=∠ACE，证明△BCD≌△ACE，得到∠CBD=∠CAE，由对顶角的性质可得∠BFC=∠AFO，然后结合内角和定理进行证明；
（2）由等边三角形的性质可得∠BCA=∠DCE=60°，推出∠FCG=∠BCA，证明△BCF≌△ACG，得到CF=CG，推出△FCG是等边三角形，据此可得∠2的度数；
（3）作CM⊥BD交BD于点M，作CN⊥AE交AE于点N，根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式可得CM=CN，则OC是∠BOE的角平分线，由邻补角的性质可得∠BOE=120°，根据角平分线的概念可得∠BOC=∠EOC=60°，则∠OCM=30°，求出OM、CM的值，然后根据三角形的面积公式以及全等三角形的性质进行解答.
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