苏科版数学八年级上册2.5.5 等边三角形的性质和判定 同步训练
一、单选题
1.(2020八下·定边期末)如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△DEF,连接DC,则DC的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(2020八下·定边期末)如图,在△ABE中,AE的垂直平分线MN交BE于点C,∠E=30°,且AB=CE,则∠BAE的度数是( )
A.80° B.85° C.90° D.105°
3.(2020八上·大冶月考)如图,正 的边长为4,过点 的直线 ,且 与 关于直线 对称, 为线段 上一动点,则 的最小值是( ).
A. B. C.8 D.
4.(2020八上·碾子山期末)如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上一点.若 ,当 取得最小值时,则 的度数为( )
A.15° B.225° C.30° D.45°
5.(2020八上·寻乌期末)如图所示,在 中, , , 于D, 是 的平分线,且交 于P,如果 ,则AC的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2018八上·孝感月考)如图,在等边△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=2,则AB的长为( )
A.8 B.4 C.6 D.7.5
7.(2019八上·武汉期中)如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=6cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是6cm,则∠AOB的度数是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
8.如图,正三角形ABC的三边表示三面镜子,BP=AB=1。一束光线从点P发射至BC上P1点,且∠BPP1=60。光线依次经BC反射,AC反射,AB反射…一直继续下去。当光线第一次回到点P时,这束光线所经过的路线的总长为( )
A.6 B.9 C. D.27
9.(2020八上·汉阳月考)如图,P是等边△ABC内部一点,∠APB,∠BPC,∠CPA的大小之比是5:6:7,则以PA、PB、PC为边的三角形的三个内角的大小之比是(从小到大)( )
A.2:3:4 B.4:5:6 C.3:4:5 D.不确定
10.(2019八上·涵江月考)如图所示,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,下列结论:①AE=CD;②BF=BG;③BH平分∠AHD;④∠AHC=60°;⑤△BFG是等边三角形;⑥FG∥AD,其中正确的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
二、填空题
11.(2016八上·龙湾期中)已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为 .
12.(2021八下·铁西期末)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为 .
13.(2021八上·乾安期中)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E、F是边BC上的三等分点.分别过点E、F沿着平行于BA、CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是 .
14.(2020八上·武城期末)如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OB、OA上的动点,点P为∠AOB内一点且OP=8,则△PMN的周长的最小值= 。
15.(2020八上·奎文期末)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠DAB=50°,∠CBA=70°,P、M、N分别是AB,AC、BD的中点,若BC=8,则△PMN的周长是 .
16.(2021八上·德保期末)如图,已知△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,有以下四个结论:①点P在∠BAC的平分线上;②△BRP≌△QSP;③QP∥AR;④△PQC是等边三角形,其中正确的有 个.
17.(2020八上·铁东期中)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点P为AB边上一点,EF垂直平分线段BP,EF与线段AD交于F,连接CF、PF,以下结论:①PF=CF;②∠PFC=120°,③∠PFE+∠ACF=90°;④∠PFA=∠DCF.其中一定正确的有 .(填序号即可)
三、解答题
18.(2021八上·河池期末)如图,在 中, ,点 为 边的中点, 于 , .求 的长.
19.边 中,点 是 边上的两个动点(不与点 重合),点 在点 的左侧,且 ,点 关于直线 的的对称点为 ,连接 求证: .
20.(2018八下·灵石期中)如图,△ABC为等边三角形,∠BAD=∠ACF=∠CBE,求∠DEC的度数。
21.(2020八上·沭阳期中)如图, 是等边 外一点, 在 的延长线上,连接 , ,且有 , .求证: 为等边三角形.
22.(2020八上·黄石港期中)已知:等边△ABC,CE∥AB,D为BC上一点,且∠ADE=60°,求证:△ADE是等边三角形.
23.(2021八上·诸暨期中)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BP=BQ,连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并说明理由.
(2)若PA=PC=1,PB= ,求证:PC⊥CQ.
24.(2021八上·乐清期中)已知,如图,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2=60°.
(1)求证:△ADE≌△ABC;
(2)求证:AE=CE.
25.(2021八上·交城期中)如图,已知∠AOB=60°,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C,D是垂足,连接CD交OE于点F.
(1)求证:△OCD是等边三角形;
(2)若EF=6,求线段OE的长.
26.(2021八上·云县期末)如图,在 中, , 为 的中点, 于点 , 于点 ,且 ,连接 ,点 在 的延长线上,且 .
(1)求证: 是等边三角形;
(2)若 ,求 的长.
27.(2021八上·东莞期中)如图, 是边长为 的等边三角形, 是 边上一动点,由 向 运动 与 , 不重合 , 是 延长线上一点,与点 同时以相同的速度由 向 延长线方向运动 不与 重合 ,过 作 于点 ,连接 交 于点 .
(1)若设AP=x,则PC= ,QC= ;(用含x的式子表示)
(2)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(3)在运动过程中线段DE的长是否发生变化?如果不变,求出线段DE的长;如果变化,请说明理由.
28.(2021八上·杭州期中)如图,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F.
(1)如图1,求证:∠1=60°;
(2)如图2,连结FG,求∠2的度数;
(3)如图3,连结OC,若BD=10,OC=4,求△ACE的面积.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质;平移的性质
【解析】【解答】解:∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF,
∴DE=AB=4,BC﹣BE=6﹣2=4,
∵∠B=∠DEC=60°,
∴△DEC是等边三角形,
∴DC=4,
故答案为:B.
【分析】根据平移的性质可得DE=AB=4,BC﹣BE=6﹣2=4,然后根据等边三角形的定义列式计算即可得解.
2.【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵MN垂直平分线段AE,
∴CE=CA,
∴∠E=∠CAE=30°,
∴∠ACB=∠E+∠CAE=60°,
∵AB=CE=AC,
∴△ACB是等边三角形,
∴∠CAB=60°,
∴∠BAE=∠CAB+∠CAE=90°,
故答案为:C.
【分析】利用线段的垂直平分线的性质,推出CE=CA,想办法证明△CAB是等边三角形即可解决问题.
3.【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【解答】解:如图,连接
正 的边长为4
与 关于直线 对称
也是边长为4的等边三角形
在 和 中,
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知,当点D与点B重合,即点 共线时, 取得最小值,最小值为
即 的最小值为8
故答案为:C.
【分析】连接A'D,利用等边三角形的性质可证得AB=BC,∠ABC=60°,利用轴对称的性质可知△A'BC'是等边三角形,可推出A'B=4,∠A'BC'=60°;利用SAS证明△BCD≌△BA'D,利用全等三角形的性质可证得CD=A'D,由此可推出AD+CD=AD+A连接A'D,利用等边三角形的性质可证得AB=BC,∠ABC=60°,利用轴对称的性质可知△A'BC'是等边三角形,可推出A'B=4,∠A'BC'=60°;利用SAS证明△BCD≌△BA'D,利用全等三角形的性质可证得CD+AD=AD+A'D,利用三角形的三边关系定理及两点之间线段最短,可知当点B和点D重合时,点A,D,A'共线,然后求出AA'的长即可.
4.【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图,
取AB的中点G,连接CG交AD于点F,
∵等边△ABC的边长为4,AE=2,
∴点E是AC的中点,
所以点G和点E关于AD对称,
此时EF+FC=CG最小,
根据等边三角形的性质可知:
∠ECF= ∠ACB=30°.
所以∠ECF的度数为30°.
故答案为:C.
【分析】几何题要先找出推理的突破口,因为点F的是动点,所以“EF+CF取得最小值时”是突破口,再结合是等边三角形,由等边三角形三线合一可知AD也是的高和角平分线,即可求出∠ECF的度数
5.【答案】C
【知识点】角平分线的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵在 中, , ,
∴ ,
∵ 于D, 是 的角平分线,
∴ ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴△APE是等边三角形,
∴AP=BP=AE=PE=1,
∵ ,
∴CE=BE=1+1=2,
∴ ;
故答案为:C.
【分析】先求出 ,再证明△APE是等边三角形,最后计算求解即可。
6.【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在等边△ABC中∠C=60°
∵DE⊥BC
∴∠CDE=30°又CE=2
∴CD=4
又∵AB=BC,BD平分∠ABC
∴AD=CD=4
∴AC=8
AB=8
【分析】易由等边三角形性质及30°所对的直角边等于斜边的一半可得CD =4,再利用三线合一可得AD=CD=4,最后的到AB=8.
7.【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:
∵点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,
∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为C,
∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,
∴OC=OP=OD,∠AOB= ∠COD,
∵△PMN周长的最小值是6cm,
∴PM+PN+MN=6,
∴DM+CN+MN=6,
即CD=6=OP,
∴OC=OD=CD,
即△OCD是等边三角形,
∴∠COD=60°,
∴∠AOB=30°,
故答案为:B.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:根据轴对称的性质得出∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA,PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,故OC=OP=OD,∠AOB= ∠COD,根据三角形的周长的计算方法及周长的最小值是6得出CD=6=OP,然后判断出△OCD是等边三角形,根据等边三角形的性质即可解决问题.
8.【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】∵BP=AB=1,∠BPP1=60°,∴PP1=1,
根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时,这束光经过了三圈反射,
∴当第一次回到点P时,这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9,故选B.
【点评】本题关键是分析光线第一次回到点P时经过了几圈反射.
9.【答案】A
【知识点】三角形内角和定理;等边三角形的判定与性质;旋转的性质
【解析】【解答】解:如图,将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C,显然有△AP′C≌△APB,连PP′,
∵AP′=AP,∠P′AP=60°,
∴△AP′P是等边三角形,
∴PP′=AP,
∵P′C=PB,
∴△P′CP的三边长分别为PA,PB,PC,
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°,∠APB:∠BPC:∠CPA=5:6:7,
∴∠APB=100°,∠BPC=120°,∠CPA=140°,
∴∠PP′C=∠AP′C ∠AP′P=∠APB ∠AP′P=100°-60°=40°,
∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°
∠PCP′=180°-(40°+80°)=60°,
∴∠PP′C:∠PCP′:∠P′PC=2:3:4.
故答案为:A.
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C,由旋转的性质得出△AP′C≌△APB,连PP′,推出△AP′P是等边三角形,再根据角的比例关系求出分别∠APB、∠BPC和∠CPA,然后根据角的和差关系求出∠PP′C和∠PP′C,最后根据三角形内角和求∠PCP′,即可解答.
10.【答案】D
【知识点】平行线的判定;三角形全等及其性质;三角形全等的判定;等边三角形的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【解答】∵△ABC与△BDE为等边三角形,
∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°,
∴∠ABE=∠CBD,
即AB=BC,BD=BE,∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD,
∴AE=CD,∠BDC=∠AEB,
又∵∠DBG=∠FBE=60°,
∴△BGD≌△BFE,
∴BG=BF,∠BFG=∠BGF=60°,
∴△BFG是等边三角形,
∴FG∥AD,
∵BF=BG,AB=BC,∠ABF=∠CBG=60°,
∴△ABF≌△CGB,
∴∠BAF=∠BCG,
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°,
∴∠AHC=60°,
∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°,
∴B、G、H、F四点共圆,
∵FB=GB,
∴∠FHB=∠GHB,
∴BH平分∠GHF,
∴题中①②③④⑤⑥都符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据等边三角形的性质得到相等的边和角,易证△ABE≌△CBD,得出对应边、对应角相等,进而证明△BGD≌△BFE,△ABF≌△CGB,再由边角关系求解进行判断.
11.【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形可得:AB=AC=BC=4,则△ABC的周长为12.
【分析】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形判断出△ABC是等边三角形,根据等边三角形的三边相等得出AB=AC=BC=4,再根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
12.【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质;直角三角形的性质
【解析】【解答】解:连接BD,如图所示:
由题意得△ACD是等边三角形,
∴ ,
∵AB=BC=2, ,
∴△ABD≌△CBD(SSS),
∴∠ADB=∠CDB=30°,
∴ ,
∵∠BAC=30°,
∴ ,
∴ ,
∴ ;
故答案为 .
【分析】根据题意可得△ADC为等边三角形,继而由等边三角形的性质以及直角三角形的性质,求出四边形ABCD的面积即可。
13.【答案】6
【知识点】平行线的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵△ABC为等边三角形纸片
∴∠B=∠C=60°
∵DE∥AB,DF∥AC
∴∠DEF=∠DFE=60°
∴△DEF为等腰三角形
∴DE=EF=DF
∵点E和点F为BC上的三等分点,BC=6
∴EF=2
∴DE=EF=DF=2
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=6
【分析】根据平行线的性质得到△DEF为等边三角形,继而由三等分点求出答案即可。
14.【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:如图,分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,CD与射线OA、OB的交点即为M点、N点,此时△PMN的周长的最小,连接OC、OD、PM、PN,
∵点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,
∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为D,
∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,
∴OC=OD=OP=8cm,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,
∴△COD是等边三角形,
∴CD=OC=OD=8.
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=8.
故答案为:8.
【分析】 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,CD与射线OA、OB的交点即为M点、N点,此时△PMN的周长的最小,连接OC、OD、PM、PN,根据对称的性质得出△COD是等边三角形,得出CD=OC=OD=8,利用△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD,即可得出答案.
15.【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵P、N是AB和BD的中点,
∴PN= AD= ×8=4,PN∥AD,
∴∠NPB=∠DAB=50°,
同理,PM=4,∠MPA=∠CBA=70°,
∴PM=PN=4,∠MPN=180°-50°-70°=60°,
∴△PMN是等边三角形.
∴MN=PM=PN=4,
∴△PMN的周长是12,
故答案为:12.
【分析】由P、N分别是AB和BD的中点得PN是三角形ADB的中位线,由此可得:PN= AD,PN∥AD,同理得到PM=PN=4,由PN//AD,PM//BC可得:∠NPB=∠DAB=50°,∠MPA=∠CBA=70°,由此可得∠MPN=180°-50°-70°=60°,因此△PMN是等边三角形,即可求出其周长。
16.【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质;角平分线的判定;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】解:
点P在 的平分线上,故①正确;
AP平分
,故③正确;
为等边三角形
是等边三角形,故④正确;
在 和 中
故②正确
综上所述①②③④都正确
故答案为:4.
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可知①正确;根据等腰三角形的性质,角平分线的性质,可得 , ,所以 ,由内错角相等,两直线平行得出 ,所以 , 为等边三角形,所以可判断③④正确,再根据①③④的结论易证②正确.
17.【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形的综合
【解析】【解答】解:如图,
∵△ABC为等边三角形,AD⊥BC,
∴∠ABC=∠ACB=60°,AD垂直平分BC,AD平分∠BAC,
∴FB=FC,∠5=30°,
∵EF垂直平分线段BP,
∴FB=FP,
∴FP=FC,所以①符合题意;
∵FP=FB,FB=FC,
∴∠3=∠4,∠1=∠2,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠1+∠3)=2×60°=120°,
∴∠PFB+∠BFC=180°+180°﹣120°=240°,
∴∠PFC=360°﹣240°=120°,所以②符合题意;
∵∠ACF=60°﹣∠2=60°﹣∠1,∠PFE=90°﹣∠4=90°﹣∠3,
∴∠ACF+∠PFE=60°﹣∠1+90°﹣∠3=60°﹣(∠1+∠3)+90°=90°,所以③正
确;
∵∠4=∠5+∠AFP,
∴∠AFP=∠4﹣30°=∠3﹣30°,
∵∠DCF=∠1,
而∠1+∠3=60°,
∴只有当∠3=45°,∠1=15°,∠PFA=∠DCF,所以④不符合题意.
故答案为:①②③.
【分析】利用等边三角形的性质,垂直平分线的性质,结合图形,对每个结论一一判断即可。
18.【答案】∵DE⊥BC,∠B=∠C=60°,
∴∠BDE=30°,
∴BD=2BE=2,
∵点D为AB边的中点,
∴AB=2BD=4,
∵∠B=∠C=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴AC=AB=4.
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先根据直角三角形两锐角互余,得到∠BDE=30°,再由30°所对直角边为斜边一半,得到 BD=2BE=2 ,根据点D为AB边的中点 ,得到AB=2BD=4,再根据三个角都为60°的三角形为等边三角形,得到 △ABC为等边三角形 ,根据等边三角形的三边相等得到AC=AB=4.
19.【答案】证明:∵△ABC为等边三角形,
∴ ,
又∵AP=AQ,
∴ ,
∴
∴∠PAB=∠QAC,
∵点Q,M关于直线AC对称,
∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°,AP=AM,
∴△APM为等边三角形
∴PA=PM.
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的性质
【解析】【分析】 根据等边三角形的性质,可得,根据等腰三角形的性质,可得∠PAB=∠QAC,根据轴对称的性质,可∠QAC=
∠MAC,AQ=AM,从而可得出△APM为等边三角形,根据等边三角形的性质即得结论.
20.【答案】解:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB;
又∵∠BAD=∠CBE=∠ACF,
∴∠BAC-∠BAD=∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠ACF,
∴∠CAF=∠ABE=∠BCE,
∴△ACF≌△CBE≌△BAD(ASA).
∴AF=BD=CE,AD=BE=CF,
∴AD-AF=BE-BD=CF-CE,
∴DF=DE=EF,
∴△DEF为等边三角形,
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°,
又点C点F点E三点共线,
∴∠DEC=120°.
【知识点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质和已知条件易证△ACF≌△CBE≌△BAD,再由等边三角形的性质和等边三角形的判定方法易证△DEF为等边三角形,可得∠DEF=60°,根据平角的定义即可求得∠DEC的度数.
21.【答案】证明:∵△ABC是等边三角形,
∴CA=CB,∠ACB=60°,
在△BCE和△ACD中,
∵CB=CA, , ,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴CE=CD,∠BCE=∠ACD,
∴∠ECD=∠ACB=60°,
∴△CDE是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】利用等边三角形的性质可证得CA=CB,∠ACB=60°;利用SAS证明△BCE≌△ACD,利用全等三角形的性质可推出CE=CD,∠BCE=∠ACD=60°,然后利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,可证得结论.
22.【答案】证明:如图, 在AC上截取CM=CD,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴△CDM是等边三角形,
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°,
∴∠AMD=120°,
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠MDC,
∴∠ADM=∠EDC,
∵直线CE∥AB,
∴∠ACE=∠BAC=60°,
∴∠DCE=120°=∠AMD,
在△ADM和△EDC中,
,
∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AD=DE,
∵∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定(ASA)
【解析】【分析】在AC上截取CM=CD,利用等边三角形的性质可得到∠ACB=60°,可证得△CDM是等边三角形,再证明∠ADM=∠EDC,∠DCE=∠AMD,利用ASA证明△ADM≌△EDC,根据全等三角形饿对应边相等,可推出AD=DE,然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,可证得结论。
23.【答案】(1)解:∵等边三角形ABC,
∴AB=AC,∠ABC=60°,
∵∠PBQ=60°,
∴∠ABP=∠CBQ,
在△ABP和△CBQ中,
,
∴△ABP≌△CBQ (SAS),
∴AP=CQ;
(2)证明:连接PQ,
∵PA=PC=1,AP=CQ,
∴PC=CQ=1,
∵BP=BQ,∠PBQ=60°,
∴△BPQ是等边三角形,
∴PQ=PB= ,
∴PC2+CQ2=PQ2,
∴∠PCQ=90°,
∴PC⊥CQ
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得AB=AC,∠ABC=60°,证明△ABP≌△CBQ,据此可得结论;
(2)连接PQ,易得PC=CQ=1,推出△BPQ是等边三角形,则PQ=PB=,结合勾股定理逆定理可得∠PCQ=90°,据此证明.
24.【答案】(1)证明:∵∠1=∠2
∴∠1+ =∠2+
即∠DAE=∠BAC
在△ADE和△ABC中
∴△ADE≌△ABC
(2)证明:∵△ADE≌△ABC
∴AE=AC
又∵∠2=60°
∴△AEC为等边三角形
∴AE=CE
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定(ASA)
【解析】【分析】(1)根据∠1=∠2可推出∠DAE=∠BAC,然后结合全等三角形的判定定理进行证明;
(2)由全等三角形的性质可得AE=AC,结合∠2=60°可推出△AEC为等边三角形,据此证明.
25.【答案】(1)证明:∵点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,垂足分别是C,D,
∴DE=CE,
在Rt△ODE与Rt△OCE中,
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL),
∴OD=OC,
∵∠AOB=60°,
∴△OCD是等边三角形;
(2)解:∵△OCD是等边三角形,OF是∠COD的平分线,
∴OE⊥DC,
∵∠AOB=60°,
∴∠AOE=∠BOE=30°,
∵∠ODF=60°,ED⊥OA,
∴∠EDF=30°,
∴DE=2EF=12,
∴OE=2DE=24.
【知识点】三角形全等及其性质;三角形全等的判定;角平分线的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质,结合直角三角形全等的判定定理,证明△OCD为等边三角形即可;
(2)根据等边三角形以及角平分线的性质,求出答案即可。
26.【答案】(1)证明:∵DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,
∴∠AED=∠CFD=90°,
∵D为AC的中点,
∴AD=DC,
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF,
∴∠A=∠C,
∴BA=BC,∵AB=AC,
∴AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形.
(2)∵DE⊥AB,DF⊥BC,且 ,
∴ 平分 ,
∵ 是等边三角形,
∴ ,
∴ , ,
∴ ,
∵ ,
∴ .
【知识点】直角三角形全等的判定(HL);等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形;角平分线的判定
【解析】【分析】(1)由线段中点定义可得AD=DC,在Rt△ADE和Rt△CDF中,用HL定理可得证Rt△ADE≌Rt△CDF,由全等三角形的对应角相等可得∠A=∠C,由等角对等边和已知条件可得AB=BC=AC,根据三边相等的三角形是等边三角形可知△ABC是等边三角形;
(2)由角平分线的判定“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”可得BD平分∠ABC,由等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°,由直角三角形两锐角互余可得∠CBD=30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=2CD,结合已知条件CD=CG得BC=2CG可求解.
27.【答案】(1)6 x;6+x
(2)解:∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴PC= QC,即6 x= (6+x),解得x=2,
∴AP=2;
(3)解:当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
如图,作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,
又∵PE⊥AB于E,
∴∠DFQ=∠AEP=90°,
∵点P、Q速度相同,
∴AP=BQ,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,
在△APE和△BQF中,
∵∠AEP=∠BFQ=90°,
∴∠APE=∠BQF,
∴在△APE和△BQF中, ,
∴△APE≌△BQF(AAS),
∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,
∴四边形PEQF是平行四边形,
∴DE= EF,
∵EB+AE=BE+BF=AB,
∴DE= AB,
又∵等边△ABC的边长为6,
∴DE=3,
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴AB=BC=AC=6,
设AP=x,则PC=6 x,QB=x,
∴QC=QB+BC=6+x,
故答案为:6 x,6+x;
【分析】(1)根据等边三角形的性质,求出答案即可;
(2)在直角三角形QCP中,根据30°角所对的直角边的性质,求出x的值;
(3)根据全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质证明得到答案即可。
28.【答案】(1)证明:∵△ABC和△DCE均是等边三角形,
∴ , , ,
∴ ,
∴ ,
∴在△BCD和△ACE中,
∴ ,
∴ ,
又∵ ,
∴ ;
(2)解:∵△ABC和△DCE均是等边三角形,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
在△BCF和△ACG中,
∴ ,
∴ ,
又∵ ,
∴ 是等边三角形,
∴ ;
(3)解:作CM⊥BD交BD于点M,作CN⊥AE交AE于点N,
∵ ,CM是△BCD中BD边上的高,CN是△ACE中AE边上的高,
∵BD=AE,
∴CM=CN,
∴OC是∠BOE的角平分线,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ .
【知识点】三角形内角和定理;等边三角形的判定与性质;角平分线的判定;三角形全等的判定(SAS);三角形全等的判定(ASA)
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60°,根据角的和差关系可推出∠BCD=∠ACE,证明△BCD≌△ACE,得到∠CBD=∠CAE,由对顶角的性质可得∠BFC=∠AFO,然后结合内角和定理进行证明;
(2)由等边三角形的性质可得∠BCA=∠DCE=60°,推出∠FCG=∠BCA,证明△BCF≌△ACG,得到CF=CG,推出△FCG是等边三角形,据此可得∠2的度数;
(3)作CM⊥BD交BD于点M,作CN⊥AE交AE于点N,根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式可得CM=CN,则OC是∠BOE的角平分线,由邻补角的性质可得∠BOE=120°,根据角平分线的概念可得∠BOC=∠EOC=60°,则∠OCM=30°,求出OM、CM的值,然后根据三角形的面积公式以及全等三角形的性质进行解答.
1 / 1苏科版数学八年级上册2.5.5 等边三角形的性质和判定 同步训练
一、单选题
1.(2020八下·定边期末)如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△DEF,连接DC,则DC的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质;平移的性质
【解析】【解答】解:∵△ABC沿射线BC方向平移2个单位后得到△DEF,
∴DE=AB=4,BC﹣BE=6﹣2=4,
∵∠B=∠DEC=60°,
∴△DEC是等边三角形,
∴DC=4,
故答案为:B.
【分析】根据平移的性质可得DE=AB=4,BC﹣BE=6﹣2=4,然后根据等边三角形的定义列式计算即可得解.
2.(2020八下·定边期末)如图,在△ABE中,AE的垂直平分线MN交BE于点C,∠E=30°,且AB=CE,则∠BAE的度数是( )
A.80° B.85° C.90° D.105°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵MN垂直平分线段AE,
∴CE=CA,
∴∠E=∠CAE=30°,
∴∠ACB=∠E+∠CAE=60°,
∵AB=CE=AC,
∴△ACB是等边三角形,
∴∠CAB=60°,
∴∠BAE=∠CAB+∠CAE=90°,
故答案为:C.
【分析】利用线段的垂直平分线的性质,推出CE=CA,想办法证明△CAB是等边三角形即可解决问题.
3.(2020八上·大冶月考)如图,正 的边长为4,过点 的直线 ,且 与 关于直线 对称, 为线段 上一动点,则 的最小值是( ).
A. B. C.8 D.
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【解答】解:如图,连接
正 的边长为4
与 关于直线 对称
也是边长为4的等边三角形
在 和 中,
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知,当点D与点B重合,即点 共线时, 取得最小值,最小值为
即 的最小值为8
故答案为:C.
【分析】连接A'D,利用等边三角形的性质可证得AB=BC,∠ABC=60°,利用轴对称的性质可知△A'BC'是等边三角形,可推出A'B=4,∠A'BC'=60°;利用SAS证明△BCD≌△BA'D,利用全等三角形的性质可证得CD=A'D,由此可推出AD+CD=AD+A连接A'D,利用等边三角形的性质可证得AB=BC,∠ABC=60°,利用轴对称的性质可知△A'BC'是等边三角形,可推出A'B=4,∠A'BC'=60°;利用SAS证明△BCD≌△BA'D,利用全等三角形的性质可证得CD+AD=AD+A'D,利用三角形的三边关系定理及两点之间线段最短,可知当点B和点D重合时,点A,D,A'共线,然后求出AA'的长即可.
4.(2020八上·碾子山期末)如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上一点.若 ,当 取得最小值时,则 的度数为( )
A.15° B.225° C.30° D.45°
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:如图,
取AB的中点G,连接CG交AD于点F,
∵等边△ABC的边长为4,AE=2,
∴点E是AC的中点,
所以点G和点E关于AD对称,
此时EF+FC=CG最小,
根据等边三角形的性质可知:
∠ECF= ∠ACB=30°.
所以∠ECF的度数为30°.
故答案为:C.
【分析】几何题要先找出推理的突破口,因为点F的是动点,所以“EF+CF取得最小值时”是突破口,再结合是等边三角形,由等边三角形三线合一可知AD也是的高和角平分线,即可求出∠ECF的度数
5.(2020八上·寻乌期末)如图所示,在 中, , , 于D, 是 的平分线,且交 于P,如果 ,则AC的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【知识点】角平分线的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵在 中, , ,
∴ ,
∵ 于D, 是 的角平分线,
∴ ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴△APE是等边三角形,
∴AP=BP=AE=PE=1,
∵ ,
∴CE=BE=1+1=2,
∴ ;
故答案为:C.
【分析】先求出 ,再证明△APE是等边三角形,最后计算求解即可。
6.(2018八上·孝感月考)如图,在等边△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=2,则AB的长为( )
A.8 B.4 C.6 D.7.5
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在等边△ABC中∠C=60°
∵DE⊥BC
∴∠CDE=30°又CE=2
∴CD=4
又∵AB=BC,BD平分∠ABC
∴AD=CD=4
∴AC=8
AB=8
【分析】易由等边三角形性质及30°所对的直角边等于斜边的一半可得CD =4,再利用三线合一可得AD=CD=4,最后的到AB=8.
7.(2019八上·武汉期中)如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=6cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是6cm,则∠AOB的度数是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:
∵点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,
∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为C,
∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,
∴OC=OP=OD,∠AOB= ∠COD,
∵△PMN周长的最小值是6cm,
∴PM+PN+MN=6,
∴DM+CN+MN=6,
即CD=6=OP,
∴OC=OD=CD,
即△OCD是等边三角形,
∴∠COD=60°,
∴∠AOB=30°,
故答案为:B.
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:根据轴对称的性质得出∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA,PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,故OC=OP=OD,∠AOB= ∠COD,根据三角形的周长的计算方法及周长的最小值是6得出CD=6=OP,然后判断出△OCD是等边三角形,根据等边三角形的性质即可解决问题.
8.如图,正三角形ABC的三边表示三面镜子,BP=AB=1。一束光线从点P发射至BC上P1点,且∠BPP1=60。光线依次经BC反射,AC反射,AB反射…一直继续下去。当光线第一次回到点P时,这束光线所经过的路线的总长为( )
A.6 B.9 C. D.27
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】∵BP=AB=1,∠BPP1=60°,∴PP1=1,
根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时,这束光经过了三圈反射,
∴当第一次回到点P时,这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9,故选B.
【点评】本题关键是分析光线第一次回到点P时经过了几圈反射.
9.(2020八上·汉阳月考)如图,P是等边△ABC内部一点,∠APB,∠BPC,∠CPA的大小之比是5:6:7,则以PA、PB、PC为边的三角形的三个内角的大小之比是(从小到大)( )
A.2:3:4 B.4:5:6 C.3:4:5 D.不确定
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理;等边三角形的判定与性质;旋转的性质
【解析】【解答】解:如图,将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C,显然有△AP′C≌△APB,连PP′,
∵AP′=AP,∠P′AP=60°,
∴△AP′P是等边三角形,
∴PP′=AP,
∵P′C=PB,
∴△P′CP的三边长分别为PA,PB,PC,
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°,∠APB:∠BPC:∠CPA=5:6:7,
∴∠APB=100°,∠BPC=120°,∠CPA=140°,
∴∠PP′C=∠AP′C ∠AP′P=∠APB ∠AP′P=100°-60°=40°,
∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°
∠PCP′=180°-(40°+80°)=60°,
∴∠PP′C:∠PCP′:∠P′PC=2:3:4.
故答案为:A.
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C,由旋转的性质得出△AP′C≌△APB,连PP′,推出△AP′P是等边三角形,再根据角的比例关系求出分别∠APB、∠BPC和∠CPA,然后根据角的和差关系求出∠PP′C和∠PP′C,最后根据三角形内角和求∠PCP′,即可解答.
10.(2019八上·涵江月考)如图所示,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,下列结论:①AE=CD;②BF=BG;③BH平分∠AHD;④∠AHC=60°;⑤△BFG是等边三角形;⑥FG∥AD,其中正确的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】D
【知识点】平行线的判定;三角形全等及其性质;三角形全等的判定;等边三角形的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【解答】∵△ABC与△BDE为等边三角形,
∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°,
∴∠ABE=∠CBD,
即AB=BC,BD=BE,∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD,
∴AE=CD,∠BDC=∠AEB,
又∵∠DBG=∠FBE=60°,
∴△BGD≌△BFE,
∴BG=BF,∠BFG=∠BGF=60°,
∴△BFG是等边三角形,
∴FG∥AD,
∵BF=BG,AB=BC,∠ABF=∠CBG=60°,
∴△ABF≌△CGB,
∴∠BAF=∠BCG,
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°,
∴∠AHC=60°,
∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°,
∴B、G、H、F四点共圆,
∵FB=GB,
∴∠FHB=∠GHB,
∴BH平分∠GHF,
∴题中①②③④⑤⑥都符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据等边三角形的性质得到相等的边和角,易证△ABE≌△CBD,得出对应边、对应角相等,进而证明△BGD≌△BFE,△ABF≌△CGB,再由边角关系求解进行判断.
二、填空题
11.(2016八上·龙湾期中)已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为 .
【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形可得:AB=AC=BC=4,则△ABC的周长为12.
【分析】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形判断出△ABC是等边三角形,根据等边三角形的三边相等得出AB=AC=BC=4,再根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
12.(2021八下·铁西期末)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠BAC=30°,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质;直角三角形的性质
【解析】【解答】解:连接BD,如图所示:
由题意得△ACD是等边三角形,
∴ ,
∵AB=BC=2, ,
∴△ABD≌△CBD(SSS),
∴∠ADB=∠CDB=30°,
∴ ,
∵∠BAC=30°,
∴ ,
∴ ,
∴ ;
故答案为 .
【分析】根据题意可得△ADC为等边三角形,继而由等边三角形的性质以及直角三角形的性质,求出四边形ABCD的面积即可。
13.(2021八上·乾安期中)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E、F是边BC上的三等分点.分别过点E、F沿着平行于BA、CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是 .
【答案】6
【知识点】平行线的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵△ABC为等边三角形纸片
∴∠B=∠C=60°
∵DE∥AB,DF∥AC
∴∠DEF=∠DFE=60°
∴△DEF为等腰三角形
∴DE=EF=DF
∵点E和点F为BC上的三等分点,BC=6
∴EF=2
∴DE=EF=DF=2
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=6
【分析】根据平行线的性质得到△DEF为等边三角形,继而由三等分点求出答案即可。
14.(2020八上·武城期末)如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OB、OA上的动点,点P为∠AOB内一点且OP=8,则△PMN的周长的最小值= 。
【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:如图,分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,CD与射线OA、OB的交点即为M点、N点,此时△PMN的周长的最小,连接OC、OD、PM、PN,
∵点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,
∴PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为D,
∴PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB,
∴OC=OD=OP=8cm,∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°,
∴△COD是等边三角形,
∴CD=OC=OD=8.
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=8.
故答案为:8.
【分析】 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,CD与射线OA、OB的交点即为M点、N点,此时△PMN的周长的最小,连接OC、OD、PM、PN,根据对称的性质得出△COD是等边三角形,得出CD=OC=OD=8,利用△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD,即可得出答案.
15.(2020八上·奎文期末)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠DAB=50°,∠CBA=70°,P、M、N分别是AB,AC、BD的中点,若BC=8,则△PMN的周长是 .
【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵P、N是AB和BD的中点,
∴PN= AD= ×8=4,PN∥AD,
∴∠NPB=∠DAB=50°,
同理,PM=4,∠MPA=∠CBA=70°,
∴PM=PN=4,∠MPN=180°-50°-70°=60°,
∴△PMN是等边三角形.
∴MN=PM=PN=4,
∴△PMN的周长是12,
故答案为:12.
【分析】由P、N分别是AB和BD的中点得PN是三角形ADB的中位线,由此可得:PN= AD,PN∥AD,同理得到PM=PN=4,由PN//AD,PM//BC可得:∠NPB=∠DAB=50°,∠MPA=∠CBA=70°,由此可得∠MPN=180°-50°-70°=60°,因此△PMN是等边三角形,即可求出其周长。
16.(2021八上·德保期末)如图,已知△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,有以下四个结论:①点P在∠BAC的平分线上;②△BRP≌△QSP;③QP∥AR;④△PQC是等边三角形,其中正确的有 个.
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质;角平分线的判定;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】解:
点P在 的平分线上,故①正确;
AP平分
,故③正确;
为等边三角形
是等边三角形,故④正确;
在 和 中
故②正确
综上所述①②③④都正确
故答案为:4.
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可知①正确;根据等腰三角形的性质,角平分线的性质,可得 , ,所以 ,由内错角相等,两直线平行得出 ,所以 , 为等边三角形,所以可判断③④正确,再根据①③④的结论易证②正确.
17.(2020八上·铁东期中)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点P为AB边上一点,EF垂直平分线段BP,EF与线段AD交于F,连接CF、PF,以下结论:①PF=CF;②∠PFC=120°,③∠PFE+∠ACF=90°;④∠PFA=∠DCF.其中一定正确的有 .(填序号即可)
【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形的综合
【解析】【解答】解:如图,
∵△ABC为等边三角形,AD⊥BC,
∴∠ABC=∠ACB=60°,AD垂直平分BC,AD平分∠BAC,
∴FB=FC,∠5=30°,
∵EF垂直平分线段BP,
∴FB=FP,
∴FP=FC,所以①符合题意;
∵FP=FB,FB=FC,
∴∠3=∠4,∠1=∠2,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠1+∠3)=2×60°=120°,
∴∠PFB+∠BFC=180°+180°﹣120°=240°,
∴∠PFC=360°﹣240°=120°,所以②符合题意;
∵∠ACF=60°﹣∠2=60°﹣∠1,∠PFE=90°﹣∠4=90°﹣∠3,
∴∠ACF+∠PFE=60°﹣∠1+90°﹣∠3=60°﹣(∠1+∠3)+90°=90°,所以③正
确;
∵∠4=∠5+∠AFP,
∴∠AFP=∠4﹣30°=∠3﹣30°,
∵∠DCF=∠1,
而∠1+∠3=60°,
∴只有当∠3=45°,∠1=15°,∠PFA=∠DCF,所以④不符合题意.
故答案为:①②③.
【分析】利用等边三角形的性质,垂直平分线的性质,结合图形,对每个结论一一判断即可。
三、解答题
18.(2021八上·河池期末)如图,在 中, ,点 为 边的中点, 于 , .求 的长.
【答案】∵DE⊥BC,∠B=∠C=60°,
∴∠BDE=30°,
∴BD=2BE=2,
∵点D为AB边的中点,
∴AB=2BD=4,
∵∠B=∠C=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴AC=AB=4.
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先根据直角三角形两锐角互余,得到∠BDE=30°,再由30°所对直角边为斜边一半,得到 BD=2BE=2 ,根据点D为AB边的中点 ,得到AB=2BD=4,再根据三个角都为60°的三角形为等边三角形,得到 △ABC为等边三角形 ,根据等边三角形的三边相等得到AC=AB=4.
19.边 中,点 是 边上的两个动点(不与点 重合),点 在点 的左侧,且 ,点 关于直线 的的对称点为 ,连接 求证: .
【答案】证明:∵△ABC为等边三角形,
∴ ,
又∵AP=AQ,
∴ ,
∴
∴∠PAB=∠QAC,
∵点Q,M关于直线AC对称,
∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°,AP=AM,
∴△APM为等边三角形
∴PA=PM.
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的性质
【解析】【分析】 根据等边三角形的性质,可得,根据等腰三角形的性质,可得∠PAB=∠QAC,根据轴对称的性质,可∠QAC=
∠MAC,AQ=AM,从而可得出△APM为等边三角形,根据等边三角形的性质即得结论.
20.(2018八下·灵石期中)如图,△ABC为等边三角形,∠BAD=∠ACF=∠CBE,求∠DEC的度数。
【答案】解:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB;
又∵∠BAD=∠CBE=∠ACF,
∴∠BAC-∠BAD=∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠ACF,
∴∠CAF=∠ABE=∠BCE,
∴△ACF≌△CBE≌△BAD(ASA).
∴AF=BD=CE,AD=BE=CF,
∴AD-AF=BE-BD=CF-CE,
∴DF=DE=EF,
∴△DEF为等边三角形,
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°,
又点C点F点E三点共线,
∴∠DEC=120°.
【知识点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质和已知条件易证△ACF≌△CBE≌△BAD,再由等边三角形的性质和等边三角形的判定方法易证△DEF为等边三角形,可得∠DEF=60°,根据平角的定义即可求得∠DEC的度数.
21.(2020八上·沭阳期中)如图, 是等边 外一点, 在 的延长线上,连接 , ,且有 , .求证: 为等边三角形.
【答案】证明:∵△ABC是等边三角形,
∴CA=CB,∠ACB=60°,
在△BCE和△ACD中,
∵CB=CA, , ,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴CE=CD,∠BCE=∠ACD,
∴∠ECD=∠ACB=60°,
∴△CDE是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】利用等边三角形的性质可证得CA=CB,∠ACB=60°;利用SAS证明△BCE≌△ACD,利用全等三角形的性质可推出CE=CD,∠BCE=∠ACD=60°,然后利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,可证得结论.
22.(2020八上·黄石港期中)已知:等边△ABC,CE∥AB,D为BC上一点,且∠ADE=60°,求证:△ADE是等边三角形.
【答案】证明:如图, 在AC上截取CM=CD,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴△CDM是等边三角形,
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°,
∴∠AMD=120°,
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠MDC,
∴∠ADM=∠EDC,
∵直线CE∥AB,
∴∠ACE=∠BAC=60°,
∴∠DCE=120°=∠AMD,
在△ADM和△EDC中,
,
∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AD=DE,
∵∠ADE=60°,
∴△ADE是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定(ASA)
【解析】【分析】在AC上截取CM=CD,利用等边三角形的性质可得到∠ACB=60°,可证得△CDM是等边三角形,再证明∠ADM=∠EDC,∠DCE=∠AMD,利用ASA证明△ADM≌△EDC,根据全等三角形饿对应边相等,可推出AD=DE,然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,可证得结论。
23.(2021八上·诸暨期中)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BP=BQ,连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并说明理由.
(2)若PA=PC=1,PB= ,求证:PC⊥CQ.
【答案】(1)解:∵等边三角形ABC,
∴AB=AC,∠ABC=60°,
∵∠PBQ=60°,
∴∠ABP=∠CBQ,
在△ABP和△CBQ中,
,
∴△ABP≌△CBQ (SAS),
∴AP=CQ;
(2)证明:连接PQ,
∵PA=PC=1,AP=CQ,
∴PC=CQ=1,
∵BP=BQ,∠PBQ=60°,
∴△BPQ是等边三角形,
∴PQ=PB= ,
∴PC2+CQ2=PQ2,
∴∠PCQ=90°,
∴PC⊥CQ
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定(SAS)
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得AB=AC,∠ABC=60°,证明△ABP≌△CBQ,据此可得结论;
(2)连接PQ,易得PC=CQ=1,推出△BPQ是等边三角形,则PQ=PB=,结合勾股定理逆定理可得∠PCQ=90°,据此证明.
24.(2021八上·乐清期中)已知,如图,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2=60°.
(1)求证:△ADE≌△ABC;
(2)求证:AE=CE.
【答案】(1)证明:∵∠1=∠2
∴∠1+ =∠2+
即∠DAE=∠BAC
在△ADE和△ABC中
∴△ADE≌△ABC
(2)证明:∵△ADE≌△ABC
∴AE=AC
又∵∠2=60°
∴△AEC为等边三角形
∴AE=CE
【知识点】等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定(ASA)
【解析】【分析】(1)根据∠1=∠2可推出∠DAE=∠BAC,然后结合全等三角形的判定定理进行证明;
(2)由全等三角形的性质可得AE=AC,结合∠2=60°可推出△AEC为等边三角形,据此证明.
25.(2021八上·交城期中)如图,已知∠AOB=60°,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C,D是垂足,连接CD交OE于点F.
(1)求证:△OCD是等边三角形;
(2)若EF=6,求线段OE的长.
【答案】(1)证明:∵点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,垂足分别是C,D,
∴DE=CE,
在Rt△ODE与Rt△OCE中,
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL),
∴OD=OC,
∵∠AOB=60°,
∴△OCD是等边三角形;
(2)解:∵△OCD是等边三角形,OF是∠COD的平分线,
∴OE⊥DC,
∵∠AOB=60°,
∴∠AOE=∠BOE=30°,
∵∠ODF=60°,ED⊥OA,
∴∠EDF=30°,
∴DE=2EF=12,
∴OE=2DE=24.
【知识点】三角形全等及其性质;三角形全等的判定;角平分线的性质;等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质,结合直角三角形全等的判定定理,证明△OCD为等边三角形即可;
(2)根据等边三角形以及角平分线的性质,求出答案即可。
26.(2021八上·云县期末)如图,在 中, , 为 的中点, 于点 , 于点 ,且 ,连接 ,点 在 的延长线上,且 .
(1)求证: 是等边三角形;
(2)若 ,求 的长.
【答案】(1)证明:∵DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,
∴∠AED=∠CFD=90°,
∵D为AC的中点,
∴AD=DC,
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF,
∴∠A=∠C,
∴BA=BC,∵AB=AC,
∴AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形.
(2)∵DE⊥AB,DF⊥BC,且 ,
∴ 平分 ,
∵ 是等边三角形,
∴ ,
∴ , ,
∴ ,
∵ ,
∴ .
【知识点】直角三角形全等的判定(HL);等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形;角平分线的判定
【解析】【分析】(1)由线段中点定义可得AD=DC,在Rt△ADE和Rt△CDF中,用HL定理可得证Rt△ADE≌Rt△CDF,由全等三角形的对应角相等可得∠A=∠C,由等角对等边和已知条件可得AB=BC=AC,根据三边相等的三角形是等边三角形可知△ABC是等边三角形;
(2)由角平分线的判定“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”可得BD平分∠ABC,由等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°,由直角三角形两锐角互余可得∠CBD=30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=2CD,结合已知条件CD=CG得BC=2CG可求解.
27.(2021八上·东莞期中)如图, 是边长为 的等边三角形, 是 边上一动点,由 向 运动 与 , 不重合 , 是 延长线上一点,与点 同时以相同的速度由 向 延长线方向运动 不与 重合 ,过 作 于点 ,连接 交 于点 .
(1)若设AP=x,则PC= ,QC= ;(用含x的式子表示)
(2)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(3)在运动过程中线段DE的长是否发生变化?如果不变,求出线段DE的长;如果变化,请说明理由.
【答案】(1)6 x;6+x
(2)解:∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴PC= QC,即6 x= (6+x),解得x=2,
∴AP=2;
(3)解:当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
如图,作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,
又∵PE⊥AB于E,
∴∠DFQ=∠AEP=90°,
∵点P、Q速度相同,
∴AP=BQ,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,
在△APE和△BQF中,
∵∠AEP=∠BFQ=90°,
∴∠APE=∠BQF,
∴在△APE和△BQF中, ,
∴△APE≌△BQF(AAS),
∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,
∴四边形PEQF是平行四边形,
∴DE= EF,
∵EB+AE=BE+BF=AB,
∴DE= AB,
又∵等边△ABC的边长为6,
∴DE=3,
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴AB=BC=AC=6,
设AP=x,则PC=6 x,QB=x,
∴QC=QB+BC=6+x,
故答案为:6 x,6+x;
【分析】(1)根据等边三角形的性质,求出答案即可;
(2)在直角三角形QCP中,根据30°角所对的直角边的性质,求出x的值;
(3)根据全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质证明得到答案即可。
28.(2021八上·杭州期中)如图,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F.
(1)如图1,求证:∠1=60°;
(2)如图2,连结FG,求∠2的度数;
(3)如图3,连结OC,若BD=10,OC=4,求△ACE的面积.
【答案】(1)证明:∵△ABC和△DCE均是等边三角形,
∴ , , ,
∴ ,
∴ ,
∴在△BCD和△ACE中,
∴ ,
∴ ,
又∵ ,
∴ ;
(2)解:∵△ABC和△DCE均是等边三角形,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
在△BCF和△ACG中,
∴ ,
∴ ,
又∵ ,
∴ 是等边三角形,
∴ ;
(3)解:作CM⊥BD交BD于点M,作CN⊥AE交AE于点N,
∵ ,CM是△BCD中BD边上的高,CN是△ACE中AE边上的高,
∵BD=AE,
∴CM=CN,
∴OC是∠BOE的角平分线,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ .
【知识点】三角形内角和定理;等边三角形的判定与性质;角平分线的判定;三角形全等的判定(SAS);三角形全等的判定(ASA)
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60°,根据角的和差关系可推出∠BCD=∠ACE,证明△BCD≌△ACE,得到∠CBD=∠CAE,由对顶角的性质可得∠BFC=∠AFO,然后结合内角和定理进行证明;
(2)由等边三角形的性质可得∠BCA=∠DCE=60°,推出∠FCG=∠BCA,证明△BCF≌△ACG,得到CF=CG,推出△FCG是等边三角形,据此可得∠2的度数;
(3)作CM⊥BD交BD于点M,作CN⊥AE交AE于点N,根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式可得CM=CN,则OC是∠BOE的角平分线,由邻补角的性质可得∠BOE=120°,根据角平分线的概念可得∠BOC=∠EOC=60°,则∠OCM=30°,求出OM、CM的值,然后根据三角形的面积公式以及全等三角形的性质进行解答.
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