苏科版初中数学九年级上册1.2.2 一元二次方程的解法—配方法 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·普宁期中）用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）．
A． 化为
B． 化为
C． 化为
D． 化为
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A. 化为 ，符合题意；
B. 化为 ，不符合题意；
C. 化为 ，符合题意；
D. 化为 ，不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用配方法的步骤化简并逐项判断即可。
2．（2021九上·黑山期中）用配方法解方程y2- y-1=0，正确的是（ ）
A．（y- ）2 = ， y= ±
B．（y- ）2 = ， y= ±
C．（y- ）2 = ，y= ±
D．（y- ）2 = ， y= ±
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：y2- y-1=0，
方程移项得：y2- y=1，
配方得：y2- y+ =1+ ，即（y- ）2 = ，
则y- =±
∴y= ± ，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算法则求解即可。
3．（2021九上·古冶期中）用配方法解方程x2﹣8x＋3＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝13 B．（x﹣4）2＝3
C．（x＋4）2＝13 D．（x＋4）2＝3
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
则 ，即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求出即可作答。
4．（2021九上·大兴期中）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
方程移项得：x2+8x=9，
配方得：x2+8x+16=25，即（x+4）2=25，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的步骤及计算方法将方程变形即可。
5．（2021九上·互助期中）若将一元二次方程 化成 的形式，则 的值分别是（ ）
A．4，25 B．-4，25 C．-2，5 D．-8，73
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】方程移项得： ，
配方得： ，
即 ，
则 ，
故答案为：B．
【分析】根据配方法即可求出答案。
6．（2021九上·东莞期中）把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴m＝﹣2，n＝5，
故答案为：D．
【分析】利用配方法将一般式转换成顶点式即可。
7．（2021九上·宿迁月考）一元二次方程 通过配方后为 ，则b，c的值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由 ，得
.
一元二次方程 通过配方后为 ，
，①
，②
由①②解得， ， .
故答案为：A.
【分析】通过对一元二次方程x2+ 6x+c= 0配方后得(x+ b)2= 16，利用完全平方公式展开，根据多项式相等，则各系数对应相等的特点，可求b， c的值.
8．（2021九上·正定月考）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 的下一步应该是 ，故甲不符合题意，
的下一步应该是 ，故丙不符合题意，
故答案为：C．
【分析】求出和判断即可。
9．（2021九上·安义月考）在解方程 时，对方程进行配方，文本框①中是小贤做的，文本框②中是小淇做的，对于两人的做法，下列说法正确的是（ ）．
， ， ， ． ① ， ， ， ． ②
A．两人都正确 B．小贤正确，小淇错误
C．小贤错误，小淇正确 D．两人都错误
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据配方法和完全平方式，两个人的做法都符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用配方法和完全平方式法求解即可。
10．（2021九上·高州期中）对于两个实数a，b，用 表示其中较大的数，则方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵max（a，b）表示其中较大的数，
∴当x＞0时，max（x，-x）=x，
方程为x2=2x+1，
x2-2x+1=2，
（x-1）2=2，
∴x-1=± ，
∴x=1± ，
∴x＞0，
∴x=1+ ；
当x＜0时，max（x，-x）=-x．
方程为-x2=2x+1
x2+2x+1=0，
（x+1）2=0，
∴x=-1，
故方程x×max（x，-x）=2x+1的解是-1，1+
故答案为：C．
【分析】分两种情况：①当x＞0时，max（x，-x）=x，②当x＜0时，max（x，-x）=-x，据此分别建立方程，分别求解即可.
二、填空题
11．（2020九上·立山期中）一元二次方程y2﹣y 0配方后可化为 ．
【答案】（y ）2＝1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵y2﹣y 0，
∴y2﹣y 1，
∴（y ）2＝1，
故答案为：（y ）2＝1．
【分析】先求出y2﹣y 1，再利用配方法求解即可。
12．（2021·阳谷模拟）用配方法解方程 ，将方程变为 的形式，则 ．
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程；完全平方式
【解析】【解答】解：3x2-6x+2=0，
，即 m=1．
故填1．
【分析】本题考查一元二次方程--配方法，熟练掌握完全平方公式是关键。先将方程整理，然后利用完全平方公式配方得到结果即可。
13．（2020九上·渑池期中）如果一元二次方程 经配方后变为 ，则实数k的值为 .
【答案】11
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x2-8x+16=k，
∴x2-8x+16-k=0，
∵ 经配方后变为 ，
∴16-k=5，
∴k=11.
故答案为：11.
【分析】将(x-4)2=k展开可得x2-8x+16-k=0，结合题意可得16-k=5，求解可得k的值.
14．（2020九上·沭阳期中）当 时，代数式 与 的值相等.
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得 =x-1，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=1
故答案为：1.
【分析】根据题意得出 =x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得.
15．（2021九上·青县月考）若 ，则a+b= ．
【答案】4
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵(x+1)2 b=x2+2x+1-b=x2+ax 1，
∴ ，
解得： ，
∴a+b=2+2=4，
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
16．（2020九上·延长期末）用配方法解方程 时，可配方为 ，其中 .
【答案】-6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
可配方为 ，
.
故答案为： .
【分析】把方程 左边配成完全平方，与 比较即可.
17．（2019九上·未央期末）用配方法将方程x2-4x+1=0化成(x+m)2=n的形式(m、n为常数)，则 =
【答案】1
【知识点】代数式求值；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-4x+1=0
移项得：x2-4x=-1
配方得：x2-4x+4=-1+4
即（x-2）2=3
∵ (x+m)2=n
∴m=-2，n=3
∴
故答案为：1
【分析】利用配方法将原方程转化为（x-2）2=3即(x+m)2=n ，就可求出m、n的值，然后代入代数式求值即可。
18．（2019·靖远模拟）规定： ，如： ，若 ，则 ＝ .
【答案】1或-3
【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3.
故答案是：1或-3.
【分析】根据a b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可.
三、解答题
19．（2021九上·山东月考）解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0
（2）x（x﹣3）＝x﹣3．
（3）x2﹣3x+2＝0
（4）x2﹣6x﹣7＝0．
【答案】（1）解：
即 或
解得：
（2）解：
即 或
解得：
（3）解：
这里
∴
∴
（4）解：
即 或
解得：
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可；
（3）利用公式法求解一元二次方程即可；
（4）利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
20．（2021·荆州）已知：a是不等式 的最小整数解，请用配方法解关于x的方程 .
【答案】解：∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∵a是不等式 的最小整数解，
∴ ；
∴关于x的方程 ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ， .
【知识点】配方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】先解不等式，在其解集中取最小整数，得出a的值，然后将a代入关于x的方程，再利用配方法解方程即可.
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册2.2.1用配方法解一元二次方程 同步训练）我们知道：若 ，则x=3或x=-3.因此，小南在解方程 时，采用了以下的方法：解：移项得 两边都加上1，得 ，所以 ；则 或 所以 或 .小南的这种解方程方法，在数学上称之为配方法.请用配方法解方程
【答案】解：移项得： 两边都加上4，
得 ，
所以 =9；
则 或
所以 或
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，转化为（x-m）2=n的形式，然后利用直接开平方法求出方程的解。
22．（2021九上·李沧期中）（1）解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）＝0．
（3）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k﹣2＝0有一个根为－3，则k的值是多少？另一个根是多少？
【答案】（1）解：x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝ ，
解得：x1＝1+ ，x2＝1﹣ ；
（2）解：方程整理为一般式，得：3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴△＝102﹣4×3×5＝40＞0，
则x＝ ＝ ＝ ，
即x1＝ ，x2＝ ．
（3）解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝ ，x1·x2＝
将a＝1，b＝2，c＝k﹣2，代入上式得
x1+x2＝－2， x1·x2＝k﹣2
∵方程的一个根为－3，即x1＝－3，
∴另一个根x2＝1，
代入得：k＝－1
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式方法求解一元二次方程即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2＝ ，x1·x2＝ ，再将数据代入计算即可。
23．（2020九上·丹阳月考）已知关于x的方程x2﹣2（m -1）x+m2=0
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）若m+5>1-m，对m选取一个合适的非零整数，使原方程有实数根，并求出实数根.
【答案】（1）∵方程没有实数根
∴ ﹣4ac= =-8m+4＜0，
∴ ，
∴当 时，原方程没有实数根；
（2）由(1)可知， 时，方程有实数根，
m+5>1-m
m>-2
∴当m=-1时，原方程变为：
x2+4x+1=0
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】(1)要使原方程没有实数根，只需△＜0即可，然后可以得到关于m的不等式，由此即可求出m的取值范围；(2)根据(1)中求得的范围，在范围之外，结合题意确定一个m的值，再解方程求出实数根.
24．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
【答案】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
（2）x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n x2=﹣4n．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）移项要变号；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．
25．（2020九上·重庆月考）根据要求，解答下列问题.
（1）根据要求，解答下列问题.
①方程x2－2x＋1＝0的解为 ；
②方程x2－3x＋2＝0的解为 ；
③方程x2－4x＋3＝0的解为 ；
…………
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n.
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性.
【答案】（1）x1＝1，x2＝1；x1＝1，x2＝2；x1＝1，x2＝3
（2）x1＝1，x2＝8；x2－(1＋n)x＋n＝0
（3）x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋ ＝－8＋
(x－ )2＝
∴x－ ＝± .
∴x1＝1，x2＝8.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1） ①x2－2x＋1＝0 ，
∴（x-1）（x-1）=0，
∴x1=1，x2=1；
②x2－3x＋2＝0 ，
（x-1）（x-2）=0，
∴x1=1，x2=2；
③x2－4x＋3＝0 ，
（x-1）（x-3）=0，
∴x1＝1，x2＝3 .
故答案为：①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3.
（2） ①x2－9x＋8＝0 ，
（x-1）（x-8）=0，
∴x1＝1，x2＝8 ；
② 由题意得：（x-1）（x-n）=0，
∴x2－x-nx＋n＝0 ，
∴x2－(1＋n)x＋n＝0 ；
故答案为：①x1＝1，x2＝8；②x2－(1＋n)x＋n＝0
【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3.解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
26．（2021九上·尧都期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿尔·花拉子米(约780~约850) ，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x2+2x-35=0的一个解．将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是x2+2·x×1+12，即x2+2x+ 1，而由原方程x2+2x-35=0变形得x2+2x+1=35+1，即边长为x+1的正方形面积为36．所以(x+1)2=36，则x=5．
任务：
（1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的（ ）
A．直接开平方法 B．公式法
C．配方法 D．因式分解法
（2）所用的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．建模思想 D．整体思想
（3）运用上述方法构造出符合方程x2+6x-7=0的一个正根的正方形(画出拼接的正方形并求出正根)．
【答案】（1）C
（2）B
（3）解：将边长为x的正方形和边长为3的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为3，拼合在一起面积就是x2+2×3×x+3×3，即x2+6．x+9，而由原方程x2+6x-7=0变形得x2+6x+9=16，即图中边长为x+3的正方形面积为16．所以(x+3)2=16x+3=4，则x=1．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据阅读材料得出所用方法为配方法，即可得出答案；
（2）根据阅读材料得出所用的数学思想方法是数形结合思想，即可得出答案；
（3）构造出边长为（x+3）的正方形，其面积为16，得出x=1，即可得出答案.
27．（2021九上·安义月考）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程 ．
解：原方程可变形，得 ，
，
，
直接开平方，得 ， ．
我们称这种解法为“平均数法”
（1）下面是小明用“平均数法”解方程 时写的解题过程：
解：原方程可变形，得 ，
，
，
直接开平方，得 ， ．
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是 ， ， ， ．
（2）请用“平均数法”解方程： ．
【答案】（1）5；3；2；﹣12
（2）解：原方程可变形，得 ，
，
，
直接开平方，得 ， ．
【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：原方程可变形，得 ，
，
，
直接开平方，得 ， ．
∴a=5，b=3，c=2，d=﹣12，
故答案为：5，3，2，﹣12；
【分析】（1）先求出，再解方程求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后解方程即可。
28．（2020九上·莲池期中）阅读材料：
把代数式通过配凑等手段得到局部完全平方式，再进行有关计算和解题，这种解题方法叫做配方法.
如①用配方法分解因式： .
解：原式=
=
②M= ，利用配方法求M的最小值.
解：M=
=
M有最小值1.
请根据上述材料，解决下列问题：
（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：
（2）用配方法分解因式：
（3）若M= ，求M的最小值.
【答案】（1）
（2）解：
=
=
=
= ；
（3）解：M ，
，
当x=-2时，M有最小值-2.
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：(1)x2-x+ = ，
故答案为 ；
【分析】(1)根据阅读材料，可知只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式，由此即可得答案；(2)根据材料中的方法进行分解因式即可；(3)根据阅读材料中的方法通过配方进行求解即可.
1 / 1苏科版初中数学九年级上册1.2.2 一元二次方程的解法—配方法 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·普宁期中）用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）．
A． 化为
B． 化为
C． 化为
D． 化为
2．（2021九上·黑山期中）用配方法解方程y2- y-1=0，正确的是（ ）
A．（y- ）2 = ， y= ±
B．（y- ）2 = ， y= ±
C．（y- ）2 = ，y= ±
D．（y- ）2 = ， y= ±
3．（2021九上·古冶期中）用配方法解方程x2﹣8x＋3＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣4）2＝13 B．（x﹣4）2＝3
C．（x＋4）2＝13 D．（x＋4）2＝3
4．（2021九上·大兴期中）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·互助期中）若将一元二次方程 化成 的形式，则 的值分别是（ ）
A．4，25 B．-4，25 C．-2，5 D．-8，73
6．（2021九上·东莞期中）把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
7．（2021九上·宿迁月考）一元二次方程 通过配方后为 ，则b，c的值分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
8．（2021九上·正定月考）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
9．（2021九上·安义月考）在解方程 时，对方程进行配方，文本框①中是小贤做的，文本框②中是小淇做的，对于两人的做法，下列说法正确的是（ ）．
， ， ， ． ① ， ， ， ． ②
A．两人都正确 B．小贤正确，小淇错误
C．小贤错误，小淇正确 D．两人都错误
10．（2021九上·高州期中）对于两个实数a，b，用 表示其中较大的数，则方程 的解是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
二、填空题
11．（2020九上·立山期中）一元二次方程y2﹣y 0配方后可化为 ．
12．（2021·阳谷模拟）用配方法解方程 ，将方程变为 的形式，则 ．
13．（2020九上·渑池期中）如果一元二次方程 经配方后变为 ，则实数k的值为 .
14．（2020九上·沭阳期中）当 时，代数式 与 的值相等.
15．（2021九上·青县月考）若 ，则a+b= ．
16．（2020九上·延长期末）用配方法解方程 时，可配方为 ，其中 .
17．（2019九上·未央期末）用配方法将方程x2-4x+1=0化成(x+m)2=n的形式(m、n为常数)，则 =
18．（2019·靖远模拟）规定： ，如： ，若 ，则 ＝ .
三、解答题
19．（2021九上·山东月考）解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0
（2）x（x﹣3）＝x﹣3．
（3）x2﹣3x+2＝0
（4）x2﹣6x﹣7＝0．
20．（2021·荆州）已知：a是不等式 的最小整数解，请用配方法解关于x的方程 .
21．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册2.2.1用配方法解一元二次方程 同步训练）我们知道：若 ，则x=3或x=-3.因此，小南在解方程 时，采用了以下的方法：解：移项得 两边都加上1，得 ，所以 ；则 或 所以 或 .小南的这种解方程方法，在数学上称之为配方法.请用配方法解方程
22．（2021九上·李沧期中）（1）解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）＝0．
（3）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k﹣2＝0有一个根为－3，则k的值是多少？另一个根是多少？
23．（2020九上·丹阳月考）已知关于x的方程x2﹣2（m -1）x+m2=0
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）若m+5>1-m，对m选取一个合适的非零整数，使原方程有实数根，并求出实数根.
24．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
25．（2020九上·重庆月考）根据要求，解答下列问题.
（1）根据要求，解答下列问题.
①方程x2－2x＋1＝0的解为 ；
②方程x2－3x＋2＝0的解为 ；
③方程x2－4x＋3＝0的解为 ；
…………
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n.
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性.
26．（2021九上·尧都期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿尔·花拉子米(约780~约850) ，著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x2+2x-35=0的一个解．将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是x2+2·x×1+12，即x2+2x+ 1，而由原方程x2+2x-35=0变形得x2+2x+1=35+1，即边长为x+1的正方形面积为36．所以(x+1)2=36，则x=5．
任务：
（1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的（ ）
A．直接开平方法 B．公式法
C．配方法 D．因式分解法
（2）所用的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．建模思想 D．整体思想
（3）运用上述方法构造出符合方程x2+6x-7=0的一个正根的正方形(画出拼接的正方形并求出正根)．
27．（2021九上·安义月考）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程 ．
解：原方程可变形，得 ，
，
，
直接开平方，得 ， ．
我们称这种解法为“平均数法”
（1）下面是小明用“平均数法”解方程 时写的解题过程：
解：原方程可变形，得 ，
，
，
直接开平方，得 ， ．
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是 ， ， ， ．
（2）请用“平均数法”解方程： ．
28．（2020九上·莲池期中）阅读材料：
把代数式通过配凑等手段得到局部完全平方式，再进行有关计算和解题，这种解题方法叫做配方法.
如①用配方法分解因式： .
解：原式=
=
②M= ，利用配方法求M的最小值.
解：M=
=
M有最小值1.
请根据上述材料，解决下列问题：
（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：
（2）用配方法分解因式：
（3）若M= ，求M的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A. 化为 ，符合题意；
B. 化为 ，不符合题意；
C. 化为 ，符合题意；
D. 化为 ，不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用配方法的步骤化简并逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：y2- y-1=0，
方程移项得：y2- y=1，
配方得：y2- y+ =1+ ，即（y- ）2 = ，
则y- =±
∴y= ± ，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算法则求解即可。
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
则 ，即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再求出即可作答。
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
方程移项得：x2+8x=9，
配方得：x2+8x+16=25，即（x+4）2=25，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的步骤及计算方法将方程变形即可。
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】方程移项得： ，
配方得： ，
即 ，
则 ，
故答案为：B．
【分析】根据配方法即可求出答案。
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴m＝﹣2，n＝5，
故答案为：D．
【分析】利用配方法将一般式转换成顶点式即可。
7．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由 ，得
.
一元二次方程 通过配方后为 ，
，①
，②
由①②解得， ， .
故答案为：A.
【分析】通过对一元二次方程x2+ 6x+c= 0配方后得(x+ b)2= 16，利用完全平方公式展开，根据多项式相等，则各系数对应相等的特点，可求b， c的值.
8．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 的下一步应该是 ，故甲不符合题意，
的下一步应该是 ，故丙不符合题意，
故答案为：C．
【分析】求出和判断即可。
9．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据配方法和完全平方式，两个人的做法都符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用配方法和完全平方式法求解即可。
10．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵max（a，b）表示其中较大的数，
∴当x＞0时，max（x，-x）=x，
方程为x2=2x+1，
x2-2x+1=2，
（x-1）2=2，
∴x-1=± ，
∴x=1± ，
∴x＞0，
∴x=1+ ；
当x＜0时，max（x，-x）=-x．
方程为-x2=2x+1
x2+2x+1=0，
（x+1）2=0，
∴x=-1，
故方程x×max（x，-x）=2x+1的解是-1，1+
故答案为：C．
【分析】分两种情况：①当x＞0时，max（x，-x）=x，②当x＜0时，max（x，-x）=-x，据此分别建立方程，分别求解即可.
11．【答案】（y ）2＝1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵y2﹣y 0，
∴y2﹣y 1，
∴（y ）2＝1，
故答案为：（y ）2＝1．
【分析】先求出y2﹣y 1，再利用配方法求解即可。
12．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程；完全平方式
【解析】【解答】解：3x2-6x+2=0，
，即 m=1．
故填1．
【分析】本题考查一元二次方程--配方法，熟练掌握完全平方公式是关键。先将方程整理，然后利用完全平方公式配方得到结果即可。
13．【答案】11
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x2-8x+16=k，
∴x2-8x+16-k=0，
∵ 经配方后变为 ，
∴16-k=5，
∴k=11.
故答案为：11.
【分析】将(x-4)2=k展开可得x2-8x+16-k=0，结合题意可得16-k=5，求解可得k的值.
14．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得 =x-1，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=1
故答案为：1.
【分析】根据题意得出 =x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得.
15．【答案】4
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵(x+1)2 b=x2+2x+1-b=x2+ax 1，
∴ ，
解得： ，
∴a+b=2+2=4，
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
16．【答案】-6
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
可配方为 ，
.
故答案为： .
【分析】把方程 左边配成完全平方，与 比较即可.
17．【答案】1
【知识点】代数式求值；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2-4x+1=0
移项得：x2-4x=-1
配方得：x2-4x+4=-1+4
即（x-2）2=3
∵ (x+m)2=n
∴m=-2，n=3
∴
故答案为：1
【分析】利用配方法将原方程转化为（x-2）2=3即(x+m)2=n ，就可求出m、n的值，然后代入代数式求值即可。
18．【答案】1或-3
【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3.
故答案是：1或-3.
【分析】根据a b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可.
19．【答案】（1）解：
即 或
解得：
（2）解：
即 或
解得：
（3）解：
这里
∴
∴
（4）解：
即 或
解得：
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可；
（3）利用公式法求解一元二次方程即可；
（4）利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
20．【答案】解：∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∵a是不等式 的最小整数解，
∴ ；
∴关于x的方程 ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ， .
【知识点】配方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】先解不等式，在其解集中取最小整数，得出a的值，然后将a代入关于x的方程，再利用配方法解方程即可.
21．【答案】解：移项得： 两边都加上4，
得 ，
所以 =9；
则 或
所以 或
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，转化为（x-m）2=n的形式，然后利用直接开平方法求出方程的解。
22．【答案】（1）解：x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝ ，
解得：x1＝1+ ，x2＝1﹣ ；
（2）解：方程整理为一般式，得：3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴△＝102﹣4×3×5＝40＞0，
则x＝ ＝ ＝ ，
即x1＝ ，x2＝ ．
（3）解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝ ，x1·x2＝
将a＝1，b＝2，c＝k﹣2，代入上式得
x1+x2＝－2， x1·x2＝k﹣2
∵方程的一个根为－3，即x1＝－3，
∴另一个根x2＝1，
代入得：k＝－1
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式方法求解一元二次方程即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2＝ ，x1·x2＝ ，再将数据代入计算即可。
23．【答案】（1）∵方程没有实数根
∴ ﹣4ac= =-8m+4＜0，
∴ ，
∴当 时，原方程没有实数根；
（2）由(1)可知， 时，方程有实数根，
m+5>1-m
m>-2
∴当m=-1时，原方程变为：
x2+4x+1=0
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】(1)要使原方程没有实数根，只需△＜0即可，然后可以得到关于m的不等式，由此即可求出m的取值范围；(2)根据(1)中求得的范围，在范围之外，结合题意确定一个m的值，再解方程求出实数根.
24．【答案】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
（2）x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n x2=﹣4n．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）移项要变号；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．
25．【答案】（1）x1＝1，x2＝1；x1＝1，x2＝2；x1＝1，x2＝3
（2）x1＝1，x2＝8；x2－(1＋n)x＋n＝0
（3）x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋ ＝－8＋
(x－ )2＝
∴x－ ＝± .
∴x1＝1，x2＝8.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1） ①x2－2x＋1＝0 ，
∴（x-1）（x-1）=0，
∴x1=1，x2=1；
②x2－3x＋2＝0 ，
（x-1）（x-2）=0，
∴x1=1，x2=2；
③x2－4x＋3＝0 ，
（x-1）（x-3）=0，
∴x1＝1，x2＝3 .
故答案为：①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3.
（2） ①x2－9x＋8＝0 ，
（x-1）（x-8）=0，
∴x1＝1，x2＝8 ；
② 由题意得：（x-1）（x-n）=0，
∴x2－x-nx＋n＝0 ，
∴x2－(1＋n)x＋n＝0 ；
故答案为：①x1＝1，x2＝8；②x2－(1＋n)x＋n＝0
【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3.解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
26．【答案】（1）C
（2）B
（3）解：将边长为x的正方形和边长为3的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为3，拼合在一起面积就是x2+2×3×x+3×3，即x2+6．x+9，而由原方程x2+6x-7=0变形得x2+6x+9=16，即图中边长为x+3的正方形面积为16．所以(x+3)2=16x+3=4，则x=1．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据阅读材料得出所用方法为配方法，即可得出答案；
（2）根据阅读材料得出所用的数学思想方法是数形结合思想，即可得出答案；
（3）构造出边长为（x+3）的正方形，其面积为16，得出x=1，即可得出答案.
27．【答案】（1）5；3；2；﹣12
（2）解：原方程可变形，得 ，
，
，
直接开平方，得 ， ．
【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：原方程可变形，得 ，
，
，
直接开平方，得 ， ．
∴a=5，b=3，c=2，d=﹣12，
故答案为：5，3，2，﹣12；
【分析】（1）先求出，再解方程求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后解方程即可。
28．【答案】（1）
（2）解：
=
=
=
= ；
（3）解：M ，
，
当x=-2时，M有最小值-2.
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：(1)x2-x+ = ，
故答案为 ；
【分析】(1)根据阅读材料，可知只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式，由此即可得答案；(2)根据材料中的方法进行分解因式即可；(3)根据阅读材料中的方法通过配方进行求解即可.
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