苏科版初中数学九年级上册1.2.3 一元二次方程的解法—根的判别式及应用 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·古冶期中）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＋2x＝0 B．x2＋2x＋1＝0
C．x2＋2x﹣1＝0 D．x2＋2x＋2＝0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵a＝1，b＝2，c＝0，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、∵a＝1，b＝2，c＝1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×1＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、∵a＝1，b＝2，c＝2，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴此方程没有实数根，故本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断求解即可。
2．（2021九上·襄汾月考）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k 1≠0且Δ＝ 4（k 1）≥0，
解得 且k≠1．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式求解即可得到结果。
3．（2021九上·秦都月考）若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4m2﹣16m＝0，
∴m＝0或m＝4，
∴m＝4，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义可得m≠0，再根据该一元二次方程有两个相等的实数根，得出Δ＝4m2﹣16m＝0，再解关于m的方程并检验，即可解答.
4．（2021九上·嘉祥月考）若关于x的一元二次方程(k - 1)×2+2x–2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．K> B．k≥
C．k> 且k≠1 D．k≥ 且k≠1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程（k-1）x2+2x–2=0有不相等实数根，
∴ =22-4（k-1）×（-2）=4+8（k-1）＞0，k-1≠0，
∴k＞且k≠1.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程有不相等实数根，得出 =4+8（k-1）＞0且k-1≠0，即可求出k的取值范围.
5．（2021九上·大兴期中）方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程 为一元二次方程
判别式
方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程的根的判别式求解即可。
6．（2021九上·牡丹期中）若一元二次方程 无实数根，则一次函数 的图像经过第（ ）
A．二、三、四象限 B．一、三、四象限
C．一、二、四象限 D．一、二、三象限
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由已知得： ，
解得 ，
∵一次函数 中， ，
∴该一次函数图象在第二、三、四象限，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根的判别式可求出，再根据一次函数的图形与系数的关系可得到一次函数的图象经过哪些象限。
7．（2021九上·梁山月考）要使关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程 =2的解为非负数的所有整数a的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解分式方程
【解析】【解答】解：，
两边同乘以x-4，得x-a-2=2x-8，
∴x=6-a，
∵x≥0，x-4≠0，
∴6-a≥0，6-a-4≠0，
∴a≤6且a≠2
∵ 一元二次方程ax2+2x-1=0有两个实数根，
∴ =4+4a≥0且a≠0，
∴a≥-1且a≠0，
∴-1≤a≤6且a≠2且a≠0，
∴整数a=6，5，4，3，1，-1，共6个.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式求出a的取值范围，再根据分式方程的解为非负数得出a的取值范围，从而得出-1≤a≤6且a≠2且a≠0，即可得出答案.
8．（2020九上·江都月考）已知关于 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或a>0 D． 或a>0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】先将原方程变形为 ，这是一个以 为未知数的一元二次方程.当|x-3|<0时，x无解；当|x-3|=0时，只有1解；当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解.所以关于 的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根.
当关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时，
，解得 =-2
②当关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时： ，解得即a>0.
综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2.
【分析】先将原方程变形为 ，把当做未知数，分两种情况讨论：①当关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式得出，解方程求出a=-2，②当关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时，得出，解不等式组求出a>0，即可求解.
9．（2015九上·句容竞赛）已知 的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（ ）。
A．有两相等实根 B．有两相异实根
C．无实根 D．不能确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2≠0．
∴△=（c2-a2-b2）2-4a2 b2，
=（c2-a2-b2-2ab）（c2-a2-b2+2ab），
=[c2-（a+b）2][c2-（a-b）2]，
=（c-a-b）（c+a+b）（c+a-b）（c-a+b），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
所以△＜0，则原方程没有实数根．
答案为：C．
【分析】算出判别式，进行分解因式，再根据两边之和大于第三边，得出答案△＜0，则原方程没有实数根．
10．关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（ ）.
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】△=4k2-4（k-1）
=（2k-1）2+3，
∵（2k-1）2≥0，
∴（2k-1）2+3＞0，
即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
选B
【分析】先计算判别式的值得到△=（2k-1）2+3，根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义进行判断
二、填空题
11．（2021九上·罗庄期中）关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是 .
【答案】k≥
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k＝0时，方程为3x 1＝0，有实数根；
当k≠0时，△＝b2 4ac＝9＋4k≥0，
解得：k≥ ，
综上可知，当k≥ 时，方程有实数根；
故答案为k≥ .
【分析】分当k＝0时，当k≠0时两种情况分类讨论即可。
12．（2021九上·蒙阴期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】 且 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
， ，
解得： 且 ．
故答案是： 且 ．
【分析】利用根的判别式求待定字母取值范围即可。
13．（2021九上·铁东月考）已知关于x的一元二次方程ax2+4x+5﹣b＝0有两个相等的实数根，则 +b的值等于 ．
【答案】5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
整理得： ，
，
∵方程ax2+4x+5﹣b＝0是一元二次方程，
∴ ，
等式两边同时除以 得： ，
∴ ．
故答案为：5
【分析】直接利用根的判别式得出，化简得出答案。
14．（2021九上·桥头镇月考）若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2-6x+m=0的两个根，则m的值为 ．
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2-6x+m=0的两个根，
∴△=（-6）2-4m=0，解得m=9；
当腰长为2，则x=2为方程x2-6x+m=0的一个根，
∴4-12+m=0，解得m=8，
方程化为x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，
∵2+2=4，
∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，m的值为9．
故答案为：9．
【分析】分类讨论：当底边为2时，则腰长为方程x2-6x+m=0的两个根，利用判别式的意义得到△=（-6）2-4m=0，解方程得到m的值；当腰长为2时，x=2为方程x2-6x+m=0的一个跟，求出m的值，方程化为x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，然后根据三角形三边的关系可判断出这种情况不符合题意。
15．（2021九上·青县月考）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 的取值范围为 ．
【答案】 1≤k＜1且k≠
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴1 2k≠0且2k＋2≥0且△＝( )2 4×( 1)×(1 2k)＞0，
解得： 1≤k＜1且k≠ ．
故答案为： 1≤k＜1且k≠ ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义列出不等式求解即可。
16．（2021九上·赣州期中）已知 的两边 、 的长是关于 的一元二次方程 的两个实数根，第三边 的长为5，当 是等腰三角形时，则k的值为 ．
【答案】5或4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】△=（2k+1）2-4（k2+k）=4k2+4k+1-4 k2-4k =1，
所以x= ，解得x1=k+1，x2=k，
当k+1=5时，解得k=4，此时△ABC是等腰三角形，
当k=5时，此时△ABC是等腰三角形，
即k为值为：5或4．
故答案为5或4．
【分析】先计算出判别式的值得出△=1，则可利用求根公式得出方程的解，得出此时△ABC是等腰三角形，从而确定k的值。
17．（2021九上·平昌期中）关于x的方程ax2＋2x－a＋2＝0(a是已知数)有以下三个结论：①当a＝0时，方程只有一个实数解；②当a≠0时，方程有两个不相等的实数解；③当a是任意实数时，方程总有负数解，其中正确的是 (填序号).
【答案】①③
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当 时， ， 方程只有一个解，①正确；
当 时，方程ax2＋2x－a＋2＝0是一元二次方程， ，方程有2个实数解，故②不正确；
， 所以x=﹣1是方程的根，③正确；
故答案为：①③.
【分析】当a=0时，方程变为2x+2=0，据此判断①；求出判别式的值，根据其正负确定方程根的情况，据此判断②；对原方程因式分解可得(x+1)(ax-a+2)=0，据此判断③.
18．（2019九上·澧县月考）反比例函数y＝ 的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋ ＝0的根的情况是 ．
【答案】没有实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y= 的图象位于一、三象限，
∴a+4＞0，
∴a＞-4，
∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，
∴2xy＞12，
即a+4＞6，a＞2
∴a＞2．
∴△=（-1）2-4（a-1）× =2-a＜0，
∴关于x的方程（a-1）x2-x+ =0没有实数根．
故答案为：没有实数根．
【分析】由比例函数y= 的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，得出2xy＞12，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可．
三、解答题
19．（2021九上·法库期末）若关于x的一元二次方程 有实数根，求m的取值范围.
【答案】解：根据题意得 且 ，
解得 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 且 ，然后求出两个不等式的公共部分即可.
20．（2021九上·揭西月考）已知关于 的一元二次方程 有两实数根 ，求 的取值范围
【答案】解：∵ 方程 有两实数根
∴ ≥0 ，
解得： ≤ ，
∴ 的取值范围为： ≤
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
21．（2021九上·李沧月考）已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解．
【答案】解：∵ ， ， ，
根据题意，得： =22-4×（k-1）×（-1）＞0且k-1≠0，
解得k＞0且k≠1，
所以k的最小整数解为2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
22．（2021九上·牡丹月考）已知关于 的方程 有两个相等实数根，求 的值，并求出方程的两个根．
【答案】解：由题意可得： ，
解得：m=-1，
当m=-1时，原方程为 ，
解得：x1=x2=2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意利用根的判别式列出方程求出m的值，再解一元二次方程即可。
23．（2021九上·西安月考）已知：关于x的一元二次方程 .
求证：此方程一定有实数根.
【答案】证明：∵m≠0，且 ， ， ，
∴ （m-2）2-4m×（-2）
=m2-4m+4+8m
=m2+4m+4
=（m+2）2≥0，
∴方程一定有实数根；
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先求出b2-4ac的值，再证明b2-4ac≥0，由此可证得结论.
24．（2021九上·朝阳期中）对于实数u、v，定义一种运算“*”为： ．若关于x的方程 有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值．
【答案】解：由 ，得 即 ，
∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【分析】由 ，得 即 ，根据关于x的方程 有两个相等的实数根，即可得出满足条件的实数a的值．
25．（2021九上·互助期中）已知关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为满足条件的最大整数，则方程的根为 ．
【答案】（1）解：∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，且原方程中 ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】（2）由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为： ， ．
【分析】（1）关于 的方程 有两个不相等的实数根，且原方程中 ，得出 ，即可得出m的取值范围；
（2）由（1）得： ，得出，即可得出x的值。
26．（2021九上·罗庄期中）已知关于x的方程x2＋ax＋a﹣3＝0．
（1）若该方程的一个根为2，求a的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：将x＝2代入方程x2＋ax＋a﹣3＝0得4＋2a＋a﹣3＝0，解得a＝﹣ ，
方程为x2﹣ x﹣ ＝0，即3x2﹣x﹣10＝0，
解得设x1＝﹣ ，x2＝2．
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣3）
＝a2﹣4a＋12
＝a2﹣4a＋4＋8
＝（a﹣2）2＋8＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】（1）将x=2代入方程x2＋ax＋a﹣3＝0得出a的值，再根据跟与系数的关系求出另一个根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式进行解答即可。
27．（2021九上·大兴期中）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）当 取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【答案】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，即 ．
又 ，
，即 ．
解得 ．
的取值范围是 且 ．
（2）在 且 的范围内，最大整数 为 ．
此时，方程化为 ．
方程的根为 ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）根据（1）可求出m的值，再将m的值代入方程，最后利用公式法求解方程即可。
28．（2021九上·梁山月考）如图，在菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线长和边长，这时我们把关于x的形如“mx2+2 tx+n=0”的元二次方程称为“菱系一元二次方程”。请解决下列问题：
（1）填空：
①当m=6，n=8时，t=
②用含m，n的代数式表示t2值，t2=
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程” mx2+2 tx+n=0必有实数根：
（3）若x=-1是“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0的一个根，且菱形的面积是25，BE是菱形ABCD的AD边上的高，求BE的值。
【答案】（1）5； m2+ n2
（2）解：mx2+2 tx+n=0，这里，a=m，b=2 t，c=n，
∴△=（2 t）2-4mn=8t2-4mn，
∵t2= m2+ n2，∴△=2m2+2n2-4mn=2（m-n）2≥0．
∴关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0必有实数根
（3）解：∵x=-1是“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0的一个根，
∴m-2 t+n=0，
∴2 t=m+n，
∴8t2=m2+n2+2mn，
∵m2+n2=4t2
∴2t2=mn，
∵菱形面积是25，
∴ mn=25，
∴t2=25，t=5即AD=5，
∴BE=25÷5=5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：（1）①当m=6、n=8时，AO=4，DO=3，
则AD= = =5，即t= 5；
②由题意知AO= AC= m，DO= BD= n
则AD= = =
∴t2= m2+ n2
【分析】（1）①根据菱形的性质得出AO=4，DO=3，根据勾股定理求出AD=5，即可得出t的值；
②根据菱形的性质得出AO=m，DO=n，根据勾股定理求出AD的长，即可得出t2的值；
（2）根据一元二次方程根的判别式得出△=2（m-n）2≥0，即可得出 “菱系一元二次方程” mx2+2 tx+n=0必有实数根：
（3）把x=-1代入一元二次方程得出 t=m+n，从而得出2t2=mn， 再根据菱形的面积等于25得出mn=25， 从而得出t2=25， 得出AD=5，再根据菱形的面积等于25即可求出BE的长.
1 / 1苏科版初中数学九年级上册1.2.3 一元二次方程的解法—根的判别式及应用 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·古冶期中）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＋2x＝0 B．x2＋2x＋1＝0
C．x2＋2x﹣1＝0 D．x2＋2x＋2＝0
2．（2021九上·襄汾月考）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
3．（2021九上·秦都月考）若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4
4．（2021九上·嘉祥月考）若关于x的一元二次方程(k - 1)×2+2x–2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．K> B．k≥
C．k> 且k≠1 D．k≥ 且k≠1
5．（2021九上·大兴期中）方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
6．（2021九上·牡丹期中）若一元二次方程 无实数根，则一次函数 的图像经过第（ ）
A．二、三、四象限 B．一、三、四象限
C．一、二、四象限 D．一、二、三象限
7．（2021九上·梁山月考）要使关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程 =2的解为非负数的所有整数a的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
8．（2020九上·江都月考）已知关于 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或a>0 D． 或a>0
9．（2015九上·句容竞赛）已知 的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（ ）。
A．有两相等实根 B．有两相异实根
C．无实根 D．不能确定
10．关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（ ）.
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
二、填空题
11．（2021九上·罗庄期中）关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是 .
12．（2021九上·蒙阴期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
13．（2021九上·铁东月考）已知关于x的一元二次方程ax2+4x+5﹣b＝0有两个相等的实数根，则 +b的值等于 ．
14．（2021九上·桥头镇月考）若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2-6x+m=0的两个根，则m的值为 ．
15．（2021九上·青县月考）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 的取值范围为 ．
16．（2021九上·赣州期中）已知 的两边 、 的长是关于 的一元二次方程 的两个实数根，第三边 的长为5，当 是等腰三角形时，则k的值为 ．
17．（2021九上·平昌期中）关于x的方程ax2＋2x－a＋2＝0(a是已知数)有以下三个结论：①当a＝0时，方程只有一个实数解；②当a≠0时，方程有两个不相等的实数解；③当a是任意实数时，方程总有负数解，其中正确的是 (填序号).
18．（2019九上·澧县月考）反比例函数y＝ 的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋ ＝0的根的情况是 ．
三、解答题
19．（2021九上·法库期末）若关于x的一元二次方程 有实数根，求m的取值范围.
20．（2021九上·揭西月考）已知关于 的一元二次方程 有两实数根 ，求 的取值范围
21．（2021九上·李沧月考）已知：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．求：k的最小整数解．
22．（2021九上·牡丹月考）已知关于 的方程 有两个相等实数根，求 的值，并求出方程的两个根．
23．（2021九上·西安月考）已知：关于x的一元二次方程 .
求证：此方程一定有实数根.
24．（2021九上·朝阳期中）对于实数u、v，定义一种运算“*”为： ．若关于x的方程 有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值．
25．（2021九上·互助期中）已知关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为满足条件的最大整数，则方程的根为 ．
26．（2021九上·罗庄期中）已知关于x的方程x2＋ax＋a﹣3＝0．
（1）若该方程的一个根为2，求a的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
27．（2021九上·大兴期中）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）当 取满足条件的最大整数时，求方程的根．
28．（2021九上·梁山月考）如图，在菱形ABCD中，m、n、t分别是菱形ABCD的两条对角线长和边长，这时我们把关于x的形如“mx2+2 tx+n=0”的元二次方程称为“菱系一元二次方程”。请解决下列问题：
（1）填空：
①当m=6，n=8时，t=
②用含m，n的代数式表示t2值，t2=
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程” mx2+2 tx+n=0必有实数根：
（3）若x=-1是“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0的一个根，且菱形的面积是25，BE是菱形ABCD的AD边上的高，求BE的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵a＝1，b＝2，c＝0，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、∵a＝1，b＝2，c＝1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×1＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、∵a＝1，b＝2，c＝2，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴此方程没有实数根，故本选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断求解即可。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k 1≠0且Δ＝ 4（k 1）≥0，
解得 且k≠1．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式求解即可得到结果。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4m2﹣16m＝0，
∴m＝0或m＝4，
∴m＝4，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义可得m≠0，再根据该一元二次方程有两个相等的实数根，得出Δ＝4m2﹣16m＝0，再解关于m的方程并检验，即可解答.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程（k-1）x2+2x–2=0有不相等实数根，
∴ =22-4（k-1）×（-2）=4+8（k-1）＞0，k-1≠0，
∴k＞且k≠1.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程有不相等实数根，得出 =4+8（k-1）＞0且k-1≠0，即可求出k的取值范围.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程 为一元二次方程
判别式
方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程的根的判别式求解即可。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由已知得： ，
解得 ，
∵一次函数 中， ，
∴该一次函数图象在第二、三、四象限，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根的判别式可求出，再根据一次函数的图形与系数的关系可得到一次函数的图象经过哪些象限。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解分式方程
【解析】【解答】解：，
两边同乘以x-4，得x-a-2=2x-8，
∴x=6-a，
∵x≥0，x-4≠0，
∴6-a≥0，6-a-4≠0，
∴a≤6且a≠2
∵ 一元二次方程ax2+2x-1=0有两个实数根，
∴ =4+4a≥0且a≠0，
∴a≥-1且a≠0，
∴-1≤a≤6且a≠2且a≠0，
∴整数a=6，5，4，3，1，-1，共6个.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式求出a的取值范围，再根据分式方程的解为非负数得出a的取值范围，从而得出-1≤a≤6且a≠2且a≠0，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】先将原方程变形为 ，这是一个以 为未知数的一元二次方程.当|x-3|<0时，x无解；当|x-3|=0时，只有1解；当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解.所以关于 的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根.
当关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时，
，解得 =-2
②当关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时： ，解得即a>0.
综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2.
【分析】先将原方程变形为 ，把当做未知数，分两种情况讨论：①当关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式得出，解方程求出a=-2，②当关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时，得出，解不等式组求出a>0，即可求解.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2≠0．
∴△=（c2-a2-b2）2-4a2 b2，
=（c2-a2-b2-2ab）（c2-a2-b2+2ab），
=[c2-（a+b）2][c2-（a-b）2]，
=（c-a-b）（c+a+b）（c+a-b）（c-a+b），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
所以△＜0，则原方程没有实数根．
答案为：C．
【分析】算出判别式，进行分解因式，再根据两边之和大于第三边，得出答案△＜0，则原方程没有实数根．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】△=4k2-4（k-1）
=（2k-1）2+3，
∵（2k-1）2≥0，
∴（2k-1）2+3＞0，
即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
选B
【分析】先计算判别式的值得到△=（2k-1）2+3，根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义进行判断
11．【答案】k≥
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k＝0时，方程为3x 1＝0，有实数根；
当k≠0时，△＝b2 4ac＝9＋4k≥0，
解得：k≥ ，
综上可知，当k≥ 时，方程有实数根；
故答案为k≥ .
【分析】分当k＝0时，当k≠0时两种情况分类讨论即可。
12．【答案】 且 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
， ，
解得： 且 ．
故答案是： 且 ．
【分析】利用根的判别式求待定字母取值范围即可。
13．【答案】5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
整理得： ，
，
∵方程ax2+4x+5﹣b＝0是一元二次方程，
∴ ，
等式两边同时除以 得： ，
∴ ．
故答案为：5
【分析】直接利用根的判别式得出，化简得出答案。
14．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2-6x+m=0的两个根，
∴△=（-6）2-4m=0，解得m=9；
当腰长为2，则x=2为方程x2-6x+m=0的一个根，
∴4-12+m=0，解得m=8，
方程化为x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，
∵2+2=4，
∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，m的值为9．
故答案为：9．
【分析】分类讨论：当底边为2时，则腰长为方程x2-6x+m=0的两个根，利用判别式的意义得到△=（-6）2-4m=0，解方程得到m的值；当腰长为2时，x=2为方程x2-6x+m=0的一个跟，求出m的值，方程化为x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，然后根据三角形三边的关系可判断出这种情况不符合题意。
15．【答案】 1≤k＜1且k≠
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴1 2k≠0且2k＋2≥0且△＝( )2 4×( 1)×(1 2k)＞0，
解得： 1≤k＜1且k≠ ．
故答案为： 1≤k＜1且k≠ ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义列出不等式求解即可。
16．【答案】5或4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】△=（2k+1）2-4（k2+k）=4k2+4k+1-4 k2-4k =1，
所以x= ，解得x1=k+1，x2=k，
当k+1=5时，解得k=4，此时△ABC是等腰三角形，
当k=5时，此时△ABC是等腰三角形，
即k为值为：5或4．
故答案为5或4．
【分析】先计算出判别式的值得出△=1，则可利用求根公式得出方程的解，得出此时△ABC是等腰三角形，从而确定k的值。
17．【答案】①③
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当 时， ， 方程只有一个解，①正确；
当 时，方程ax2＋2x－a＋2＝0是一元二次方程， ，方程有2个实数解，故②不正确；
， 所以x=﹣1是方程的根，③正确；
故答案为：①③.
【分析】当a=0时，方程变为2x+2=0，据此判断①；求出判别式的值，根据其正负确定方程根的情况，据此判断②；对原方程因式分解可得(x+1)(ax-a+2)=0，据此判断③.
18．【答案】没有实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y= 的图象位于一、三象限，
∴a+4＞0，
∴a＞-4，
∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于12，
∴2xy＞12，
即a+4＞6，a＞2
∴a＞2．
∴△=（-1）2-4（a-1）× =2-a＜0，
∴关于x的方程（a-1）x2-x+ =0没有实数根．
故答案为：没有实数根．
【分析】由比例函数y= 的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，得出2xy＞12，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可．
19．【答案】解：根据题意得 且 ，
解得 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 且 ，然后求出两个不等式的公共部分即可.
20．【答案】解：∵ 方程 有两实数根
∴ ≥0 ，
解得： ≤ ，
∴ 的取值范围为： ≤
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
21．【答案】解：∵ ， ， ，
根据题意，得： =22-4×（k-1）×（-1）＞0且k-1≠0，
解得k＞0且k≠1，
所以k的最小整数解为2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
22．【答案】解：由题意可得： ，
解得：m=-1，
当m=-1时，原方程为 ，
解得：x1=x2=2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意利用根的判别式列出方程求出m的值，再解一元二次方程即可。
23．【答案】证明：∵m≠0，且 ， ， ，
∴ （m-2）2-4m×（-2）
=m2-4m+4+8m
=m2+4m+4
=（m+2）2≥0，
∴方程一定有实数根；
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】先求出b2-4ac的值，再证明b2-4ac≥0，由此可证得结论.
24．【答案】解：由 ，得 即 ，
∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【分析】由 ，得 即 ，根据关于x的方程 有两个相等的实数根，即可得出满足条件的实数a的值．
25．【答案】（1）解：∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，且原方程中 ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】（2）由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为： ， ．
【分析】（1）关于 的方程 有两个不相等的实数根，且原方程中 ，得出 ，即可得出m的取值范围；
（2）由（1）得： ，得出，即可得出x的值。
26．【答案】（1）解：将x＝2代入方程x2＋ax＋a﹣3＝0得4＋2a＋a﹣3＝0，解得a＝﹣ ，
方程为x2﹣ x﹣ ＝0，即3x2﹣x﹣10＝0，
解得设x1＝﹣ ，x2＝2．
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣3）
＝a2﹣4a＋12
＝a2﹣4a＋4＋8
＝（a﹣2）2＋8＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】（1）将x=2代入方程x2＋ax＋a﹣3＝0得出a的值，再根据跟与系数的关系求出另一个根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式进行解答即可。
27．【答案】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，即 ．
又 ，
，即 ．
解得 ．
的取值范围是 且 ．
（2）在 且 的范围内，最大整数 为 ．
此时，方程化为 ．
方程的根为 ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）根据（1）可求出m的值，再将m的值代入方程，最后利用公式法求解方程即可。
28．【答案】（1）5； m2+ n2
（2）解：mx2+2 tx+n=0，这里，a=m，b=2 t，c=n，
∴△=（2 t）2-4mn=8t2-4mn，
∵t2= m2+ n2，∴△=2m2+2n2-4mn=2（m-n）2≥0．
∴关于x的“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0必有实数根
（3）解：∵x=-1是“菱系一元二次方程”mx2+2 tx+n=0的一个根，
∴m-2 t+n=0，
∴2 t=m+n，
∴8t2=m2+n2+2mn，
∵m2+n2=4t2
∴2t2=mn，
∵菱形面积是25，
∴ mn=25，
∴t2=25，t=5即AD=5，
∴BE=25÷5=5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：（1）①当m=6、n=8时，AO=4，DO=3，
则AD= = =5，即t= 5；
②由题意知AO= AC= m，DO= BD= n
则AD= = =
∴t2= m2+ n2
【分析】（1）①根据菱形的性质得出AO=4，DO=3，根据勾股定理求出AD=5，即可得出t的值；
②根据菱形的性质得出AO=m，DO=n，根据勾股定理求出AD的长，即可得出t2的值；
（2）根据一元二次方程根的判别式得出△=2（m-n）2≥0，即可得出 “菱系一元二次方程” mx2+2 tx+n=0必有实数根：
（3）把x=-1代入一元二次方程得出 t=m+n，从而得出2t2=mn， 再根据菱形的面积等于25得出mn=25， 从而得出t2=25， 得出AD=5，再根据菱形的面积等于25即可求出BE的长.
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