苏科版初中数学九年级上册1.2.4 一元二次方程的解法—公式法 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·高州期中）用公式法解﹣x2+3x＝1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（ ）
A．﹣1，3，1 B．1，3，1 C．﹣1，3，﹣1 D．1，﹣3，﹣1
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将方程整理为一般形式为﹣x2+3x﹣1＝0，
可得二次项系数a＝﹣1，一次项系数b＝3，常数项为﹣1．
故答案为：C．
【分析】将方程整理为一元二次方程的一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项即可．
2．（北师大版数学九年级上册第二章第三节《用公式法求解一元一次方程》）如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，则b2-4ac≥0；故选A．
【分析】若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判断出正确的选项．
3．（2020九上·胶州月考）方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】先确定a、b、c的值，求出△的符号，利用公式法即可得到方程的解.
4．方程的根是（ ）
A． ， B．
C． D．没有实数根
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据方程特点选用公式法，找出a=1，b=-1，c=-1，算出△=5＞0，
代入求根公式， 可得，，
故选B
5．（2020九上·番禺期末）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1+ ，x2＝1﹣ D．x1＝1+ ，x2＝1﹣
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
则x＝ ＝1± ，
即x1＝1+ ，x2＝1﹣ ，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程的公式法求解可得．
6．（2021九上·正定月考）若 是某个一元一次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的求根公式为 ，而 是某个一元二次方程的根，
∴ ， ， ，
∴该一元二次方程为3x2﹣2x﹣1＝0，
故答案为：D．
【分析】先求出 ， ， ，再计算求解即可。
7．（2020九上·顺德月考）已知一元二次方程 的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解 得 ，∴较小根为 ．∵ ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据公式法解一元二次方程，再估算无理数的大小，进行作答即可。
8．（2021九上·淮南月考）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为（ ）
A．5 B．3或5 C．13 D．11或13
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2－8x＋15＝0，
得：x1=3，x2=5；
当x=3时，三角形三边长为2、3、6，2+3<6，构不成三角形，故x=3不合题意；
当x=5时，三角形三边长为2、5、6，6-2＜5＜6+2，能构成三角形；
所以这个三角形的周长为5+6+2=13．
故答案为：C．
【分析】求出方程的两个根，根据三角形三边的关系，判断得到边长，计算得到三角形的周长即可。
9．（2020九上·姜堰期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a 2），BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.下列哪条线段的长度是方程 的一个根（ ）
A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=a
在Rt△BCD中，由勾股定理得， ，
∴BF= ，
解方程 得 ，
∴线段BF的长是方程 的一个根.
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质可得CD=AB=a，由勾股定理表示出BD、BF，求出方程x2+2ax-4=0的根，据此判断.
10．（2021·盂县模拟）将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝ ，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∵x＞0，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先求出x＝ ，且x2＝x+1，再计算求解即可。
二、填空题
11．（北师大版数学九年级上册第二章第三节《用公式法求解一元一次方程》）一元二次方程x2-3x-2=0的解是 。
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】这里a=1，b=-3，c=-2，
∵△=9+8=17，
∴
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解
12．（2018九上·老河口期中）一元二次方程 的根是 .
【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ =( )2-4×(-6)=32>0,
∴ ，
∴ ， .
故答案为： ， .
【分析】观察方程的特点：二次项系数为1，一次项系数含有根号，利用公式法，先求出b2-4ac的值，再代入一元二次方程的求根公式进行计算，即可求出方程的解。
13．（2021九上·绵阳月考）已知 （b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 .
【答案】0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x为一元二次方程 的一个根，
∴ ，
故答案为：0.
【分析】利用已知x的值，可知x为一元二次方程 的一个根，即可得到代数式的值.
14．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.3 公式法 同步练习）方程x2-2|x+4|-27=0的所有根的和为 ．
【答案】6-2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①当x＞-4时；原方程可化为x2-2x-35=0，解得x=-5或7，舍去-5；
②当x＜-4时；原方程可化为x2+2x-19=0，解得x=-1±2 ，舍去正号；
∴两根为7和-1-2 ，
∴7+（-1-2 ）=6-2 ．
故答案为：6-2
【分析】由绝对值的性质可知，分x＞-4和x＜-4两种情况求解。
①当x＞-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解；
②当x＜-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解。
15．（2021九上·高邮期末）如果关于x的方程 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据方程的求根公式可得：
x= = ，
解得x1=1，x2=2a+1
∵x1=1，
∴小于1的正数根只能为2a+1，
即0＜2a+1＜1，
解得 < a<0.
故答案为： < a<0.
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围.
16．（2020九上·姜堰期中）若关于 的一元二次方程 有一个正整数解，则正整数 = .
【答案】1或2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得a≠0，△= ，
∴x= ，
∴ ，
∵关于x的一元二次方程 有一个整数根，而a为正整数，
∴ 不符合题意， 必为整数，
∴a=1或2，
故答案为：1或2.
【分析】根据题意可得a≠0，然后求出x的值，然后根据方程有一个整数根可得a的取值.
17．（2020九上·灌云月考）关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为 .
【答案】16或22
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：Δ=b2-4ac= = ，
无论k取何实数值都有Δ = ≥0，
，
则x1=2k，x2= k+1，
①在等腰三角形△ABC中，当边长b，c相等时，
即2k=k+1时，解得k=1，
此时x1=x2=2，即b，c的长为2，而2+2＜6（不满足任意两边之和大于第三边，故舍去），
②在等腰三角形△ABC中，当边长a与x1相等时，
即2k=6时，解得k=3，
此时x1=6，x2= 4，
此时△ABC的周长为6+6+4=16，
③在等腰三角形△ABC中，当边长a与x2相等时，
即k+1=6时，解得k=5，
此时x1=10，x2= 6，
此时△ABC的周长为6+6+10=22，
综上所述：△ABC的周长为16或22；
故答案为16或22.
【分析】首先判定方程是否有实数根，利用求根公式得到x1=2k，x2= k+1，根据等腰三角形的性质分类讨论，分别计算k的值，从而求出b、c的值，然后根据三角形三边的关系和三角形周长的定义求解即可.
18．（2019九上·海州期中）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是 .
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：①当x≥-x，即x≥0时，根据min{a，b}的含义
∴min{x，-x}=-x
又∵min{x，-x}=x2-1
∴-x=x2-1
解得
∵此时x≥0，故 不符合，故舍去；
②当x＜-x，即x＜0时，根据min{a，b}的含义
∴min{x，-x}=x
又∵min{x，-x}=x2-1
∴x=x2-1
解得：
∵此时x＜0，故 不符合，故舍去；
综上所述：方程min{x，-x}=x2-1的解是： .
【分析】利用min{a，b}的含义分类讨论：若x≥-x时，代入解方程即可，若x＜-x时，代入解方程即可.
三、解答题
19．（2021九上·深圳期中）解下列方程：
（1）x2+3x﹣10＝0；
（2）2x2+3x﹣4＝0．
【答案】（1）解：∵
∴(x+5)(x-2)=0，
∴x+5=0，x-2=0，
∴ ；
（2）解：2x2+3x-4=0
∵a=2，b=3，c=-4，
∴b2-4ac=9+32=41>0，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法进行解方程即可；
（2）利用公式法进行解方程即可.
20．（2019九上·湖北月考）已知a、b、c均为实数，且 ，求方程 的根。
【答案】解：∵ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴a=1,b=-1,c=-3,
∴方程 为 ，
解得 ，
【知识点】公式法解一元二次方程；非负数之和为0
【解析】【分析】根据二次根式的非负性、绝对值的非负性、偶数次幂的非负性，由三个非负数的和为0，则这几个数都为0，即可求出a,b,c的值，从而求出方程，再利用求根公式法解方程即可.
21．（2020九上·昆山月考）已知关于x的方程2x2+kx+1﹣k＝0，若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k的值.
【答案】解：∵关于x的方程2x2+kx+1﹣k=0的一个根是﹣1，
∴2﹣k+1﹣k=0，解得k= ，
∴原方程为2x2+ x﹣ =0，解得x=﹣1或x= ，
即方程的另一根为 ，k的值为 .
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程的根代入可求得k的值，代入方程，再解方程即可求得另一个根.
22．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
23．（2021九上·路北期中）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵ ，
∴ ， .
∵方程两个根的绝对值相等，
∴ .
∴ 或-1.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ， ，再求出 ，最后计算求解即可。
24．（浙教版2019年数学中考模拟试卷7）关于x的一元二次方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3＝0
（Ⅰ）当m＝ 时，求方程的实数根；
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
【答案】解：（Ⅰ）当m＝ 时，方程为x2+x﹣1＝0，
∴△＝12﹣4×（﹣1）＝5，
∴x＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ ；
（Ⅱ）∵关于x的一元二次方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且2m+1≠0，即（4m）2﹣4（2m+1）（2m﹣3）＞0且m≠﹣ ，
∴m＞﹣ 且m≠﹣ .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（Ⅰ）将 m＝ 代入原方程，利用求根公式法即可算出该方程的两个实数根；
（Ⅱ） 由关于x的一元二次方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根， 可得其根的判别式应该大于0，且二次项的系数不等于0，从而列出关于m的不等式组，则可求得m的取值范围.
25．（2021九上·海淀期中）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．
【答案】（1）证明：依题意，得 = = 4．
∵ ，
∴ 该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ ，
∴
∴ ， ．
∵ 方程的两个根均为负数，
∴
解得 ．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ， ，再求解即可。
26．（2021·石景山模拟）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）解：由题意， ，
即 ．
解得，
（2）解：∵ ，
由题意， 是平方数，
设 ，
原方程为 ，
，
或 ，
解得， ， ．
∴当 时，方程的两个整数根为 ，
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用公式法求出方程的解，再根据题意求解即可。
27．（2020九上·偃师期中）已知 为实数，关于 的方程为 ，
（1）试判断这个方程根的情况；
（2）是否存在实数 ，使这个方程两个根为连续偶数 若存在，求出 及方程的根若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：根的判别式
无论 为何实数，总有
∴原方程总有两个实数根
（2）解：存在实数 ，使方程两个根为连续偶数
由(1)，原方程的根为
即 或
由 得
由 ，得
∴存在实数-10，-6，使原方程两个根为连续偶数.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意先计算b2-4ac的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解；
（2）由一元二次方程的求根公式“x=”可将一元二次方程的根用含k的代数式表示出来，再根据方程两个根为连续偶数即可求解.
28．（2020九上·渭滨期中）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是 ，则方程 是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：① ；②
（2）已知关于x的方程 (m是常数)是“邻根方程”，求m的值.
【答案】（1）解：①
解方程得：（x-3）（x+2）＝0，
∴x1＝3，x2＝-2，
∵3≠ 2＋1，
∴ 不是“邻根方程”；
②
x＝ = ，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∵ - =1，
∴ 是“邻根方程”；
（2）解：
解方程得：（x m）（x＋1）＝0，
∴x1＝m，x2＝ 1，
∵方程 （m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝ 1＋1或m＝ 1 1，
∴m＝0或 2.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况，故可求解.
1 / 1苏科版初中数学九年级上册1.2.4 一元二次方程的解法—公式法 同步训练
一、单选题
1．（2019九上·高州期中）用公式法解﹣x2+3x＝1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（ ）
A．﹣1，3，1 B．1，3，1 C．﹣1，3，﹣1 D．1，﹣3，﹣1
2．（北师大版数学九年级上册第二章第三节《用公式法求解一元一次方程》）如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
3．（2020九上·胶州月考）方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
4．方程的根是（ ）
A． ， B．
C． D．没有实数根
5．（2020九上·番禺期末）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1+ ，x2＝1﹣ D．x1＝1+ ，x2＝1﹣
6．（2021九上·正定月考）若 是某个一元一次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
7．（2020九上·顺德月考）已知一元二次方程 的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是
A． B．
C． D．
8．（2021九上·淮南月考）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为（ ）
A．5 B．3或5 C．13 D．11或13
9．（2020九上·姜堰期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a 2），BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.下列哪条线段的长度是方程 的一个根（ ）
A．线段AE的长 B．线段BF的长 C．线段BD的长 D．线段DF的长
10．（2021·盂县模拟）将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（北师大版数学九年级上册第二章第三节《用公式法求解一元一次方程》）一元二次方程x2-3x-2=0的解是 。
12．（2018九上·老河口期中）一元二次方程 的根是 .
13．（2021九上·绵阳月考）已知 （b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 .
14．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.3 公式法 同步练习）方程x2-2|x+4|-27=0的所有根的和为 ．
15．（2021九上·高邮期末）如果关于x的方程 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .
16．（2020九上·姜堰期中）若关于 的一元二次方程 有一个正整数解，则正整数 = .
17．（2020九上·灌云月考）关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为 .
18．（2019九上·海州期中）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是 .
三、解答题
19．（2021九上·深圳期中）解下列方程：
（1）x2+3x﹣10＝0；
（2）2x2+3x﹣4＝0．
20．（2019九上·湖北月考）已知a、b、c均为实数，且 ，求方程 的根。
21．（2020九上·昆山月考）已知关于x的方程2x2+kx+1﹣k＝0，若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k的值.
22．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
23．（2021九上·路北期中）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值.
24．（浙教版2019年数学中考模拟试卷7）关于x的一元二次方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3＝0
（Ⅰ）当m＝ 时，求方程的实数根；
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
25．（2021九上·海淀期中）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．
26．（2021·石景山模拟）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的 的值，并求此时方程的根．
27．（2020九上·偃师期中）已知 为实数，关于 的方程为 ，
（1）试判断这个方程根的情况；
（2）是否存在实数 ，使这个方程两个根为连续偶数 若存在，求出 及方程的根若不存在，请说明理由.
28．（2020九上·渭滨期中）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是 ，则方程 是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：① ；②
（2）已知关于x的方程 (m是常数)是“邻根方程”，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将方程整理为一般形式为﹣x2+3x﹣1＝0，
可得二次项系数a＝﹣1，一次项系数b＝3，常数项为﹣1．
故答案为：C．
【分析】将方程整理为一元二次方程的一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项即可．
2．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，则b2-4ac≥0；故选A．
【分析】若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判断出正确的选项．
3．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】先确定a、b、c的值，求出△的符号，利用公式法即可得到方程的解.
4．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】根据方程特点选用公式法，找出a=1，b=-1，c=-1，算出△=5＞0，
代入求根公式， 可得，，
故选B
5．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
则x＝ ＝1± ，
即x1＝1+ ，x2＝1﹣ ，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程的公式法求解可得．
6．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的求根公式为 ，而 是某个一元二次方程的根，
∴ ， ， ，
∴该一元二次方程为3x2﹣2x﹣1＝0，
故答案为：D．
【分析】先求出 ， ， ，再计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】无理数的估值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解 得 ，∴较小根为 ．∵ ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据公式法解一元二次方程，再估算无理数的大小，进行作答即可。
8．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2－8x＋15＝0，
得：x1=3，x2=5；
当x=3时，三角形三边长为2、3、6，2+3<6，构不成三角形，故x=3不合题意；
当x=5时，三角形三边长为2、5、6，6-2＜5＜6+2，能构成三角形；
所以这个三角形的周长为5+6+2=13．
故答案为：C．
【分析】求出方程的两个根，根据三角形三边的关系，判断得到边长，计算得到三角形的周长即可。
9．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=a
在Rt△BCD中，由勾股定理得， ，
∴BF= ，
解方程 得 ，
∴线段BF的长是方程 的一个根.
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质可得CD=AB=a，由勾股定理表示出BD、BF，求出方程x2+2ax-4=0的根，据此判断.
10．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝ ，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∵x＞0，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】先求出x＝ ，且x2＝x+1，再计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】这里a=1，b=-3，c=-2，
∵△=9+8=17，
∴
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解
12．【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ =( )2-4×(-6)=32>0,
∴ ，
∴ ， .
故答案为： ， .
【分析】观察方程的特点：二次项系数为1，一次项系数含有根号，利用公式法，先求出b2-4ac的值，再代入一元二次方程的求根公式进行计算，即可求出方程的解。
13．【答案】0
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x为一元二次方程 的一个根，
∴ ，
故答案为：0.
【分析】利用已知x的值，可知x为一元二次方程 的一个根，即可得到代数式的值.
14．【答案】6-2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①当x＞-4时；原方程可化为x2-2x-35=0，解得x=-5或7，舍去-5；
②当x＜-4时；原方程可化为x2+2x-19=0，解得x=-1±2 ，舍去正号；
∴两根为7和-1-2 ，
∴7+（-1-2 ）=6-2 ．
故答案为：6-2
【分析】由绝对值的性质可知，分x＞-4和x＜-4两种情况求解。
①当x＞-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解；
②当x＜-4时；原方程化为一般形式，再根据公式即可求解。
15．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据方程的求根公式可得：
x= = ，
解得x1=1，x2=2a+1
∵x1=1，
∴小于1的正数根只能为2a+1，
即0＜2a+1＜1，
解得 < a<0.
故答案为： < a<0.
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围.
16．【答案】1或2
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得a≠0，△= ，
∴x= ，
∴ ，
∵关于x的一元二次方程 有一个整数根，而a为正整数，
∴ 不符合题意， 必为整数，
∴a=1或2，
故答案为：1或2.
【分析】根据题意可得a≠0，然后求出x的值，然后根据方程有一个整数根可得a的取值.
17．【答案】16或22
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：Δ=b2-4ac= = ，
无论k取何实数值都有Δ = ≥0，
，
则x1=2k，x2= k+1，
①在等腰三角形△ABC中，当边长b，c相等时，
即2k=k+1时，解得k=1，
此时x1=x2=2，即b，c的长为2，而2+2＜6（不满足任意两边之和大于第三边，故舍去），
②在等腰三角形△ABC中，当边长a与x1相等时，
即2k=6时，解得k=3，
此时x1=6，x2= 4，
此时△ABC的周长为6+6+4=16，
③在等腰三角形△ABC中，当边长a与x2相等时，
即k+1=6时，解得k=5，
此时x1=10，x2= 6，
此时△ABC的周长为6+6+10=22，
综上所述：△ABC的周长为16或22；
故答案为16或22.
【分析】首先判定方程是否有实数根，利用求根公式得到x1=2k，x2= k+1，根据等腰三角形的性质分类讨论，分别计算k的值，从而求出b、c的值，然后根据三角形三边的关系和三角形周长的定义求解即可.
18．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：①当x≥-x，即x≥0时，根据min{a，b}的含义
∴min{x，-x}=-x
又∵min{x，-x}=x2-1
∴-x=x2-1
解得
∵此时x≥0，故 不符合，故舍去；
②当x＜-x，即x＜0时，根据min{a，b}的含义
∴min{x，-x}=x
又∵min{x，-x}=x2-1
∴x=x2-1
解得：
∵此时x＜0，故 不符合，故舍去；
综上所述：方程min{x，-x}=x2-1的解是： .
【分析】利用min{a，b}的含义分类讨论：若x≥-x时，代入解方程即可，若x＜-x时，代入解方程即可.
19．【答案】（1）解：∵
∴(x+5)(x-2)=0，
∴x+5=0，x-2=0，
∴ ；
（2）解：2x2+3x-4=0
∵a=2，b=3，c=-4，
∴b2-4ac=9+32=41>0，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法进行解方程即可；
（2）利用公式法进行解方程即可.
20．【答案】解：∵ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴a=1,b=-1,c=-3,
∴方程 为 ，
解得 ，
【知识点】公式法解一元二次方程；非负数之和为0
【解析】【分析】根据二次根式的非负性、绝对值的非负性、偶数次幂的非负性，由三个非负数的和为0，则这几个数都为0，即可求出a,b,c的值，从而求出方程，再利用求根公式法解方程即可.
21．【答案】解：∵关于x的方程2x2+kx+1﹣k=0的一个根是﹣1，
∴2﹣k+1﹣k=0，解得k= ，
∴原方程为2x2+ x﹣ =0，解得x=﹣1或x= ，
即方程的另一根为 ，k的值为 .
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】把方程的根代入可求得k的值，代入方程，再解方程即可求得另一个根.
22．【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
23．【答案】（1）证明：∵ ，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵ ，
∴ ， .
∵方程两个根的绝对值相等，
∴ .
∴ 或-1.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ， ，再求出 ，最后计算求解即可。
24．【答案】解：（Ⅰ）当m＝ 时，方程为x2+x﹣1＝0，
∴△＝12﹣4×（﹣1）＝5，
∴x＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ ；
（Ⅱ）∵关于x的一元二次方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且2m+1≠0，即（4m）2﹣4（2m+1）（2m﹣3）＞0且m≠﹣ ，
∴m＞﹣ 且m≠﹣ .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（Ⅰ）将 m＝ 代入原方程，利用求根公式法即可算出该方程的两个实数根；
（Ⅱ） 由关于x的一元二次方程（2m+1）x2+4mx+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根， 可得其根的判别式应该大于0，且二次项的系数不等于0，从而列出关于m的不等式组，则可求得m的取值范围.
25．【答案】（1）证明：依题意，得 = = 4．
∵ ，
∴ 该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ ，
∴
∴ ， ．
∵ 方程的两个根均为负数，
∴
解得 ．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ， ，再求解即可。
26．【答案】（1）解：由题意， ，
即 ．
解得，
（2）解：∵ ，
由题意， 是平方数，
设 ，
原方程为 ，
，
或 ，
解得， ， ．
∴当 时，方程的两个整数根为 ，
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用公式法求出方程的解，再根据题意求解即可。
27．【答案】（1）解：根的判别式
无论 为何实数，总有
∴原方程总有两个实数根
（2）解：存在实数 ，使方程两个根为连续偶数
由(1)，原方程的根为
即 或
由 得
由 ，得
∴存在实数-10，-6，使原方程两个根为连续偶数.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意先计算b2-4ac的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解；
（2）由一元二次方程的求根公式“x=”可将一元二次方程的根用含k的代数式表示出来，再根据方程两个根为连续偶数即可求解.
28．【答案】（1）解：①
解方程得：（x-3）（x+2）＝0，
∴x1＝3，x2＝-2，
∵3≠ 2＋1，
∴ 不是“邻根方程”；
②
x＝ = ，
∴x1＝ ，x2＝ ，
∵ - =1，
∴ 是“邻根方程”；
（2）解：
解方程得：（x m）（x＋1）＝0，
∴x1＝m，x2＝ 1，
∵方程 （m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝ 1＋1或m＝ 1 1，
∴m＝0或 2.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况，故可求解.
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