苏科版初中数学九年级上册1.2.6 一元二次方程的解法—配方法的应用 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·哈尔滨月考）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 变形中，正确的有（ ）
A．①④ B．① C．④ D．②④
2．（2021八下·柯桥月考）已知方程x2－6x + q = 0可以配方成（x－p）2 =7的形式，那么x2－6x +q =2可以配方成下列的（ ）
A．（x－p）2 =9 B．（x－p）2 = 5
C．（x－p +2）2 =9 D．（x－p + 2）2 =5
3．（2021九上·湖北月考）已知关于x的多项式 的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2020九上·永春期中）已知 , ,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定
5．（2021八下·雨花期末）若 的三边长a、b、c满足 ，那么 是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
6．（2021八上·深圳月考）已知 三边为 ，满足 ，则 是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形以
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
7．（2020九上·大石桥期末）不论 为何实数，代数式 的值（ ）
A．总不小于 B．总不大于
C．总不小于 D．可为任何实数
8．（2021九上·永州月考）多项式x2﹣6x+4y2+4y+20的最小值是（ ）
A．20 B．17 C．10 D．0
9．（2020·福清模拟）已知实数m，n，c满足m2﹣m+ c＝0，n＝4m2﹣4m+c2﹣ ，则n的取值范围是（ ）
A．n＞﹣ B．n≥﹣ C．n＞﹣1 D．n≥﹣1
10．（2020八下·西安月考）已知a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（2020九上·宜春月考）代数式 的最小值是 ．
12．（2020九上·怀仁期中）若 ，则 ．
13．（2021七上·黄浦期中）已知实数a和b适合a2b2＋a2＋b2＋1＝4ab，则a＋b＝ ．
14．已知 a+b=-3，a2b+ab2=-30，则 a2-ab+b2+11= ．
15．（2020八上·浦东月考）若多项式p=a2+2b2+2a+ 4b+2020，则p的最小值是 。
16．（2020八上·海珠期末）已知等腰 的两边长分别为 、 ，且 ，则 的周长为 ．
17．（2021七下·鄞州期末）若一个整数能表示成 （a、b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 ，所以5是一个完美数.已知 （x、y是整数，k是常数），要使M为“完美数”，则k的值为 .
18．（2019七下·滨江期末）课本上把多项式“a2±2ab+b2”叫做完全平方式. 完全平方式具有非负性，因此可以把一个多 项式变形成“完全平方式+数字”的形式，以此来求代数式的最小值（或最大值）. 例如：x2+2x+3 = (x2+2x+1)+2 = (x+1)2+2，因为(x+1)2≥0，所以，当 x= -1时，代数式x2+ 2x+ 3有最小值2.那么，对于代数式4x2-4x-3，当 x= 时，有最小值为 .
三、解答题
19．（2019九上·乐安期中）已知代数式 ，先用配方法说明，不论 取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当 取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？
20．若a、b、c是△ABC的三边，且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断这个三角形的形状．
21．（2019九上·沭阳月考）阅读下面的解题过程，求y2+4y+8的最小值.
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0，即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4.
仿照上面的解答过程，求x2+6x+13的最小值和6﹣a2+2a的最大值.
22．（2021九上·济南月考）发现与探索．
小丽的思考：代数式（a﹣3）2+4无论a取何值（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）2+4大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：
（1）说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16．
（2）请仿照小丽的思考求代数式﹣a2+10a﹣8的最大值．
23．（2020九上·北镇期中）先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y ＋4y＋8的最小值．
解∶y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2） ＋4，
（y＋2）2≥0，
（y＋2）2＋4≥4
y ＋4y＋8的最小值是4
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值．
24．（2021九上·滕州月考）阅读下面的材料：
若 ，求 ， 的值．
解： ．
．
．
， ．
， ．
根据你的观察，探究下列问题：
（1）已知等腰三角形 的两边长 ， ，都是正整数，且满足 ，求 的周长；
（2）已知 ， ，求 的值．
25．（2021九上·灌云期中）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有 成立，所以当a＝0时，有最小值 .
（应用）
（1）代数式 有最小值时， = ；
（2）代数式 的最小值是 ；
（3）（探究）求代数式 的最小值，小明是这样做的： ＝ ＝ ，∴当 时，代数式 有最小值，最小值为5
请你参照小明的方法，求代数式 的最小值，并求此时a的值.
（4）（拓展）
代数式 ，求m+n的值.
26．（2021九上·沭阳月考）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有 成立，所以当a＝0时，有最小值 .
（1）（应用）
代数式 有最小值时，x= ；
（2）代数式 的最小值是 ；
（3）（探究）求代数式 的最小值，小明是这样做的： ＝ ＝ ，∴当 时，代数式 有最小值，最小值为5
请你参照小明的方法，求代数式 的最小值，并求此时a的值.
（4）（拓展）
代数式 ，求m+n的值.
27．（2021九上·宿迁月考）我们知道：
；
，
这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）探究：当a取不同的实数时，求代数式 的最小值.
（2）应用：如图.已知线段 ， 是 上的一个动点，设 ，以 为一边作正方形 ，再以 、 为一组邻边作长方形 .问：当点M在 上运动时，长方形 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由.
28．（2021九上·银川月考）阅读理解并解答：
（1）（方法呈现）
我们把多项式 及 叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（ 或最大）问题.
例如： ，
，
.
则这个代数式 的最小值是 ，这时相应的 的值是 .
（2）（尝试应用）
求代数式 的最小（或最大）值，并写出相应的 的值.
（3）（拓展提高）
将一根长 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ；①符合题意
，②不符合题意；
，③不符合题意；
，④符合题意
，⑤不符合题意
故答案为：A．
【分析】利用配方法进行变形，逐个判断
2．【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵方程x2－6x + q = 0可以配方成（x－p）2 =7的形式，
∴（x-3）2=-q+9
∴p=3，-q+9=7
解之：p=3，q=2
∴ x2－6x +2=2
x2－6x =0
∴x2－6x +9=9
∴（x-3）2=9.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件：方程x2－6x + q = 0可以配方成（x－p）2 =7的形式，可求出p，q的值，再将q的值代入x2－6x +q =2，再利用配方法进行转化，可得答案.
3．【答案】B
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵ = ，
又∵关于x的多项式 的最大值为5，
∴ =5，解得：m=±2，
∴m的值可能为2.
故答案为：B.
【分析】将多项式配方成一个完全平方式加一个常数的形式，根据偶数次幂的非负性，可得 =5，求解可得m的值.
4．【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ∴
故答案为：C.
【分析】利用作差法，再利用配方跟0比较大小即可。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解： ，
移项得， ，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故答案为：B.
【分析】将已知条件变形可得(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，由非负数之和为0可得a、b、c的值，然后结合勾股定理逆定理判断即可.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵（a 17）2＋|b 15|＋c2 16c＋64＝0，
∴（a 17）2＋|b 15|＋（c 8）2＝0，
∴a 17＝0，b 15＝0，c 8＝0，
∴a＝17，b＝15，c＝8，
∵82＋152＝172，
∴△ABC是以a为斜边的直角三角形；
故答案为：A．
【分析】由绝对值和偶次方的非负性质求出a＝17，b＝15，c＝8，由82＋152＝172，可得出△ABC是以a为斜边的直角三角形。
7．【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】原式＝ ，
∵ ， ，
∴ ，
即：原式的值总不小于 ，
故答案为：A．
【分析】根据 ， ，求出 ，即可作答。
8．【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵原式= x2﹣6x+9+4y2+4y+1+10
= （x﹣3）2+（2y+1）2+10
∴多项式x2﹣6x+4y2+4y+20的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】对原多项式进行配方可得(x-3)2+(2y+1)2+10，然后结合平方的非负性就可得到最小值.
9．【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵m2﹣m+ c＝0，
∴m2﹣m＝﹣ c，
代入n＝4m2﹣4m+c2﹣ ＝﹣2c+c2﹣ ＝（c﹣1）2﹣ ，
∵（c﹣1）2≥0，
∴n≥﹣ ．
故答案为：B．
【分析】由m2﹣m+ c＝0，可得m2﹣m＝﹣ c，代入n＝4m2﹣4m+c2﹣ ，得到n＝﹣2c+c2﹣ ，再配方后，根据非负数的性质可求n的取值范围．
10．【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
＝ [（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，
＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，
＝ ×（1+1+4），
＝3.
故答案为：D.
【分析】将多项式转化为a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），再分解因式，然后整体代入求值。
11．【答案】-27
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵
∵ ，
∴代数式 的最小值是 ．
【分析】首先把所求的式子利用配方法转化为 的形式，根据一个式子的平方是非负数，即可确定．
12．【答案】9
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】由题可得： ，
∴ ，
得： ，
∴ ，
故答案为：9．
【分析】已知等式变形配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值。
13．【答案】2或－2
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2b2＋a2＋b2＋1＝4ab，
∴a2b2－2ab＋1＋a2－2ab＋b2＝0，
∴(ab－1)2＋(a－b)2＝0，
又∵(ab－1)2≥0，(a－b)2≥0，
∴ab－1＝0，a－b＝0，
∴ab＝1，a＝b，
∴a2＝1，
∴a＝±1，
∴a＝b＝1或a＝b＝－1，
当a＝b＝1时，a＋b＝2；
当a＝b＝－1时，a＋b＝－2，
故答案为：2或－2．
【分析】由a2b2＋a2＋b2＋1＝4ab可变形为(ab－1)2＋(a－b)2＝0，根据偶次幂的非负性求出ab＝1，a＝b，从而得出a＝b＝1或a＝b＝－1，然后分别代入计算即可.
14．【答案】-10
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=-3，a2b+ab2=-30
∴ab（a+b）=-30
∴ab=10
原式=（a+b）2-3ab+11=9-3×10+11=9-30+11=-10.
故答案为：-10.
【分析】利用因式分解法，由已知a+b=-3，a2b+ab2=-30，求出ab的值，再利用配方法将原代数式转化为（a+b）2-3ab+11，然后整体代入求值。
15．【答案】2017
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解： p=a2+2b2+2a+ 4b+2020=（a+1）2+2（b+1）2+2017，
∵（a+1）2≥0，（b+1）2≥0，
∴p=（a+1）2+2（b+1）2+2017≥2017，
∴ p的最小值是2017.
故答案为：2017.
【分析】利用完全平方公式把p化成（a+1）2+2（b+1）2+2017的形式，根据偶次方的非负性得出（a+1）2≥0，（b+1）2≥0，从而得出p=（a+1）2+2（b+1）2+2017≥2017，即可求出p的最小值是2017.
16．【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；配方法的应用
【解析】【解答】∵a2+b2-4a-10b+29=0，
∴（a2-4a+4）+（b2-10+25）=0，
∴（a-2）2+（b-5）2=0，
∴a-2=0，b-5=0，
解得，a=2，b=5，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，
∴当a=c=2时，2+2＜5，此时不能构成三角形，
当b=c=5时，此时a=2，
则△ABC的周长为：5+5+2=12，
【分析】将a2+b2-4a-10b+29=0，配方可以求得a、b的长，然后根据a、b、c是等腰△ABC的三边长，即可求得△ABC的周长．
17．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：M＝（x2＋4x＋4）＋（4y2 12y＋9）＋k 13
＝（x＋2）2＋（2y 3）2＋k 13，
∵M为完美数，
∴k 13＝0，
∴k＝13，
故答案为：13.
【分析】利用配方法将M转化为（x＋2）2＋（2y 3）2＋k 13，利用完美数的定义，可得到k-13=0，解方程求出k的值.
18．【答案】；-4
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】∵
∴当 ，即 时，原式有最小值为 ，
故答案为： ，-4.
【分析】将已知多项式进行配方转化为（a±b）2+k的形式，就可求出此多项式的最小值。
19．【答案】解： ，
即不论 取何值，这个代数式的值总是负数，
当 时，这个代数式的值最大，最大值是
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】先将代数式按x的降幂排列，再对前两项进行配方后可得这个代数式的值总是负数，再根据平方的非负性可得最大值以及此时x的取值.
20．【答案】解：由已知条件可把原式变形为（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0，
∴a=3，b=4，c=5，
则三角形为直角三角形．
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】已知等式变形后，利用非负数的性质求出a，b及c的值，即可对于三角形形状进行判断．
21．【答案】解：x2+6x+13
＝x2+6x+9+4
＝（x+3）2+4，
∵（x+3）2≥0，即（x+3）2的最小值为0，
∴x2+6x+13的最小值为4；
6﹣a2+2a
＝﹣a2+2a﹣1+7
＝﹣（a﹣1）2+7，
∵（a﹣1）2≥0，
∴﹣（a﹣1）2≤0，即﹣（a﹣1）2的最大值是0，
∴6﹣a2+2a的最大值是7
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用拆项将 x2+6x+13 变形为 x2+6x+9+4 然后利用平方公式将完全平方式分解因式将多项式变形为 （x+3）2+4， 再根据偶数次幂的非负性即可得出答案；
（2）利用配方法将 6﹣a2+2a 变形为 ﹣a2+2a﹣1+7 然后利用平方公式将完全平方式分解因式将多项式变形为 ﹣（a﹣1）2+7， 再根据偶数次幂的非负性即可得出答案.
22．【答案】（1）解：原式
，
无论 取何值， ，
，
则 的最小值为 ；
（2）解： ，即 ，
原式
，
则 的最大值为17．
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用题干中的计算方法及配方法求解即可；
（2）利用题干中的计算方法及配方法求解即可。
23．【答案】（1）解： ，
，
的最小值为3；
（2）解： ，
，
，
当 ，即 时，有最小值为4．
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）参考题干中的计算方法利用配方法将原式化为，再利用偶次幂的非负性求解即可；
（2）方法同（1），将原式化为，再求解即可。
24．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵等腰三角形 的两边长 ， ，都是正整数，
∴当 为腰，则 为底，满足三角形三边关系，故 的周长为5+5+6=16；
当 为腰，则 为底，满足三角形三边关系，故 的周长为5+6+6=17；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】等腰三角形的性质；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用配方法将代数式化简为，再利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，最后利用等腰三角形的性质分情况求解即可；
（2）根据得到，再代入得到，再利用配方法得到，即可得到a、c的值，最后代入计算即可。
25．【答案】（1）1
（2）3
（3） ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，代数式 取得最小值，最小值为-12；
（4）∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意可得： ，
则 、 ，
∴ .
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：（1）∵
∴当 时，代数式 有最小值，
故答案为：1；
（2）∵ ，
∴ ，
∴代数式 在 时取得，最小值为3，
故答案为：3.
【分析】（1）根据平方的非负性可得代数式取得最小值时x的值；
（2）根据平方的非负性可得m2≥0，据此可得代数式的最小值；
（3）对原式进行配方可得(a-3)2-12，据此可得代数式的最小值以及对应的a的值；
（4）对原式进行变形可得(m-4)2+(n+1)2=0，由非负数之和为0可得m-4=0，n+1=0，求出m、n的值，进而可得m+n的值.
26．【答案】（1）1
（2）3
（3）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，代数式 取得最小值，最小值为-12；
（4）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意可得： ，
则 、 ，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵
∴当 时，代数式 有最小值，
故答案为：1；
（2）∵ ，
∴ ，
∴代数式 在 时取得，最小值为3，
故答案为：3；
【分析】（1）根据完全平方式的非负性，可得x=1时，原式取得最小值0；
（2）由于m2≥0，代入原式，可得m2+ 3≥3，即可解答；
（3）利用配方法将原式变为一个完全平方式与一个常数的和，利用（2）的结论可得结果；
（4）将方程变形为两个完全平方式之和等于0的形式，再根据每个非负数等于0分别列式求解即可.
27．【答案】（1）解：∵ ，
∴当 时，代数式 存在最小值为-4；
（2）解：设长方形 的面积为 ，
根据题意得： ，
则 时，S存在最大值，最大值为9.
【知识点】二次函数的最值；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据题干，配方后利用完全平方式的非负性即可确定最小值；
（2）设长方形MBCN的面积为S，根据题意列出S与x的关系式，配方后利用完全平方式的非负性即可得到最大值.
28．【答案】（1）；
（2）解：
则这个代数式 的最大值是 ，这时相应的 的值是 .
（3）解：设一段铁丝长为 ，则另一段长为 ，由题意得：
当 ，两个正方形的面积之和有最大值 .
【知识点】正方形的性质；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意： ，当 时取到最小值；
故最小值为 ，相应的 ，
故答案为： .
【分析】（1）对代数式进行配方可得x2+2x+3=(x+1)2+2，结合平方的非负性可得其最小值以及对应的x的值；
（2）对代数式进行配方可得-x2+14x+10=-(x-7)2+59，结合平方的非负性可得其最大值以及对应的x的值；
（3）设一段铁丝长为xcm，由题意可得：()2+()2=，据此可得两个正方形面积之和的最小值.
1 / 1苏科版初中数学九年级上册1.2.6 一元二次方程的解法—配方法的应用 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·哈尔滨月考）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 变形中，正确的有（ ）
A．①④ B．① C．④ D．②④
【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ；①符合题意
，②不符合题意；
，③不符合题意；
，④符合题意
，⑤不符合题意
故答案为：A．
【分析】利用配方法进行变形，逐个判断
2．（2021八下·柯桥月考）已知方程x2－6x + q = 0可以配方成（x－p）2 =7的形式，那么x2－6x +q =2可以配方成下列的（ ）
A．（x－p）2 =9 B．（x－p）2 = 5
C．（x－p +2）2 =9 D．（x－p + 2）2 =5
【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵方程x2－6x + q = 0可以配方成（x－p）2 =7的形式，
∴（x-3）2=-q+9
∴p=3，-q+9=7
解之：p=3，q=2
∴ x2－6x +2=2
x2－6x =0
∴x2－6x +9=9
∴（x-3）2=9.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件：方程x2－6x + q = 0可以配方成（x－p）2 =7的形式，可求出p，q的值，再将q的值代入x2－6x +q =2，再利用配方法进行转化，可得答案.
3．（2021九上·湖北月考）已知关于x的多项式 的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵ = ，
又∵关于x的多项式 的最大值为5，
∴ =5，解得：m=±2，
∴m的值可能为2.
故答案为：B.
【分析】将多项式配方成一个完全平方式加一个常数的形式，根据偶数次幂的非负性，可得 =5，求解可得m的值.
4．（2020九上·永春期中）已知 , ,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定
【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ∴
故答案为：C.
【分析】利用作差法，再利用配方跟0比较大小即可。
5．（2021八下·雨花期末）若 的三边长a、b、c满足 ，那么 是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解： ，
移项得， ，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故答案为：B.
【分析】将已知条件变形可得(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，由非负数之和为0可得a、b、c的值，然后结合勾股定理逆定理判断即可.
6．（2021八上·深圳月考）已知 三边为 ，满足 ，则 是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形以
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵（a 17）2＋|b 15|＋c2 16c＋64＝0，
∴（a 17）2＋|b 15|＋（c 8）2＝0，
∴a 17＝0，b 15＝0，c 8＝0，
∴a＝17，b＝15，c＝8，
∵82＋152＝172，
∴△ABC是以a为斜边的直角三角形；
故答案为：A．
【分析】由绝对值和偶次方的非负性质求出a＝17，b＝15，c＝8，由82＋152＝172，可得出△ABC是以a为斜边的直角三角形。
7．（2020九上·大石桥期末）不论 为何实数，代数式 的值（ ）
A．总不小于 B．总不大于
C．总不小于 D．可为任何实数
【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】原式＝ ，
∵ ， ，
∴ ，
即：原式的值总不小于 ，
故答案为：A．
【分析】根据 ， ，求出 ，即可作答。
8．（2021九上·永州月考）多项式x2﹣6x+4y2+4y+20的最小值是（ ）
A．20 B．17 C．10 D．0
【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵原式= x2﹣6x+9+4y2+4y+1+10
= （x﹣3）2+（2y+1）2+10
∴多项式x2﹣6x+4y2+4y+20的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】对原多项式进行配方可得(x-3)2+(2y+1)2+10，然后结合平方的非负性就可得到最小值.
9．（2020·福清模拟）已知实数m，n，c满足m2﹣m+ c＝0，n＝4m2﹣4m+c2﹣ ，则n的取值范围是（ ）
A．n＞﹣ B．n≥﹣ C．n＞﹣1 D．n≥﹣1
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵m2﹣m+ c＝0，
∴m2﹣m＝﹣ c，
代入n＝4m2﹣4m+c2﹣ ＝﹣2c+c2﹣ ＝（c﹣1）2﹣ ，
∵（c﹣1）2≥0，
∴n≥﹣ ．
故答案为：B．
【分析】由m2﹣m+ c＝0，可得m2﹣m＝﹣ c，代入n＝4m2﹣4m+c2﹣ ，得到n＝﹣2c+c2﹣ ，再配方后，根据非负数的性质可求n的取值范围．
10．（2020八下·西安月考）已知a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
＝ [（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，
＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，
＝ ×（1+1+4），
＝3.
故答案为：D.
【分析】将多项式转化为a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），再分解因式，然后整体代入求值。
二、填空题
11．（2020九上·宜春月考）代数式 的最小值是 ．
【答案】-27
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵
∵ ，
∴代数式 的最小值是 ．
【分析】首先把所求的式子利用配方法转化为 的形式，根据一个式子的平方是非负数，即可确定．
12．（2020九上·怀仁期中）若 ，则 ．
【答案】9
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】由题可得： ，
∴ ，
得： ，
∴ ，
故答案为：9．
【分析】已知等式变形配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值。
13．（2021七上·黄浦期中）已知实数a和b适合a2b2＋a2＋b2＋1＝4ab，则a＋b＝ ．
【答案】2或－2
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2b2＋a2＋b2＋1＝4ab，
∴a2b2－2ab＋1＋a2－2ab＋b2＝0，
∴(ab－1)2＋(a－b)2＝0，
又∵(ab－1)2≥0，(a－b)2≥0，
∴ab－1＝0，a－b＝0，
∴ab＝1，a＝b，
∴a2＝1，
∴a＝±1，
∴a＝b＝1或a＝b＝－1，
当a＝b＝1时，a＋b＝2；
当a＝b＝－1时，a＋b＝－2，
故答案为：2或－2．
【分析】由a2b2＋a2＋b2＋1＝4ab可变形为(ab－1)2＋(a－b)2＝0，根据偶次幂的非负性求出ab＝1，a＝b，从而得出a＝b＝1或a＝b＝－1，然后分别代入计算即可.
14．已知 a+b=-3，a2b+ab2=-30，则 a2-ab+b2+11= ．
【答案】-10
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=-3，a2b+ab2=-30
∴ab（a+b）=-30
∴ab=10
原式=（a+b）2-3ab+11=9-3×10+11=9-30+11=-10.
故答案为：-10.
【分析】利用因式分解法，由已知a+b=-3，a2b+ab2=-30，求出ab的值，再利用配方法将原代数式转化为（a+b）2-3ab+11，然后整体代入求值。
15．（2020八上·浦东月考）若多项式p=a2+2b2+2a+ 4b+2020，则p的最小值是 。
【答案】2017
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解： p=a2+2b2+2a+ 4b+2020=（a+1）2+2（b+1）2+2017，
∵（a+1）2≥0，（b+1）2≥0，
∴p=（a+1）2+2（b+1）2+2017≥2017，
∴ p的最小值是2017.
故答案为：2017.
【分析】利用完全平方公式把p化成（a+1）2+2（b+1）2+2017的形式，根据偶次方的非负性得出（a+1）2≥0，（b+1）2≥0，从而得出p=（a+1）2+2（b+1）2+2017≥2017，即可求出p的最小值是2017.
16．（2020八上·海珠期末）已知等腰 的两边长分别为 、 ，且 ，则 的周长为 ．
【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；配方法的应用
【解析】【解答】∵a2+b2-4a-10b+29=0，
∴（a2-4a+4）+（b2-10+25）=0，
∴（a-2）2+（b-5）2=0，
∴a-2=0，b-5=0，
解得，a=2，b=5，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，
∴当a=c=2时，2+2＜5，此时不能构成三角形，
当b=c=5时，此时a=2，
则△ABC的周长为：5+5+2=12，
【分析】将a2+b2-4a-10b+29=0，配方可以求得a、b的长，然后根据a、b、c是等腰△ABC的三边长，即可求得△ABC的周长．
17．（2021七下·鄞州期末）若一个整数能表示成 （a、b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 ，所以5是一个完美数.已知 （x、y是整数，k是常数），要使M为“完美数”，则k的值为 .
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：M＝（x2＋4x＋4）＋（4y2 12y＋9）＋k 13
＝（x＋2）2＋（2y 3）2＋k 13，
∵M为完美数，
∴k 13＝0，
∴k＝13，
故答案为：13.
【分析】利用配方法将M转化为（x＋2）2＋（2y 3）2＋k 13，利用完美数的定义，可得到k-13=0，解方程求出k的值.
18．（2019七下·滨江期末）课本上把多项式“a2±2ab+b2”叫做完全平方式. 完全平方式具有非负性，因此可以把一个多 项式变形成“完全平方式+数字”的形式，以此来求代数式的最小值（或最大值）. 例如：x2+2x+3 = (x2+2x+1)+2 = (x+1)2+2，因为(x+1)2≥0，所以，当 x= -1时，代数式x2+ 2x+ 3有最小值2.那么，对于代数式4x2-4x-3，当 x= 时，有最小值为 .
【答案】；-4
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】∵
∴当 ，即 时，原式有最小值为 ，
故答案为： ，-4.
【分析】将已知多项式进行配方转化为（a±b）2+k的形式，就可求出此多项式的最小值。
三、解答题
19．（2019九上·乐安期中）已知代数式 ，先用配方法说明，不论 取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当 取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？
【答案】解： ，
即不论 取何值，这个代数式的值总是负数，
当 时，这个代数式的值最大，最大值是
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】先将代数式按x的降幂排列，再对前两项进行配方后可得这个代数式的值总是负数，再根据平方的非负性可得最大值以及此时x的取值.
20．若a、b、c是△ABC的三边，且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断这个三角形的形状．
【答案】解：由已知条件可把原式变形为（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0，
∴a=3，b=4，c=5，
则三角形为直角三角形．
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】已知等式变形后，利用非负数的性质求出a，b及c的值，即可对于三角形形状进行判断．
21．（2019九上·沭阳月考）阅读下面的解题过程，求y2+4y+8的最小值.
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0，即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4.
仿照上面的解答过程，求x2+6x+13的最小值和6﹣a2+2a的最大值.
【答案】解：x2+6x+13
＝x2+6x+9+4
＝（x+3）2+4，
∵（x+3）2≥0，即（x+3）2的最小值为0，
∴x2+6x+13的最小值为4；
6﹣a2+2a
＝﹣a2+2a﹣1+7
＝﹣（a﹣1）2+7，
∵（a﹣1）2≥0，
∴﹣（a﹣1）2≤0，即﹣（a﹣1）2的最大值是0，
∴6﹣a2+2a的最大值是7
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用拆项将 x2+6x+13 变形为 x2+6x+9+4 然后利用平方公式将完全平方式分解因式将多项式变形为 （x+3）2+4， 再根据偶数次幂的非负性即可得出答案；
（2）利用配方法将 6﹣a2+2a 变形为 ﹣a2+2a﹣1+7 然后利用平方公式将完全平方式分解因式将多项式变形为 ﹣（a﹣1）2+7， 再根据偶数次幂的非负性即可得出答案.
22．（2021九上·济南月考）发现与探索．
小丽的思考：代数式（a﹣3）2+4无论a取何值（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）2+4大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：
（1）说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16．
（2）请仿照小丽的思考求代数式﹣a2+10a﹣8的最大值．
【答案】（1）解：原式
，
无论 取何值， ，
，
则 的最小值为 ；
（2）解： ，即 ，
原式
，
则 的最大值为17．
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用题干中的计算方法及配方法求解即可；
（2）利用题干中的计算方法及配方法求解即可。
23．（2020九上·北镇期中）先阅读以下材料，再按要求解答问．求代数式y ＋4y＋8的最小值．
解∶y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4－4＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2） ＋4，
（y＋2）2≥0，
（y＋2）2＋4≥4
y ＋4y＋8的最小值是4
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）当m为何值时，代数式m2－6m＋13有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）解： ，
，
的最小值为3；
（2）解： ，
，
，
当 ，即 时，有最小值为4．
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）参考题干中的计算方法利用配方法将原式化为，再利用偶次幂的非负性求解即可；
（2）方法同（1），将原式化为，再求解即可。
24．（2021九上·滕州月考）阅读下面的材料：
若 ，求 ， 的值．
解： ．
．
．
， ．
， ．
根据你的观察，探究下列问题：
（1）已知等腰三角形 的两边长 ， ，都是正整数，且满足 ，求 的周长；
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵等腰三角形 的两边长 ， ，都是正整数，
∴当 为腰，则 为底，满足三角形三边关系，故 的周长为5+5+6=16；
当 为腰，则 为底，满足三角形三边关系，故 的周长为5+6+6=17；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】等腰三角形的性质；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用配方法将代数式化简为，再利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，最后利用等腰三角形的性质分情况求解即可；
（2）根据得到，再代入得到，再利用配方法得到，即可得到a、c的值，最后代入计算即可。
25．（2021九上·灌云期中）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有 成立，所以当a＝0时，有最小值 .
（应用）
（1）代数式 有最小值时， = ；
（2）代数式 的最小值是 ；
（3）（探究）求代数式 的最小值，小明是这样做的： ＝ ＝ ，∴当 时，代数式 有最小值，最小值为5
请你参照小明的方法，求代数式 的最小值，并求此时a的值.
（4）（拓展）
代数式 ，求m+n的值.
【答案】（1）1
（2）3
（3） ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，代数式 取得最小值，最小值为-12；
（4）∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意可得： ，
则 、 ，
∴ .
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：（1）∵
∴当 时，代数式 有最小值，
故答案为：1；
（2）∵ ，
∴ ，
∴代数式 在 时取得，最小值为3，
故答案为：3.
【分析】（1）根据平方的非负性可得代数式取得最小值时x的值；
（2）根据平方的非负性可得m2≥0，据此可得代数式的最小值；
（3）对原式进行配方可得(a-3)2-12，据此可得代数式的最小值以及对应的a的值；
（4）对原式进行变形可得(m-4)2+(n+1)2=0，由非负数之和为0可得m-4=0，n+1=0，求出m、n的值，进而可得m+n的值.
26．（2021九上·沭阳月考）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有 成立，所以当a＝0时，有最小值 .
（1）（应用）
代数式 有最小值时，x= ；
（2）代数式 的最小值是 ；
（3）（探究）求代数式 的最小值，小明是这样做的： ＝ ＝ ，∴当 时，代数式 有最小值，最小值为5
请你参照小明的方法，求代数式 的最小值，并求此时a的值.
（4）（拓展）
代数式 ，求m+n的值.
【答案】（1）1
（2）3
（3）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，代数式 取得最小值，最小值为-12；
（4）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意可得： ，
则 、 ，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵
∴当 时，代数式 有最小值，
故答案为：1；
（2）∵ ，
∴ ，
∴代数式 在 时取得，最小值为3，
故答案为：3；
【分析】（1）根据完全平方式的非负性，可得x=1时，原式取得最小值0；
（2）由于m2≥0，代入原式，可得m2+ 3≥3，即可解答；
（3）利用配方法将原式变为一个完全平方式与一个常数的和，利用（2）的结论可得结果；
（4）将方程变形为两个完全平方式之和等于0的形式，再根据每个非负数等于0分别列式求解即可.
27．（2021九上·宿迁月考）我们知道：
；
，
这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）探究：当a取不同的实数时，求代数式 的最小值.
（2）应用：如图.已知线段 ， 是 上的一个动点，设 ，以 为一边作正方形 ，再以 、 为一组邻边作长方形 .问：当点M在 上运动时，长方形 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由.
【答案】（1）解：∵ ，
∴当 时，代数式 存在最小值为-4；
（2）解：设长方形 的面积为 ，
根据题意得： ，
则 时，S存在最大值，最大值为9.
【知识点】二次函数的最值；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据题干，配方后利用完全平方式的非负性即可确定最小值；
（2）设长方形MBCN的面积为S，根据题意列出S与x的关系式，配方后利用完全平方式的非负性即可得到最大值.
28．（2021九上·银川月考）阅读理解并解答：
（1）（方法呈现）
我们把多项式 及 叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（ 或最大）问题.
例如： ，
，
.
则这个代数式 的最小值是 ，这时相应的 的值是 .
（2）（尝试应用）
求代数式 的最小（或最大）值，并写出相应的 的值.
（3）（拓展提高）
将一根长 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）解：
则这个代数式 的最大值是 ，这时相应的 的值是 .
（3）解：设一段铁丝长为 ，则另一段长为 ，由题意得：
当 ，两个正方形的面积之和有最大值 .
【知识点】正方形的性质；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意： ，当 时取到最小值；
故最小值为 ，相应的 ，
故答案为： .
【分析】（1）对代数式进行配方可得x2+2x+3=(x+1)2+2，结合平方的非负性可得其最小值以及对应的x的值；
（2）对代数式进行配方可得-x2+14x+10=-(x-7)2+59，结合平方的非负性可得其最大值以及对应的x的值；
（3）设一段铁丝长为xcm，由题意可得：()2+()2=，据此可得两个正方形面积之和的最小值.
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