苏科版初中数学九年级上册1.2.5 一元二次方程的解法—因式分解法 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·隆昌期中）方程x（x-2）=2x的解是 （ ）
A．x=2 B．x=4 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=4
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x﹣2）＝2x，
∴x（x﹣2）﹣2x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4.
故答案为：D.
【分析】对原方程因式分解可得x(x-4)＝0，据此不难求出方程的解.
2．（2021九上·朝阳期中）一元二次方程 的解是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得： ，
提取公因式得： ，
整理得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为：C．
【分析】将方程右边的部分移到方程的左边，然后利用因式分解法求解即可。
3．（2021九上·嘉祥月考）方程(x＋1)(x－3)＝5的解是 （ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2
C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x-4=0或x+2=0，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】先展开，再移项，然后利用十字相乘法求解即可。
4．（2021九上·保定月考）已知菱形的两条对角线长是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根，则此菱形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0，
分解得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x＝1或x＝2，
∵菱形的对角线互相垂直
∴根据勾股定理得： ＝ ，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可。
5．（2021九上·贵阳月考）若三角形的两边长分别是2和5，第三边的长是方程 的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．10 C．10或11 D．10或12
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程 得x=3或4，
∴第三边长为3或4.
边长为2，3，5不能构成三角形；
而2，4，5能构成三角形，
∴三角形的周长为2+4+5=11.
故答案为：A.
【分析】首先利用因式分解法求出方程的解，然后根据三角形三边关系确定出三角形的三边长，进而可求出周长.
6．（2021·玉林模拟）关于x的一元二次方程： 的解与方程 的解相同，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程 ，
分解因式，得
将 代入 ，得 .
故答案为：D.
【分析】利用因式分解法可得方程x2-5x+4=0的解为x1=1，x2=4，然后将x=1代入ax2+bx+c=4中就可求得a+b+c的值.
7．（2021·西藏）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为 ×4×6＝12.
故答案为：C.
【分析】对原方程因式分解可得(x-4)(x-6)＝0，求解可得x的值，即菱形的两对角线长，然后根据菱形的面积为对角线乘积的一半进行解答.
8．（2021九上·青龙期中）在正数范围内有一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规则，方程 的解是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】根据规则，方程x※（x+1）=5变形为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为：C．
【分析】根据题干中的定义可将代数式化为，再利用十字相乘法求解即可。
9．（2021九上·襄汾月考）如果二次三项式 能分解成 的形式，则方程 的两个根为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵二次三项式 能分解成 的形式，
∴ 可转化为 ，
解得， ，
故答案为：A．
【分析】利用二次三项式的分解形式可将方程化为 ，即可求解。
10．（2021九上·海珠期中）已知 关于x的方程 的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰 的两条边长，则 的周长为（ ）．
A．8 B．10 C．8或10 D．6或10
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 关于 的方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴方程 变形为 ，
解得 ，
∵方程的两个根恰好是等腰 的两条边长，
∴其三边可能是2，2，4或4，4，2，
∵2+2=4，故三角形不存在，
故三角形的周长为10，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
二、填空题
11．（2021九上·普宁期中）一元二次方程 的两根是 ．
【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
（x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝5，x2＝1．
故答案为：x1＝5，x2＝1．
【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
12．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程 章末检测提高卷）已知x为实数，且满足 ，那么x2+3x= .
【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 可化为： ，
∵ ，∴ ，即
故答案为：1
【分析】将x2+3x，看着整体，再利用因式分解法解关于x2+3x的方程，由，求出x2+3x的值，即可得出答案。
13．（2021九上·镇平月考）已知（a2+b2+2）(a2+b2)=8，那么a2+b2的值为 .
【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（a2+b2+2）(a2+b2)=8，
∴（a2+b2）2+2 (a2+b2)-8=0，
∴a2+b2=2，a2+b2=-4，
∵a2+b2>0，
∴a2+b2=2.
故答案为：2.
【分析】对已知等式变形可得(a2+b2)2+2(a2+b2)-8=0，求出a2+b2的值，然后结合a2+b2>0对求出的值进行取舍.
14．（2021九上·呼和浩特月考）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为 ．
【答案】2
【知识点】零指数幂；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣x﹣1=1，
x2﹣x﹣2=0，
（x﹣2）（x+1）=0，
解得：x1=2，x2=﹣1，
∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
∴x=2，
故答案为2．
【分析】根据0指数幂的性质可以得到x2﹣x﹣2=0，再利用十字相乘法求出方程的根，再根据x+1≠0，求解即可。
15．（2021·十堰模拟）已知实数 ， ， ， 满足 ，若 ，则 .
【答案】 或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：
，即 ，
因式分解得： ，
解得： .
故答案为： 或 .
【分析】利用新定义可得到关于a的方程；再利用因式分解法求出方程的解.
16．（2021九上·深圳期中）在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为 ．
【答案】x1=3，x2=8
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：原式变形为：（x-3）2-5（x-3）=0，
∴（x-3）（x-3-5）=0，
x-3=0，x-3-5=0，
解得：x1=3，x2=8．
故答案为：x1=3，x2=8．
【分析】根据定义新运算得出方程（x-3）2-5（x-3）=0，解出方程即可.
17．（2021九上·娄底期中）对于实数 ， ，定义运算“ ”： .例如 ，因为 ，所以 .若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 .
【答案】±33或-3-3或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ，
解得：x＝3或x＝2，
当x1＝3，x2＝2时，则 x12 x1 x2＝32 3×2＝3，
当x1＝2，x2＝3时，则 x1 x2 x22＝2×3 32＝ 3.
故答案为：±3.
【分析】首先利用因式分解法求出方程x2-5x+6=0的解，然后结合定义的新运算就可求出的值.
18．（2020九上·大石桥期末）阅读理解：对于 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： 理解运用：如果 ，那么 ，即有 或 ，因此，方程 和 的所有解就是方程 =0 的解．解决问题：求方程 的解为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵x3 10x＋3＝0，
∴x3 9x x＋3＝0，
x（x2 9） （x 3）＝0，
（x 3）（x2＋3x 1）＝0，
∴x 3＝0或x2＋3x 1＝0，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】先求出x3 9x x＋3＝0，再求出x 3＝0或x2＋3x 1＝0，最后计算求解即可。
三、解答题
19．（2021九上·津南期中）用因式分解法解方程
（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2
【答案】（1）解：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
移项得：
或
解得：
（2）解：4x2﹣4x+1＝（x+3）2
整理得：
或
解得：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
20．（2019九上·江津期中）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x是方程2x2﹣7x+3＝0的解.
【答案】解：原式＝
＝
＝ ，
∵x是方程2x2﹣7x+3＝0的解，
∴x＝3或x＝0.5，
∵x≠0且x≠3且x≠9，
∴x＝0.5，
则原式＝ ＝﹣5.
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除式的分子、分母交换位置，将除法转变为乘法，约分化为最简形式；再利用因式分解法解方程求出x的值，继而选择使分式有意义的x的值代入计算可得.
21．（2021九上·永城期末）已知一元二次方程 的正实数根也是一元二次方程 的根，求 的值.
【答案】解： ，
，
或 ，
解得， ，
把 代入 得，
，
解得， .
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】解第一个一元二次方程求出其两根，把正实根代入一元二次方程 ，解方程即可.
22．（2021九上·孝南月考）阅读下面的例题.
解方程： .
解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
（2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
∴原方程的解是 ， .
请参照上述方法解方程 .
【答案】解： .
（1）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
（2）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
故原方程的解是 ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；绝对值的非负性
【解析】【分析】当x≥1时，原方程化为x2-x=0，利用因式分解法可得x的值；当x<1时，原方程化为 x2+x-2=0，同理可得x的值，进而可得原方程的解.
23．（2021九上·海淀期中）关于x的一元二次方程 经过适当变形，可以写成 （ ） 的形式．现列表探究 的变形：
变形 m n p
5
0 4 3
1 t 6
2 2 7
回答下列问题：
（1）表格中t的值为 ；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 ；
（3）记 的两个变形为 和 （ ），则 的值为 ．
【答案】（1）3
（2）
（3）-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ 即 ，
∵原方程为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3；
（2）根据表格可以发现 ，
故答案为： ；
（3）由（2）可知 ①， ②，
则①-②得 即 ，
∴ ，
故答案为：-1．
【分析】（1）先求出，再求出，最后求解即可；
（2）求出即可作答；
（3）先求出，再求出，最后求解即可。
24．（2021九上·厦门期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”.
（1）判断一元二次方程x2﹣6x+8＝0是否是“2倍根方程”，请你说明理由.
（2）若方程ax2﹣3ax+c＝0（a≠0）是2倍根方程，抛物线y＝ax2﹣3ax+c与直线y＝ax﹣2有且只有一个交点，求该点坐标.
【答案】（1）解：x2 6x＋8＝0，解得：x＝2或4，
4＝2×2，该方程是“2倍根方程”；
（2）设方程的根分别为x，2x，
则3x＝x+2x=3，2x2＝ ，
解得： ＝2…①，
联立y＝ax2 3ax＋c、y＝ax 2并整理得：
ax2 4ax＋c＋2＝0…②，
Δ＝16a2 4a（c＋2）＝0…③，
联立①③并解得：a＝0或1（舍去0），
故a＝1，c＝2，
将a、c值代入②式得：
x2 4x＋4＝0，
解得：x＝2，
则该点的坐标为（2，0）.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）首先利用因式分解法求出方程的根，然后根据 2倍根方程” 的概念进行判断；
（2）设方程的根分别为x，2x，根据根与系数的关系可得3x＝3，2x2＝，据此可得的值，联立抛物线与直线方程，根据Δ＝0可得16a2 4a(c＋2)＝0，据此可得a、c的值，然后将a、c的值代入方程ax2-3ax+c=0中可得关于x的一元二次方程，求出x的值，进而可得该点的坐标.
25．（2021九上·梁山月考）已如x关于的方程：x2-（2k+1）x+（k- ）=0
（1）若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根。
（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、C恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
【答案】（1）解：若x= 1是这个方程的一个根，则1- （2k+1）+4（k- ）= 0，
解得k=1，∴关于x的方程x2-3x+2= 0，
解方程得x1=1，x2=2，
∴方程的另一根是2
（2）解：当a= 4为底边，则b，c为腰长，则b=c， 则△= 0．
∴4（k- ）2=0，解得：k= 此时原方程化为x2-4x+4=0
∴x1 =x2=2，即b=c=2．此时△ABC三边为4，2， 2，构不成三角形，
当a= 4为腰，则b= 4为腰长，c为底，则16-4（2k+1）+4（k- ）=0，
求得k =
∴关于x的方程为x2-6x+8=0． 解得x=2或4，
∴c=2，∴周长为4+4+2=10．故这个等腰三角形的周长是10．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）把x=1代入方程得出关于k的方程，解方程即可求出k的值，从而得出方程为x2-3x+2= 0，求出方程的解，即可得出答案；
（2）分两种情况讨论： 当a=4为底边，b，c为腰时，根据一元二次方程根的判别式 =0，求出k的值，从而求出方程的根，再根据三角形三边关系判断不能构成三角形， 当a=4为腰，b=4为腰，c为底时，把x=4代入方程求出k的值，从而求出方程的根，得出c的值，即可求出这个等腰三角形的周长.
26．（2020九上·郁南期末）已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为 三边的长．
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）解： 是等腰三角形；
理由：∵ 是方程的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形
（2）解：当 是等边三角形， ，
，
可整理为： ，
，
解得： ，
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程求出a=b，再求解即可；
（2）根据题意求出 ， 再计算求解即可。
27．（2021·自贡模拟）对于三个实数a，b，c，用 表示这三个数的平均数，用min 表示这三个数中最小的数.例如： ，min ，min .
请结合上述材料，解决下列问题：
（1） ；
（2）若min ，则整数 的值是 ；
（3）若 min ，求 的值.
【答案】（1）3
（2）2、3
（3）解：依据 表示这三个数的平均数；依据 表示这三个数中最小的数；又 ； 且
∴ ，∴ ，
∴ 或 ；
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组；平均数及其计算
【解析】【解答】由题知，（1）依据 定义，表示这三个数的平均数；
∴ ；
（2）依据 表示这三个数中最小的数；又 ；
∴ ，得 ， ；又 为整数；
∴ 整数 的值是：2、3；
【分析】（1）利用平均数公式进行计算，可求出结果.
（2）利用已知三个数的平均数为2x+1，可得到不等式组，然后求出不等式组的解集，根据x为整数，可得x的值.
（3）利用平均数公式简化已知条件可建立关于x的方程，解方程求出x的值.
28．（2021九上·沭阳月考）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 转化，把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解.
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
【答案】（1）-2；1
（2）解： ，
方程的两边平方，得
即
或
， ，
当 时， ，
所以 不是原方程的解.
所以方程 的解是 ；
（3）解：因为四边形 是矩形，
所以 ，
设 ，则
因为 ，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以 .
经检验， 是方程的解.
答： 的长为 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理的应用；数学思想；无理方程
【解析】【解答】解：（1） ，
，
所以 或 或
， ， ；
故答案为： ，1；
【分析】（1）首先提出x，然后利用十字交叉法进行因式分解，再令每个因式等于0构建方程，分别求解即可；
（2）两边同时平方，先把无理方程转化为整式方程，利用因式分解法解方程，再检验即可；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=27，构建方程，利用（2）的方法把无理方程转化为整式方程，求解即可.
1 / 1苏科版初中数学九年级上册1.2.5 一元二次方程的解法—因式分解法 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·隆昌期中）方程x（x-2）=2x的解是 （ ）
A．x=2 B．x=4 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=4
2．（2021九上·朝阳期中）一元二次方程 的解是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
3．（2021九上·嘉祥月考）方程(x＋1)(x－3)＝5的解是 （ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2
C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2
4．（2021九上·保定月考）已知菱形的两条对角线长是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根，则此菱形的边长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·贵阳月考）若三角形的两边长分别是2和5，第三边的长是方程 的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．10 C．10或11 D．10或12
6．（2021·玉林模拟）关于x的一元二次方程： 的解与方程 的解相同，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021·西藏）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
8．（2021九上·青龙期中）在正数范围内有一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规则，方程 的解是 （ ）
A． B．
C． D．
9．（2021九上·襄汾月考）如果二次三项式 能分解成 的形式，则方程 的两个根为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．（2021九上·海珠期中）已知 关于x的方程 的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰 的两条边长，则 的周长为（ ）．
A．8 B．10 C．8或10 D．6或10
二、填空题
11．（2021九上·普宁期中）一元二次方程 的两根是 ．
12．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程 章末检测提高卷）已知x为实数，且满足 ，那么x2+3x= .
13．（2021九上·镇平月考）已知（a2+b2+2）(a2+b2)=8，那么a2+b2的值为 .
14．（2021九上·呼和浩特月考）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为 ．
15．（2021·十堰模拟）已知实数 ， ， ， 满足 ，若 ，则 .
16．（2021九上·深圳期中）在实数范围内定义一种运算，其规则为：M※N＝M2﹣MN，根据这个规则，则方程（x﹣3）※5＝0的解为 ．
17．（2021九上·娄底期中）对于实数 ， ，定义运算“ ”： .例如 ，因为 ，所以 .若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 .
18．（2020九上·大石桥期末）阅读理解：对于 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： 理解运用：如果 ，那么 ，即有 或 ，因此，方程 和 的所有解就是方程 =0 的解．解决问题：求方程 的解为 ．
三、解答题
19．（2021九上·津南期中）用因式分解法解方程
（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2
20．（2019九上·江津期中）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x是方程2x2﹣7x+3＝0的解.
21．（2021九上·永城期末）已知一元二次方程 的正实数根也是一元二次方程 的根，求 的值.
22．（2021九上·孝南月考）阅读下面的例题.
解方程： .
解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
（2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）.
∴原方程的解是 ， .
请参照上述方法解方程 .
23．（2021九上·海淀期中）关于x的一元二次方程 经过适当变形，可以写成 （ ） 的形式．现列表探究 的变形：
变形 m n p
5
0 4 3
1 t 6
2 2 7
回答下列问题：
（1）表格中t的值为 ；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 ；
（3）记 的两个变形为 和 （ ），则 的值为 ．
24．（2021九上·厦门期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”.
（1）判断一元二次方程x2﹣6x+8＝0是否是“2倍根方程”，请你说明理由.
（2）若方程ax2﹣3ax+c＝0（a≠0）是2倍根方程，抛物线y＝ax2﹣3ax+c与直线y＝ax﹣2有且只有一个交点，求该点坐标.
25．（2021九上·梁山月考）已如x关于的方程：x2-（2k+1）x+（k- ）=0
（1）若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根。
（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、C恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
26．（2020九上·郁南期末）已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为 三边的长．
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
27．（2021·自贡模拟）对于三个实数a，b，c，用 表示这三个数的平均数，用min 表示这三个数中最小的数.例如： ，min ，min .
请结合上述材料，解决下列问题：
（1） ；
（2）若min ，则整数 的值是 ；
（3）若 min ，求 的值.
28．（2021九上·沭阳月考）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 转化，把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解.
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0，x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x﹣2）＝2x，
∴x（x﹣2）﹣2x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4.
故答案为：D.
【分析】对原方程因式分解可得x(x-4)＝0，据此不难求出方程的解.
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得： ，
提取公因式得： ，
整理得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
故答案为：C．
【分析】将方程右边的部分移到方程的左边，然后利用因式分解法求解即可。
3．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x-4=0或x+2=0，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】先展开，再移项，然后利用十字相乘法求解即可。
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0，
分解得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x＝1或x＝2，
∵菱形的对角线互相垂直
∴根据勾股定理得： ＝ ，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可。
5．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程 得x=3或4，
∴第三边长为3或4.
边长为2，3，5不能构成三角形；
而2，4，5能构成三角形，
∴三角形的周长为2+4+5=11.
故答案为：A.
【分析】首先利用因式分解法求出方程的解，然后根据三角形三边关系确定出三角形的三边长，进而可求出周长.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程 ，
分解因式，得
将 代入 ，得 .
故答案为：D.
【分析】利用因式分解法可得方程x2-5x+4=0的解为x1=1，x2=4，然后将x=1代入ax2+bx+c=4中就可求得a+b+c的值.
7．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为 ×4×6＝12.
故答案为：C.
【分析】对原方程因式分解可得(x-4)(x-6)＝0，求解可得x的值，即菱形的两对角线长，然后根据菱形的面积为对角线乘积的一半进行解答.
8．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】根据规则，方程x※（x+1）=5变形为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为：C．
【分析】根据题干中的定义可将代数式化为，再利用十字相乘法求解即可。
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵二次三项式 能分解成 的形式，
∴ 可转化为 ，
解得， ，
故答案为：A．
【分析】利用二次三项式的分解形式可将方程化为 ，即可求解。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 关于 的方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴方程 变形为 ，
解得 ，
∵方程的两个根恰好是等腰 的两条边长，
∴其三边可能是2，2，4或4，4，2，
∵2+2=4，故三角形不存在，
故三角形的周长为10，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
11．【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
（x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝5，x2＝1．
故答案为：x1＝5，x2＝1．
【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
12．【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 可化为： ，
∵ ，∴ ，即
故答案为：1
【分析】将x2+3x，看着整体，再利用因式分解法解关于x2+3x的方程，由，求出x2+3x的值，即可得出答案。
13．【答案】2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（a2+b2+2）(a2+b2)=8，
∴（a2+b2）2+2 (a2+b2)-8=0，
∴a2+b2=2，a2+b2=-4，
∵a2+b2>0，
∴a2+b2=2.
故答案为：2.
【分析】对已知等式变形可得(a2+b2)2+2(a2+b2)-8=0，求出a2+b2的值，然后结合a2+b2>0对求出的值进行取舍.
14．【答案】2
【知识点】零指数幂；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣x﹣1=1，
x2﹣x﹣2=0，
（x﹣2）（x+1）=0，
解得：x1=2，x2=﹣1，
∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
∴x=2，
故答案为2．
【分析】根据0指数幂的性质可以得到x2﹣x﹣2=0，再利用十字相乘法求出方程的根，再根据x+1≠0，求解即可。
15．【答案】 或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：
，即 ，
因式分解得： ，
解得： .
故答案为： 或 .
【分析】利用新定义可得到关于a的方程；再利用因式分解法求出方程的解.
16．【答案】x1=3，x2=8
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：原式变形为：（x-3）2-5（x-3）=0，
∴（x-3）（x-3-5）=0，
x-3=0，x-3-5=0，
解得：x1=3，x2=8．
故答案为：x1=3，x2=8．
【分析】根据定义新运算得出方程（x-3）2-5（x-3）=0，解出方程即可.
17．【答案】±33或-3-3或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ，
解得：x＝3或x＝2，
当x1＝3，x2＝2时，则 x12 x1 x2＝32 3×2＝3，
当x1＝2，x2＝3时，则 x1 x2 x22＝2×3 32＝ 3.
故答案为：±3.
【分析】首先利用因式分解法求出方程x2-5x+6=0的解，然后结合定义的新运算就可求出的值.
18．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵x3 10x＋3＝0，
∴x3 9x x＋3＝0，
x（x2 9） （x 3）＝0，
（x 3）（x2＋3x 1）＝0，
∴x 3＝0或x2＋3x 1＝0，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】先求出x3 9x x＋3＝0，再求出x 3＝0或x2＋3x 1＝0，最后计算求解即可。
19．【答案】（1）解：x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）
移项得：
或
解得：
（2）解：4x2﹣4x+1＝（x+3）2
整理得：
或
解得：
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
20．【答案】解：原式＝
＝
＝ ，
∵x是方程2x2﹣7x+3＝0的解，
∴x＝3或x＝0.5，
∵x≠0且x≠3且x≠9，
∴x＝0.5，
则原式＝ ＝﹣5.
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除式的分子、分母交换位置，将除法转变为乘法，约分化为最简形式；再利用因式分解法解方程求出x的值，继而选择使分式有意义的x的值代入计算可得.
21．【答案】解： ，
，
或 ，
解得， ，
把 代入 得，
，
解得， .
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】解第一个一元二次方程求出其两根，把正实根代入一元二次方程 ，解方程即可.
22．【答案】解： .
（1）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
（2）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）.
故原方程的解是 ， .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；绝对值的非负性
【解析】【分析】当x≥1时，原方程化为x2-x=0，利用因式分解法可得x的值；当x<1时，原方程化为 x2+x-2=0，同理可得x的值，进而可得原方程的解.
23．【答案】（1）3
（2）
（3）-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ 即 ，
∵原方程为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3；
（2）根据表格可以发现 ，
故答案为： ；
（3）由（2）可知 ①， ②，
则①-②得 即 ，
∴ ，
故答案为：-1．
【分析】（1）先求出，再求出，最后求解即可；
（2）求出即可作答；
（3）先求出，再求出，最后求解即可。
24．【答案】（1）解：x2 6x＋8＝0，解得：x＝2或4，
4＝2×2，该方程是“2倍根方程”；
（2）设方程的根分别为x，2x，
则3x＝x+2x=3，2x2＝ ，
解得： ＝2…①，
联立y＝ax2 3ax＋c、y＝ax 2并整理得：
ax2 4ax＋c＋2＝0…②，
Δ＝16a2 4a（c＋2）＝0…③，
联立①③并解得：a＝0或1（舍去0），
故a＝1，c＝2，
将a、c值代入②式得：
x2 4x＋4＝0，
解得：x＝2，
则该点的坐标为（2，0）.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）首先利用因式分解法求出方程的根，然后根据 2倍根方程” 的概念进行判断；
（2）设方程的根分别为x，2x，根据根与系数的关系可得3x＝3，2x2＝，据此可得的值，联立抛物线与直线方程，根据Δ＝0可得16a2 4a(c＋2)＝0，据此可得a、c的值，然后将a、c的值代入方程ax2-3ax+c=0中可得关于x的一元二次方程，求出x的值，进而可得该点的坐标.
25．【答案】（1）解：若x= 1是这个方程的一个根，则1- （2k+1）+4（k- ）= 0，
解得k=1，∴关于x的方程x2-3x+2= 0，
解方程得x1=1，x2=2，
∴方程的另一根是2
（2）解：当a= 4为底边，则b，c为腰长，则b=c， 则△= 0．
∴4（k- ）2=0，解得：k= 此时原方程化为x2-4x+4=0
∴x1 =x2=2，即b=c=2．此时△ABC三边为4，2， 2，构不成三角形，
当a= 4为腰，则b= 4为腰长，c为底，则16-4（2k+1）+4（k- ）=0，
求得k =
∴关于x的方程为x2-6x+8=0． 解得x=2或4，
∴c=2，∴周长为4+4+2=10．故这个等腰三角形的周长是10．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）把x=1代入方程得出关于k的方程，解方程即可求出k的值，从而得出方程为x2-3x+2= 0，求出方程的解，即可得出答案；
（2）分两种情况讨论： 当a=4为底边，b，c为腰时，根据一元二次方程根的判别式 =0，求出k的值，从而求出方程的根，再根据三角形三边关系判断不能构成三角形， 当a=4为腰，b=4为腰，c为底时，把x=4代入方程求出k的值，从而求出方程的根，得出c的值，即可求出这个等腰三角形的周长.
26．【答案】（1）解： 是等腰三角形；
理由：∵ 是方程的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形
（2）解：当 是等边三角形， ，
，
可整理为： ，
，
解得： ，
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将x=-1代入方程求出a=b，再求解即可；
（2）根据题意求出 ， 再计算求解即可。
27．【答案】（1）3
（2）2、3
（3）解：依据 表示这三个数的平均数；依据 表示这三个数中最小的数；又 ； 且
∴ ，∴ ，
∴ 或 ；
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组；平均数及其计算
【解析】【解答】由题知，（1）依据 定义，表示这三个数的平均数；
∴ ；
（2）依据 表示这三个数中最小的数；又 ；
∴ ，得 ， ；又 为整数；
∴ 整数 的值是：2、3；
【分析】（1）利用平均数公式进行计算，可求出结果.
（2）利用已知三个数的平均数为2x+1，可得到不等式组，然后求出不等式组的解集，根据x为整数，可得x的值.
（3）利用平均数公式简化已知条件可建立关于x的方程，解方程求出x的值.
28．【答案】（1）-2；1
（2）解： ，
方程的两边平方，得
即
或
， ，
当 时， ，
所以 不是原方程的解.
所以方程 的解是 ；
（3）解：因为四边形 是矩形，
所以 ，
设 ，则
因为 ，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以 .
经检验， 是方程的解.
答： 的长为 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理的应用；数学思想；无理方程
【解析】【解答】解：（1） ，
，
所以 或 或
， ， ；
故答案为： ，1；
【分析】（1）首先提出x，然后利用十字交叉法进行因式分解，再令每个因式等于0构建方程，分别求解即可；
（2）两边同时平方，先把无理方程转化为整式方程，利用因式分解法解方程，再检验即可；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=27，构建方程，利用（2）的方法把无理方程转化为整式方程，求解即可.
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