苏科版初中数学九年级上册 1.3 一元二次方程根与系数的关系 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·津南期中）若方程5x2+x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1+x2等于（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 方程5x2+x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2．
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
2．（2021九上·集宁期中）设x1、x2是方程x2+2kx-2=0的根，且x1+x2=-2 ，则k的值为（ ）
A．k=-2 B．k=2 C．k=- D．k=
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x1、x2是方程x2+2kx-2=0两个根，
∴x1+x2= 2k， = 2，
∵x1+x2=-2
∴ 2k=4，解得k= 2，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2= 2k， = 2，再利用 x1+x2=-2 列出方程求解即可。
3．（2021九上·隆昌期中）设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2020，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2020﹣1＝2019.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程解的定义得出a2+a＝2020，根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b＝-1，再把原式变形为（a2+a）+（a+b），再整体代入进行计算，即可得出答案.
4．（2021九上·嘉祥月考）已知 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 是方程 的根，
，
，
，
， 是方程 两根，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据m、n为方程的根可以得到，再利用一元二次方程根与系数的关系可得，再将化简为求解即可。
5．（2021·宜宾）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则 的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，
∴m＋n＝ 3，mn＝ 9，
∵m是x2＋3x 9＝0的一个根，
∴m2＋3m 9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9 3＝6.
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得m＋n＝-3，mn＝ 9，根据方程根的概念可得m2＋3m 9＝0，则m2＋3m＝9，将待求式变形为m2+3m＋m＋n，据此计算.
6．（2021九上·滕州月考）若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A．1 B．－8 C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-3，x1x2=-5，
所以 ．
故答案为：B．
【分析】先根据根与系数的关系得出x1+x2=-3，x1x2=-5，再根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程求解即可。
7．（2021九上·庆云月考）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得： ，
，
即 ，
解得： 或 ，
而当 时，原方程 ，无实数根，不符合题意，应舍去，
∴
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可以得到 ，再根据求出m的值，再利用一元二次方程根的判别式判断即可。
8．（2021九上·梁山月考）若实数a，b（a不等b）分别满足方程a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，则 的值为（ ）
A． B． C． 或2 D． 或2
【答案】A
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 实数a，b（a不等b）分别满足方程a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，
∴a，b是一元二次方程x2-7x+2=0的两个根，
∴a+b=7，ab=2，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=45，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出a，b是一元二次方程x2-7x+2=0的两个根， 根据根与系数的关系得出a+b，ab的值，从而得出a2+b2的值，再把化为，再代入进行计算，即可得出答案.
9．（2021九上·武汉月考）已知m、n是方程x2+x﹣2021＝0两根，则m2+2m+ +1的值（ ）
A．0 B．2020 C．2022 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： n，m是方程x2+x﹣2021＝0的根，
，
即 ，
m、n是方程x2+x﹣2021＝0两根，
原式 .
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的概念可得m2+m-2021=0，n2+n-2021=0，进而求出m2+m、n+1，由根与系数的关系可得m+n=-1，据此计算.
10．（2017·河北模拟）已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，
∵a+b=﹣2013，ab=1．
∴（1+2015a+a2）（1+2015b+b2），
=（ab+2015a+a2）（ab+2015b+b2），
=a（b+a+2015）b（a+b+2015），
=ab（2015﹣2013）（2015﹣2013），
=4ab=4．
故选D．
【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系，可得出a+b=﹣2013，ab=1，再将代数式（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）中的1替换成ab，提取公因数化解即可得出结论．
二、填空题
11．（2021九上·赣州期中）已知 、 为方程 的两根， 则
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：已知 、 为方程 的两根，
∴ ， ，
原式 ，
，
，
，
故答案为：2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，再将原式变形为，最后将 ， 代入计算即可。
12．（2021九上·于洪期中）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为
【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵解方程x2-7x+12=0得：x=3或4
∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为4．
∴菱形ABCD的周长为4×4=16．
【分析】先求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系求出菱形的边长，再利用菱形的周长公式求解即可。
13．（2021九上·皇姑月考）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝ ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，
，
，
故答案为：4．
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系可得出 ，将其代入即可求出结论。
14．（2021九上·普宁期中）已知a、b是一元二次方程 的两个根，则 的值为 ．
【答案】-13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得a+b＝5，ab＝﹣1，
∴原式＝3ab﹣2（a+b）＝3×（﹣1）﹣2×5＝﹣3﹣10＝﹣13，
故答案为﹣13．
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝5，ab＝﹣1，再利用整式的加减化简可得3ab﹣2（a+b），再将a+b＝5，ab＝﹣1代入计算即可。
15．（2021九上·昆明月考）若 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等于 ．
【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根，
∴x1+x2=4，
则 ．
故答案为：16．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=4，再将代数式变形为，再将数据代入计算即可。
16．（2021九上·青龙期中）设一元二次方程 的两根分别是 ， ，则 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根是 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案是：-3．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，再将化简为，再将数据代入计算即可。
17．（2021九上·嘉祥月考）已知关于的方程x2+(2k+1)x+k2=0的两个实数根的平方和是7，则k= .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程x2+（2k+1）x+k2=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=-（2k+1）， x1·x2=k2，
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=7，
∴［-（2k+1）]2-2k2=7，
∴k=-3或k=1，
∵ =（2k+1）2-4k2≥0，
∴k≥-，
∴k=1.
【分析】设方程x2+（2k+1）x+k2=0的两个实数根为x1，x2， 根据根与系数的关系得出x1+x2和 x1·x2的值，利用x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=7，列出方程求出k的值，再根据根的判别式求出k的取值范围，即可得出答案.
18．（2019九上·渠县月考）关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1、x2，且 ，则 的值是 ．
【答案】13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2分别是该一元二次方程的根
△=b2-4ac=（-m）2-4×1×（2m-1）=m2-8m+4≥0
又∵x1+x2=m x1·x2=2m-1
又∵ x12+x22=7
∴（ x1+x2）2- 2x1·x2=7
∴m2-2（2m-1）=7
整理，得 m2-4m-5=0
解得 m1=-1 m2=5
当m=-1时，△=（-1）2-8×（-1）+4=13＞0
当m=5时，△=52-8×5+4=-11＜0，不符合题意；
∴m=-1
∴（ x1-x2）2= x12+x22-2x1·x2=7-2（2m-1）=7-2×（-2-1）=13.
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=m、x1·x2=2m-1，然后将x12+x22=7变形为（ x1+x2）2- 2x1·x2=7，从而求出m的值，然后利用△≥0的条件验证得m的值，从而可解。
三、解答题
19．（2020·黄石模拟）设 是方程x2+2x-9＝0的两个实数根，求 和 的值.
【答案】解：由韦达定理，得
∴ =
故答案为 ，18
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到 ，根据 ， ，代入即可求代数式的值.
20．（2021·无棣模拟）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，求 的值．
【答案】解：由已知定理得： ， ，
∴ ，
即 ，解得： ，
当 时，△= ，
∴ 舍去；
当 时， △= ，
∴ 的值为1．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由定理得出，即 ，解得： ，当 时，△= ，所以 舍去；当 时， △= ，所以 的值为1．
21．（2020九上·硚口月考）若x1、x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根，满足 ，求k的值.
【答案】解：∵一元二次方程x2-2x+k+2=0有两个实数根，
∴△=（-2）2-4×1×（k+2）≥0，
∴k≤-1.
∵x1，x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=k+2.
∴ = ，
∴ =k-2，
∴k2=6，
解得：k1= ，k2= .
又∵k≤-1，
∴k= .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；根据根与系数的关系可得出x1+x2=2，x1x2=k+2，结合 =k-2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合前面k的取值范围即可得出结论.
22．（2021九上·银川月考）已知 ， 是关于x的方程 的两个根，是否存在实数m使 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】解：存在.
对于关于x的方程x2+2（m-2）x+m2+4=0，
∵ ， ， ，
∴ =[2（m-2）]2-4（m2+4）≥0，
∴m≤0，
根据根与系数的关系得x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2+4，
∵x12+x22-x1x2=21，
∴（x1+x2）2-2x1x2-x1x2=21，即（x1+x2）2-3x1x2=21，
∴[-2（m-2）]2-3（m2+4）=21，
整理得m2-16m-17=0，解得m1=17，m2=-1，
而m≤0，
∴m=-1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由题意可得△≥0，代入化简可得m≤0，根据根与系数的关系可得x1+x2=-2(m-2)，x1x2=m2+4，然后代入x12+x22-x1x2=21中求出m的值，结合m的范围进行取舍即可.
23．（2021九上·隆昌期中）关于x的方程kx2+（k+1）x+ ＝0有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程有两不等实根且他们的倒数和为0？若存在，求出k值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：当k＝0时，方程是一元一次方程，此时方程的根为x＝0.
∴方程有根；
当k≠0时，方程为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴Δ＝（k+1）2﹣4k ＝2k+1≥0，
解得：k≥﹣ 且k≠0.
综上所述，k的取值范围是k≥﹣ .
（2）解：设方程的两根分别是x1和x2，则：
x1+x2＝﹣ ，x1 x2＝ ， + ＝ ＝﹣ ＝0，
∴k+1＝0，即k＝﹣1，
∵k＞﹣ ，
∴k＝﹣1（不合题意）.
∴不存在.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论： 当k＝0时，方程是一元一次方程，方程的根为x＝0； 当k≠0时，方程为一元二次方程，根据根的判别式得出Δ＝2k+1≥0，解不等式得出k的取值范围，即可得出答案；
（2） 设方程的两根分别是x1和x2， 根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝- ，x1 x2＝ ，根据题意得出+＝＝-＝0 ，得出k＝﹣1，再根据（1）中k的取值范围进行判断，即可得出答案.
24．（2021九上·泸县期中）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在k使得 成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵方程 有两个实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
即 ，
，
整理得 ，
解得 ，
又∵ ，
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，代入求解就可得到k的范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，代入3x1x2-x12-x22+10=0中可求出k的值，然后结合k的范围对求出的值进行取舍.
25．（2021九上·青县月考）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）解： 方程有两个实数根
（2）解：由根与系数的关系，得：
，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可以得到 ， ，再将其代入求解即可。
26．（2021九上·香洲月考）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）当 为正整数时，求 的值．
【答案】（1）解：由题意知，△=（-2）2-4（m-2）＞0，
∴m＜3，
∵m-2≠0，
∴m≠2，
∴m＜3且m≠2；
（2）解：∵m为正整数，
∴m=1，
∴方程为 ，即 ，
∴x1+x2=-2，x1 x2=-1，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）由（1）求出m的值，再根据一元二次方程根与系数的关系可以得到 x1+x2=-2，x1 x2=-1，最后代入计算即可。
27．（2021九上·贵州期中）已知关于x的方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有两个实数根x1，x2。
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足 ，求k的值．
【答案】（1）解：关于x的方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有两个实数根，
∴△≥0，
即[ -(2k+1)]2-4(k2-2)≥0，
解得k≥
（2）解：由根与系数的关系可得x1+x2=2k+1，x1x2 =k2-2，
由 可得：2(x1+x2)=-x1x2，
∴2(2k+1)= -(k2-2)，
∴k=0或k= -4，
∵k≥
∴k=0．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)一元二次方程有两个实数根的条件是△=b2-4ac≥0，据此列出关于k的不等式求解即可；
(2)先根据一元二次方程的根与系数的关系把两根之和与两根之积用k表示出来，然后把 变形为2(x1+x2)=-x1x2， 然后代值得出关于k的一元二次方程求解即可.
28．（2021九上·梁山月考）已知关于x的一元二次方程x2-2（m-1）x+m2=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22=8-3x1x2，求m的值
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2 -2（m-1）x+m2=0有实数根．
∴△=[-2（m- 1）]2-4m2 = 12m+1≥0解得： m≤
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2-2（m-1）x+m2=0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2=2m-2， x1·x2=m2，∵x12+x22=8-3x1x2，
∴（x1 +x2）2- 2x1·x2=8- 3x1x2，即5m2-8m-4=0，
解得： m1= m2 =2（舍去），．实数m的值为
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出△= 12m+1≥0，即可求出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=2m-2， x1·x2=m2，代入（x1 +x2）2- 2x1·x2=8-3x1x2，得出关于m的方程，解方程求出m的值即可.
1 / 1苏科版初中数学九年级上册 1.3 一元二次方程根与系数的关系 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·津南期中）若方程5x2+x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2．则x1+x2等于（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
2．（2021九上·集宁期中）设x1、x2是方程x2+2kx-2=0的根，且x1+x2=-2 ，则k的值为（ ）
A．k=-2 B．k=2 C．k=- D．k=
3．（2021九上·隆昌期中）设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
4．（2021九上·嘉祥月考）已知 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·宜宾）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则 的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
6．（2021九上·滕州月考）若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A．1 B．－8 C． D．
7．（2021九上·庆云月考）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．3 D．1
8．（2021九上·梁山月考）若实数a，b（a不等b）分别满足方程a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，则 的值为（ ）
A． B． C． 或2 D． 或2
9．（2021九上·武汉月考）已知m、n是方程x2+x﹣2021＝0两根，则m2+2m+ +1的值（ ）
A．0 B．2020 C．2022 D．无法确定
10．（2017·河北模拟）已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2021九上·赣州期中）已知 、 为方程 的两根， 则
12．（2021九上·于洪期中）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为
13．（2021九上·皇姑月考）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝ ．
14．（2021九上·普宁期中）已知a、b是一元二次方程 的两个根，则 的值为 ．
15．（2021九上·昆明月考）若 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等于 ．
16．（2021九上·青龙期中）设一元二次方程 的两根分别是 ， ，则 ．
17．（2021九上·嘉祥月考）已知关于的方程x2+(2k+1)x+k2=0的两个实数根的平方和是7，则k= .
18．（2019九上·渠县月考）关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1、x2，且 ，则 的值是 ．
三、解答题
19．（2020·黄石模拟）设 是方程x2+2x-9＝0的两个实数根，求 和 的值.
20．（2021·无棣模拟）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两实根，且 ，求 的值．
21．（2020九上·硚口月考）若x1、x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根，满足 ，求k的值.
22．（2021九上·银川月考）已知 ， 是关于x的方程 的两个根，是否存在实数m使 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
23．（2021九上·隆昌期中）关于x的方程kx2+（k+1）x+ ＝0有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程有两不等实根且他们的倒数和为0？若存在，求出k值；若不存在，说明理由.
24．（2021九上·泸县期中）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在k使得 成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
25．（2021九上·青县月考）已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值．
26．（2021九上·香洲月考）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）当 为正整数时，求 的值．
27．（2021九上·贵州期中）已知关于x的方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有两个实数根x1，x2。
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足 ，求k的值．
28．（2021九上·梁山月考）已知关于x的一元二次方程x2-2（m-1）x+m2=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22=8-3x1x2，求m的值
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 方程5x2+x﹣5＝0的两个实数根分别为x1，x2．
故答案为：A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x1、x2是方程x2+2kx-2=0两个根，
∴x1+x2= 2k， = 2，
∵x1+x2=-2
∴ 2k=4，解得k= 2，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2= 2k， = 2，再利用 x1+x2=-2 列出方程求解即可。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2020，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2020﹣1＝2019.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程解的定义得出a2+a＝2020，根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b＝-1，再把原式变形为（a2+a）+（a+b），再整体代入进行计算，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 是方程 的根，
，
，
，
， 是方程 两根，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据m、n为方程的根可以得到，再利用一元二次方程根与系数的关系可得，再将化简为求解即可。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，
∴m＋n＝ 3，mn＝ 9，
∵m是x2＋3x 9＝0的一个根，
∴m2＋3m 9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9 3＝6.
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得m＋n＝-3，mn＝ 9，根据方程根的概念可得m2＋3m 9＝0，则m2＋3m＝9，将待求式变形为m2+3m＋m＋n，据此计算.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=-3，x1x2=-5，
所以 ．
故答案为：B．
【分析】先根据根与系数的关系得出x1+x2=-3，x1x2=-5，再根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程求解即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得： ，
，
即 ，
解得： 或 ，
而当 时，原方程 ，无实数根，不符合题意，应舍去，
∴
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可以得到 ，再根据求出m的值，再利用一元二次方程根的判别式判断即可。
8．【答案】A
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 实数a，b（a不等b）分别满足方程a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，
∴a，b是一元二次方程x2-7x+2=0的两个根，
∴a+b=7，ab=2，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=45，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出a，b是一元二次方程x2-7x+2=0的两个根， 根据根与系数的关系得出a+b，ab的值，从而得出a2+b2的值，再把化为，再代入进行计算，即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： n，m是方程x2+x﹣2021＝0的根，
，
即 ，
m、n是方程x2+x﹣2021＝0两根，
原式 .
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的概念可得m2+m-2021=0，n2+n-2021=0，进而求出m2+m、n+1，由根与系数的关系可得m+n=-1，据此计算.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，
∵a+b=﹣2013，ab=1．
∴（1+2015a+a2）（1+2015b+b2），
=（ab+2015a+a2）（ab+2015b+b2），
=a（b+a+2015）b（a+b+2015），
=ab（2015﹣2013）（2015﹣2013），
=4ab=4．
故选D．
【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系，可得出a+b=﹣2013，ab=1，再将代数式（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）中的1替换成ab，提取公因数化解即可得出结论．
11．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：已知 、 为方程 的两根，
∴ ， ，
原式 ，
，
，
，
故答案为：2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，再将原式变形为，最后将 ， 代入计算即可。
12．【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵解方程x2-7x+12=0得：x=3或4
∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为4．
∴菱形ABCD的周长为4×4=16．
【分析】先求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系求出菱形的边长，再利用菱形的周长公式求解即可。
13．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，
，
，
故答案为：4．
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系可得出 ，将其代入即可求出结论。
14．【答案】-13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得a+b＝5，ab＝﹣1，
∴原式＝3ab﹣2（a+b）＝3×（﹣1）﹣2×5＝﹣3﹣10＝﹣13，
故答案为﹣13．
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝5，ab＝﹣1，再利用整式的加减化简可得3ab﹣2（a+b），再将a+b＝5，ab＝﹣1代入计算即可。
15．【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根，
∴x1+x2=4，
则 ．
故答案为：16．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=4，再将代数式变形为，再将数据代入计算即可。
16．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根是 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案是：-3．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，再将化简为，再将数据代入计算即可。
17．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程x2+（2k+1）x+k2=0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2=-（2k+1）， x1·x2=k2，
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=7，
∴［-（2k+1）]2-2k2=7，
∴k=-3或k=1，
∵ =（2k+1）2-4k2≥0，
∴k≥-，
∴k=1.
【分析】设方程x2+（2k+1）x+k2=0的两个实数根为x1，x2， 根据根与系数的关系得出x1+x2和 x1·x2的值，利用x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=7，列出方程求出k的值，再根据根的判别式求出k的取值范围，即可得出答案.
18．【答案】13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2分别是该一元二次方程的根
△=b2-4ac=（-m）2-4×1×（2m-1）=m2-8m+4≥0
又∵x1+x2=m x1·x2=2m-1
又∵ x12+x22=7
∴（ x1+x2）2- 2x1·x2=7
∴m2-2（2m-1）=7
整理，得 m2-4m-5=0
解得 m1=-1 m2=5
当m=-1时，△=（-1）2-8×（-1）+4=13＞0
当m=5时，△=52-8×5+4=-11＜0，不符合题意；
∴m=-1
∴（ x1-x2）2= x12+x22-2x1·x2=7-2（2m-1）=7-2×（-2-1）=13.
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=m、x1·x2=2m-1，然后将x12+x22=7变形为（ x1+x2）2- 2x1·x2=7，从而求出m的值，然后利用△≥0的条件验证得m的值，从而可解。
19．【答案】解：由韦达定理，得
∴ =
故答案为 ，18
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到 ，根据 ， ，代入即可求代数式的值.
20．【答案】解：由已知定理得： ， ，
∴ ，
即 ，解得： ，
当 时，△= ，
∴ 舍去；
当 时， △= ，
∴ 的值为1．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由定理得出，即 ，解得： ，当 时，△= ，所以 舍去；当 时， △= ，所以 的值为1．
21．【答案】解：∵一元二次方程x2-2x+k+2=0有两个实数根，
∴△=（-2）2-4×1×（k+2）≥0，
∴k≤-1.
∵x1，x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=k+2.
∴ = ，
∴ =k-2，
∴k2=6，
解得：k1= ，k2= .
又∵k≤-1，
∴k= .
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；根据根与系数的关系可得出x1+x2=2，x1x2=k+2，结合 =k-2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合前面k的取值范围即可得出结论.
22．【答案】解：存在.
对于关于x的方程x2+2（m-2）x+m2+4=0，
∵ ， ， ，
∴ =[2（m-2）]2-4（m2+4）≥0，
∴m≤0，
根据根与系数的关系得x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2+4，
∵x12+x22-x1x2=21，
∴（x1+x2）2-2x1x2-x1x2=21，即（x1+x2）2-3x1x2=21，
∴[-2（m-2）]2-3（m2+4）=21，
整理得m2-16m-17=0，解得m1=17，m2=-1，
而m≤0，
∴m=-1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由题意可得△≥0，代入化简可得m≤0，根据根与系数的关系可得x1+x2=-2(m-2)，x1x2=m2+4，然后代入x12+x22-x1x2=21中求出m的值，结合m的范围进行取舍即可.
23．【答案】（1）解：当k＝0时，方程是一元一次方程，此时方程的根为x＝0.
∴方程有根；
当k≠0时，方程为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴Δ＝（k+1）2﹣4k ＝2k+1≥0，
解得：k≥﹣ 且k≠0.
综上所述，k的取值范围是k≥﹣ .
（2）解：设方程的两根分别是x1和x2，则：
x1+x2＝﹣ ，x1 x2＝ ， + ＝ ＝﹣ ＝0，
∴k+1＝0，即k＝﹣1，
∵k＞﹣ ，
∴k＝﹣1（不合题意）.
∴不存在.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论： 当k＝0时，方程是一元一次方程，方程的根为x＝0； 当k≠0时，方程为一元二次方程，根据根的判别式得出Δ＝2k+1≥0，解不等式得出k的取值范围，即可得出答案；
（2） 设方程的两根分别是x1和x2， 根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝- ，x1 x2＝ ，根据题意得出+＝＝-＝0 ，得出k＝﹣1，再根据（1）中k的取值范围进行判断，即可得出答案.
24．【答案】（1）解：∵方程 有两个实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
即 ，
，
整理得 ，
解得 ，
又∵ ，
.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，代入求解就可得到k的范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，代入3x1x2-x12-x22+10=0中可求出k的值，然后结合k的范围对求出的值进行取舍.
25．【答案】（1）解： 方程有两个实数根
（2）解：由根与系数的关系，得：
，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可以得到 ， ，再将其代入求解即可。
26．【答案】（1）解：由题意知，△=（-2）2-4（m-2）＞0，
∴m＜3，
∵m-2≠0，
∴m≠2，
∴m＜3且m≠2；
（2）解：∵m为正整数，
∴m=1，
∴方程为 ，即 ，
∴x1+x2=-2，x1 x2=-1，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）由（1）求出m的值，再根据一元二次方程根与系数的关系可以得到 x1+x2=-2，x1 x2=-1，最后代入计算即可。
27．【答案】（1）解：关于x的方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有两个实数根，
∴△≥0，
即[ -(2k+1)]2-4(k2-2)≥0，
解得k≥
（2）解：由根与系数的关系可得x1+x2=2k+1，x1x2 =k2-2，
由 可得：2(x1+x2)=-x1x2，
∴2(2k+1)= -(k2-2)，
∴k=0或k= -4，
∵k≥
∴k=0．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)一元二次方程有两个实数根的条件是△=b2-4ac≥0，据此列出关于k的不等式求解即可；
(2)先根据一元二次方程的根与系数的关系把两根之和与两根之积用k表示出来，然后把 变形为2(x1+x2)=-x1x2， 然后代值得出关于k的一元二次方程求解即可.
28．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2 -2（m-1）x+m2=0有实数根．
∴△=[-2（m- 1）]2-4m2 = 12m+1≥0解得： m≤
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2-2（m-1）x+m2=0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2=2m-2， x1·x2=m2，∵x12+x22=8-3x1x2，
∴（x1 +x2）2- 2x1·x2=8- 3x1x2，即5m2-8m-4=0，
解得： m1= m2 =2（舍去），．实数m的值为
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出△= 12m+1≥0，即可求出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=2m-2， x1·x2=m2，代入（x1 +x2）2- 2x1·x2=8-3x1x2，得出关于m的方程，解方程求出m的值即可.
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