苏科版初中数学九年级上册1.4.4 用一元二次方程解决问题——几何问题 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·宿迁月考）把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（ ）
A．（2x﹣20）（x﹣20）=1500 B．10（2x﹣10）（x﹣10）=1500
C．10（2x﹣20）（x﹣20）=1500 D．10（x﹣10）（x﹣20）=1500
2．（2021九上·平昌期中）如图，在一块长为30m，宽为24m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53m2，那么小路的宽为（ ）
A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
3．（2021九上·富顺期中）某一矩形场地，长为30m，宽为20m，按如图方式在场地中修建几条宽度一样的道路（见阴影部分），剩余部分进行绿化，绿化的总面积为532m2 ；若设路宽为xm，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·铁西月考）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化后，原正方形空地一边减少了2m，另一边减少了3m，且剩余一块面积为20m2的矩形空地，设原正方形空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．x2﹣5x﹣14＝0 B．x2+5x﹣14＝0
C．x2+5x+14＝0 D．x2﹣5x+14＝0
5．（2021九上·交城期中）小希同学有一块长12cm，宽10cm的矩形卡纸，准备制作一个无盖的小礼盒．如图，她将矩形卡纸的四个角各剪掉一个边长为 cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为48cm2的无盖长方体小礼盒．根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021九上·介休月考）某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．（15+2x）（8+x）＝110 B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110
C．（15+x）（8+2x）＝110 D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110
7．（2021八下·上虞期末）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为200cm3(纸板的厚度略去不计)，问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米
若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A．5(5x+10)(2x-10)=200 B．5(5x+10)(2x+10)=200
C．5(5x-10)(2x-10)=200 D．5(5x-10)(2x+10)=200
8．（2021九上·西湖开学考）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
9．（2021九上·奈曼旗月考）在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
10．（2021九上·朝阳期中）如图， 中， ， cm， cm，动点 从点 出发沿 边以 cm /秒的速度向点 移动，点 从点 出发，沿 边以 cm /秒的速度向点 移动，如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，在运动过程中，设点 的运动时间为 ，则当 的面积为 cm2时， 的值（ ）
A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4
二、填空题
11．（2021九上·城阳期中）如图，将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为6cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为600cm3，若设原铁皮的边长为xcm，则根据题意可得关于x的方程是 ．
12．（2021九上·茂名月考）有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝ ．
13．（2021九上·津南期中）小强用一根10m长的铁丝围成了一个面积为6m2的矩形，则这个矩形较大边的长是 m．
14．（2021九上·交城期中）某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 米．
15．（2021九上·禅城月考）如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的 ，则道路的宽为 米．
16．（2021九上·甘井子月考）如图是一张长 ，宽 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是 无盖长方体纸盒，那么铁皮各角应切去多大的正方形？设切去正方形的边长为 ，则可列方程为 ．
17．（2020九上·揭西月考）如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是950cm2，此时长方体盒子的体积为 cm3．
18．（2021九上·朝阳期中）如图，已知线段 的长为 ，以 为边在 的下方作正方形 ．取 边上一点 ，以 为边在 的上方作正方形 ．过 作 丄 ，垂足为 点．若正方形 与四边形 的面积相等，则 的长为 ．
三、解答题
19．（2021九上·博罗期中）如图所示，在宽为16m，长为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的两条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的四块试验田，要使试验田的面积为285m2，道路应为多宽？
20．（2021九上·紫阳期末）如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为 ，求道路的宽度.
21．（2021九上·绵阳月考）有一长为24cm，宽为21cm的矩方形铁盒，现要在它的四个角剪去相同的正方形，使其能围城一个无盖的铁盒，当铁盒的底面面积为340cm2时，求剪掉的小正方形的边长.
22．（2021九上·湖北月考）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.
①如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？
②能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.
23．（2021九上·武汉月考）某小区在绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.
24．（2021九上·铁西月考）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm．若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值．
25．（2021九上·青岛期中）如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉．
（1）设观览通道的宽度为x米，则a＝ （用含x的代数式表示）；
（2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？
26．（2021九上·香洲月考）如图，EF是一面长18m的墙，用总长为30m的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块小矩形，且在AB中间开一道2米宽的门．
（1）若要围成的矩形ABCD面积为60m2，求AB的长．
（2）能围成面积为72m2的矩形ABCD吗？请说明理由．
27．（2021九上·集宁期中）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm
（1）若围成的花圃面积为40m2时，求BC的长；
（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50m2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由
28．（2021九上·兰州月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于8cm2？说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设铁皮的宽为x厘米，
那么铁皮的长为2x厘米，
依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）=1500.
故答案为：C.
【分析】设铁皮的宽为x厘米，则铁皮的长为2x厘米，则长方体的长为2x-20，宽为x-20，高为10，根据长方体的体积公式列式，结合体积为1500，构建方程即可.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小路的宽为xm，
由题意得： ，即 ，
解得 或 （舍去）
∴小路的宽为1m.
故答案为：A.
【分析】设小路的宽为xm，由题意可得30x+24x-x2=53，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设路宽为xm，
则绿地的长应该为（30-2x）m，宽应该为（20-x）m；
根据面积公式可得：（30-2x）（20-x）=532.
故答案为：D.
【分析】设路宽为xm，可把所修的道路平移到矩形的最上边和最左边，可得绿化的是一个长为（30-2x）m，宽为（20-x）m的矩形，根据矩形的面积公式列方程即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x-3）（x-2）=20，
整理得：x2-5x-14=0，
故答案为：A．
【分析】设原正方形的边长为xm，根据题意表示出剩余长方形的长为（x-2），宽为（x-3），再根据矩形的面积公式列出方程（x-3）（x-2）=20求解即可。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：C．
【分析】利用含x的表达式表示出长方体底面的长和宽为（12-2x）和（10-2x），再根据“剩余的部分刚好能围成一个底面积为48cm2 ”列出方程即可。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的大矩形，
依题意得：（15﹣2x）（8﹣x）＝110．
故答案为：B．
【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的大矩形，即可列出方程（15﹣2x）（8﹣x）＝110．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是5(5x-10)(2x-10)=200 .
故答案为：C.
【分析】看到已知的条件，想到设这张长方形纸板的长为5x，宽为2x，利用包装盒的容积为200cm3列出方程求解即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m的矩形，
依题意得：（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理，得x2﹣46x+88＝0.
解得，x1＝2，x2＝44.
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x＝2.
答：小道进出口的宽度应为2米.
故答案为：B.
【分析】设小道的宽度应为xm，利用平移的性质可得剩余部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m的矩形，进而根据矩形的面积计算方法列出方程，求解并检验求出x的值即可.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图2，
先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为：
39+（ ）2×4＝39+25＝64，
∴该方程的正数解为
﹣ ×2＝3．
故答案为：C．
【分析】根据已知的数学模型，可得空白小正方形的边长，根据大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而得出大正方形的边长，再减去两个空白正方形的边长即可求解。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设经过 秒钟，使 的面积为 ，
， ，
×（6 t）×2t＝8，解得： ，
故答案为：B．
【分析】设经过 秒钟，使 的面积为 ，根据 ， ，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值。
11．【答案】6（x 12）2＝600
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x 6×2）厘米，高为6厘米，根据题意列方程得，
（x 6×2）（x 6×2）×6＝600，即6（x 12）2＝600．
故答案是：6（x 12）2＝600．
【分析】先求出（x 6×2）（x 6×2）×6＝600，再求出6（x 12）2＝600即可作答。
12．【答案】4m或6m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，
根据题意得：x（30﹣3x）＝72，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：AB的长4m或6m．
故答案是：4m或6m．
【分析】设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，根据题意列出方程x（30﹣3x）＝72，求解即可。
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形较大边的长为xcm，则宽为： cm，
依题意得：x（5 x）＝6，
解得：x＝3或x＝2，
∵矩形较大边的长为xcm，
∴x＝3
此时宽为（5 x）＝2cm；
故答案为：3．
【分析】先求出x（5 x）＝6，再求出x＝3，最后求解即可。
14．【答案】30或32
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为 米，
由题意得： ，
，
，
，
解得： ，
∴矩形场地的长为30米或32米，
故答案为：30或32．
【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为 米，根据“需要一块面积为480平方米的矩形场地”列出方程求解即可。
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，
根据题意得：
（20-x）（12-x）= ×12×20，
或30（舍去），
答：道路的宽为2米，
故答案为：2．
【分析】根据题意，设道路的宽为x米，列出方程，解之得出符合题意的答案即可。
16．【答案】（20-2x）（10-2x）=144
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，
根据题意得：（20-2x）（10-2x）=144，
故答案为：（20-2x）（10-2x）=144．
【分析】根据 一张长 ，宽 的矩形纸板， 和 可制成一个底面积是 无盖长方体纸盒， 列方程即可。
17．【答案】1500
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，
根据题意，得：2x2+20x×2＝30×40﹣950，整理得：x2+20x﹣125＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去），
当x＝5时，
长方体盒子的体积为：x（30﹣2x）（20﹣x）＝5×20×15＝1500（cm3），
故答案为：1500．
【分析】设剪掉的小正方形的边长为xcm，根据长方体盒子表面积是950cm2列出方程，求出方程的解得到x的值，再计算体积即可．
18．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设 的长为 ，则 的长为 ，
∵若正方形 与四边形 的面积相等，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ， （舍去）
∴ 的长为 ．
故答案为： ．
【分析】设 的长为 ，则 的长为 ，根据正方形 与四边形 的面积相等，得出 ，根据 ，得出AE的长。
19．【答案】解：设道路宽为xm，则根据题意，得
（20－x）(16－x)=285，
解得：x1=35，x2=1，
∵16-x>0，即x<16，
∴x=35舍去，
∴x=1，
答：道路宽为1m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 （20－x）(16－x)=285， 再解方程即可。
20．【答案】解：原图形经过平移可转化为：
设道路的宽度为xm，由题意可得(16-x)(10-x)=135，
整理得x2-26x+25=0，
解得x1=25（不合题意，舍去），x2=1，故道路的宽度为1m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】首先对原图形进行平移，然后设道路的宽度为xm，则可得(16-x)(10-x)=135，据此解方程即可.
21．【答案】解：设剪掉的小正方形的边长为x，
由题意可得： ，
解得：x=2或x= （不合题意，舍去），
∴剪掉的小正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设剪掉的小正方形的边长为x，可得到底面的长为(24-2x)cm，底面的宽为(21-2x)cm，再根据铁盒的底面面积为340cm2 ，建立关于x的方程，解方程求出x的值.
22．【答案】解：①设AB的长是x米，则BC的长为（24-3x）米，
根据题意得：（24-3x）x=45，
解得x1=3，x2=5，
当x=3时，长方形花圃的长为24-3x=15；
当x=5时，长方形花圃的长为24-3x=9，
均符合题意；
∴AB的长为3m或5m；
②花圃的面积为：（24-3x）x=-3x2+24x=-3（x2-8x+16-16）=-3（x-4）2+48，
∴当AB长为4m，BC为12m时，有最大面积，为48平方米.
【知识点】配方法的应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB的长是x米，则BC的长为（24-3x）米， 根据矩形的面积计算方法列出方程，求出x的值，进而得到长方形花圃的长；
（2）利用配方法将表示花圃的面积的代数式配成一个完全平方式加一个常数的形式，进而根据偶数次幂的非负性可得最大面积.
23．【答案】解：设人行通道的宽度为x米，根据题意得，
(20﹣3x)(8﹣2x)＝102，
解得：x1＝1，x2＝ (不合题意，舍去).
答：人行通道的宽度为1米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设人行通道的宽度为x米，根据题意可得：(20-3x)(8-2x)＝102，求解即可.
24．【答案】解：根据题意，得（1000﹣4x﹣200）（40﹣2x）＝15200．
解这个方程，得：x1＝210（不合题意，舍去），x2＝10．
所以x的值为10．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】隔水的宽度为xcm，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程求解即可。
25．【答案】（1）
（2）解：根据题意， ，
解得： （不合题意，舍去）．
答：通道的宽度为2米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，
则 ，解得 ，
故答案为： ；
【分析】（1）根据通道的宽度为x米，表示出a即可；
（2）根据矩形面积减去通道的面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得出结果。
26．【答案】（1）解：设 ，则由题意， ，
∵墙面 的长为18m，
∴ ，
∴ ，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴AB的长为12m；
（2）解：由（1）可得方程： ，
整理得： ，
∵ ，
∴该一元二次方程无解，
∴不能围成面积为72m2的矩形ABCD．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设 ，则由题意， ，根据矩形的面积公式列出方程求解即可；
（2）方法同（1）可以得到方程求解即可。
27．【答案】（1）解：根据题意得，
AB= m，
则 x=40，
∴x1=20，x2=4，
因为20＞15，
所以x1=20舍去
答：BC的长为4米；
（2）解：不能围成花圃，
根据题意得，
x＝50，
方程可化为x2-24x+150=0
△=（-24）2-4×150＜0，
∴方程无实数解，
∴不能围成花圃；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：AB= m，再根据矩形的面积公式列出方程 x=40求解即可；
（2）根据题意列出方程 x＝50， 再求解方程即可。
28．【答案】（1）解：7÷2= s，
当运动时间为t s（0≤t≤ ）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm.
依题意得： ×2t×（5-t）=4，
整理得：t2-5t+4=0，
解得：t1=1，t2=4（不合题意，舍去）.
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2.
（2）解：7÷2= s，
当运动时间为t s（0≤t≤ ）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm.
依题意得：（5-t）2+（2t）2=52，
解得：t1=0，t2=2.
答：0秒或2秒后，PQ的长度等于5cm；
（3）解：不能，理由如下：
7÷2= s，
当运动时间为t s（0≤t≤ ）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm.
依题意得： ×2t×（5-t）=8，
整理得：t2-5t+8=0.
∵Δ=（-5）2-4×1×8=-7＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于8cm2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设t秒后△PBQ的面积为4cm2，此时BP＝（5 t）cm，BQ＝2tcm，根据三角形的面积公式可列方程求解；
（2）设t秒后PQ的长度等于5cm，利用勾股定理可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）由（1）得，当△PQB的面积等于8cm2时，S△QPB＝×PB×BQ＝×（5 t）×2t＝8．解方程即可判断求解；
1 / 1苏科版初中数学九年级上册1.4.4 用一元二次方程解决问题——几何问题 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·宿迁月考）把一块长与宽之比为2：1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子，如果这个盒子的容积是1500立方厘米，设铁皮的宽为x厘米，则正确的方程是（ ）
A．（2x﹣20）（x﹣20）=1500 B．10（2x﹣10）（x﹣10）=1500
C．10（2x﹣20）（x﹣20）=1500 D．10（x﹣10）（x﹣20）=1500
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设铁皮的宽为x厘米，
那么铁皮的长为2x厘米，
依题意得10（2x﹣20）（x﹣20）=1500.
故答案为：C.
【分析】设铁皮的宽为x厘米，则铁皮的长为2x厘米，则长方体的长为2x-20，宽为x-20，高为10，根据长方体的体积公式列式，结合体积为1500，构建方程即可.
2．（2021九上·平昌期中）如图，在一块长为30m，宽为24m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53m2，那么小路的宽为（ ）
A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小路的宽为xm，
由题意得： ，即 ，
解得 或 （舍去）
∴小路的宽为1m.
故答案为：A.
【分析】设小路的宽为xm，由题意可得30x+24x-x2=53，求解即可.
3．（2021九上·富顺期中）某一矩形场地，长为30m，宽为20m，按如图方式在场地中修建几条宽度一样的道路（见阴影部分），剩余部分进行绿化，绿化的总面积为532m2 ；若设路宽为xm，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设路宽为xm，
则绿地的长应该为（30-2x）m，宽应该为（20-x）m；
根据面积公式可得：（30-2x）（20-x）=532.
故答案为：D.
【分析】设路宽为xm，可把所修的道路平移到矩形的最上边和最左边，可得绿化的是一个长为（30-2x）m，宽为（20-x）m的矩形，根据矩形的面积公式列方程即可.
4．（2021九上·铁西月考）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化后，原正方形空地一边减少了2m，另一边减少了3m，且剩余一块面积为20m2的矩形空地，设原正方形空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．x2﹣5x﹣14＝0 B．x2+5x﹣14＝0
C．x2+5x+14＝0 D．x2﹣5x+14＝0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x-3）（x-2）=20，
整理得：x2-5x-14=0，
故答案为：A．
【分析】设原正方形的边长为xm，根据题意表示出剩余长方形的长为（x-2），宽为（x-3），再根据矩形的面积公式列出方程（x-3）（x-2）=20求解即可。
5．（2021九上·交城期中）小希同学有一块长12cm，宽10cm的矩形卡纸，准备制作一个无盖的小礼盒．如图，她将矩形卡纸的四个角各剪掉一个边长为 cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为48cm2的无盖长方体小礼盒．根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：C．
【分析】利用含x的表达式表示出长方体底面的长和宽为（12-2x）和（10-2x），再根据“剩余的部分刚好能围成一个底面积为48cm2 ”列出方程即可。
6．（2021九上·介休月考）某校初一年级开展了一班一特色活动，2001班以“地”为特色在学校的试验园地进行种植蔬菜活动．试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．（15+2x）（8+x）＝110 B．（15﹣2x）（8﹣x）＝110
C．（15+x）（8+2x）＝110 D．（15﹣x）（8﹣2x）＝110
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的大矩形，
依题意得：（15﹣2x）（8﹣x）＝110．
故答案为：B．
【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（15﹣2x）米、宽为（8﹣x）米的大矩形，即可列出方程（15﹣2x）（8﹣x）＝110．
7．（2021八下·上虞期末）取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒．要使包装盒的容积为200cm3(纸板的厚度略去不计)，问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米
若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A．5(5x+10)(2x-10)=200 B．5(5x+10)(2x+10)=200
C．5(5x-10)(2x-10)=200 D．5(5x-10)(2x+10)=200
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设这张长方形纸板的长为5x厘米，则由题意可列出的方程是5(5x-10)(2x-10)=200 .
故答案为：C.
【分析】看到已知的条件，想到设这张长方形纸板的长为5x，宽为2x，利用包装盒的容积为200cm3列出方程求解即可.
8．（2021九上·西湖开学考）现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m的矩形，
依题意得：（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理，得x2﹣46x+88＝0.
解得，x1＝2，x2＝44.
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x＝2.
答：小道进出口的宽度应为2米.
故答案为：B.
【分析】设小道的宽度应为xm，利用平移的性质可得剩余部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m的矩形，进而根据矩形的面积计算方法列出方程，求解并检验求出x的值即可.
9．（2021九上·奈曼旗月考）在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图2，
先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为：
39+（ ）2×4＝39+25＝64，
∴该方程的正数解为
﹣ ×2＝3．
故答案为：C．
【分析】根据已知的数学模型，可得空白小正方形的边长，根据大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而得出大正方形的边长，再减去两个空白正方形的边长即可求解。
10．（2021九上·朝阳期中）如图， 中， ， cm， cm，动点 从点 出发沿 边以 cm /秒的速度向点 移动，点 从点 出发，沿 边以 cm /秒的速度向点 移动，如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，在运动过程中，设点 的运动时间为 ，则当 的面积为 cm2时， 的值（ ）
A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】设经过 秒钟，使 的面积为 ，
， ，
×（6 t）×2t＝8，解得： ，
故答案为：B．
【分析】设经过 秒钟，使 的面积为 ，根据 ， ，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值。
二、填空题
11．（2021九上·城阳期中）如图，将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为6cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为600cm3，若设原铁皮的边长为xcm，则根据题意可得关于x的方程是 ．
【答案】6（x 12）2＝600
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x 6×2）厘米，高为6厘米，根据题意列方程得，
（x 6×2）（x 6×2）×6＝600，即6（x 12）2＝600．
故答案是：6（x 12）2＝600．
【分析】先求出（x 6×2）（x 6×2）×6＝600，再求出6（x 12）2＝600即可作答。
12．（2021九上·茂名月考）有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝ ．
【答案】4m或6m
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，
根据题意得：x（30﹣3x）＝72，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：AB的长4m或6m．
故答案是：4m或6m．
【分析】设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，根据题意列出方程x（30﹣3x）＝72，求解即可。
13．（2021九上·津南期中）小强用一根10m长的铁丝围成了一个面积为6m2的矩形，则这个矩形较大边的长是 m．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形较大边的长为xcm，则宽为： cm，
依题意得：x（5 x）＝6，
解得：x＝3或x＝2，
∵矩形较大边的长为xcm，
∴x＝3
此时宽为（5 x）＝2cm；
故答案为：3．
【分析】先求出x（5 x）＝6，再求出x＝3，最后求解即可。
14．（2021九上·交城期中）某校为了在学生中进行党史教育，决定在操场举行“中国共产党历史知识展览”，需要一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边由总长为60米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为1米的入口和出口（如图）．请根据方案计算出矩形场地的长 米．
【答案】30或32
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为 米，
由题意得： ，
，
，
，
解得： ，
∴矩形场地的长为30米或32米，
故答案为：30或32．
【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为 米，根据“需要一块面积为480平方米的矩形场地”列出方程求解即可。
15．（2021九上·禅城月考）如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的 ，则道路的宽为 米．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，
根据题意得：
（20-x）（12-x）= ×12×20，
或30（舍去），
答：道路的宽为2米，
故答案为：2．
【分析】根据题意，设道路的宽为x米，列出方程，解之得出符合题意的答案即可。
16．（2021九上·甘井子月考）如图是一张长 ，宽 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是 无盖长方体纸盒，那么铁皮各角应切去多大的正方形？设切去正方形的边长为 ，则可列方程为 ．
【答案】（20-2x）（10-2x）=144
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，
根据题意得：（20-2x）（10-2x）=144，
故答案为：（20-2x）（10-2x）=144．
【分析】根据 一张长 ，宽 的矩形纸板， 和 可制成一个底面积是 无盖长方体纸盒， 列方程即可。
17．（2020九上·揭西月考）如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是950cm2，此时长方体盒子的体积为 cm3．
【答案】1500
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设剪掉的小正方形的边长为xcm，
根据题意，得：2x2+20x×2＝30×40﹣950，整理得：x2+20x﹣125＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去），
当x＝5时，
长方体盒子的体积为：x（30﹣2x）（20﹣x）＝5×20×15＝1500（cm3），
故答案为：1500．
【分析】设剪掉的小正方形的边长为xcm，根据长方体盒子表面积是950cm2列出方程，求出方程的解得到x的值，再计算体积即可．
18．（2021九上·朝阳期中）如图，已知线段 的长为 ，以 为边在 的下方作正方形 ．取 边上一点 ，以 为边在 的上方作正方形 ．过 作 丄 ，垂足为 点．若正方形 与四边形 的面积相等，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设 的长为 ，则 的长为 ，
∵若正方形 与四边形 的面积相等，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ， （舍去）
∴ 的长为 ．
故答案为： ．
【分析】设 的长为 ，则 的长为 ，根据正方形 与四边形 的面积相等，得出 ，根据 ，得出AE的长。
三、解答题
19．（2021九上·博罗期中）如图所示，在宽为16m，长为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的两条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的四块试验田，要使试验田的面积为285m2，道路应为多宽？
【答案】解：设道路宽为xm，则根据题意，得
（20－x）(16－x)=285，
解得：x1=35，x2=1，
∵16-x>0，即x<16，
∴x=35舍去，
∴x=1，
答：道路宽为1m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 （20－x）(16－x)=285， 再解方程即可。
20．（2021九上·紫阳期末）如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为 ，求道路的宽度.
【答案】解：原图形经过平移可转化为：
设道路的宽度为xm，由题意可得(16-x)(10-x)=135，
整理得x2-26x+25=0，
解得x1=25（不合题意，舍去），x2=1，故道路的宽度为1m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】首先对原图形进行平移，然后设道路的宽度为xm，则可得(16-x)(10-x)=135，据此解方程即可.
21．（2021九上·绵阳月考）有一长为24cm，宽为21cm的矩方形铁盒，现要在它的四个角剪去相同的正方形，使其能围城一个无盖的铁盒，当铁盒的底面面积为340cm2时，求剪掉的小正方形的边长.
【答案】解：设剪掉的小正方形的边长为x，
由题意可得： ，
解得：x=2或x= （不合题意，舍去），
∴剪掉的小正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设剪掉的小正方形的边长为x，可得到底面的长为(24-2x)cm，底面的宽为(21-2x)cm，再根据铁盒的底面面积为340cm2 ，建立关于x的方程，解方程求出x的值.
22．（2021九上·湖北月考）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.
①如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？
②能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.
【答案】解：①设AB的长是x米，则BC的长为（24-3x）米，
根据题意得：（24-3x）x=45，
解得x1=3，x2=5，
当x=3时，长方形花圃的长为24-3x=15；
当x=5时，长方形花圃的长为24-3x=9，
均符合题意；
∴AB的长为3m或5m；
②花圃的面积为：（24-3x）x=-3x2+24x=-3（x2-8x+16-16）=-3（x-4）2+48，
∴当AB长为4m，BC为12m时，有最大面积，为48平方米.
【知识点】配方法的应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB的长是x米，则BC的长为（24-3x）米， 根据矩形的面积计算方法列出方程，求出x的值，进而得到长方形花圃的长；
（2）利用配方法将表示花圃的面积的代数式配成一个完全平方式加一个常数的形式，进而根据偶数次幂的非负性可得最大面积.
23．（2021九上·武汉月考）某小区在绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为102m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.
【答案】解：设人行通道的宽度为x米，根据题意得，
(20﹣3x)(8﹣2x)＝102，
解得：x1＝1，x2＝ (不合题意，舍去).
答：人行通道的宽度为1米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设人行通道的宽度为x米，根据题意可得：(20-3x)(8-2x)＝102，求解即可.
24．（2021九上·铁西月考）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm．若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值．
【答案】解：根据题意，得（1000﹣4x﹣200）（40﹣2x）＝15200．
解这个方程，得：x1＝210（不合题意，舍去），x2＝10．
所以x的值为10．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】隔水的宽度为xcm，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程求解即可。
25．（2021九上·青岛期中）如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉．
（1）设观览通道的宽度为x米，则a＝ （用含x的代数式表示）；
（2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？
【答案】（1）
（2）解：根据题意， ，
解得： （不合题意，舍去）．
答：通道的宽度为2米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，
则 ，解得 ，
故答案为： ；
【分析】（1）根据通道的宽度为x米，表示出a即可；
（2）根据矩形面积减去通道的面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得出结果。
26．（2021九上·香洲月考）如图，EF是一面长18m的墙，用总长为30m的木栅栏（图中的虚线）围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块小矩形，且在AB中间开一道2米宽的门．
（1）若要围成的矩形ABCD面积为60m2，求AB的长．
（2）能围成面积为72m2的矩形ABCD吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设 ，则由题意， ，
∵墙面 的长为18m，
∴ ，
∴ ，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴AB的长为12m；
（2）解：由（1）可得方程： ，
整理得： ，
∵ ，
∴该一元二次方程无解，
∴不能围成面积为72m2的矩形ABCD．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设 ，则由题意， ，根据矩形的面积公式列出方程求解即可；
（2）方法同（1）可以得到方程求解即可。
27．（2021九上·集宁期中）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24m，设平行于墙的BC边长为xm
（1）若围成的花圃面积为40m2时，求BC的长；
（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50m2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由
【答案】（1）解：根据题意得，
AB= m，
则 x=40，
∴x1=20，x2=4，
因为20＞15，
所以x1=20舍去
答：BC的长为4米；
（2）解：不能围成花圃，
根据题意得，
x＝50，
方程可化为x2-24x+150=0
△=（-24）2-4×150＜0，
∴方程无实数解，
∴不能围成花圃；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：AB= m，再根据矩形的面积公式列出方程 x=40求解即可；
（2）根据题意列出方程 x＝50， 再求解方程即可。
28．（2021九上·兰州月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于8cm2？说明理由.
【答案】（1）解：7÷2= s，
当运动时间为t s（0≤t≤ ）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm.
依题意得： ×2t×（5-t）=4，
整理得：t2-5t+4=0，
解得：t1=1，t2=4（不合题意，舍去）.
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2.
（2）解：7÷2= s，
当运动时间为t s（0≤t≤ ）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm.
依题意得：（5-t）2+（2t）2=52，
解得：t1=0，t2=2.
答：0秒或2秒后，PQ的长度等于5cm；
（3）解：不能，理由如下：
7÷2= s，
当运动时间为t s（0≤t≤ ）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm.
依题意得： ×2t×（5-t）=8，
整理得：t2-5t+8=0.
∵Δ=（-5）2-4×1×8=-7＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于8cm2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设t秒后△PBQ的面积为4cm2，此时BP＝（5 t）cm，BQ＝2tcm，根据三角形的面积公式可列方程求解；
（2）设t秒后PQ的长度等于5cm，利用勾股定理可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）由（1）得，当△PQB的面积等于8cm2时，S△QPB＝×PB×BQ＝×（5 t）×2t＝8．解方程即可判断求解；
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