苏科版初中数学九年级上册2.1.1 圆的认识 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·滨湖期中）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】圆的认识；确定圆的条件
【解析】【解答】解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意；②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意；③长度相等的弧不一定是等弧，故③错误，符合题意；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意，
故不正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，据此判断①；不在用一直线上的三点可以确定一个圆，据此判断②；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，据此判断③；经过圆内的一个定点可以作无数条弦，据此判断④.
2．（2020九上·上思月考）下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径
B．平分弦的直径垂直于弦
C．优弧一定大于劣弧
D．等弧所对的圆心角相等
【答案】D
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、弦不一定是直径，只有经过圆心的弦才是直径，不符合题意；
B、平分弦的直径不一定垂直于弦，因为这条弦可能是直径，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，不符合题意；
D、同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等；
故答案为：D.
【分析】分别根据弦的定义以及垂径定理、等弧的定义作出判断即可.
3．（2020九上·东丽期末）已知 的半径是6cm，则 中最长的弦长是（ ）
A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm
【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵在圆中，最长的弦是直径，且 的半径是6cm，
∴ 中最长的弦长=6×2=12cm，
故答案为：B．
【分析】根据最长的弦是直径进行求解即可．
4．（2020九上·越城期中）如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，点A与点B的距离是2 cm.若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出圆的直径是（ ）
A．1 cm B．2 cm C．4 cm D． cm
【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵AB=2cm，
∴圆的直径是4cm.
故答案为：C.
【分析】根据圆的概念：在一个平面内，线段AB绕它固定的一个端点A旋转一周，另一个端点B所形成的图形叫做圆，线段AB叫做半径，得出圆的半径为2cm，即可得出圆的直径是4cm.
5．（2021九上·温州期中）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径 分别交小圆于点C，D，连结 ，下列选项中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；圆的认识；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A、∵以O为圆心的两个圆中，大圆的半径OA，OB分别交小圆于点C，D，
∴OA=OB，OC=OD，
∴AC=BD，故A不符合题意；
B、∵OA=OB，OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，∠OAB=∠OBA，
∵∠O=∠O，
∴∠OCD=∠OAB，
∴AB∥CD，故B不符合题意；
C、∵点C和点D不是OA，OB的中点，
∴CD不是△OAB的中位线，
∴AB≠2CD，故C符合题意；
D、∵∠OCD=∠ODC，
∴∠ACD=∠CDB，
在△ACD和△BDC中
∴△ACD≌△BDC（SAS）
∴AD=BC，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同一个圆的半径相等可证得AC=BD，可对A作出判断；利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可证得∠OCD=∠OAB，利用平行线的判定定理可对B作出判断；点C和点D不是OA，OB的中点，利用三角形的中位线定理不能证明AB=2CD，可对C作出判断；然后利用SAS证明△ACD≌△BDC，利用全等三角形的性质可对D作出判断.
6．（2020九上·海淀期中）如图，不等边 内接于 ，下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的认识；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OB=OC，
∴∠1=∠2，所以A选项的结论成立；
∵OA=OB，
∴∠4=∠OBA，
∴∠AOB=180°-∠4-∠OBA=180°-2∠4，
∵△ABC为不等边三角形，
∴AB≠BC，
∴∠BOC≠∠AOB，
而∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1，
∴∠1≠∠4，所以B选项的结论不成立；
∵∠AOB与∠ACB都对弧AB，
∴∠AOB=2∠ACB，所以C选项的结论成立；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠3，
∴∠ACB=∠1+∠OCA=∠2+∠3，所以D选项的结论成立．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角的性质及圆半径相等的性质逐项判定即可。
7．（2021·江北模拟）如图，点 、 、 在⊙O上， ， ，则 的度数是（ ）
A．110° B．125° C．135° D．165°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示.
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=70°.
∵AB∥OC，
∴∠BOC=∠OBA=70°.
∵OC=OB，
∴ .
∴ .
故答案为：B
【分析】连接OB，分别经计算∠ABO和∠CBO的度数即可.
8．（2021·大冶模拟）如图，AC是⊙O的弦，AC＝4，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【知识点】圆的认识；特殊角的三角函数值；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN＝ AB，
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，
连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，
∵AB′是⊙O的直径，
∴∠ACB′＝90°.
∵∠ABC＝45°，AC＝4，
∴∠AB′C＝45°，
∴AB′＝ ＝ ＝4 ，
∴MN最大＝2 .
故答案为：A.
【分析】根据点M，N分别是BC，AC的中点，确定MN是△ABC的中位线，所以MN＝ AB，所以，当AB最大时，MN就最大.而弦AB最大就是直径.当AB是直径时，可得∠ACB=90°.因为∠ABC＝45°，AC＝4，所以可得直径AB=4 ，所以MN最大＝2 .
9．（2019九上·宜兴期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ， 半径为2，P为 上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】圆的认识；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH.
， ，
，
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
， ，
，
，
的最小值 ，
故答案为：B.
【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆.
10．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN= DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故答案为：D．
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．根据矩形的性质得出GF=DE，MN=EF，根据同圆的半径相等得出MP=FN= DE=2，根据线段的和差，由NP=MN﹣MP=EF﹣MP得出NP的长，根据勾股定理及等式的性质即可由PF2+PG2=2PN2+2FN2算出答案。
二、填空题
11．（2020九上·淮安期中）在直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则∠AOB的度数为 .
【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的认识
【解析】【解答】解：如图，在⊙O中，直径为10cm，弦AB=5cm，
∴OA=OB=5cm，
∴OA=OB=AB
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°.
【分析】画出图形，由题意可得OA=OB=AB，推出△OAB是等边三角形，然后根据等边三角形的性质进行解答.
12．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别为各边中点，EG、FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：由题意可得：OE=1，
阴影面积= = ．
【分析】 根据圆及正方形的对称性可知：图中阴影部分的半径其实质就是一个半圆的面积，根据半圆面积计算方法即可算出答案。
13．（2020九上·泗阳期中）如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C=23°，则∠EOB的度数为 .
【答案】69°
【知识点】三角形的外角性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵CD=OA=OD，∠C=23°，
∴∠COD=∠C=23°，
∴∠ODE=2∠C=46°，
∵OD=OE，
∴∠CEO=∠EDO=46°，
∴∠EOB=∠C+∠CEO=46°+23°=69°，
故答案为：69°.
【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO=∠CEO=2∠C，从而利用三角形的外角的性质即可得答案.
14．（2020·长春模拟）如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O的半径为5，AB=4，则BC边的长为 ．
【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，∠BAO=∠CDO=90°，
∵OB=5，
∴AO= =3，
同理DO=3，
∴AD=3+3=6．
故答案为：6．
【分析】连接OB，根据矩形性质得出AB=CD=4，∠BAO=∠CDO=90°，根据勾股定理求出AO、DO，即可得出答案．
15．（2020九上·杭州月考）如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是b c（填＜、=、＞）
【答案】=
【知识点】矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连OM,OD.
四边形OEDF是矩形.
同理
.
故答案为：=.
【分析】根据矩形的两条对角线相等及同圆的半径相等即可作出判断.
16．（2019九上·河西期中）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：设半径为R，大正方形边长是a，则有
【分析】设半径为R，大正方形边长是a，利用勾股定理可得，据此即可求出结论.
17．（2017·大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在 上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为 ，则正方形的边长为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON= ，PN=a，
在Rt△OPN中，
ON2+PN2=OP2，即（ ）2+a2=（ ）2，解得a=2．
故答案为：2．
【分析】连结半径，构造出直角三角形，利用勾股定理建立方程求出边长.
18．（2019九上·慈溪期中）过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E两点的圆的圆心为D，如果∠A=60°，那么∠B为 .
【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】连接DE、CE，如图,设∠B=x
∵过A，C，D三点的圆的圆心为E，
∴EA=EC=ED
∴∠A=∠ACE
∴∠4=180°-2∠A=180°-120°=60°
∵过B，E两点的圆的圆心为D，
∴DE=DB
∴∠1=∠B=x
∴∠2=∠1+∠B=2x
而EC=ED
∴∠3=∠2=2x
∵4=∠3+∠B
∴2x+x=60°，即x=20°
即∠B=20°
故答案为：20°
【分析】连接DE、CE，如图,设∠B=x，根据等腰三角形的性质由EA=EC得到∠A=∠ACE，再根据三角形内角和定理得到∠4=180°-2∠A=180°-120°=60°，而DE=DB，∠1=∠B=x，利用三角形外角性质得到∠2=∠1+∠B=2x，然后根据三角形外角性质得到2x+x=60°，即可解答.
三、解答题
19．（2018九上·瑞安期末）如图，点O是线段AB的中点，根据要求完成下题：
（1）在图中补画完成：
第一步，以A B为直径的画出⊙O；
第二步，以B为圆心，以BO为半径画圆弧，交⊙O于点C，连接点CA，CO；
（2）设AB=6，求扇形AOC的面积.（结果保留π）
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：连结BC，则BC=BO=OC，
∴△BOC是正三角形，
∴∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，
∴
【知识点】圆的认识；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）按题目要求作图即可。
（2）根据圆内的半径都相等的特点，得出△BOC是正三角形， 得出，∠AOC=120°，即可根据扇形的面积公式进行求解。
20．（2021·日喀则模拟）已知：如图， 、 为 的半径， 、 分别为 、 的中点.求证： .
【答案】证明：∵ ， 为 的半径， ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，
.
在 与 中，
∵ ，
∴ .
∴ .
【知识点】圆的认识；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先利用边角边定理证明△AOD≌△BOC，则由全等三角形的性质即可得出∠A=∠B.
21．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．
求证：△OAC≌△OBD．
【答案】证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∵在△OAC和△OBD中：
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定；圆的认识
【解析】【分析】
根据等边对等角可以证得∠A=∠B，然后根据SAS即可证得两个三角形全等．
22．（2019九上·诸暨月考）已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD．求证：∠AOC =∠BOD．
【答案】证明：在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠AOB=∠COD
∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，
∴∠AOC=∠BOD.
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆的认识
【解析】【分析】根据同一个圆的半径相等，可证得OA=OC=OB=OD，再利用SSS证明△AOB≌△COD，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠AOB=∠COD，然后可以推出结论。
23．已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB，求证：∠AOC=∠DOB．
【答案】证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠AOC=∠DOB．
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆的认识
【解析】【分析】
先根据等腰三角形的性质由OA=OB得到∠A=∠B，再利用“SAS”证明△OAC≌△OBD，然后根据全等三角形的性质得到结论．
24．已知AB为⊙O的直径，弦ED与AB的延长线交于⊙O外一点C，且AB=2CD，∠C=25°，求∠AOE的度数．
【答案】解：连结OD，如图，
∵直径AB=2CD，
∴OD=CD，
∴∠DOC=∠C=25°，
∴∠EDO=∠DOC+∠C=50°，
∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=50°，
∴∠AOE=∠E+∠C=75°．
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】连结OD，如图，由于直径AB=2CD，则OD=CD，根据等腰三角形的性质得∠DOC=∠C=25°，再利用三角形外角性质可计算出∠EDO=50°，而∠E=∠EDO=50°，于是根据三角形外角性质可计算∠AOE的度数．
25．如图所示，图形由四个半圆组成，从A到B若分别沿大半圆周ACB走和沿三个小半圆周ADEFB走，你认为走哪条路线近些？为什么？
【答案】解：沿大半圆周ACB走和沿三个小半圆周ADEFB走的路径相等．理由如下：
设大半圆的半径为R，三个小半圆的半径分别为x、y、z，则x+y+z=R，
大半圆周ACB的长= 2πR=πR，三个小半圆周ADEFB的长= 2π x+ 2π y+ 2π z=π（x+y+z）
所以大半圆周ACB的长等于三个小半圆周ADEFB的长．
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】设大半圆的半径为R，三个小半圆的半径分别为x、y、z，则x+y+z=R，根据圆的周长公式得到大半圆周ACB的长=πR，三个小半圆周ADEFB的长=π（x+y+z），于是可判断两条路径一样近．
26．（2019九上·西城期中）已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
【答案】解：如图，
连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
∵点E是AB的中点，
∴OE＝ AB，
同理：OF＝ BC，OG＝ CD，OH＝ AD，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．
【知识点】菱形的性质；圆的认识
【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.
1 / 1苏科版初中数学九年级上册2.1.1 圆的认识 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·滨湖期中）下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020九上·上思月考）下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径
B．平分弦的直径垂直于弦
C．优弧一定大于劣弧
D．等弧所对的圆心角相等
3．（2020九上·东丽期末）已知 的半径是6cm，则 中最长的弦长是（ ）
A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm
4．（2020九上·越城期中）如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，点A与点B的距离是2 cm.若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出圆的直径是（ ）
A．1 cm B．2 cm C．4 cm D． cm
5．（2021九上·温州期中）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径 分别交小圆于点C，D，连结 ，下列选项中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·海淀期中）如图，不等边 内接于 ，下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·江北模拟）如图，点 、 、 在⊙O上， ， ，则 的度数是（ ）
A．110° B．125° C．135° D．165°
8．（2021·大冶模拟）如图，AC是⊙O的弦，AC＝4，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
9．（2019九上·宜兴期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ， 半径为2，P为 上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
二、填空题
11．（2020九上·淮安期中）在直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则∠AOB的度数为 .
12．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别为各边中点，EG、FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（2020九上·泗阳期中）如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C=23°，则∠EOB的度数为 .
14．（2020·长春模拟）如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O的半径为5，AB=4，则BC边的长为 ．
15．（2020九上·杭州月考）如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是b c（填＜、=、＞）
16．（2019九上·河西期中）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．
17．（2017·大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在 上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为 ，则正方形的边长为 ．
18．（2019九上·慈溪期中）过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E两点的圆的圆心为D，如果∠A=60°，那么∠B为 .
三、解答题
19．（2018九上·瑞安期末）如图，点O是线段AB的中点，根据要求完成下题：
（1）在图中补画完成：
第一步，以A B为直径的画出⊙O；
第二步，以B为圆心，以BO为半径画圆弧，交⊙O于点C，连接点CA，CO；
（2）设AB=6，求扇形AOC的面积.（结果保留π）
20．（2021·日喀则模拟）已知：如图， 、 为 的半径， 、 分别为 、 的中点.求证： .
21．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD．
求证：△OAC≌△OBD．
22．（2019九上·诸暨月考）已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD．求证：∠AOC =∠BOD．
23．已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC=CD=DB，求证：∠AOC=∠DOB．
24．已知AB为⊙O的直径，弦ED与AB的延长线交于⊙O外一点C，且AB=2CD，∠C=25°，求∠AOE的度数．
25．如图所示，图形由四个半圆组成，从A到B若分别沿大半圆周ACB走和沿三个小半圆周ADEFB走，你认为走哪条路线近些？为什么？
26．（2019九上·西城期中）已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆的认识；确定圆的条件
【解析】【解答】解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意；②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意；③长度相等的弧不一定是等弧，故③错误，符合题意；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意，
故不正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，据此判断①；不在用一直线上的三点可以确定一个圆，据此判断②；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，据此判断③；经过圆内的一个定点可以作无数条弦，据此判断④.
2．【答案】D
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、弦不一定是直径，只有经过圆心的弦才是直径，不符合题意；
B、平分弦的直径不一定垂直于弦，因为这条弦可能是直径，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，不符合题意；
D、同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等；
故答案为：D.
【分析】分别根据弦的定义以及垂径定理、等弧的定义作出判断即可.
3．【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵在圆中，最长的弦是直径，且 的半径是6cm，
∴ 中最长的弦长=6×2=12cm，
故答案为：B．
【分析】根据最长的弦是直径进行求解即可．
4．【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵AB=2cm，
∴圆的直径是4cm.
故答案为：C.
【分析】根据圆的概念：在一个平面内，线段AB绕它固定的一个端点A旋转一周，另一个端点B所形成的图形叫做圆，线段AB叫做半径，得出圆的半径为2cm，即可得出圆的直径是4cm.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定；圆的认识；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A、∵以O为圆心的两个圆中，大圆的半径OA，OB分别交小圆于点C，D，
∴OA=OB，OC=OD，
∴AC=BD，故A不符合题意；
B、∵OA=OB，OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，∠OAB=∠OBA，
∵∠O=∠O，
∴∠OCD=∠OAB，
∴AB∥CD，故B不符合题意；
C、∵点C和点D不是OA，OB的中点，
∴CD不是△OAB的中位线，
∴AB≠2CD，故C符合题意；
D、∵∠OCD=∠ODC，
∴∠ACD=∠CDB，
在△ACD和△BDC中
∴△ACD≌△BDC（SAS）
∴AD=BC，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用同一个圆的半径相等可证得AC=BD，可对A作出判断；利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可证得∠OCD=∠OAB，利用平行线的判定定理可对B作出判断；点C和点D不是OA，OB的中点，利用三角形的中位线定理不能证明AB=2CD，可对C作出判断；然后利用SAS证明△ACD≌△BDC，利用全等三角形的性质可对D作出判断.
6．【答案】B
【知识点】圆的认识；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OB=OC，
∴∠1=∠2，所以A选项的结论成立；
∵OA=OB，
∴∠4=∠OBA，
∴∠AOB=180°-∠4-∠OBA=180°-2∠4，
∵△ABC为不等边三角形，
∴AB≠BC，
∴∠BOC≠∠AOB，
而∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1，
∴∠1≠∠4，所以B选项的结论不成立；
∵∠AOB与∠ACB都对弧AB，
∴∠AOB=2∠ACB，所以C选项的结论成立；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠3，
∴∠ACB=∠1+∠OCA=∠2+∠3，所以D选项的结论成立．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角的性质及圆半径相等的性质逐项判定即可。
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示.
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=70°.
∵AB∥OC，
∴∠BOC=∠OBA=70°.
∵OC=OB，
∴ .
∴ .
故答案为：B
【分析】连接OB，分别经计算∠ABO和∠CBO的度数即可.
8．【答案】A
【知识点】圆的认识；特殊角的三角函数值；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN＝ AB，
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，
连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，
∵AB′是⊙O的直径，
∴∠ACB′＝90°.
∵∠ABC＝45°，AC＝4，
∴∠AB′C＝45°，
∴AB′＝ ＝ ＝4 ，
∴MN最大＝2 .
故答案为：A.
【分析】根据点M，N分别是BC，AC的中点，确定MN是△ABC的中位线，所以MN＝ AB，所以，当AB最大时，MN就最大.而弦AB最大就是直径.当AB是直径时，可得∠ACB=90°.因为∠ABC＝45°，AC＝4，所以可得直径AB=4 ，所以MN最大＝2 .
9．【答案】B
【知识点】圆的认识；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH.
， ，
，
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
， ，
，
，
的最小值 ，
故答案为：B.
【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN= DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故答案为：D．
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．根据矩形的性质得出GF=DE，MN=EF，根据同圆的半径相等得出MP=FN= DE=2，根据线段的和差，由NP=MN﹣MP=EF﹣MP得出NP的长，根据勾股定理及等式的性质即可由PF2+PG2=2PN2+2FN2算出答案。
11．【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的认识
【解析】【解答】解：如图，在⊙O中，直径为10cm，弦AB=5cm，
∴OA=OB=5cm，
∴OA=OB=AB
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°.
【分析】画出图形，由题意可得OA=OB=AB，推出△OAB是等边三角形，然后根据等边三角形的性质进行解答.
12．【答案】
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：由题意可得：OE=1，
阴影面积= = ．
【分析】 根据圆及正方形的对称性可知：图中阴影部分的半径其实质就是一个半圆的面积，根据半圆面积计算方法即可算出答案。
13．【答案】69°
【知识点】三角形的外角性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵CD=OA=OD，∠C=23°，
∴∠COD=∠C=23°，
∴∠ODE=2∠C=46°，
∵OD=OE，
∴∠CEO=∠EDO=46°，
∴∠EOB=∠C+∠CEO=46°+23°=69°，
故答案为：69°.
【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO=∠CEO=2∠C，从而利用三角形的外角的性质即可得答案.
14．【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，∠BAO=∠CDO=90°，
∵OB=5，
∴AO= =3，
同理DO=3，
∴AD=3+3=6．
故答案为：6．
【分析】连接OB，根据矩形性质得出AB=CD=4，∠BAO=∠CDO=90°，根据勾股定理求出AO、DO，即可得出答案．
15．【答案】=
【知识点】矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连OM,OD.
四边形OEDF是矩形.
同理
.
故答案为：=.
【分析】根据矩形的两条对角线相等及同圆的半径相等即可作出判断.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：设半径为R，大正方形边长是a，则有
【分析】设半径为R，大正方形边长是a，利用勾股定理可得，据此即可求出结论.
17．【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON= ，PN=a，
在Rt△OPN中，
ON2+PN2=OP2，即（ ）2+a2=（ ）2，解得a=2．
故答案为：2．
【分析】连结半径，构造出直角三角形，利用勾股定理建立方程求出边长.
18．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】连接DE、CE，如图,设∠B=x
∵过A，C，D三点的圆的圆心为E，
∴EA=EC=ED
∴∠A=∠ACE
∴∠4=180°-2∠A=180°-120°=60°
∵过B，E两点的圆的圆心为D，
∴DE=DB
∴∠1=∠B=x
∴∠2=∠1+∠B=2x
而EC=ED
∴∠3=∠2=2x
∵4=∠3+∠B
∴2x+x=60°，即x=20°
即∠B=20°
故答案为：20°
【分析】连接DE、CE，如图,设∠B=x，根据等腰三角形的性质由EA=EC得到∠A=∠ACE，再根据三角形内角和定理得到∠4=180°-2∠A=180°-120°=60°，而DE=DB，∠1=∠B=x，利用三角形外角性质得到∠2=∠1+∠B=2x，然后根据三角形外角性质得到2x+x=60°，即可解答.
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：连结BC，则BC=BO=OC，
∴△BOC是正三角形，
∴∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，
∴
【知识点】圆的认识；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）按题目要求作图即可。
（2）根据圆内的半径都相等的特点，得出△BOC是正三角形， 得出，∠AOC=120°，即可根据扇形的面积公式进行求解。
20．【答案】证明：∵ ， 为 的半径， ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，
.
在 与 中，
∵ ，
∴ .
∴ .
【知识点】圆的认识；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先利用边角边定理证明△AOD≌△BOC，则由全等三角形的性质即可得出∠A=∠B.
21．【答案】证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∵在△OAC和△OBD中：
，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定；圆的认识
【解析】【分析】
根据等边对等角可以证得∠A=∠B，然后根据SAS即可证得两个三角形全等．
22．【答案】证明：在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠AOB=∠COD
∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，
∴∠AOC=∠BOD.
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆的认识
【解析】【分析】根据同一个圆的半径相等，可证得OA=OC=OB=OD，再利用SSS证明△AOB≌△COD，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠AOB=∠COD，然后可以推出结论。
23．【答案】证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠AOC=∠DOB．
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆的认识
【解析】【分析】
先根据等腰三角形的性质由OA=OB得到∠A=∠B，再利用“SAS”证明△OAC≌△OBD，然后根据全等三角形的性质得到结论．
24．【答案】解：连结OD，如图，
∵直径AB=2CD，
∴OD=CD，
∴∠DOC=∠C=25°，
∴∠EDO=∠DOC+∠C=50°，
∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=50°，
∴∠AOE=∠E+∠C=75°．
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】连结OD，如图，由于直径AB=2CD，则OD=CD，根据等腰三角形的性质得∠DOC=∠C=25°，再利用三角形外角性质可计算出∠EDO=50°，而∠E=∠EDO=50°，于是根据三角形外角性质可计算∠AOE的度数．
25．【答案】解：沿大半圆周ACB走和沿三个小半圆周ADEFB走的路径相等．理由如下：
设大半圆的半径为R，三个小半圆的半径分别为x、y、z，则x+y+z=R，
大半圆周ACB的长= 2πR=πR，三个小半圆周ADEFB的长= 2π x+ 2π y+ 2π z=π（x+y+z）
所以大半圆周ACB的长等于三个小半圆周ADEFB的长．
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】设大半圆的半径为R，三个小半圆的半径分别为x、y、z，则x+y+z=R，根据圆的周长公式得到大半圆周ACB的长=πR，三个小半圆周ADEFB的长=π（x+y+z），于是可判断两条路径一样近．
26．【答案】解：如图，
连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
∵点E是AB的中点，
∴OE＝ AB，
同理：OF＝ BC，OG＝ CD，OH＝ AD，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．
【知识点】菱形的性质；圆的认识
【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.
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