苏科版初中数学九年级上册2.1.2 圆心角、弧、弦的关系 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·宜兴期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条中线的交点是三角形重心
B．等弦所对的圆周角相等
C．长度相等的两条弧是等弧
D．三角形的外心到三边的距离相等
【答案】A
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：A、三角形三条中线的交点是三角形重心，故此选项符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，故此选项不符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故此说法不符合题意；
D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，故此说法不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据三角形重心的概念可判断A；在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，据此判断B；根据等弧的概念可判断C；根据三角形外心的概念以及垂直平分线的性质可判断D.
2．（2020九上·桐城期末）已知 是 的弦， 的半径为r，下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：若 是 的直径时， ，
若AB不是 的直径时 ，无法判定AB与 的大小关系．
观察选项，只有选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据直径是最长的弦进行解答即可。
3．（2021九上·吉林月考）如图， 为⊙O的直径，点C、D是 的三等分点， ，则 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴ 的度数是120°，
∵C、D是 上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故答案为：C．
【分析】先利用平角求出∠BOE=180°-∠AOE=120°，再根据C、D是 上的三等分点，得到弧CD与弧BC的度数都是40度，即可得到答案。
4．（2020九上·建水期末）如图，在⊙O中， ，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 ，
，
，
．
∵∠AOD=150°，∠BOC=80°，
，
故答案为：D．
【分析】先求出 ，利用等弧所对的圆心角相等可得，利用角的和差即可求解.
5．（2020九上·哈尔滨期末）如图， 在 上， 、 分别是弧 的三等分点， ，则 度数是（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ 、 分别是弧 的三等分点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据在同圆或等于中，相等的弧所对的圆周角相等可得，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。
6．（2020九上·西宁期末）如图， 为 的直径， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ 为 的直径， ，
∴ ，
∴ ，故A不符合题意；
∵
∴ ，故D不符合题意；
∵OD=OB，
∴ ，
∴ ，故C不符合题意；
不能判断 ，故B符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据 为 的直径， ，再结合图形对每个选项一一判断即可。
7．（2021九上·鹿城期中）如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠C＝25°，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴ 的度数为50°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝25°，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC＝50°，据此可得的度数.
8．（2021九上·哈尔滨月考）如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BO⊥AC，∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝ ∠AOC＝50°，
则∠BDC＝ ∠BOC＝25°，
故答案为：B．
【分析】由垂径定理知∠BOC＝ ∠AOC＝50°，再根据圆周角定理得出答案即可。
9．（2021九下·渝中期中）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠CDO=∠AOD=68°，
∵OC=OD，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=44°+68°=112°，
∴∠ABC=∠AOC=56°，
故答案为：C.
【分析】连接OC，由平行线的性质求得∠CDO的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠COD，则知∠AOC的大小，最后根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求∠B即可.
10．（2020九上·龙凤期末）如图， 中， 是 的直径， ， ， 是 上一动点， 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理， ，
∴ ，
∵ ，AB为直径，
∴C′D为直径．则CD′=AB=8（cm）．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称的性质求解即可，作出点C关于AB的对称点C'，连接DC'交AB于点M，此时CM+DM的最小值为DC'的长。
二、填空题
11．（2020九上·和林格尔月考）半径为5的 中，弦 的长为5，则弦 所对的圆心角的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=OB=5，AB=5，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故答案为：60°．
【分析】根据题意可知△OAB为等边三角形，即可知∠AOB=60°．
12．（2020九上·祁县期末）如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD＝32°，则∠AEO的度数 ．
【答案】48°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵ ，∠COD=32°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=32°，
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=84°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°-84°）=48°．
故答案为48°．
【分析】先求出∠BOC=∠EOD=∠COD=32°，再求出∠AEO=∠OAE，最后计算求解即可。
13．（2020九上·中山期末）如图， 中， ， ，则 的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据同圆中，相等的弧所对的圆周角相等可得，再利用三角形的内角和求解出∠A即可。
14．（2021九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OC．
∵AB是直径， ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【分析】连接OC，根据“C、D为半圆的三等分点”可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，证出△AOC是等边三角形，再利用角的运算求出∠ACE=90°﹣60°=30°．
15．（2020九上·顺义期末）如图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC 2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】＜
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接AB、BC，如图，
∵ ，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC＞AC，
∴2CD＞AC，
即AC＜2CD．
故答案为：＜．
【分析】连接AB、BC，根据题意知：ABBCCD，又由三角形三边得到AB+BC>AC得到：AC＜2CD．
16．（2020九下·黄石月考）如图，已知A、B、C、D为圆上四点，弧AD、弧BC的度数分别为120°和40°，则∠E＝ .
【答案】40°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，BD，
∵弧AD、弧BC的度数分别为120°和40°，
∴∠AOD=120°，∠BOC=40°，
∴∠BDC= ∠BOC=20°，∠ABD= ∠AOD=60°，
∴∠E=∠ABD-∠BDC=40°.
故答案为：40°.
【分析】首先设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，BD，由弧AD、弧BC的度数分别为120°和40°，可得∠AOD=120°，∠BOC=40°，然后由圆周角定理，求得∠BDC与∠ABD的度数，继而求得答案.
17．（2020九上·兰溪月考）如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC的度数是 .
【答案】120°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作OD⊥AC交弧AC于点D，
∵弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，
∴OE=OD=OC，∠OEC=90°，
∴∠ACO=30°，
∵OA=OC
∴∠ACO=∠OAC=30°
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°
∴弧AC的度数为120°.
故答案为：120°.
【分析】连接OC，过点O作OD⊥AC交弧AC于点D，利用折叠的性质可知OE=OC，就可求出∠ACO=30°；再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOC的度数，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即可求出弧AC的度数。
18．（2021·黄冈模拟）如图， 是 的直径， ，点C在 上， ，D为 的中点，P是直径 上一动点，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′.
又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为 的中点，即 ，
∴∠BAD′= ∠CAB=15°.
∴∠CAD′=45°.
∴∠COD′=90°.则△COD′是等腰直角三角形.
∵OC=OD′= AB=5，
∴CD′= .
故答案为： .
【分析】作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′，CD′即为 的最小值 ，根据圆周角定理以及D为 的中点易得∠COD′=90°，且OC=OD’可得△COD′是等腰直角三角形，由勾股定理可得结果.
三、解答题
19．（2021九上·海淀期中）如图，A，B是⊙O上的两点，C是 的中点．求证： ．
【答案】证明：连接OC．
∵ C是 的中点，
∴ ，
∴ ∠AOC=∠BOC，
∵ OA=OB，OC=OC，
∴ △AOC ≌ △BOC（SAS），
∴ ∠A=∠B．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 ， 再利用SAS证明三角形全等，最后求解即可。
20．（2021九上·邗江月考）已知：如图， 中弦 .求证： .
【答案】证明： ，
，
，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弦、弧的关系可得，然后给两边同时减去即可证明.
21．（2021九上·鹿城期末）如图，A、B、C在⊙O上，若 ，求证： .
【答案】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由BC=AD得到 ，则 ，所以AC＝BD.
22．（2019九上·湖里期中）如图，已知A、B、C、D四点在⊙O上，AB、CD交于点E，AD＝BC，求证：AB＝CD．
【答案】解：∵AD＝BC，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴AB＝CD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量有相等的关系.先找到弦AB与CD所对的弧，利用圆心角定理判断AB与CD所对的弧的关系即可解决.
23．（2019九上·西城期中）如图，⊙O中， ，∠C＝75°，求∠A的度数．
【答案】解：∵⊙O中， ，∠C＝75°， ∴∠B＝∠C＝75°， ∴∠A＝180°﹣75°×2＝30°．
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出∠B＝∠C＝75°，再利用三角形内角和定理求出即可．
24．（2018九上·金华期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
【答案】证明：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，∴∠AOC=∠BOD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
25．（2018九上·温州期中）如图，A，B，C，D在⊙O上，若AC=BD，
求证：BC=AD．
【答案】证明：∵AC=BD，∴ ,
∴ ,即 ,
∴BC=AD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据等弦所对的弧相等得 ,由等量代换得 ,再由等弧所对的弦相等即可得证.
26．（2018九上·连城期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，求弦DC的长．
【答案】解：∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD=∠BCD=90°， ∵∠BAC=120°， ∴∠CAD=120°﹣90°=30°， ∴∠CBD=∠CAD=30°， 又∵∠BAC=120°， ∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°， ∵AB=AC， ∴∠ADB=∠ADC， ∴∠ADB=∠BDC= ×60°=30°， 在Rt△ABD中，AB= AD= ×6=2 ，BD=2AB=4 ， 在Rt△BCD中，CD= BD=2 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】圆内接四边形的对角互补，进而得∠BDC=60°，∠BDC=30°=∠BCA=∠ABC，利用Rt△ABD求出三边长度，且AB=CD。
27．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．
【答案】证明：∵CA=CB=CO，∴OB=BC=OC=OA=AC，∴△OBC和△OAC都是等边三角形，∴∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ADB=60°，∴∠ACD=∠BCD=∠ADB，∴ ，∴AD=BD=BA
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆的半径相等及等量代换得出OB=BC=OC=OA=AC，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OBC和△OAC都是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，根据角的和差得出∠AOB=120°，根据圆周角定理得出∠ADB=60°，故∠ACD=∠BCD=∠ADB，根据在同圆中，相等的圆周角所对的相等得出AD=BD=BA。
28．（2021九上·嘉兴期中）已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3cm。
（1）求证： ；
（2）能否求出BD的长？如能，求出BD的长；如不能，说明理由。
【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠COB＝∠2+∠COB，
即：∠DOB＝∠COA，
∴
（2）解：∵
∴BD＝AC，
∵AC＝3cm，
∴BD＝3cm
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)利用角的和差关系求出 ∠DOB＝∠COA，根据圆心角和弧的关系得出；
(2)根据等弧对等弦得出BD=AC，即可解答.
1 / 1苏科版初中数学九年级上册2.1.2 圆心角、弧、弦的关系 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·宜兴期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条中线的交点是三角形重心
B．等弦所对的圆周角相等
C．长度相等的两条弧是等弧
D．三角形的外心到三边的距离相等
2．（2020九上·桐城期末）已知 是 的弦， 的半径为r，下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·吉林月考）如图， 为⊙O的直径，点C、D是 的三等分点， ，则 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
4．（2020九上·建水期末）如图，在⊙O中， ，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．（2020九上·哈尔滨期末）如图， 在 上， 、 分别是弧 的三等分点， ，则 度数是（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
6．（2020九上·西宁期末）如图， 为 的直径， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·鹿城期中）如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
8．（2021九上·哈尔滨月考）如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
9．（2021九下·渝中期中）如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．56° D．68°
10．（2020九上·龙凤期末）如图， 中， 是 的直径， ， ， 是 上一动点， 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020九上·和林格尔月考）半径为5的 中，弦 的长为5，则弦 所对的圆心角的度数为 ．
12．（2020九上·祁县期末）如图，AB是⊙O的直径， ，∠COD＝32°，则∠AEO的度数 ．
13．（2020九上·中山期末）如图， 中， ， ，则 的度数为 ．
14．（2021九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
15．（2020九上·顺义期末）如图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC 2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）
16．（2020九下·黄石月考）如图，已知A、B、C、D为圆上四点，弧AD、弧BC的度数分别为120°和40°，则∠E＝ .
17．（2020九上·兰溪月考）如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC的度数是 .
18．（2021·黄冈模拟）如图， 是 的直径， ，点C在 上， ，D为 的中点，P是直径 上一动点，则 的最小值为 .
三、解答题
19．（2021九上·海淀期中）如图，A，B是⊙O上的两点，C是 的中点．求证： ．
20．（2021九上·邗江月考）已知：如图， 中弦 .求证： .
21．（2021九上·鹿城期末）如图，A、B、C在⊙O上，若 ，求证： .
22．（2019九上·湖里期中）如图，已知A、B、C、D四点在⊙O上，AB、CD交于点E，AD＝BC，求证：AB＝CD．
23．（2019九上·西城期中）如图，⊙O中， ，∠C＝75°，求∠A的度数．
24．（2018九上·金华期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
25．（2018九上·温州期中）如图，A，B，C，D在⊙O上，若AC=BD，
求证：BC=AD．
26．（2018九上·连城期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，求弦DC的长．
27．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．
28．（2021九上·嘉兴期中）已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3cm。
（1）求证： ；
（2）能否求出BD的长？如能，求出BD的长；如不能，说明理由。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：A、三角形三条中线的交点是三角形重心，故此选项符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，故此选项不符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故此说法不符合题意；
D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，故此说法不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据三角形重心的概念可判断A；在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，据此判断B；根据等弧的概念可判断C；根据三角形外心的概念以及垂直平分线的性质可判断D.
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：若 是 的直径时， ，
若AB不是 的直径时 ，无法判定AB与 的大小关系．
观察选项，只有选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据直径是最长的弦进行解答即可。
3．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴ 的度数是120°，
∵C、D是 上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故答案为：C．
【分析】先利用平角求出∠BOE=180°-∠AOE=120°，再根据C、D是 上的三等分点，得到弧CD与弧BC的度数都是40度，即可得到答案。
4．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 ，
，
，
．
∵∠AOD=150°，∠BOC=80°，
，
故答案为：D．
【分析】先求出 ，利用等弧所对的圆心角相等可得，利用角的和差即可求解.
5．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ 、 分别是弧 的三等分点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据在同圆或等于中，相等的弧所对的圆周角相等可得，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。
6．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ 为 的直径， ，
∴ ，
∴ ，故A不符合题意；
∵
∴ ，故D不符合题意；
∵OD=OB，
∴ ，
∴ ，故C不符合题意；
不能判断 ，故B符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据 为 的直径， ，再结合图形对每个选项一一判断即可。
7．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠C＝25°，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴ 的度数为50°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝25°，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC＝50°，据此可得的度数.
8．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BO⊥AC，∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝ ∠AOC＝50°，
则∠BDC＝ ∠BOC＝25°，
故答案为：B．
【分析】由垂径定理知∠BOC＝ ∠AOC＝50°，再根据圆周角定理得出答案即可。
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠CDO=∠AOD=68°，
∵OC=OD，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=44°+68°=112°，
∴∠ABC=∠AOC=56°，
故答案为：C.
【分析】连接OC，由平行线的性质求得∠CDO的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠COD，则知∠AOC的大小，最后根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求∠B即可.
10．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理， ，
∴ ，
∵ ，AB为直径，
∴C′D为直径．则CD′=AB=8（cm）．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称的性质求解即可，作出点C关于AB的对称点C'，连接DC'交AB于点M，此时CM+DM的最小值为DC'的长。
11．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵OA=OB=5，AB=5，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故答案为：60°．
【分析】根据题意可知△OAB为等边三角形，即可知∠AOB=60°．
12．【答案】48°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵ ，∠COD=32°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=32°，
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=84°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO= ×（180°-84°）=48°．
故答案为48°．
【分析】先求出∠BOC=∠EOD=∠COD=32°，再求出∠AEO=∠OAE，最后计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据同圆中，相等的弧所对的圆周角相等可得，再利用三角形的内角和求解出∠A即可。
14．【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OC．
∵AB是直径， ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【分析】连接OC，根据“C、D为半圆的三等分点”可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，证出△AOC是等边三角形，再利用角的运算求出∠ACE=90°﹣60°=30°．
15．【答案】＜
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接AB、BC，如图，
∵ ，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC＞AC，
∴2CD＞AC，
即AC＜2CD．
故答案为：＜．
【分析】连接AB、BC，根据题意知：ABBCCD，又由三角形三边得到AB+BC>AC得到：AC＜2CD．
16．【答案】40°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，BD，
∵弧AD、弧BC的度数分别为120°和40°，
∴∠AOD=120°，∠BOC=40°，
∴∠BDC= ∠BOC=20°，∠ABD= ∠AOD=60°，
∴∠E=∠ABD-∠BDC=40°.
故答案为：40°.
【分析】首先设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，BD，由弧AD、弧BC的度数分别为120°和40°，可得∠AOD=120°，∠BOC=40°，然后由圆周角定理，求得∠BDC与∠ABD的度数，继而求得答案.
17．【答案】120°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作OD⊥AC交弧AC于点D，
∵弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，
∴OE=OD=OC，∠OEC=90°，
∴∠ACO=30°，
∵OA=OC
∴∠ACO=∠OAC=30°
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°
∴弧AC的度数为120°.
故答案为：120°.
【分析】连接OC，过点O作OD⊥AC交弧AC于点D，利用折叠的性质可知OE=OC，就可求出∠ACO=30°；再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOC的度数，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即可求出弧AC的度数。
18．【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′.
又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为 的中点，即 ，
∴∠BAD′= ∠CAB=15°.
∴∠CAD′=45°.
∴∠COD′=90°.则△COD′是等腰直角三角形.
∵OC=OD′= AB=5，
∴CD′= .
故答案为： .
【分析】作出D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′，CD′即为 的最小值 ，根据圆周角定理以及D为 的中点易得∠COD′=90°，且OC=OD’可得△COD′是等腰直角三角形，由勾股定理可得结果.
19．【答案】证明：连接OC．
∵ C是 的中点，
∴ ，
∴ ∠AOC=∠BOC，
∵ OA=OB，OC=OC，
∴ △AOC ≌ △BOC（SAS），
∴ ∠A=∠B．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 ， 再利用SAS证明三角形全等，最后求解即可。
20．【答案】证明： ，
，
，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弦、弧的关系可得，然后给两边同时减去即可证明.
21．【答案】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由BC=AD得到 ，则 ，所以AC＝BD.
22．【答案】解：∵AD＝BC，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴AB＝CD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量有相等的关系.先找到弦AB与CD所对的弧，利用圆心角定理判断AB与CD所对的弧的关系即可解决.
23．【答案】解：∵⊙O中， ，∠C＝75°， ∴∠B＝∠C＝75°， ∴∠A＝180°﹣75°×2＝30°．
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出∠B＝∠C＝75°，再利用三角形内角和定理求出即可．
24．【答案】证明：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，∴∠AOC=∠BOD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
25．【答案】证明：∵AC=BD，∴ ,
∴ ,即 ,
∴BC=AD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据等弦所对的弧相等得 ,由等量代换得 ,再由等弧所对的弦相等即可得证.
26．【答案】解：∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD=∠BCD=90°， ∵∠BAC=120°， ∴∠CAD=120°﹣90°=30°， ∴∠CBD=∠CAD=30°， 又∵∠BAC=120°， ∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°， ∵AB=AC， ∴∠ADB=∠ADC， ∴∠ADB=∠BDC= ×60°=30°， 在Rt△ABD中，AB= AD= ×6=2 ，BD=2AB=4 ， 在Rt△BCD中，CD= BD=2 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】圆内接四边形的对角互补，进而得∠BDC=60°，∠BDC=30°=∠BCA=∠ABC，利用Rt△ABD求出三边长度，且AB=CD。
27．【答案】证明：∵CA=CB=CO，∴OB=BC=OC=OA=AC，∴△OBC和△OAC都是等边三角形，∴∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ADB=60°，∴∠ACD=∠BCD=∠ADB，∴ ，∴AD=BD=BA
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆的半径相等及等量代换得出OB=BC=OC=OA=AC，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OBC和△OAC都是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°得出∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，根据角的和差得出∠AOB=120°，根据圆周角定理得出∠ADB=60°，故∠ACD=∠BCD=∠ADB，根据在同圆中，相等的圆周角所对的相等得出AD=BD=BA。
28．【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠COB＝∠2+∠COB，
即：∠DOB＝∠COA，
∴
（2）解：∵
∴BD＝AC，
∵AC＝3cm，
∴BD＝3cm
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)利用角的和差关系求出 ∠DOB＝∠COA，根据圆心角和弧的关系得出；
(2)根据等弧对等弦得出BD=AC，即可解答.
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