苏科版初中数学九年级上册2.2 圆的对称性 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·日照月考）已知 的半径为5，一条弦的弦心距为3，则此弦的长为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：根据垂径定理，由已知得，这条弦的一半为 =4，
所以弦为8．
故答案为：C．
【分析】画出草图，再利用垂径定理和勾股定理即可求出答案。
2．（2021九上·建华期中）如图， 的弦AB垂直平分半径OC，若 ，则 的半径为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵弦AB垂直平分OC，
∴ ， ，
∴D为AB中点，即 ，
设圆的半径为r，则 ，
在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
则 的半径为6，
故答案为：D．
【分析】连接OA，利用垂径定理可得，再利用勾股定理列出等式，将数据代入计算即可。
3．（2021九上·金乡期中）在 中，直径 弦 于点 若 ，则 的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图连接OD
∵直径AB＝15，
∴DO=BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴DC＝
∴DE＝2DC＝12．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案。
4．（2021九上·金东期中）如图，在半径为5的⊙ 中， ， 是互相垂直的两条弦，垂足为 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接 OA 过 作 垂足分别为 而
四边形 为矩形，
同理：
四边形 为正方形，
故答案为：C.
【分析】连接OA、OC，过O作OF⊥AB，OE⊥CD，垂足分别为F、E，则 四边形OEPF为矩形，由垂径定理可得AF=BF=4，结合勾股定理求出OF，同理可得OE，推出四边形OEPF为正方形，则FP=FO=3，然后由勾股定理可得OP的值.
5．（2021九上·无锡期中）如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．2个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，
在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，
根据勾股定理得：OP＝ ＝ ，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP＜5，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝3，4
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个.
故答案为：D.
【分析】当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，AP=BP=4，此时OP最短，在Rt△AOP中，应用勾股定理求出OP；当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，据此可得OP的范围，结合OP长为整数可得OP的长，进而可得点P的个数.
6．（2021九上·温州期中）如图，AB是⊙O的一条弦， ， =120°，点D在⊙O上，CD⊥AB于点C，BC－AC=12，则CD的长为（ ）
A． B． C．13 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，
∴BF=，∠BFO=∠DEO=∠CFO=∠CEO=∠ECF=90°，
∴四边形CEFO是矩形，
∴CE=OF，CF=OE
∵弧AB=120°，
∴∠BOF=×120°=60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴设OB=2OF=2x
在Rt△BOF中
4x2-x2=（）2
解之：x=5（取正值）
∴OB=OD=2×5=10，OF=5
∵
解之：BC=6+
∴CF=BC-BF=6+-=6
∴OE=6，CE=5
在Rt△DOE中
∴CD=CE+DE=5+8=13.
故答案为：C.
【分析】过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，利用垂径定理可求出BF的长，同时可证得四边形CEFO是矩形，利用矩形的性质可知CE=OF，CF=OE，再利用圆心角，弧，弦之间的关系，可得到∠BOF的度数，同时可求出∠B的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，设OB=2OF=2x，利用勾股定理求出x的值，可得到OB，OF的长，结合已知求出BC的长，即可得到CF的长；再求出OE，CE的长；然后利用勾股定理求出DE的长，根据CD=CE+DE，代入计算求出CD的长.
7．（2021九上·宁波月考）一根泄洪管道的横截面示意图如图所示，正常情况下水面在 AB 位置，某次泄洪时水位上升，水面在 CD 位置，且 AB=CD=12 m．若管道半径为 10 m，则此次水位上升了（ ）
A．12 m B．14 m C．16 m D．18 m
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD交BA于点F，
∵CD∥AB
∴∠OED=∠OFB=90°，
∵AB=CD=12m，
∴
∴
∴此次水位上升了8+8=16.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥CD交BA于点F，利用垂直的定义可证得∠OED=∠OFB=90°，利用垂径定理可求出DE，BF的长；再利用勾股定理分别求出OE，OF的长，即可得到EF的长，即可求解.
8．（2021九下·江岸月考）如图，在⊙O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，则CD：AD的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：4
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接CO交EF于M，连接OF，
∵C为弧AB的中点，
∴CO⊥AB，CO⊥EF，EM=MF，
∵AO=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，则△CMD为等腰直角三角形，
设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，
∵DF＝2DE，
∴x+MF=2(MF﹣x)，解得：MF=3x，
设圆的半径为r，则OM=r﹣x
在Rt△OMF中，由勾股定理得：r2=( r﹣x)2+（3x）2，
解得：r=5x，则OM=4x，
∵EF∥AB，
∴CD：AD＝CM：OM=x：4x=1：4，
故答案为：D.
【分析】连接CO交EF于M，连接OF，由垂径定理易判断△AOC和△CMD是等腰直角三角形，设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，根据DF＝2DE可将MF用含x的代数式表示出来，设圆的半径为r，则OM=r﹣x，在Rt△OMF中，由勾股定理可将r用含x的代数式表示出来，则OM也可用含x的代数式表示出来，然后根据平行线分线段成比例定理得比例式可求解.
9．（2016·嘉兴）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO= BO，AB∥DC，
可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，
则∠BOC=150°，
故 的度数是150°．
故选：C．
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
10．如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，弧AB与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】延长CO交AB于E点，连接OB，
∵CE⊥AB，
∴E为AB的中点，
∵OC=6，CD=2OD，
∴CD=4，OD=2，OB=6，
∴DE=（2OC-CD)=（6×2-4)=×8=4，
∴OE=DE-OD=4-2=2，
在Rt△OEB中，
∵OE2+BE2=OB2
∴
∴AB=2BE=
故选B.
【分析】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键。延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长。
二、填空题
11．（2021·集贤模拟）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为 米．
【答案】0.8或0.2.
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】如图所示，作AB的垂直平分线，垂足为E，
根据题意，得 AO=0.5，AE=0.4，
根据勾股定理，得OE= = =0.3，
∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）
或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），
∴水深为0.2米或0.8米.
故答案为：0.2米或0.8.
【分析】先利用勾股定理求出OE=0.3，再分类讨论，结合图形求解即可。
12．（2021九上·津南期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= cm．
【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴CE=ED=4cm，
在Rt△OEC中，OE= =3(cm)，
∴AE=OA+OE=5+3=8(cm)，
故答案为8．
【分析】先求出CE=ED=4cm，再利用勾股定理求出OE=3cm，最后计算求解即可。
13．（2021九上·尧都期中）如图，山西汾河大桥十号线桥可以近似地看作直径为500m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300 m，那么这些钢索中最长的一根为
【答案】50 m
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，设圆弧的圆心为O，过点O作OC⊥AB于点C，交于点D，连接OA，
∴OA=OD=250，AC=BC=AB=150，
∴OC=，
∴CD=OD-OC=250-200=50，
∴ 这些钢索中最长的一根为50m.
【分析】设圆弧的圆心为O，过点O作OC⊥AB于点C，交于点D，连接OA，根据垂径定理得出ACAB=150，再根据勾股定理得出OC=200，从而得出CD=OD-OC=50，即可得出答案.
14．（2021九上·邗江月考） 的半径为 ，两平行弦 ， 的长分别为 ， ，则两弦间的距离是 .
【答案】14cm或2cm
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
在直角 中，
同理， 的弦心距是6，
当两条平行线在圆心的两侧时：两条平行弦之间的距离是 ；
当两条平行线在圆心的同侧时：两条平行弦之间的距离是 .
故答案是：14cm或2cm.
【分析】画出示意图，由垂径定理可得AC，结合勾股定理求得OC，同理可得EF的弦心距是6，然后分两条平行线在圆心的两侧与同侧进行求解即可.
15．（2021·恩施）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 等于1寸，锯道 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径 寸；
【答案】26
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：延长DC，交⊙O于点E，连接OA，如图所示，
由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点， 寸， 寸，
∴DE为⊙O的直径，
∴ 寸，
设OA=x寸，则 寸，
∴在Rt△AOC中， ，即 ，
解得： ，
∴圆形木材的直径为26寸；
故答案为26.
【分析】延长DC，交⊙O于点E，连接OA，根据垂径定理可得AC=BC=5，设OA=x寸，则 寸，在Rt△AOC中， 由建立方程，求解即可.
16．（2021·开福模拟）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为 .
【答案】 cm
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图：作OD⊥AB于D，连接OA.
根据题意得：OD＝ OA＝1cm，
再根据勾股定理得：AD＝ ＝ ＝ cm，
由垂径定理得：AB＝2 cm.
故答案为： cm.
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长即可.
17．（2019九上·哈尔滨月考）如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为 ．
【答案】 ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】
设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
根据题意知，∵OF⊥AC，∴AF= AC=3，
∵∠CAD=∠BAD，∴ ，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
在△AOF和△OED中，∵∠OFA=∠OED，∠FAO=∠EDO，AO=DO，
∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3，
∵DO=5，∴DE=4，∴AD= ．
故答案为 ．
【分析】通过作辅助线，结合三角形全等的性质与判定，利用勾股定理求出线段的长度即可.
18．（2021·建湖模拟）如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 .
【答案】16π
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F.
∵AD为弦，OE⊥AD，
由垂径定理可得DE=AE= AD=4.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC∥AD，AD=BC=8，
∴∠CFO=∠DEO=90°，
∴四边形DEFC为矩形，CF=DE=4.
∵AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，
∴圆环面积为S=π OC2-π OF2=π（OC2-OF2）=π CF2=16π.
故答案为：16π.
【分析】连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F，根据垂径定理得出DE=AE= AD=4，再证出四边形DEFC为矩形，得出CF=DE=4，利用BC边扫过的图形是以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，求出圆环的面积，即可求出BC边扫过的面积.
三、解答题
19．（2021九上·北京月考）如图， 是 的弦， 为 的中点， 的延长线与 交于点 ，若 ， ，求 的半径．
【答案】解：连接AO，
∵点C是弦AB的中点，半径OD与AB相交于点C，
∴OC⊥AB，
∵AB=12，
∴AC=BC=6，
设⊙O的半径为R，
∵CD=2，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AO2=OC2+AC2，
即：R2=（R-2）2+62，
∴R=10
答：⊙O的半径长为10．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接AO，设⊙O的半径为R，则OA=R，OC=R-2，利用垂径定理的推论得出OC⊥AB，AC=BC=6，利用勾股定理得出R2=（R-2）2+62，再解方程即可。
20．（2021·安丘模拟）如图，已知AB是O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．
【答案】解：连接OC．
∵AB是O的直径，CD⊥AB，
∴ ．
∵AB=10cm，
∴AO=BO=CO=5cm．
∵BE=OE，
∴ cm， cm．
在Rt△COE中，
∵CD⊥AB，
∴OE2+CE2=OC2．
∴ cm．
∴DE= cm．
∴ cm．
在Rt△ACE中
∴
∴ cm．
在Rt△ADE中
∴
∴
∴△ACD的周长=AD+DC+AC= + + = cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC．根据垂径定理可得 ．由AB=10cm，可求 cm， cm．根据勾股定理 cm．可得 cm．根据勾股定理 cm． 即可．
21．（2020九上·邯郸月考）如图，AB是⊙O的弦，C、D是直线AB上的两点，并且AC＝BD，求证：OC＝OD．
【答案】证明：过O作OE⊥AB于E，则AE=BE．
∵AC=BD，∴CE=DE．
∴OE是CD的中垂线，∴OC=OD．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过O作OE⊥AB于E，则AE=BE，再结合题意证出OE是CD的中垂线，利用中垂线的性质求解即可。
22．（2020九上·宜春期中）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5 ，求弦CD及圆O的半径长.
【答案】解：过点 作 于 ，连接
∵∴ .
在 中，
∴ ， ．
∵ ，∴ ．
∵ 过圆心 ，∴ .
∴
∵
∴在 中，
∴ 弦CD的长为 ，⊙O的半径长为 ．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】过点 作 于 ，连接 解 ，得到 ，根据 求得 的长，根据垂径定理即可求出弦 的长，根据勾股定理即可求出圆的半径.
23．（2020九上·赣榆期中）如图1是某奢侈品牌的香水瓶，从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形（由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形）后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm.已知⊙O的半径为2.5cm，BC=1.4cm，AB=3.1cm，EF=3cm，求香水瓶的高度h.
【答案】解：如图，过点O作 于点G，延长GO交EF于点H，连接BO、EO，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
根据勾股定理， ， ，
∴ .
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】 如图，过点O作 于点G，延长GO交EF于点H，连接BO、EO，根据平行线的性质及垂径定理可得BG=BC=0.7cm，EH=EF=1.5cm，利用勾股定理可求出GO，OH的长，利用h=AB +GO +OH计算即得结论.
24．（2021九上·台州期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝ ，BC＝4，求半径OA的长．
【答案】（1）证明：延长AO交弧BFC于F，
∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，
又∵AF经过O
∴AF平分弦BC所对的弧
即弧BF=弧CF
∴∠BAF=∠CAF
所以AO平分∠BAC （连接AO、CO证全等也可）
（2）解：如图，连接BO，
又（1）知AO平分∠BAC
∴AE⊥BC
在Rt△ABE中， ，
在Rt△OBE中，
即
解之，AO= 2.5，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】(1) 延长AO交弧BFC于F， 根据垂径定理求出AF平分弦BC所对的弧，则可得出∠BAF=∠CAF，即可得证；
(2)连接BO， 根据垂径定理知AE⊥BC，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE长，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理建立关于AO的方程求解即可.
25．（2020九上·北部湾月考）如图，已知 为 的直径， 是弦，且 于点 .连接 ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的直径.
【答案】（1）解：∵ 为 的直径， 是弦，且 于 ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：设 的半径为 ，
在 中，
，
.
则 ，
在 中，
，
∴ ，
∴ .
∴ .
答： 的直径为 .
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理得 ， ，进而有 ，再由 证得 即可证得结论；
（2）设 的半径为 ，先由勾股定理求得BE长，再在 中，由 得 ，解方程求得R值，即可求得 的直径.
26．（2020九上·慈溪期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具。据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）.
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
【答案】（1）解：连接OC，延长CO交AB于点D，
∴CD⊥AB
∴，
设圆的半径为r，OD=r-1
在Rt△AOD中
OD2+AD2=AO2即（r-1）2+9=r2.
解之：r=5.
∴该圆的半径为5m.
（2）解：过点O作OE⊥AB'
∴A'E==4，
∴，
∴水面上涨的高度为5-3=2米.
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接OC，延长CO交AB于点D，利用垂径定理求出AD，再利用勾股定理求出圆的半径。
（2）过点O作OE⊥AB'，利用垂径定理求出A'E的长，再利用勾股定理求出OE的长，然后求出水面上涨的高度。
27．（2021·石家庄月考）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
【答案】（1）解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）解：在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝ ，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
28．（2020九上·镇海期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m，拱高PD=18m.
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长.
（2）当洪水泛滥到跨度只有30m时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m，即PE=4m时，是否要采取紧急措施？
【答案】（1）解：连接OA，设圆弧的半径为r，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝r 18.
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302＋（r 18）2，
解之：r＝34.
（2）解：连结OA′，
∵OE＝OP PE＝34-4=30，
在Rt△A′EO中，A′E2＝A′O2 OE2即A′E2＝342 302，
解之：A′E＝16．
∴A′B′=2A′E＝32．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接OA，利用垂径定理求出AD的长，用含r的代数式表示出OD的长，在Rt△ADO中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的长。
（2）连结OA′，可求出OE的长，在Rt△A′EO中，利用勾股定理求出A′E的长，利用垂径定理求出A′B′的长，据此可作出判断。
1 / 1苏科版初中数学九年级上册2.2 圆的对称性 同步训练
一、单选题
1．（2021九上·日照月考）已知 的半径为5，一条弦的弦心距为3，则此弦的长为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．10
2．（2021九上·建华期中）如图， 的弦AB垂直平分半径OC，若 ，则 的半径为（ ）
A．3 B． C． D．6
3．（2021九上·金乡期中）在 中，直径 弦 于点 若 ，则 的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
4．（2021九上·金东期中）如图，在半径为5的⊙ 中， ， 是互相垂直的两条弦，垂足为 ， ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
5．（2021九上·无锡期中）如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．2个 B．5个 C．4个 D．3个
6．（2021九上·温州期中）如图，AB是⊙O的一条弦， ， =120°，点D在⊙O上，CD⊥AB于点C，BC－AC=12，则CD的长为（ ）
A． B． C．13 D．12
7．（2021九上·宁波月考）一根泄洪管道的横截面示意图如图所示，正常情况下水面在 AB 位置，某次泄洪时水位上升，水面在 CD 位置，且 AB=CD=12 m．若管道半径为 10 m，则此次水位上升了（ ）
A．12 m B．14 m C．16 m D．18 m
8．（2021九下·江岸月考）如图，在⊙O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，则CD：AD的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：4
9．（2016·嘉兴）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
10．如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，弧AB与AB垂直的半径OC交于点D且CD=2OD，则折痕AB的长为（ ）
A． B． C．6 D．
二、填空题
11．（2021·集贤模拟）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为 米．
12．（2021九上·津南期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= cm．
13．（2021九上·尧都期中）如图，山西汾河大桥十号线桥可以近似地看作直径为500m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300 m，那么这些钢索中最长的一根为
14．（2021九上·邗江月考） 的半径为 ，两平行弦 ， 的长分别为 ， ，则两弦间的距离是 .
15．（2021·恩施）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 等于1寸，锯道 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径 寸；
16．（2021·开福模拟）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为 .
17．（2019九上·哈尔滨月考）如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为 ．
18．（2021·建湖模拟）如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 .
三、解答题
19．（2021九上·北京月考）如图， 是 的弦， 为 的中点， 的延长线与 交于点 ，若 ， ，求 的半径．
20．（2021·安丘模拟）如图，已知AB是O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．
21．（2020九上·邯郸月考）如图，AB是⊙O的弦，C、D是直线AB上的两点，并且AC＝BD，求证：OC＝OD．
22．（2020九上·宜春期中）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5 ，求弦CD及圆O的半径长.
23．（2020九上·赣榆期中）如图1是某奢侈品牌的香水瓶，从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形（由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形）后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm.已知⊙O的半径为2.5cm，BC=1.4cm，AB=3.1cm，EF=3cm，求香水瓶的高度h.
24．（2021九上·台州期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝ ，BC＝4，求半径OA的长．
25．（2020九上·北部湾月考）如图，已知 为 的直径， 是弦，且 于点 .连接 ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的直径.
26．（2020九上·慈溪期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具。据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）.
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
27．（2021·石家庄月考）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
28．（2020九上·镇海期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m，拱高PD=18m.
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长.
（2）当洪水泛滥到跨度只有30m时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m，即PE=4m时，是否要采取紧急措施？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：根据垂径定理，由已知得，这条弦的一半为 =4，
所以弦为8．
故答案为：C．
【分析】画出草图，再利用垂径定理和勾股定理即可求出答案。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵弦AB垂直平分OC，
∴ ， ，
∴D为AB中点，即 ，
设圆的半径为r，则 ，
在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
则 的半径为6，
故答案为：D．
【分析】连接OA，利用垂径定理可得，再利用勾股定理列出等式，将数据代入计算即可。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图连接OD
∵直径AB＝15，
∴DO=BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴DC＝
∴DE＝2DC＝12．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接 OA 过 作 垂足分别为 而
四边形 为矩形，
同理：
四边形 为正方形，
故答案为：C.
【分析】连接OA、OC，过O作OF⊥AB，OE⊥CD，垂足分别为F、E，则 四边形OEPF为矩形，由垂径定理可得AF=BF=4，结合勾股定理求出OF，同理可得OE，推出四边形OEPF为正方形，则FP=FO=3，然后由勾股定理可得OP的值.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，
在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，
根据勾股定理得：OP＝ ＝ ，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP＜5，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝3，4
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个.
故答案为：D.
【分析】当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，AP=BP=4，此时OP最短，在Rt△AOP中，应用勾股定理求出OP；当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，据此可得OP的范围，结合OP长为整数可得OP的长，进而可得点P的个数.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，
∴BF=，∠BFO=∠DEO=∠CFO=∠CEO=∠ECF=90°，
∴四边形CEFO是矩形，
∴CE=OF，CF=OE
∵弧AB=120°，
∴∠BOF=×120°=60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴设OB=2OF=2x
在Rt△BOF中
4x2-x2=（）2
解之：x=5（取正值）
∴OB=OD=2×5=10，OF=5
∵
解之：BC=6+
∴CF=BC-BF=6+-=6
∴OE=6，CE=5
在Rt△DOE中
∴CD=CE+DE=5+8=13.
故答案为：C.
【分析】过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，利用垂径定理可求出BF的长，同时可证得四边形CEFO是矩形，利用矩形的性质可知CE=OF，CF=OE，再利用圆心角，弧，弦之间的关系，可得到∠BOF的度数，同时可求出∠B的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，设OB=2OF=2x，利用勾股定理求出x的值，可得到OB，OF的长，结合已知求出BC的长，即可得到CF的长；再求出OE，CE的长；然后利用勾股定理求出DE的长，根据CD=CE+DE，代入计算求出CD的长.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD交BA于点F，
∵CD∥AB
∴∠OED=∠OFB=90°，
∵AB=CD=12m，
∴
∴
∴此次水位上升了8+8=16.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥CD交BA于点F，利用垂直的定义可证得∠OED=∠OFB=90°，利用垂径定理可求出DE，BF的长；再利用勾股定理分别求出OE，OF的长，即可得到EF的长，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接CO交EF于M，连接OF，
∵C为弧AB的中点，
∴CO⊥AB，CO⊥EF，EM=MF，
∵AO=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，则△CMD为等腰直角三角形，
设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，
∵DF＝2DE，
∴x+MF=2(MF﹣x)，解得：MF=3x，
设圆的半径为r，则OM=r﹣x
在Rt△OMF中，由勾股定理得：r2=( r﹣x)2+（3x）2，
解得：r=5x，则OM=4x，
∵EF∥AB，
∴CD：AD＝CM：OM=x：4x=1：4，
故答案为：D.
【分析】连接CO交EF于M，连接OF，由垂径定理易判断△AOC和△CMD是等腰直角三角形，设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，根据DF＝2DE可将MF用含x的代数式表示出来，设圆的半径为r，则OM=r﹣x，在Rt△OMF中，由勾股定理可将r用含x的代数式表示出来，则OM也可用含x的代数式表示出来，然后根据平行线分线段成比例定理得比例式可求解.
9．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO= BO，AB∥DC，
可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，
则∠BOC=150°，
故 的度数是150°．
故选：C．
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】延长CO交AB于E点，连接OB，
∵CE⊥AB，
∴E为AB的中点，
∵OC=6，CD=2OD，
∴CD=4，OD=2，OB=6，
∴DE=（2OC-CD)=（6×2-4)=×8=4，
∴OE=DE-OD=4-2=2，
在Rt△OEB中，
∵OE2+BE2=OB2
∴
∴AB=2BE=
故选B.
【分析】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键。延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长。
11．【答案】0.8或0.2.
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】如图所示，作AB的垂直平分线，垂足为E，
根据题意，得 AO=0.5，AE=0.4，
根据勾股定理，得OE= = =0.3，
∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）
或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），
∴水深为0.2米或0.8米.
故答案为：0.2米或0.8.
【分析】先利用勾股定理求出OE=0.3，再分类讨论，结合图形求解即可。
12．【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴CE=ED=4cm，
在Rt△OEC中，OE= =3(cm)，
∴AE=OA+OE=5+3=8(cm)，
故答案为8．
【分析】先求出CE=ED=4cm，再利用勾股定理求出OE=3cm，最后计算求解即可。
13．【答案】50 m
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，设圆弧的圆心为O，过点O作OC⊥AB于点C，交于点D，连接OA，
∴OA=OD=250，AC=BC=AB=150，
∴OC=，
∴CD=OD-OC=250-200=50，
∴ 这些钢索中最长的一根为50m.
【分析】设圆弧的圆心为O，过点O作OC⊥AB于点C，交于点D，连接OA，根据垂径定理得出ACAB=150，再根据勾股定理得出OC=200，从而得出CD=OD-OC=50，即可得出答案.
14．【答案】14cm或2cm
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
在直角 中，
同理， 的弦心距是6，
当两条平行线在圆心的两侧时：两条平行弦之间的距离是 ；
当两条平行线在圆心的同侧时：两条平行弦之间的距离是 .
故答案是：14cm或2cm.
【分析】画出示意图，由垂径定理可得AC，结合勾股定理求得OC，同理可得EF的弦心距是6，然后分两条平行线在圆心的两侧与同侧进行求解即可.
15．【答案】26
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：延长DC，交⊙O于点E，连接OA，如图所示，
由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点， 寸， 寸，
∴DE为⊙O的直径，
∴ 寸，
设OA=x寸，则 寸，
∴在Rt△AOC中， ，即 ，
解得： ，
∴圆形木材的直径为26寸；
故答案为26.
【分析】延长DC，交⊙O于点E，连接OA，根据垂径定理可得AC=BC=5，设OA=x寸，则 寸，在Rt△AOC中， 由建立方程，求解即可.
16．【答案】 cm
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图：作OD⊥AB于D，连接OA.
根据题意得：OD＝ OA＝1cm，
再根据勾股定理得：AD＝ ＝ ＝ cm，
由垂径定理得：AB＝2 cm.
故答案为： cm.
【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长即可.
17．【答案】 ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】
设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
根据题意知，∵OF⊥AC，∴AF= AC=3，
∵∠CAD=∠BAD，∴ ，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
在△AOF和△OED中，∵∠OFA=∠OED，∠FAO=∠EDO，AO=DO，
∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3，
∵DO=5，∴DE=4，∴AD= ．
故答案为 ．
【分析】通过作辅助线，结合三角形全等的性质与判定，利用勾股定理求出线段的长度即可.
18．【答案】16π
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F.
∵AD为弦，OE⊥AD，
由垂径定理可得DE=AE= AD=4.
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC∥AD，AD=BC=8，
∴∠CFO=∠DEO=90°，
∴四边形DEFC为矩形，CF=DE=4.
∵AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，
∴圆环面积为S=π OC2-π OF2=π（OC2-OF2）=π CF2=16π.
故答案为：16π.
【分析】连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F，根据垂径定理得出DE=AE= AD=4，再证出四边形DEFC为矩形，得出CF=DE=4，利用BC边扫过的图形是以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，求出圆环的面积，即可求出BC边扫过的面积.
19．【答案】解：连接AO，
∵点C是弦AB的中点，半径OD与AB相交于点C，
∴OC⊥AB，
∵AB=12，
∴AC=BC=6，
设⊙O的半径为R，
∵CD=2，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AO2=OC2+AC2，
即：R2=（R-2）2+62，
∴R=10
答：⊙O的半径长为10．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接AO，设⊙O的半径为R，则OA=R，OC=R-2，利用垂径定理的推论得出OC⊥AB，AC=BC=6，利用勾股定理得出R2=（R-2）2+62，再解方程即可。
20．【答案】解：连接OC．
∵AB是O的直径，CD⊥AB，
∴ ．
∵AB=10cm，
∴AO=BO=CO=5cm．
∵BE=OE，
∴ cm， cm．
在Rt△COE中，
∵CD⊥AB，
∴OE2+CE2=OC2．
∴ cm．
∴DE= cm．
∴ cm．
在Rt△ACE中
∴
∴ cm．
在Rt△ADE中
∴
∴
∴△ACD的周长=AD+DC+AC= + + = cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC．根据垂径定理可得 ．由AB=10cm，可求 cm， cm．根据勾股定理 cm．可得 cm．根据勾股定理 cm． 即可．
21．【答案】证明：过O作OE⊥AB于E，则AE=BE．
∵AC=BD，∴CE=DE．
∴OE是CD的中垂线，∴OC=OD．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过O作OE⊥AB于E，则AE=BE，再结合题意证出OE是CD的中垂线，利用中垂线的性质求解即可。
22．【答案】解：过点 作 于 ，连接
∵∴ .
在 中，
∴ ， ．
∵ ，∴ ．
∵ 过圆心 ，∴ .
∴
∵
∴在 中，
∴ 弦CD的长为 ，⊙O的半径长为 ．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】过点 作 于 ，连接 解 ，得到 ，根据 求得 的长，根据垂径定理即可求出弦 的长，根据勾股定理即可求出圆的半径.
23．【答案】解：如图，过点O作 于点G，延长GO交EF于点H，连接BO、EO，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
根据勾股定理， ， ，
∴ .
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】 如图，过点O作 于点G，延长GO交EF于点H，连接BO、EO，根据平行线的性质及垂径定理可得BG=BC=0.7cm，EH=EF=1.5cm，利用勾股定理可求出GO，OH的长，利用h=AB +GO +OH计算即得结论.
24．【答案】（1）证明：延长AO交弧BFC于F，
∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，
又∵AF经过O
∴AF平分弦BC所对的弧
即弧BF=弧CF
∴∠BAF=∠CAF
所以AO平分∠BAC （连接AO、CO证全等也可）
（2）解：如图，连接BO，
又（1）知AO平分∠BAC
∴AE⊥BC
在Rt△ABE中， ，
在Rt△OBE中，
即
解之，AO= 2.5，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】(1) 延长AO交弧BFC于F， 根据垂径定理求出AF平分弦BC所对的弧，则可得出∠BAF=∠CAF，即可得证；
(2)连接BO， 根据垂径定理知AE⊥BC，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE长，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理建立关于AO的方程求解即可.
25．【答案】（1）解：∵ 为 的直径， 是弦，且 于 ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：设 的半径为 ，
在 中，
，
.
则 ，
在 中，
，
∴ ，
∴ .
∴ .
答： 的直径为 .
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理得 ， ，进而有 ，再由 证得 即可证得结论；
（2）设 的半径为 ，先由勾股定理求得BE长，再在 中，由 得 ，解方程求得R值，即可求得 的直径.
26．【答案】（1）解：连接OC，延长CO交AB于点D，
∴CD⊥AB
∴，
设圆的半径为r，OD=r-1
在Rt△AOD中
OD2+AD2=AO2即（r-1）2+9=r2.
解之：r=5.
∴该圆的半径为5m.
（2）解：过点O作OE⊥AB'
∴A'E==4，
∴，
∴水面上涨的高度为5-3=2米.
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接OC，延长CO交AB于点D，利用垂径定理求出AD，再利用勾股定理求出圆的半径。
（2）过点O作OE⊥AB'，利用垂径定理求出A'E的长，再利用勾股定理求出OE的长，然后求出水面上涨的高度。
27．【答案】（1）解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）解：在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，则OH＝DE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝ ，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，圆弧型桥墩高4米．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
28．【答案】（1）解：连接OA，设圆弧的半径为r，
由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝r 18.
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302＋（r 18）2，
解之：r＝34.
（2）解：连结OA′，
∵OE＝OP PE＝34-4=30，
在Rt△A′EO中，A′E2＝A′O2 OE2即A′E2＝342 302，
解之：A′E＝16．
∴A′B′=2A′E＝32．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接OA，利用垂径定理求出AD的长，用含r的代数式表示出OD的长，在Rt△ADO中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的长。
（2）连结OA′，可求出OE的长，在Rt△A′EO中，利用勾股定理求出A′E的长，利用垂径定理求出A′B′的长，据此可作出判断。
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