参考答案
1．A
【分析】
根据补集的定义结合数轴即可得出答案.
【详解】
解：如图，在数轴上表示出集合 M，
则 UM ＝{x|－2≤x≤2}．
故选：A.
2．B
【分析】
根据必要不充分条件的判断法则进行判断.
【详解】
解：由题意得：
当时0 a b时， a b ，故 a b不能推出 a b ；
而 a b a b
综上所述：p是 q的必要不充分条件；
故选：B
3．C
【分析】
讨论二次项系数为 0时和不为 0时对应不等式恒成立，分别解得此时 a的取值范围即可.
【详解】
解：当 a﹣3＝0，即 a＝3时，不等式化为 2x﹣4＜0，解得 x＜2，不满足题意；
a 3＜0
当 a≠3时，须满足
4
，
a 2 2 4 a 3 4 ＜0
a＜3
解得： ，
2 2＜a＜2 2
∴﹣2 2＜a＜2 2；
答案第 1页，共 11页
综上，实数 a的取值范围是（﹣2 2，2 2）.
故选：C.
4．C
【分析】
6 2x 2y 2
将已知等式两式相加判断 A；由题意可得 4 2x y 9 ，解不等式组判断 B；由
4x y 2(x y) (2x y) 1 2结合已知判断 C；由 x y (x y) (2x y)结合已知判断 D.
3 3
【详解】
∵ 1 x y 3，4 2x y 9，
∴两式相加，得3 3x 12，即 1≤x≤4，故 A错误；
6 2x 2y 2
∵
4 2x y 9
，
∴ 2 3y 11 11 y 2，解得 ，故 B错误；
3 3
∵4x y 2(x y) (2x y)，又 2 2(x y) 6，
∴2 4x y 15，故 C正确；
1 2 1 1 8 2
∵ x y (x y) (2x y)，又 1 (x y) 且 (2x y) 6 ，
3 3 3 3 3 3
5 19
∴ x y 3 3 ，故 D错误.
故选：C.
5．D
【分析】
根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出 p、q的取值情况.
【详解】
p p
因函数 y x q 的图象关于 y轴对称，于是得函数 y x q 为偶函数，即 p为偶数，
p p
又函数 y x q 的定义域为 ( ,0) (0, )，且在 (0, )上单调递减，则有 q 0，
又因 p、q互质，则 q为奇数，所以只有选项 D正确.
故选：D
6．D
【分析】
答案第 2页，共 11页
根据指数幂的运算性质，再结合指数幂的意义即可得到答案
【详解】
5
对于 A，由 a有意义可知 a 0，而当 a 0时， a 6 6 a5 无意义，故 A错误；
2
对于 B，当 x 0时， x 4 4 x2 ，而 x无意义，故 B错误；
3 3 1 3 3
对于 C， 3( b2 )2 (b2 ) 2 b4 ，故 C错误．
5
(a b) 2 1 1对于 D， 5 (a b)
5
．故 D正确．
(a b)5 (a b)
故选：D.
7．C
【分析】
首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项.
【详解】
因为 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为 4，并且
f x 2 f x f x ，所以函数 f x 关于 x 1对称，作出 f(x)的草图(如图)，由图可
3
知 f ( ) f (
1
< )< f (
1
)，
2 4 4
故选：C
8．D
【分析】
根据奇函数的性质 f ( x) f (x)即可求解.
【详解】
由 f (x)是奇函数得 f ( x) f (x)，又 x 0时， f (x) e2x 1，
f 1 所以 ln f ( ln 3) f (ln 3) e 2ln3 1 e ln9 1 8 .
3
故选：D
答案第 3页，共 11页
9．D
【分析】
4 4
由 a＋b＋c＝a＋b＋ ，利用基本不等式求解.
a b
【详解】
4 4
由 a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得 c＝ ，
a b
4 4 4 4
代入得 a＋b＋c＝a＋b＋ ＝ (a )＋ (b )≥2 a 4 2 b 4 ＋ ＝8，
a b a b a b
当且仅当 a＝b＝2时，等号成立，
所以 a＋b＋c的最小值为 8.
故选：D
10．A
【分析】
先求出定点 P的坐标为 1,3 2，再设出二次函数 f x a x 1 3，代入 0,0 ，求得 a的值
即可求解．
【详解】
对于函数 y ax 1 2，当 x 1时， y a0 2 3，
所以函数 y ax 1 2过定点 P 1,3 ，
设以 P 1,3 为顶点且过原点的二次函数 f x a x 1 2 3，
因为 f x 过原点 0,0 ，
所以 0 a 0 1 2 3，解得： a 3，
2
所以 f x 的解析式为： f x 3 x 1 3 3x2 6x，
故选：A.
11．C
【分析】
由α是第四象限角，可得－ ＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，然后利用不等式的性质可求得π－α的范
2
围，从而可确定其所在的象限
【详解】
答案第 4页，共 11页
∵α是第四象限角，
∴－ ＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
2
∴－2kπ<－α<－2kπ＋ ，k∈Z，
2
3
∴π－2kπ<π－α<－2kπ＋ π，k∈Z，
2
故π－α是第三象限角.
故选：C
12．B
【分析】
利用割圆术的思想，将单位圆分成 360个扇形，则扇形的圆心角均为1 ，由题设扇形面积
1
为 1 1 sin1 ，即有180sin1 ，可得 sin1 的近似值.
2
【详解】
将一个单位圆分成 360个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为1 ，
∵这 360个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，
∴360
1
1 1 sin1 180sin1 ，
2
∴ sin1
.
180
故选：B.
13．-1
【分析】
根据幂函数 f x x ，当 为奇数时，函数为奇函数， 0时，函数在(0，＋∞)上递减，
即可得出答案.
【详解】
解：∵幂函数 f(x)＝xα为奇函数，∴ 可取－1，1，3，
又 f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故 ＝－1.
故答案为：-1.
14 1． 2
【分析】
答案第 5页，共 11页
3
由终边上的点可得 tan ，根据商数关系得到关于 cos 的一元二次方程，求解即可.
2sin
【详解】
3 sin 3
由三角函数定义：tan ，即 ，
2sin cos 2sin
3cos 2sin2∴ 2 1 cos2 , 1即 2cos2 3cos 2 0，解得 cos 或 cos 2（舍2
去）
1
故答案为： 2
15． 3,
【分析】
整理可得m
3
2 在 x 1,3 上恒成立，根据 x的范围，可求得 x2 x 1的范围，分析即x x 1
可得答案.
【详解】
由题意， f x m 2 2可得mx2 mx 1 m 2，即m x x 1 3，
当 x 1,3 x2时， x 1 1,7 3，所以m 2 在 x 1,3 上恒成立，x x 1
m 3只需
x2 x 1 ， max
3
当 x 1时 x2 x 1有最小值为 1，则
x2
有最大值为 3，
x 1
则m 3，实数m的取值范围是 3, ，
故答案为： 3,
5
16． ，
2
【分析】
1 1
问题等价于不等式 a x 在区间[1, 2]上有解，设 f (x) x ，根据函数的单调性和最值
x x
可求得实数 a的取值范围.
【详解】
解：由题意得：关于 x的不等式 x2
1
ax 1 0在区间[1, 2]上有解，等价于不等式 a x 在
x
区间[1, 2]上有解，
答案第 6页，共 11页
设 f (x) x
1 1
，则函数 f (x) x 在 1,2 上单调递增，所以 f (1) f (x) 5 f (2) ，
x x 2
a 5所以实数 的取值范围为
，
2
.
17．
（1） A B {x | 1 x 3}
（2）答案见解析
【分析】
（1）代入 a 2，然后根据并集的定义进行运算即得；
（2）选①，利用条件列不等式即求；选②可知A B，列不等式组计算即可；选③，可知 A B，
列不等式计算即得.
（1）
当a 2时，集合 A {x |1 x 3},B {x | 1 x 3}，
所以 A B {x | 1 x 3} .
（2）
若选择① A B ，
因为 A {x | a 1 x a 1}，所以 A ，
又B {x | 1 x 3}，
所以 a 1 3或 a 1 1，
解得 a 4或a 2，
所以实数 a的取值范围是 , 2 4, .
若选择②，“ x A“是“ x B ”的充分不必要条件，则 A B, A B，
因为 A {x | a 1 x a 1}，所以 A ，
又B {x | 1 x 3}，
a 1 1 a 1 1
所以 a 1 3 或 a 1 3 解得0 a 2，
所以实数 a的取值范围是 0,2 .
若选择③ A B B，则 A B，
因为 A {x | a 1 x a 1} ，所以 A ，
又B {x | 1 x 3}，
答案第 7页，共 11页
a 1 1
所以 ，解得0 a 2，
a 1 3
所以实数 a的取值范围是 0,2 .
18．（1）4；（2）2．
【分析】
（1）根据指数的运算性质直接计算即可；
1 1 1 1
（2）通过换底公式可得 loga log 100 100
4， logb log 100 100
5，进而可得解.
4 5
【详解】
1 13
（1）原式 25
2 3
(lg5)0 3 5 4 9 4
1 4 ．
3 3
（2）∵ 4a 100，
∴a log4100．同理可得，b log5100，
1 1
则 log 4
1 1
log 5
a log4100
100 ， b log 100 100 ，5
1 2 2
∴ log100 4 2log100 5 log100 4 5 log100100 1．a b
2 1 2∴
2．
a b
19．
（1） a 1,b 2；
（2）答案见解析.
【分析】
（1）由不等式的解集知：x 1，x b是 ax2 3x 2 0的根，结合根与系数关系求 a，b的
值；
（2）由（1）题设不等式可化为 (x c)(x 2) 0，讨论 c, 2的大小关系求解集即可.
（1）
∵不等式 ax2 3x 2 0的解集为 x | x 1或 x b ，
答案第 8页，共 11页
a 0
3
∴ x 1或 x b是方程 ax2 3x 2 0的根，则 1 b，解得 a 1,b 2 .
a
2
1 b a
（2）
2
由（1）知：不等式化为 x c 2 x 2c 0，即 (x c)(x 2) 0，
当 c 2时，不等式的解集为 x 2 x c ，
当c 2时，不等式的解集为 ，
当c 2时，不等式的解集为 x c x 2 .
7 24
20．（1） ；（2） ．
5 175
【分析】
12
（1）由已知，利用同角三角函数平方关系可得 sin x cos x ，根据 0 x π判断 sin x、cos x
25
的符号，进而求sin x cos x的值.
4 3
（2）由（1）求得 sin x ， cos x ，商数关系求 tan x，结合目标式即可求值.
5 5
【详解】
（1） sin x cos x
1
5，
(sin x cos x)2 1 2sin x cos x 1
25，
sin xcos x 12 ，
25
0 x ，
sin x 0， cos x 0，
(sin x cos x) 2 1 2sin xcos x 49 ，
25
sin x 7 cos x
5．
4 3
（2）由（1），可得 sin x ， cos x ，
5 5
tan x sin x 4
cos x 3 ，
sin 2x 24 2sin2 x 32
25 ， 25，
答案第 9页，共 11页
24 32
sin 2x 2sin2 x
25 25
24
1 tan x 1 ( 4) 175
．
3
t 2 2t 2, t 1,
21．（1）g(t)＝ 3,1 t 2, ；（2）3.
2
t 4t 1, t 2,
【分析】
（1）就 t 1、1 t 2、 t 2分类讨论后可得 g t 的解析式；
（2）根据（1）中解析式可求 g t 的最大值.
【详解】
（1）f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.
当 t 1 2，即 t 1时，f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2；
当 t 2 t 1，即1 t 2时，g(t)＝f(2)＝3；
当 t 2时，f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
∴g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1.
t 2 2t 2, t 1,
综上所述，g(t)＝ 3,1 t 2,
t 2 4t 1, t 2,
（2）当 t 1时， g t t 2 2t 2 (t 1)2 3 3；
当1 t 2时， g t 3；
当 t 2时， g t t 2 4t 1 (t 2)2 3 3 .
∴g(t)的最大值为 3.
22．
1
（1） a 2或 a 2 3
（2） 4,
【分析】
（1）对参数 a分类讨论，结合函数的单调性得到实数 a的值；
答案第 10页，共 11页
（2）利用换元法，转化为二次函数的值域问题.
（1）
1
当0 a 1时， f x log a x在 ,8
上单调递减， 2
所以 f x f 1 1 1 log 3 a3
1
max a ，所以 ，所以
3，
2 2 2 a 2
当 a 1时， f x loga x
1
在 ,8
上单调递增，
2
所以 f x fmax 8 loga 8 3，所以 a3 8，所以 a 2
1
综上，a 2或 a 2 3；
（2）
因为 a 1，所以 a 2，
2
所以 g x a 2x 3a x 4 22x 3 2x 4 2x 3 2x 4 ，
令2x t 0，所以函数 g x 的值域与函数 y t 2 3t 4,t 0 的值域相同，
2
y t 2 3t 4 t 3 25所以 , t 0，
2 4
函数 y t 2 3t 4在 0, 上单调递增，
所以 y t2 3t 4 4，
所以函数 g x 的值域为 4, .
答案第 11页，共 11页肥东凯悦中学2021-2022学年度第一学期高一年级第三次自主检测
数学 试题卷
测试时间：150分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
1、单选题（每题5分，合计60分）
1．设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则等于（ ）
A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}
2．设p：a>b，q:，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．若不等式（a﹣3）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．[﹣2，2] C．（﹣2，2） D．（﹣∞，2）
4．已知实数x，y满足，，则（ ）
A．1≤x≤3 B．2≤y≤1 C．2≤4x+y≤15 D．xy
5．已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
6．下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（ ）
A．fB．fC．fD．f8．己知是奇函数，当x≥0时，（其中e为自然对数的底数），则（ ）
A．3 B． C．8 D．
9．已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
11．若α是第四象限角，则π－α是第（ ）象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
12．刘徽（约公元225年年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，当变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，合计20分）
13．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.
14．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则_________
15．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为___________.
16．已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______
三、解答题（共6题，合计70分）
17．在① ；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合.
（1）当时，求A∪B；
（2）若_______，求实数a的取值范围.
18．（1）计算：；
（2）设，求的值．
19．已知不等式的解集为或
（1）求，的值；
（2）解不等式．
20．已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．
（1）求g(t)的解析式；
（2）求g(t)的最大值．
22．已知函数（且）在上的最大值为.
（1）求实数的值；
（2）若，求函数的值域.
