高中数学 人教新课标A版 选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 运用点差法，巧解中点弦问题教学设计

运用点差法，巧解中点弦问题
教学目标：（1）能解决弦中点等有关的问题；
（2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构；
（3）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题；
教学重点：点差法适用范围
教学难点：（1）弦中点问题的求解思路灵活运用；
（2）双曲线的中点弦存在性问题；
（3）弦中点的轨迹应在曲线内；
引言：圆锥曲线题是每年高考的必考题，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，我们称为：中点弦问题，那么，处理“中点弦问题”的方法有哪些？又应该注意什么？
应用1------求直线方程
例1.已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为,求直线的方程.
教师活动：让学生口述解题过程，找到解题方法，教师点评并板书解题过程
展示韦达定理法。
应用2------处理存在性问题
例2（选修2-1 P62）已知双曲线，过点能否作一条直线，与双曲线交于两点，且点是线段的中点？
教师活动：先让学生来完成，教师点评。
追问：借助几何画板给同学们展示，发现直线与双曲线没有两个交点，为什么？
问题1：例题1中的直线是不是也要验证呢？
问题2：是否也可以不验证而只需通过与双曲线的位置关系来判断呢？也就是说中点弦的存在是否只与中点（定点）的位置有关呢？
点在双曲线的内部，以该点为中点的弦一定存在，此时不需要验证；如果点在双曲线的外部，那么以该点为中点的弦可能存在也可能不存在，此时必须验证。
教师活动：板书以下内容
注意事项：（1）使用点差法，必须先考虑直线斜率不存在的情况，即；再考虑；
检验 ；①几何法----判断点在曲线内部；②判别式法，
点差法的步骤：
设弦的两端点坐标； 代入曲线方程，作差；
分解因式，解； 将弦所在直线的斜率和弦的中点联系起来；
应用3------求弦中点的轨迹方程
例3 已知直线与椭圆交于两点，求斜率为的弦中点的轨迹方程。
（求轨迹方程时一定要考虑范围！）
应用4------确定参数的取值范围
例4（2018年高考全国卷3改编）已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，证明：。
应用5------定值问题
例5已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心，求证：直线与直线的斜率之积是定值。
小结：上述5个例题为什么可以使用点差法？
弦的中点，曲线方程，弦的斜率这三者知二求一是点差法的依据。