高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程椭圆的焦点三角形问题教学设计

椭圆的焦点三角形问题教学设计
一、内容和内容解析
（一）内容分析
本节课复习的内容是椭圆焦点三角形问题，以焦点三角形作为载体来研究椭圆的性质是高考的常考考点。其涵盖及关联的信息涉及平面几何、三角函数、解三角形、解析几何等多领域的知识与方法,它是研究高中生数学认知状况的一个重要观测点.这一节是在复习完椭圆标准方程及椭圆性质的基础上复习的.
（二）高考分析
（1）高考对圆锥曲线的考查突出基础性，注重通性通法，将基础知识与能力有机结合.客观题考查圆锥曲线的定义、标准方程等基础知识和基本性质的灵活应用，突出“小而巧”的特点，对基本的运算能力，数形结合的数学思想方法要求比较高。主观题多是圆锥曲线的综合运用，突出“大而全”的特点，着重考查函数与方程、等价转化、数形结合的数学思想。从近几年的高考题看，圆锥曲线的考查更加突出其定义和几何特征，更多的关注方程意识与数形结合的思想.
（2）解析几何知识的考查不仅考查了代数方法解决几何问题的转化思想，同时也考察了学生的逻辑推理能力、运算求解能力、数形结合能力，题型以选择题、填空题和解答题为主，难度中偏难.题量通常为1-2道小题（选择、填空题），1道大题（解答题），分值为12分.
二、教学问题诊断分析
学生已经复习了直线与圆，椭圆的定义，标准方程和简单性质。解三角形的有关知识前面也复习完，所以学生对椭圆的焦点三角形有了一定的认识，这是复习“椭圆的焦点三角形问题”的重要基础与能力起点，因此本节课希望学生在已有认知基础上，系统的对椭圆的焦点三角形问题有一个更高、更深刻的认识，关注其本质特征和内在联系，从而在认知能力和解题能力上有一个提升.
三、教学重、难点分析
重点：椭圆的焦点三角形的面积和顶角之间的关系，椭圆焦点三角形与离心率的关系，焦点三角形有关性质的内在联系；
难点：对椭圆的性质与解三角形知识间的关联的理解和应用，领悟其中蕴含的数学思想方法。
四、教学目标分析
1.通过自主学习巩固椭圆的定义，通过具体的题组研究椭圆焦点三角形周长、面积、椭圆上的点对两个焦点的张角变化以及它们的内在联系.
2.运用椭圆焦点三角形的一些性质结论特征解决有关问题，进一步渗透数形结合的思想，提高学生研究问题、分析问题与解决问题的能力.
五．教学过程设计
环节一：知识回顾（6分钟）
通过几何画板帮助学生观察椭圆焦点三角形的特征，点名本节课的研究对象。
提出问题，如何探究这一类问题本质特征和解法？
教师活动：引导学生复习椭圆的概念及解三角形的有关知识，通过具体例子和问题提问学生，和学生一起回顾椭圆定义、正余弦定理相关知识。
设计意图：让学生回顾椭圆的定义，解三角形的正余弦定理，为下面探究做好知识准备。
环节二：合作探究（30分钟）
例1.已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若存在点，使得,求的面积，并求点到轴的距离。
教师活动：引导学生进一步认识焦点三角形中设而不求的方法。
方法总结：如何求解焦点三角形的面积？你能找到一般性的结论吗？
教师活动：探究面积公式、顶点坐标公式及其应用，焦点三角形张角变化和基本量的内在联系。
设计意图：通过具体的焦点三角形问题，归纳得到一般的面积，顶点坐标和张角，基本量之间的关系式，通过几何画板直观的发现它们之间的联系，大胆猜想，小心证明。
变式：在例1中将“若存在点，使得”改为“若是直角三角
形的三个顶点”，则的面积为 。
教师活动：学生思考，教师巡视，同时帮助学生解决个别有关问题。
例2-1：已知是椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点，使得,则椭圆离心率的取值范围是 。
例2-2：已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足为等腰三角形，则椭圆的离心率为 。
思考：如何利用焦点三角形求椭圆的离心率？椭圆的离心率与焦点三角形的角之间有什么关系吗？
环节三：变式训练（4分钟）
变式：已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在,使得,则该椭圆离心率的取值范围是 。
教师活动：引导学生利用椭圆与焦点三角形相关知识建立离心率的方程。
设计意图：通过对数学知识的理解，当堂练习，学生学以致用，加强学生的学习效率。
环节四：课堂小结（4分钟）
问题：本节课学了哪些内容？
椭圆焦点三角形中涉及面积、张角、离心率等问题的解决方法
相关公式和结论的理解和应用
思想方法：转化与化归思想，特殊到一般的思想，数形结合的思想。
教师活动：引导学生思考总结，形成思想与方法
设计意图：整体认识和梳理本节课主要内容，总结方法，渗透思想，认识本质。