高中数学人教A版（2019）必修 第一册 5.4 三角函数的图象与性质三角函数的周期性 教学设计

“核心素养”视角下的概念教学设计
———三角函数的周期性
一、教学内容
（一）教材内容分析
三角函数是刻画圆周运动的数学模型，周期既是三角函数的一个重要概念，也是三角函数的一个重要性质。《三角函数的周期性》位于本章的第四节第二课时，是三角函数性质的第一个研究点，通过本章前三节的学习，学生对任意角、弧度制、任意角的三角函数、三角函数的诱导公式有了基本的认识，本节课是在学生掌握正弦、余弦函数图像后，通过数形结合的直观感知和生活体验，再通过数学抽象获取周期函数的定义，并通过定义阐述和证明正弦、余弦的周期以及经过复合的三角函数的周期并形成结论。
（二）教材地位分析
必修1中学习的基本初等函数都不具备周期性，学生没有任何函数模型可类比，只能从生活体验出发进行分析，加之周期函数的概念比较抽象，学生会有较大的认知冲突和理解困惑。而对三角函数周期性的理解，又关系到后续的单调性、对称性、最值等性质的学习。因此，教材编写和处理时都先介绍和突出三角函数周期性的地位，符合数学学科特点，更符合学生的认知规律。
另一方面，在高中数学的学习和新课标对每个模块知识要求来看，周期性与单调性、奇偶性相比，无论是出现的频率还是知识的综合程度，要求都比较低。因此，从教材在该知识处理时，并没有过多纠缠周期性的概念，而是以三角函数作为载体，注重对具体的三角函数周期性的认识，来落实对周期性的理解和应用，于是在教学中，教师应注意教学重心的把握。
二、教学目标
综合上述教学内容分析，我认为本节课“1.4三角函数的周期性”的主要教学目标是：让学生通过生活体验和数学直观，体会周期现象和周期性；通周期性概念的学习，进一步体会概念学习的重要性和方法；通过正弦、余弦周期性的研究，建立周期性函数模型的数学建模思想。基于此本节课的三维目标为：
（一）知识与技能目标
1.学生能够从生活经验和数学直观出发，了解生活和数学中“周而复始”的现象；
2.学生能了解周期函数的概念，能够用数学语言去刻画函数的周期性；
3.学生会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。
（二）过程与方法目标
1.根据学生的生活经验创设情境，让学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律；
2.学生经历从具体到抽象构建周期函数概念的生成过程，加深概念学习的方法，提升数学抽象（周期函数概念的生成）、逻辑推理（正余弦函数周期的证明）、数学建模（三角函数作为周期函数模型）、直观想象（从生活或数学图像体会函数周期性）等数学核心素养的培养。
（三）情感态度价值观
1.感受数学与生活的密切联系，提升对生活的热爱和增强数学学习的兴趣；
2.通过周期性的探索，培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养；
3.采用合作学习方式，培养学生“竞争与合作”的精神。
三、学情分析
1．生活经验：生活中遇到过各种周期现象，但很少会有同学用数学的方式去思考周期现象；
2.知识经验：三角函数的诱导公式；正弦、余弦函数图像；函数性质（单调性、奇偶性的概念）；
3.技能态度：①、用数学的眼光观察世界的能力——比如：该节课为什么要提出周期性的概念？生活中有哪些周期性的案例？数学中有哪些周期性的模型？②、会用数学的思维思考世界的能力——比如：该节课周期性概念的内涵有哪些？为什么是正弦函数的最小正周期？什么样的函数才有周期性？③、用数学的语言表达世界的能力——比如：该节课如何实现自然语言、数学语言、符号语言去描述和刻画一个数学概念？怎样求三角函数的周期？
4．性格特点：高一学生自我效能感较强，有较好的交流意识和合作能力，求知欲较高。
四、教学重难点
重点：借助三角函数来把握和理解周期性概念的数学本质；正弦、余弦函数的周期性。
难点：周期函数概念的生成和理解。
五、教法学法分析
教学，是师生的双边活动。教学设计、教学方法的选择，首先应着眼于学生怎样学，既把学为主体作为实施教学的基本点，又使教为主导成为学生主体的根本保证。
（一）教法
本节课采用问题驱动实现深度学习达成问题解决。在教学上运用多种方法，比如：创设情境时采用观察法让学生发现问题；在建构概念时采用归纳法让学生发现规律，应用奇偶函数的定义类比周期性定义的表达，通过学生讨论交流完善对概念的构建；在深化理解中通过问题串以辨析形式引发学生思考，去表达；在回顾反思中以流程图的形式进行拓展提升，同时教学过程中还要充分利用动态生成的课堂资源并考虑到学生个体之间的差异，尽可能激发每一位学生的学习热情和兴趣。
（二）学法
1．学生以“导学案和任务单”为抓手，在学习过程中更清晰明白目标要求，能更好的进行问题解决。
2.生活中已经从“数学直观”的角度了解了周期性，本节课突出“数学抽象”这一精髓获得概念构建，学习时要利用好这把钥匙。
3.学生在概念理解过程中，善于通过反例辨析、合作交流来完善对概念内涵和外延的掌握，体会研究函数性质的一般方法。
六、教学过程设计
（一）教学流程设计
(
环节
一
、创设情境，提出问题
环节二
、模型抽象，建构概念
环节三
、辨析讨论，深化理解
环节四
、新知应用，巩固内化
环节五
、
自主归纳，升华概念
环节六
、分层作业，探究学习
设计意图
：
结合生活实例创设情境，让学生用数学的眼光观察世界，凸显学习周期的必要性，让概念的起点更自然。
设计意图
：
通过学生生活经验和数学经验出发，经历周期概念的生成过程，让概念的生成更自然。
设计意图
：
通过“问题串”引导学生对概念的理解，让学生合作交流，获得本质理解，对概念的理解更自然。
设计意图
：通过典例分析和巩固训练，拓展概念的应用空间，让学生感悟概念应用的自然。
设计意图
：学生从数学知识、数学思想方法、概念学习方法进行自我提炼，让领悟学生概念学习的本质。
设计意图
：尊重学生的差异性，增加学生对作业的选择性，搭建适合学生发展核心素养的平台，让学习回归自然。
)
（二）教学过程设计
教学 环节 问题情境及教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
环节一 创设 情境 提出 问题 （预计3分钟） 展示春、夏、秋、冬四季更替的图片，每天月亮的东升西落的视频，同时教师出示对联： 上联：天上月明，人间月半，月月月明逢月半；下联：今夕年尾，明朝年头，年年年尾接年头。 问题1：请大家给它加一个横批。（周而复始） 问题2：这是一个周而复始的现象，在自然界和日常生活中，我们常遇到类似现象，大家还能举出类似的周而复始的现象吗？ 这种周而复始的现象，我们通常用术语“周期”来刻画。 教师引导学生观察世界，用自己的体验去描述和表达世界，同时点题“周期”。 学生在欣赏生活美的同时思考生活中的现象，并大胆交流发言。 结合生活实例创设情境，让 学生用数学的眼光观察世界，凸显学习周期的必要性，让概念的学习更自然。
环节二 模型 抽象 建构 概念 （预计12分钟） 活动1 问题3：今天是12月3日星期二，再过920天就高考，请问高考是星期几？ （从学生给出的生活例子分析） 问题4：如果我们把“与今天相隔的天数”作为自变量，“星期几”函数值，那么他们之间存在怎样的一个关系呢？ 问题5：表达式是怎样描述周而复始的现象？（“自变量增加或者减少7，函数值不改变”的数学语言描述） 活动2 问题6：上节课我们是怎样获得的函数图像？理论根据是什么？ 问题7：诱导公式中，若记，如何表达上述诱导公式？ 问题8：通过刚才两个例子的分析，怎样的函数可以称之为周期函数，也就是说，怎样给周期函数下一个定义？ 问题9：对比课本给出的定义思考哪些是定义中的关键词？（非零常数、定义域内、每一个） 问题10：你如何理解这些关键词？ 问题4： 引导学生思考：抽象获得表达式： 问题5：一定要强调自变量的变化如何影响函数值的变化。 问题6：引导学生从形的角度直观感知，从数的角度刻画问题本质。 问题7：提问学生：学生很易获得 问题8--10： 该问题是概念生成的核心，让学生思辨、多讲，完善认知。教师的引导要适度，不能操之过急，同时不在函数理论上过于纠缠。 问题3：学生通过被7除的余数很容易获得答案。 问题4： 学生思考，同桌讨论再回答。 问题5：学生思考并用自己的语言回答 问题6：学生回顾旧知，思考并回答 问题7： 抽象获取一般形式的表达式 问题8--10： 学生通过归纳、类比自己尝试写出定义，并与课本给出的定义对比，小组讨论，代表发言。 1．活动1从学生生活经验出发，学生易于抽象周期函数的概念，同时也让学生学会用数学的思维分析世界。 2．从学生数学经验出发，寻找周期的数学模型，在学生的最近发展区里获取素材，学生更易理解，同时学习兴趣也会高涨。 3．通过环环相扣的问题引导学生思考，让学生通过实例逐级逐段地进行概括抽象，可以感悟概念形成过程，对概念的属性有深刻的理解，体现了函数从具体到一般，周期从实数向字母抽象的自然。
环节三 辨析 讨论 深化 理解 （预计12分钟） 问题11：判断下列说法是否正确： 1．因为，所以是函数的周期； 2．当时，,所以不是的周期； 问题12：根据周期函数的定义，如何说明是正弦函数的周期？ 问题13：除了，是否存在其它的非零常数可以作为正弦函数的周期？这些常数有什么共同特征？能否用周期函数的定义加以解释？ 问题14：如何说明是正弦函数的最小正周期？ 问题15：是否所有的周期函数都有最小正周期？ 问题16：通过刚才学习，你是否能获得余弦函数的最小正周期？ 问题17：为什么要研究在周期中是否存在着最小正周期？（为什么要研究函数的周期性？） 问题11：教师的倾听和追问，再次对概念进行解剖。 问题12、13： 教师的追问，启发学生，教师给与适当点剖。 问题14、15：学生可能会遇到困惑，引导学生从反证法和举反例的角度思考。 问题17：教师根据学生回答进行反馈。 问题11：学生思考，找代表发言。 问题12、13：学生可以从概念抽象的角度和图形的角度去把握周期的特征。 问题14、15：学生思考并作答。 问题16：学生类比得结论。 问题17：学生讨论谈心得。 1.概念形成的过程成为学生主动思辨的过程，教师设疑，让学生设计反例，是概念教学的重要环节，也是概念学习的必然过程。 2.以问题串的形式，辨析讨论加深对周期概念的认识，特别是为什么要研究函数的周期性，怎样研究函数的周期性的意义和价值。
环节四 新知 应用 巩固 内化 （预计11分钟） 典例分析： 求下列函数的最小正周期： 1． 2． 3． 4． 思考：1．上述函数的周期与解析式中哪些量有关？ 2．你能否得到形如：周期的计算公式？ 尝试应用： 1．求下列函数的最小正周期（口答） 2．已知：，的值。 典例分析： 教师找典型的练习通过投影仪进行展示，找典型问题的学生代表谈思路，讲方法。 思考：引导学生进行差异分析和归纳总结。 提示学生课后阅读“链接”获得原理。 尝试应用2就学生的回答进行点评。 典例分析 ：学生独立完成，学生谈思路，讲方法。 尝试应用 1．以“开火车”的形式进行口答。 2．学生思考作答。 1．换元化归思想的应用，是学生理解的难点，设计四个小问，是希望在分析问题、解决问题的过程中突破难点。 2．典例分析让学生学会归纳猜想，从特殊到一般，将问题一般化形成解题规律与方法。 3．尝试应用2将问题升华，加深对周期的理解和概括，形成系统化的知识网络。
环节五 自主 归纳 升华 概念 （预计2分钟） 1．本节课你学会了哪些周期性的知识？请用自己理解的语言叙述。 比如：函数周期性的概念（哪些是易错点）； 形如周期的求解 2．本节课体现了哪些数学思想方法？ （一定要与具体问题为例进行阐述，而不是停留在空洞的思想方法上） 3．本节课用到了什么学习方法？ （新概念研究的基本套路） 教师指导学生如何进行课堂学习的总结，同时给学生的总结进行及时的反馈。 学生从知识、题型、数学思想方法和概念与性质的研究方法方面给予总结。 以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括，有助于提高和升华学生的数学核心素养。
环节六 分层 作业 探究 学习 1．巩固题：完成课后练习1、2 ；阅读“链接” 2．探究题：诱导公式，，将之推广到一般函数，即满足．试问：满足该式的是周期函数吗？能概括出更一般的结论吗？ 教师根据学生作业情况进行反馈或第二次备课 1．巩固题学生须独立完成。 2．探究题以课外兴趣小组的形式开展。 作业分层落实。巩固题的设置让学生复习解题思路，完善解题格式，以便举一反三。探究题重在对函数性质研究方法和手段的运用，供学有余力的学生自主探究，提升分析问题和解决问题的能力。