2021－2022学年青岛版数学九年级下册5.7 二次函数的应用之利润类、几何图形 同步练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021－2022学年青岛版数学九年级下册5.7 二次函数的应用之利润类、几何图形 同步练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 273.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 青岛版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-21 21:05:00 | ||
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文档简介
二次函数的应用之利润类、几何图形（有解析）
一个批发商销售成本为元千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过元，在销售过程中发现的销售量千克与售价元千克满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价元千克
销售量千克
求与的函数关系式；
该批发商若想获得元的利润，应将售价定为多少元？
该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润元最大？此时的最大利润为多少元？
牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式，甲快递公司运送千克，乙快递公司运送千克共需运费元：甲快递公司运送千克，乙快递公司运送千克共需运费元．
求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元？
假设巴特尔生产的奶食品当日可以全部出售，且选择运费低的快递公司运送，若该产品每千克的生产成本元不含快递运费，销售价元与生产量千克之间的函数关系式为：，，则巴特尔每天生产量为多少千克时获得利润最大？最大利润为多少元？
某公司销售一种商品，成本为每件元，经过市场调查发现，该商品的日销售量件与销售单价元是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价元
日销售量件
直接写出与的关系式______；
求公司销售该商品获得的最大日利润；
销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过元，在日销售量件与销售单价元保持中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是元，求的值．
天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价元件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于元件，市场调查发现，该商品每天的销售量件与销售价元件之间的函数关系如图所示．
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
求每天的销售利润元与销售价元件之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
“互联网”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元为正整数，每月的销售量为条．
直接写出与的函数关系式；
设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
某超市经销一种商品，每千克成本为元，经试销发现，该种商品的每天销售量千克与销售单价元千克满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价元千克
销售量千克
求千克与元千克之间的函数表达式；
为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线的表达式为．
求抛物线的表达式；
在直线上有一点，使的值最小，求点的坐标；
在轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点．
求抛物线的表达式；
写出点的坐标并求直线的表达式；
设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标．
如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．
求二次函数的解析式和直线的解析式；
点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
在抛物线上是否存在异于、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且点是第三象限内抛物线上的一动点．
求此抛物线的表达式；
若，求点的坐标；
连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．
求抛物线的表达式；
当线段的长度最大时，求点的坐标；
抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走。可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：。
【数学理解】
已知点，则______；
函数的图象如图所示，是图象上一点，，则点的坐标是______；
函数的图象如图所示．求证：该函数的图象上不存在点，使；
函数的图象如图所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标；
【问题解决】
某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点且直线过点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
求抛物线的函数解析式；
当的面积最大时，求点的坐标；
在的条件下，在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
如图，抛物线与直线交于，两点，直线：交轴于点点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点．
求抛物线的表达式；
连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以，，，为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标；
在的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求它的最小值．
如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
求这个抛物线的函数表达式．
点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．
点为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】解：设与的函数关系式为，根据题意得
，
解得．
故与的函数关系式为；
根据题意得
，
解得，不合题意，舍去．
故该批发商若想获得元的利润，应将售价定为元；
与的函数关系式为：
，
，
当时，值最大，最大值是．
该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润元最大，此时的最大利润为元．
【解析】本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．
根据图表中的各数可得出与成一次函数关系，从而结合图表的数可得出与的关系式．
根据想获得元的利润，列出方程求解即可；
根据批发商获得的总利润元售量每件利润可表示出与之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
2.【答案】解：设甲快递公司每千克的运费各是元，乙快递公司每千克的运费是元，
根据题意得，，
解得：，
答：甲快递公司每千克的运费是元，乙快递公司每千克的运费是元；
设产量为时，获得的利润为元，
当时，，
当时，的值最大，最大值为；
当时，，不合题意，舍去，
当时，的值最大，最大值为；
巴特尔每天生产量为千克时获得利润最大，最大利润为元．
【解析】设甲快递公司每千克的运费各是元，乙快递公司每千克的运费是元，
根据题意列方程组即可得到结论；
设产量为时，获得的利润为元，当时，当时，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．
3.【答案】
【解析】解：设解析式为，
将和代入，可得，解得：，
所以与的关系式为，
故答案为：；
设公司销售该商品获得的日利润为元，
，
，，
，
，
抛物线开口向下，函数有最大值，
当时，，
答：当销售单价是元时，最大日利润是元．
，
当时，，
解得，，
，
有两种情况，
时，在对称轴左侧，随的增大而增大，
当时，，
时，在范围内，
这种情况不成立，
．
根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；
根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果．
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
4.【答案】解：设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
根据题意知，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值，最大值为，
答：每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【解析】利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
5.【答案】解：由题意可得：整理得；
由题意，得：
有最大值
即当时，
应降价元
答：当降价元时，每月获得最大利润为元；
由题意，得：
解之，得：，，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故
当销售单价定为元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【解析】本题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出与之间的函数关系式是解题关键．
直接利用销售单价每降元，则每月可多销售条得出与的函数关系式；
利用销量每件利润总利润进而得出函数关系式求出最值；
利用总利润，求出的值，进而得出答案．
6.【答案】解：设与之间的函数表达式为，将表中数据、代入得：
，
解得：．
与之间的函数表达式为．
由题意得：，
整理得：，
解得，．
答：为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为元千克或元千克．
设当天的销售利润为元，则：
，
，
当时，．
答：当销售单价定为元千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是元．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
依题意可列出关于销售单价的方程，然后解一元二次方程组即可；
利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
7.【答案】解：把代入，得：，
．
把代入得：，
，
将、代入得：，解得，．
抛物线的解析式为．
如图所示：作点关于的对称点，则．
与关于对称，
．
．
当、、在一条直线上时，有最小值．
设的解析式为，则，解得：，．
的解析式为．
将与联立，解得：，，
点的坐标为
，
．
又，
，，．
，
．
，，
，．
．
又，
∽．
当的坐标为时，∽．
如图所示：连接，过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
∽．
又∽，
∽．
，即，解得：．
．
综上所述，当的坐标为或时，以、、为顶点的三角形与相似．
【解析】先求得点和点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式得到关于、的方程，从而可求得、的值；
作点关于的对称点，则，则的最小值为的长，然后求得的解析式，最后可求得点的坐标；
先求得点的坐标，然后求得、、的长，依据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然后分为∽和∽两种情况求解即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、相似三角形的性质和判定，分类讨论是解答本题的关键．
8.【答案】解：函数表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
、，则点，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式得：，解得：，
故直线的表达式为：；
设点、点，
当是平行四边形的一条边时，
点向左平移个单位、向下平移个单位得到，
同样点向左平移个单位、向下平移个单位得到，
即：，，
解得：，，
故点、的坐标分别为、；
当点在点的上方时，点在点的上方，横坐标相等，此时，，可得；
当是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：，，
解得：，，
故点、的坐标分别为、；
故点、的坐标分别为、或、或、．
【解析】函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；
、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；
分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中，要主要分类求解，避免遗漏．
9.【答案】解：
抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，解得，
抛物线解析式为，即，
点在轴上，令可得，
点坐标为，
可设直线解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线解析式为；
设点横坐标为，则，，
，
当时，有最大值；
如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，
设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，
或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
【解析】可设抛物线解析式为顶点式，由点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
设出点坐标，从而可表示出的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
过作轴，交于点，过和于，可设出点坐标，表示出的长度，由条件可证得为等腰直角三角形，则可得到关于点坐标的方程，可求得点坐标．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在中用点坐标表示出的长是解题的关键，在中构造等腰直角三角形求得的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
10.【答案】解：抛物线，则，故，
而，则，，
故点、、的坐标分别为、、；
则，故，
故抛物线的表达式为：；
抛物线的对称轴为，
当时，点、的纵坐标相同，根据函数的对称性得点；
过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则的面积，
，
有最大值，当时，的最大值为，此时点．
【解析】抛物线，则，故，而，则，，确定点、、的坐标；即可求解；
抛物线的对称轴为，当时，点、的纵坐标相同，即可求解；
的面积，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，但较为容易．
11.【答案】解：设，则，则点、的坐标分别为、，
则，解得：，
故点、的坐标分别为、，
则抛物线的表达式为：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
对于，令，则，故点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点的横坐标为，则点，则点，
则，
，故DF有最大值，此时，点；
存在，理由：
点，则，，
以点，，为顶点的三角形与相似，
则，即或，即或，
解得：或舍去或或舍去，
故或．
【解析】点、的坐标分别为、，则，即可求解；
点，则点，则，即可求解；
以点，，为顶点的三角形与相似，则，即或，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
12.【答案】解：；；
证明：假设函数的图象上存在点使，
根据题意，得
，
方程没有实数根，原方程无解，
该函数的图象上不存在点，使。
设，由题意得：，
，
，
又，
，
当时，有最小值，此时点的坐标是．
如图，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到处，
理由：设过点的直线与轴相交于点，在景观湖边界所在曲线上任取一点，过点作直线，与轴相交于点，
，
同理，
上述方案修建的道路最短。
【解析】考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程组，二次函数的性质等。
根据定义可求出；
由两点间距离：及点是函数的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点的坐标；
由条件知，根据题意得，整理得，由可证得该函数的图象上不存在点，使；
根据条件可得，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；
以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到处，可由证明结论即可。
解：由题意得：；
设，由定义两点间的距离可得：，
，
，
，
解得：，
，
故答案为；；
见答案；
见答案；
见答案。
13.【答案】解：令，得，
解得，
，
令，得，
，
点与点关于轴对称，
，
把、点坐标代入中，得
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
设，则，，
则，
的面积，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为；
由知，，，
当时，轴，则；
当时，轴，则；
当时，设，则，
即，
解得，，
或
综上，存在以，，三点为顶点的三角形是直角三角形．其点坐标为或或或
【解析】由一次函数图象与坐标轴交点、的坐标，再由对称求得点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
设，则，，由三角形的面积公式求得的面积关于的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得的值，进而得点的坐标；
分三种情况：为直角顶点；为直角顶点；为直角顶点．分别得出点的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．
14.【答案】解：点，在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为；
设直线的解析式为过点，，
，
，
直线的解析式为，
设，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
如图，
由知，直线的解析式为，
设，
直线：，
，
设，
以点，，，为顶点的四边形是矩形，
直线的解析式为，直线：，
，
为对角线，
与互相平分，
，，
，，
；
如图，
由知，，，，
，，
设交于，取的中点，
，
连接交于，连接，
，
，
，
，，
∽，
，
，
的最小值，
设点，
，
，
，
，
或由于，所以舍去，
，
，
，
即：．
【解析】利用待定系数法求出抛物线解析式；
先利用待定系数法求出直线的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；
先判断出要以点，，，为顶点的四边形是矩形，只有为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；
先取的中点进而判断出∽即可得出，连接交圆于，再求出点的坐标即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解的关键是掌握待定系数法，解的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．
15.【答案】解：抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点，函数的对称轴为：；
连接，设点，
则
，
，故有最大值，当时，的最大值为；
存在，理由：
为等腰直角三角形，且为直角时，点的位置如下图所示：
当点在轴上方时，点的位置为、，
的情况：
设点的坐标为，则，
过点作轴的垂线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，
，，，
，，
≌，，
即：，解得：舍去负值，
则点；
的情况：
同理可得：点；
当点在轴下方时，点的位置为、，
同理可得：点、的坐标分别为：、；
综上，点的坐标为：或或或
【解析】抛物线的表达式为：，即，即可求解；
，即可求解；
分点在轴上方、点在轴下方两种情况，分别求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
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一个批发商销售成本为元千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过元，在销售过程中发现的销售量千克与售价元千克满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价元千克
销售量千克
求与的函数关系式；
该批发商若想获得元的利润，应将售价定为多少元？
该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润元最大？此时的最大利润为多少元？
牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式，甲快递公司运送千克，乙快递公司运送千克共需运费元：甲快递公司运送千克，乙快递公司运送千克共需运费元．
求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元？
假设巴特尔生产的奶食品当日可以全部出售，且选择运费低的快递公司运送，若该产品每千克的生产成本元不含快递运费，销售价元与生产量千克之间的函数关系式为：，，则巴特尔每天生产量为多少千克时获得利润最大？最大利润为多少元？
某公司销售一种商品，成本为每件元，经过市场调查发现，该商品的日销售量件与销售单价元是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价元
日销售量件
直接写出与的关系式______；
求公司销售该商品获得的最大日利润；
销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过元，在日销售量件与销售单价元保持中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是元，求的值．
天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价元件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于元件，市场调查发现，该商品每天的销售量件与销售价元件之间的函数关系如图所示．
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
求每天的销售利润元与销售价元件之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
“互联网”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元为正整数，每月的销售量为条．
直接写出与的函数关系式；
设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
某超市经销一种商品，每千克成本为元，经试销发现，该种商品的每天销售量千克与销售单价元千克满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价元千克
销售量千克
求千克与元千克之间的函数表达式；
为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线的表达式为．
求抛物线的表达式；
在直线上有一点，使的值最小，求点的坐标；
在轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点．
求抛物线的表达式；
写出点的坐标并求直线的表达式；
设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标．
如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．
求二次函数的解析式和直线的解析式；
点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
在抛物线上是否存在异于、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且点是第三象限内抛物线上的一动点．
求此抛物线的表达式；
若，求点的坐标；
连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．
求抛物线的表达式；
当线段的长度最大时，求点的坐标；
抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走。可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：。
【数学理解】
已知点，则______；
函数的图象如图所示，是图象上一点，，则点的坐标是______；
函数的图象如图所示．求证：该函数的图象上不存在点，使；
函数的图象如图所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标；
【问题解决】
某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点且直线过点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
求抛物线的函数解析式；
当的面积最大时，求点的坐标；
在的条件下，在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
如图，抛物线与直线交于，两点，直线：交轴于点点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点．
求抛物线的表达式；
连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以，，，为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标；
在的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求它的最小值．
如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
求这个抛物线的函数表达式．
点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．
点为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】解：设与的函数关系式为，根据题意得
，
解得．
故与的函数关系式为；
根据题意得
，
解得，不合题意，舍去．
故该批发商若想获得元的利润，应将售价定为元；
与的函数关系式为：
，
，
当时，值最大，最大值是．
该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润元最大，此时的最大利润为元．
【解析】本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．
根据图表中的各数可得出与成一次函数关系，从而结合图表的数可得出与的关系式．
根据想获得元的利润，列出方程求解即可；
根据批发商获得的总利润元售量每件利润可表示出与之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
2.【答案】解：设甲快递公司每千克的运费各是元，乙快递公司每千克的运费是元，
根据题意得，，
解得：，
答：甲快递公司每千克的运费是元，乙快递公司每千克的运费是元；
设产量为时，获得的利润为元，
当时，，
当时，的值最大，最大值为；
当时，，不合题意，舍去，
当时，的值最大，最大值为；
巴特尔每天生产量为千克时获得利润最大，最大利润为元．
【解析】设甲快递公司每千克的运费各是元，乙快递公司每千克的运费是元，
根据题意列方程组即可得到结论；
设产量为时，获得的利润为元，当时，当时，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．
3.【答案】
【解析】解：设解析式为，
将和代入，可得，解得：，
所以与的关系式为，
故答案为：；
设公司销售该商品获得的日利润为元，
，
，，
，
，
抛物线开口向下，函数有最大值，
当时，，
答：当销售单价是元时，最大日利润是元．
，
当时，，
解得，，
，
有两种情况，
时，在对称轴左侧，随的增大而增大，
当时，，
时，在范围内，
这种情况不成立，
．
根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；
根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
根据题意，列出关系式，再分类讨论求最值，比较得到结果．
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
4.【答案】解：设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
根据题意知，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值，最大值为，
答：每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【解析】利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
5.【答案】解：由题意可得：整理得；
由题意，得：
有最大值
即当时，
应降价元
答：当降价元时，每月获得最大利润为元；
由题意，得：
解之，得：，，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故
当销售单价定为元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【解析】本题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出与之间的函数关系式是解题关键．
直接利用销售单价每降元，则每月可多销售条得出与的函数关系式；
利用销量每件利润总利润进而得出函数关系式求出最值；
利用总利润，求出的值，进而得出答案．
6.【答案】解：设与之间的函数表达式为，将表中数据、代入得：
，
解得：．
与之间的函数表达式为．
由题意得：，
整理得：，
解得，．
答：为保证某天获得元的销售利润，则该天的销售单价应定为元千克或元千克．
设当天的销售利润为元，则：
，
，
当时，．
答：当销售单价定为元千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是元．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
依题意可列出关于销售单价的方程，然后解一元二次方程组即可；
利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
7.【答案】解：把代入，得：，
．
把代入得：，
，
将、代入得：，解得，．
抛物线的解析式为．
如图所示：作点关于的对称点，则．
与关于对称，
．
．
当、、在一条直线上时，有最小值．
设的解析式为，则，解得：，．
的解析式为．
将与联立，解得：，，
点的坐标为
，
．
又，
，，．
，
．
，，
，．
．
又，
∽．
当的坐标为时，∽．
如图所示：连接，过点作，交轴与点．
为直角三角形，，
∽．
又∽，
∽．
，即，解得：．
．
综上所述，当的坐标为或时，以、、为顶点的三角形与相似．
【解析】先求得点和点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式得到关于、的方程，从而可求得、的值；
作点关于的对称点，则，则的最小值为的长，然后求得的解析式，最后可求得点的坐标；
先求得点的坐标，然后求得、、的长，依据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然后分为∽和∽两种情况求解即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、轴对称图形的性质、相似三角形的性质和判定，分类讨论是解答本题的关键．
8.【答案】解：函数表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
、，则点，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式得：，解得：，
故直线的表达式为：；
设点、点，
当是平行四边形的一条边时，
点向左平移个单位、向下平移个单位得到，
同样点向左平移个单位、向下平移个单位得到，
即：，，
解得：，，
故点、的坐标分别为、；
当点在点的上方时，点在点的上方，横坐标相等，此时，，可得；
当是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：，，
解得：，，
故点、的坐标分别为、；
故点、的坐标分别为、或、或、．
【解析】函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；
、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；
分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中，要主要分类求解，避免遗漏．
9.【答案】解：
抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，解得，
抛物线解析式为，即，
点在轴上，令可得，
点坐标为，
可设直线解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线解析式为；
设点横坐标为，则，，
，
当时，有最大值；
如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，
设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，
或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
【解析】可设抛物线解析式为顶点式，由点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
设出点坐标，从而可表示出的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
过作轴，交于点，过和于，可设出点坐标，表示出的长度，由条件可证得为等腰直角三角形，则可得到关于点坐标的方程，可求得点坐标．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在中用点坐标表示出的长是解题的关键，在中构造等腰直角三角形求得的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
10.【答案】解：抛物线，则，故，
而，则，，
故点、、的坐标分别为、、；
则，故，
故抛物线的表达式为：；
抛物线的对称轴为，
当时，点、的纵坐标相同，根据函数的对称性得点；
过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则的面积，
，
有最大值，当时，的最大值为，此时点．
【解析】抛物线，则，故，而，则，，确定点、、的坐标；即可求解；
抛物线的对称轴为，当时，点、的纵坐标相同，即可求解；
的面积，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，但较为容易．
11.【答案】解：设，则，则点、的坐标分别为、，
则，解得：，
故点、的坐标分别为、，
则抛物线的表达式为：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
对于，令，则，故点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点的横坐标为，则点，则点，
则，
，故DF有最大值，此时，点；
存在，理由：
点，则，，
以点，，为顶点的三角形与相似，
则，即或，即或，
解得：或舍去或或舍去，
故或．
【解析】点、的坐标分别为、，则，即可求解；
点，则点，则，即可求解；
以点，，为顶点的三角形与相似，则，即或，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
12.【答案】解：；；
证明：假设函数的图象上存在点使，
根据题意，得
，
方程没有实数根，原方程无解，
该函数的图象上不存在点，使。
设，由题意得：，
，
，
又，
，
当时，有最小值，此时点的坐标是．
如图，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到处，
理由：设过点的直线与轴相交于点，在景观湖边界所在曲线上任取一点，过点作直线，与轴相交于点，
，
同理，
上述方案修建的道路最短。
【解析】考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程组，二次函数的性质等。
根据定义可求出；
由两点间距离：及点是函数的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点的坐标；
由条件知，根据题意得，整理得，由可证得该函数的图象上不存在点，使；
根据条件可得，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；
以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，将函数的图象沿轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为，过点作，垂足为，修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到处，可由证明结论即可。
解：由题意得：；
设，由定义两点间的距离可得：，
，
，
，
解得：，
，
故答案为；；
见答案；
见答案；
见答案。
13.【答案】解：令，得，
解得，
，
令，得，
，
点与点关于轴对称，
，
把、点坐标代入中，得
，
解得，，
抛物线的解析式为：；
设，则，，
则，
的面积，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为；
由知，，，
当时，轴，则；
当时，轴，则；
当时，设，则，
即，
解得，，
或
综上，存在以，，三点为顶点的三角形是直角三角形．其点坐标为或或或
【解析】由一次函数图象与坐标轴交点、的坐标，再由对称求得点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
设，则，，由三角形的面积公式求得的面积关于的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得的值，进而得点的坐标；
分三种情况：为直角顶点；为直角顶点；为直角顶点．分别得出点的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．
14.【答案】解：点，在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为；
设直线的解析式为过点，，
，
，
直线的解析式为，
设，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
如图，
由知，直线的解析式为，
设，
直线：，
，
设，
以点，，，为顶点的四边形是矩形，
直线的解析式为，直线：，
，
为对角线，
与互相平分，
，，
，，
；
如图，
由知，，，，
，，
设交于，取的中点，
，
连接交于，连接，
，
，
，
，，
∽，
，
，
的最小值，
设点，
，
，
，
，
或由于，所以舍去，
，
，
，
即：．
【解析】利用待定系数法求出抛物线解析式；
先利用待定系数法求出直线的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；
先判断出要以点，，，为顶点的四边形是矩形，只有为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；
先取的中点进而判断出∽即可得出，连接交圆于，再求出点的坐标即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解的关键是掌握待定系数法，解的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．
15.【答案】解：抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则点，函数的对称轴为：；
连接，设点，
则
，
，故有最大值，当时，的最大值为；
存在，理由：
为等腰直角三角形，且为直角时，点的位置如下图所示：
当点在轴上方时，点的位置为、，
的情况：
设点的坐标为，则，
过点作轴的垂线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，
，，，
，，
≌，，
即：，解得：舍去负值，
则点；
的情况：
同理可得：点；
当点在轴下方时，点的位置为、，
同理可得：点、的坐标分别为：、；
综上，点的坐标为：或或或
【解析】抛物线的表达式为：，即，即可求解；
，即可求解；
分点在轴上方、点在轴下方两种情况，分别求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
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