甘肃省嘉峪关市一中2013届高三上学期第二次模拟考试数学试题

嘉峪关市第一中学2012—2013学年高三第二次模拟考试
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、已知向量，，若，则（　　）
A、 -1 B、-2 C、 D、1
2、设集合，，则（　　）
A、 B、 C、 D、
3、的共轭复数是（　　）
A、 B、 C、 D、
4、下列命题错误的是（　　 ）
A、对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，则-p为：?x∈R，均有x2+x+1≥0
B、命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”
C、若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D、“x＞2”是“x2-3x+2＞0”的充分不必要条件
5、执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（　　）
A、105 B、16 C、15 D、1
6、已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（　　）
A、充要条件 B、充分不必要
C、既不充分也不必要 D、必要不充分
7、△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，若，，则=（　　）
A、 B、2 C、1 D、
8、已知点在抛物线上，则的最小值（　）
A、2 B、3 C、4 D、0
9、有以下程序：
21世纪教育网
根据如上程序，若函数在上有且只有两个零点，则实数的取值范围是（　　）21世纪教育网
A、 B、 C、 D、
10、函数的图像大致为（　　）
A、 B、
C、 D、
11、在区间上随机取一个数，的值介于0到之间的概率为（　 ）
A、 B、 C、 D、 12、已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，，则的取值范围是（ ）
A、 　 B、 　C、 　D、
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知，是第二象限的角，则
14、直线与圆相交于、两点，则
15、函数，的图像恒过定点，若在直线上，其中，则的最小值
16、如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角
三角形（单位：cm），则该三棱锥的外接球的
表面积为
三、解答题（每小题12分，共60分）
17、等差数列的前项和为，已知，，求（1）该数列的通项公式 （2）当为何值时，取得最大值
18、如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是等边三角形，,，是线段的中点 （1）求证： （2）求四棱锥的体积 （3）求与平面所成角的正弦值
19、某公司的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下列对应数据：
2
4
5
6
8
30
40
60
50
7021世纪教育网
（1）画出散点图； （2）试求出线性回归方程．（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测销售额为115万元时约需多少广告费？参考公式：回归方程为，其中 参考数值：2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380， 22+42+52+62+82=145
20、已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率
（1）求椭圆的方程
（2）设为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程
[来源:21世纪教育网]
21、（文科）已知函数（1）若时，求曲线在点处的切线方程（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围（3）令，是否存在实数，当（是自然常数）
时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由
21、（理科）已知函数的图像在点处的切线方程为
（1）求实数、的值
（2）曲线上存在两点、，使得△是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围
（3）当时，讨论关于的方程的实根个数
四、选做题（本题满分10分）
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22、选修4—1：几何证明选讲
在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D。
（1）求证：
（2）若AC=3，求AP·AD的值
23、选修4-2：坐标系与参数方程
（1）求在极坐标系中，以 为圆心，2为半径的圆的参数方程
（2）将参数方程（为参数）?化为直角坐标方程
24、选修4-5：不等式选讲
已知，．
（1）求证：，
（2）若，求证：
嘉峪关市第一中学2012—2013学年
第二次模拟考试试题答案
一、选择题
1、A 2、B 3、A 4、C 5、C 6、D 7、B 8、B
9、C 10、D 11、A 12、D
二、选择题
13、 14、 15、 16、8
三、解答题
17、解: （1） ，
　　　　 ………………………………………………………3
　　　　解得. ……………………………………………………5 ．………………………………………………6
　　（2）
　　　　　　 ………………………………………………9 ．………………………………………………10 Ｎ,
当或时, 取得最大值6. ……………………………………12
18、解：（1）在等边三角形中，为的中点，则
…………………………………………………………1
因为
所以， …………………………………………………………………………2
又
所以， …………………………………………………………………3
且
所以，……………………………………………………………………………4
(2)

………………………………………………………………………6
(3)方法一：
取的中点,连接.以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图
…………………………………………7
则 ……………8
设平面的法向量为
由 得
则平面的一个法向量为………10
设与平面所成的角为,则
……………………12
方法二：
连接交于，连接.如图2
在直角梯形中，
则
所以，
又
所以， …………………………………………7
且
所以 ………………………………8
所以，就是与平面所成的角……………………………………………9
由
即 ………………………………………………………………………10
所以，
在………………………………………………11
所以，……………………………………………………………12
19、（1）散点图如下
…………………………………………………………4
（2）设回归方程为……………………………………………………………………521世纪教育网
………………………………………………………………………………………6[来源:21世纪教育网]
………………………………………………………………………7
……………………………………………………………………………8回归方程为.………………………………………………………………………9
（3）由（2）知回归方程为，
所以
所以
答：销售额为115万元时约需15万元的广告费. ……………………………………………12
20.（Ⅰ）由已知可设椭圆的方程为,………………………………1
其离心率为 ，则 ，…………………………………………………3
故椭圆的方程为 . …………………………………………………5
（Ⅱ）解法一 两点的坐标分别为，
由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，
因此可设直线的方程为. …………………………………………………721世纪教育网
将代入中，得，所以，……………8
将代入中，得 ，所以 ，…………9
又由得，即 ，…………………………………10
解得 ，故直线的方程为或 …………………………………12
解法二 两点的坐标分别为，
由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，
因此可设直线的方程为. …………………………………………………7
将代入中，得，所以，……………8
又由得，， …………………………9
将代入中，得，即， ……………10
解得 ，故直线的方程为或 ……………12
21、（文科）
解：（1）时，曲线
又
切线方程为. …………………………………………………3
（2）在上恒成立， …………………………………5
令，有得，得. …………………………………7
（3）假设存在实数a，使有最小值3，
…………………………………8
当时，在上单调递减，，（舍），………9
当时，即时，在上单调递减，
，（舍）…………………………………………………………10
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，………………………………………………………………11
综上，存在实数，使得当时 …………………………………12
21.(理科）(本小题满分12分)
解：⑴ 当时，.
∵函数图象在点处的切线方程为.
∴切点坐标为，则有
解得............................................................................................. (3分)
⑵ 由⑴得，根据条件，的横坐标互为相反数，不妨 设，，.
①若，则，由是直角得，，
即，.（无解）
②若，则. 由于的中点在轴上，且， 点不能在轴上，即.由 ，，分离参数得到
∵函数的值域是
∴的取值范围是................................................................. (7分)

⑶ 方程，即，可知0一定是方程的根，
所以仅就时进行研究，方程等价于
.
令.................................................................(8分）
下面研究函数的性态，进而画出其大致图像。
对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分， 当时取得最大值，其值域是；
对于部分，函数，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值1，其值域是，，并且当无限增大时，其图像在轴上方 向右无限接近轴但永远也达不到轴........................................................ ................. (10分)
因此可画出函数的图像的示意图如下：
可得：
①当时，方程只有唯一实根0；
②当或者时，方程有两个实根；
③当时，方程有三个实根；
④当时，方程有四个实根；
⑤当时，方程有五个实根；............................................ (12分)
22、（1）

………… ………… ………… （3分）

………… ………… ………… （5分）
（2）,
………… ………… ………… （8分）

………… ………… ………… （10分）
23、（1）在对应的直角坐标系中，圆心的坐标为，圆的直角坐标方程为? ………… …………（2分）
圆的参数方程为：（为参数）………… …………（3分）
（2）
………… ………… ………… （8分）
………… ………… ………… （10分）
24、
（I）∵，∴，即， …………（2分）21世纪教育网
同理，∴， …………（4分）
∵，
∴； …………（5分）
（II），…………（8分）21世纪教育网
∵，∴，
∴ …………（10分）
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