2021-2022学年北师大版八年级数学上册期末综合复习题：第7章平行线的证明（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第7章平行线的证明》
期末综合复习题2（附答案）
1．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下面说法正确的个数为（　　）
（1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；
（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（　　）
A．平行 B．垂直 C．共线 D．平行或共线
4．下列说法中，正确的个数有（　　）
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
④两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是（　　）
A．50° 和 50° B．40° 和 40° C．35° 和 35° D．60° 和20°
6．下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A﹣∠B＝90° B．∠B＝∠C＝∠A C．∠A＝90°﹣∠B D．∠A+∠B＝∠C
7．如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，AD平分线∠BAC．过点D作DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数是（　　）
A．45° B．50° C．60° D．70°
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝BD，AC与BD相交于H，且AC⊥BD．
①AB∥CD；②△ABD≌△BAC；③AB2+CD2＝AD2+CB2；④∠ACB+∠BDA＝135°．
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．某校七年级、八年级的学生人数相同，九年级的学生人数是八年级学生人数的，已知七年级的男生人数与八年级的女生人数相同，九年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级的男生与女生的比为（　　）
A． B． C． D．
10．如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（　　）度．
A．84 B．111 C．225 D．201
11．如图，共有　 　组平行线段．
12．如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上．
理由是：　 　．
13．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　时，CD∥AB．
14．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝65°，则∠4＝　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ADB＝　 　度．
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝∠BCA﹣70°，∠DAE的度数为　 　．
17．在△ABC中，∠ACB＝60°，CE为△ABC的角平分线，AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F，若∠ABD：∠ACF＝2：3，则∠BEC的度数为　 　．
18．下列说法正确的是　 　．
①﹣1的整数部分值为3；
②九边形的内角和等于1260°；
③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；
④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
⑤对于命题“对顶角相等”，它的逆命题是真命题．
19．学校广播室要从八年级（2）班选一名广播员，小明、小华和小英普通话都不相上下，并且都争着要去．老师决定用抽签的办法确定，结果三个人都争着先抽，以为第一个抽签的人抽中的可能性大一些； 这时，小华从兜里拿出两枚一元的硬币，并说将两枚硬币同时向上抛出，如果两个都是正面朝上，小明去；如果两个都是反面朝上，小英去；如果两个一正一反，小华自己去．那么，你认为　 　（填“老师”或“小华”）的办法公平合理，理由是　 　．
20．如图，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A＝　 　．
21．（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？
22．已知：如图，∠DCE＝∠E，∠B＝∠D．求证：AD∥BC．
23．写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程
命题：垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
24．完成下面的证明
如图，射线AH交折线ACGFEN于点B、D、E．已知∠A＝∠1，∠C＝∠F，BM平分∠CBD，EN平分∠FEH．求证：∠2＝∠3．
证明：∵∠A＝∠1（已知）
∴　 　（　 　）
∴　 　（　 　）
∵∠C＝∠F（已知）
∴　 　
∴　 　（　 　）
∴　 　（　 　）
∵BM平分∠CBD，EN平分∠FEH
∴∠2＝　 　，∠3＝　 　
∴∠2＝∠3
25．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O、A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动．
（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点Q，在点A，B的运动过程中，∠AQB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．
（2）在（1）的条件下，若AP是∠BAO的邻补角的平分线，BP是∠ABO的邻补角的平分线，AP、BP相交于点P，AQ的延长线交PB的延长线于点C，在点A，B的运动过程中，∠P和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠P和∠C的度数；若发生变化，请说明理由．
26．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．
（1）若∠BAD＝60°，求∠CDE的度数；
（2）猜想∠CDE与∠BAD的数量关系，并说明理由．
27．已知在△ABC中，∠BAC＝α，∠ABC＝β，∠BCA＝γ，△ABC的三条角平分线AD，BE，CF交于点O，过O向△ABC三边作垂线，垂足分别为P，Q，H，如图所示
（1）若α＝78°，β＝56°，γ＝46°，求∠EOH的大小；
（2）用α，阝，γ表示∠EOH的表达式为∠EOH＝　 　；（要求表达式最简）
（3）若α≥β≥γ，∠EOH+∠DOP+∠FOQ＝β，判断△ABC的形状并说明理由．
28．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝3∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
29．如图1，已知点E和点F分别在直线AB和CD上，EL和FG分别平分∠BEF和∠EFC，EL∥FG．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M为FD上一点，∠BEM，∠EFD的角平分线EH，FH相交于点H，若∠H＝∠FEM+15°，延长HE交FG于点G，求∠G的度数；
（3）如图3，点N在直线AB和直线CD之间，且EN⊥FN，点P为直线AB上的点，若∠EPF，∠PFN的角平分线交于点Q，设∠BEN＝α，直接写出∠PQF的大小为　 　（用含α的式子表示）．
30．如图，△ABC中，
（1）若∠B＝70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．
（2）如果把（1）中∠B＝70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．
参考答案
1．解：①一条直线有无数条垂线，故①错误；
②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；
③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误；
④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误；
⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误；
⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确．
所以错误的有4个．
故选：C．
2．解：在同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确；
只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误；
如图：
∠ABC＝∠DEF＝90°，且∠ABC+∠DEF＝180°，但是两角不是邻补角，故（3）错误；
同一平面内不平行的两条直线一定相交正确，
因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确的，故（4）正确．
即正确的个数是2个．
故选：B．
3．解：如图所示：
不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行或共线．
故选：D．
4．解：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故①错误；
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误；
两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，故④正确；
即正确的个数是1个，
故选：A．
5．解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴另两个底角都是（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
6．解：A．由∠A﹣∠B＝90°不能确定△ABC是直角三角形，符合题意；
B．由∠B＝∠C＝∠A可得，∠B＝∠C＝45°，∠A＝90°，能确定△ABC是直角三角形，不合题意；
C．由∠A＝90°﹣∠B可得，∠A+∠B＝90°，能确定△ABC是直角三角形，不合题意；
D．由∠A+∠B＝∠C可得，∠A+∠B＝90°，能确定△ABC是直角三角形，不合题意；
故选：A．
7．解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝60°，
又∵AD平分线∠BAC，
∴∠BAD＝30°，
又∵DE⊥AB，
∴Rt△ADE中，∠ADE＝60°，
故选：C．
8．解：在四边形ABCD中，∠ABD与∠BAC不一定相等，
故①AB∥CD；②△ABD≌△BAC都不一定成立，
∵AC⊥BD，
∴Rt△CDH中，CD2＝DH2+CH2；
Rt△ABH中，AB2＝AH2+BH2；
Rt△ADH中，AD2＝DH2+AH2；
Rt△BCH中，BC2＝CH2+BH2；
∴AB2+CD2＝AD2+CB2，故③正确；
∵AC⊥BD，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
又∵AB＝AC＝BD，
∴等腰△ABC中，∠ACB＝（180°﹣∠BAC），
等腰△ABD中，∠ADB＝（180°﹣∠ABD），
∴∠ACB+∠BDA＝（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ABD）
＝180°﹣（∠ABH+∠BAH）
＝180°﹣45°
＝135°，故④正确．
综上所述，真命题的个数是2个，
故选：B．
9．解：设七年级总人数为x，则八年级总人数为x，九年级总人数为x；
设七年级男生人数为a，则女生人数为x﹣a；八年级女生人数为a，男生人数为x﹣a；
设九年级男生人数为b，则女生人数为x﹣b，
∵九年级男生人数占三个年级男生人数的，
∴三个年级男生人数为5b；＝，
∴x＝4b，
∵三个年级女生总人数为x﹣a+a+x﹣b＝×4b﹣b＝，
∴三个年级的男生与女生的比为5b：＝，
故选：D．
10．解：∵①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴①中，∠2+∠4＝（∠1+∠2+∠3+∠4）＝（180°﹣42°）＝69°，故∠O1＝180°﹣69°＝111°；
②中，∠O2＝∠4﹣∠2＝[（∠3+∠4）﹣（∠1+∠2）]＝∠A＝21°；
③中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣42°＝138°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°+180°﹣138°＝222°
故∠O3＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣×222°＝69°
∴∠O1+∠O2+∠O3＝111°+21°+69°＝201°
故选：D．
11．解：图中的平行线段有AD∥EF；BD∥EF；DE∥FB；DE∥FC；DF∥AE；DF∥EC；DE∥BC；DF∥AC；EF∥AB．共有9对．
故答案为：9．
12．解：∵PC∥AB，QC∥AB，
∵PC和CQ都过点C，
∴P、C、Q在一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行），
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
13．解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
14．解：∵∠1＝∠2，
∴∠5＝∠6，
∴AB∥CD，
∴∠3＝∠4，
又∵∠3＝65°，
∴∠4＝65°．
故答案为：65°．
15．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝120°，
故答案为：120．
16．解：∵AD是BC边上的高，
∴∠D＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠BCA），
又∵∠B＝∠BCA﹣70°，
∴∠BCA＝∠B+70°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠B﹣70°）＝35°，
故答案为：35°．
17．解：①如图1中，当高BD在三角形内部时，
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠ECB＝30°，
∵∠ABD：∠ACF＝2：3，
∴∠ABD＝20°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠CBE＝∠CBD+∠ABD＝30°+20°＝50°，
∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠CBE＝180°﹣30°﹣50°＝100°
②如图2中，当高BD在△ABC外时，
同法可得：∠ABD＝20°，∠CBD＝30°，
∴∠CBE＝∠CBD﹣∠ABD＝30°﹣20°＝10°，
∴∠BEC＝180°﹣30°﹣10°＝140°，
综上所述，∠BEC＝100°或140°，
故答案为100°或140°．
18．解：由于在3与4之间，则﹣1的值在2和3之间，其整数部分是2，所以①错误；
九边形的内角和为180°×（9﹣2）＝1260°，所以②正确；
菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，所以③正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所以④错误；
命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此逆命题为是假命题，所以⑤错误．
故答案为：②③．
19．解：老师，
因为老师的办法，不管谁先抽均有的机会；
而小华的办法中，有正反，正正，反正，反反4种情况，
小明和小英的机会各占，而小华的机会占＝，
即老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等，
故答案为：老师；老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等．
20．解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
即∠ACD+∠ECD＝∠ABC+∠CBD+∠A，
∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，
∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD）
∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°
∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°
∴∠A＝2×15°＝30°．
故答案为：30°．
21．解：（1）（2）如图所示，
（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．
22．证明：∵∠DCE＝∠E，
∴DC∥BE，
∴∠D＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DAE，
∴AD∥BC．
23．解：原命题改写为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
已知：如图，AB⊥EF，垂足为B，CD⊥EF，垂足为D．
求证：AB∥CD．
证明：∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABD＝∠CDF＝90°，
∴AB∥CD．
24．证明：∵∠A＝∠1（已知），
∴AC∥GF（内错角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠G（两直线平行，内错角相等），
∵∠C＝∠F（已知），
∴∠F＝∠G，
∴CG∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠CBD＝∠FEH（两直线平行，同位角相等），
∵BM平分∠CBD，EN平分∠FEH，
∴∠2＝∠CBD，∠3＝∠FEH，
∴∠2＝∠3．
故答案为：AC∥GF（内错角相等，两直线平行），∠C＝∠G（两直线平行，内错角相等），∠F＝∠G，CG∥EF（内错角相等，两直线平行），∠CBD＝∠FEH（两直线平行，同位角相等），∠CBD，∠FEH．
25．解：（1）∠AQB的大小不发生变化，如图1所示，其原因如下：
∵m⊥n，
∴∠AOB＝90°，
∵在△ABO中，∠AOB+∠ABO+∠BAO＝180°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
又∵AQ、BQ分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠BAQ＝，∠ABQ＝，
∴∠BAQ+∠ABQ＝（∠ABO+∠BAO）＝
又∵在△ABQ中，∠BAQ+∠ABQ+∠AQB＝180°，
∴∠AQB＝180°﹣45°＝135°．
（2））如图2所示：
①∠P的大小不发生变化，其原因如下：
∵∠ABF+∠ABO＝180°，∠EAB+∠BAO＝180°
∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝360°﹣90°＝270°，
又∵AP、BP分别是∠BAE和∠ABP的角平分线，
∴∠PAB＝∠EAB，∠PBA＝∠ABF，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠EAB+∠ABF）＝×270°＝135°，
又∵在△PAB中，∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，
∴∠P＝180°﹣135°＝45°．
②∠C的大小不变，其原因如下：
∵∠AQB＝135°，∠AQB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣135°，
又∵∠FBO＝∠OBQ+∠QBA+∠ABP+∠PBF＝180°
∠ABQ＝∠QBO＝，∠PBA＝∠PBF＝∠ABF，
∴∠PBQ＝∠ABQ+∠PBA＝90°，
又∵∠PBC＝∠PBQ+∠CBQ＝180°，
∴∠QBC＝180°﹣90°＝90°．
又∵∠QBC+∠C+∠BQC＝180°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣45°＝45°
26．解：（1）∵∠BAD＝60°，∠B＝∠C，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B
＝60°+∠B，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD
＝180°﹣2∠B﹣60°
＝120°﹣2∠B，
∴∠ADE＝∠AED
＝（180°﹣120°+2∠B）
＝30°+∠B，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE
＝（60°+∠B）﹣（30°+∠B）＝30°；
（2）∠BAD＝2∠CDE，理由：
设∠BAD＝x，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，
∴∠ADE＝∠AED＝∠C+x，
∴∠CDE＝∠B+x﹣（∠C+x）＝x，
∴∠BAD＝2∠CDE．
27．解：（1）四边形ABHO中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABO＝＝＝28°，
∵OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠BAC＝78°，
∴∠BOH＝360°﹣28°﹣78°﹣90°＝164°，
∴∠EOH＝180°﹣164°＝16°；
（2）四边形ABHO中，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABO＝，
∵OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠BAC＝α，
∴∠BOH＝360°﹣α﹣﹣90°＝270°﹣α﹣，
∴∠EOH＝180°﹣∠BOH＝α+β﹣90°；
故答案为：α+β﹣90°；
（3）△ABC是直角三角形，理由是：
由（2）知：∠EOH＝α+β﹣90°；
四边形ABOP中，同理∠AOP＝360°﹣α﹣β﹣90°＝270°﹣α﹣β，
∴∠DOP＝180°﹣∠AOP＝β+α﹣90°；
同理得：∠FOQ＝α+γ﹣90°，
∵∠EOH+∠DOP+∠FOQ＝β，且α+β+γ＝180°，
∴α+﹣90°+α﹣90°+α+γ﹣90°＝β，
5α+β+γ＝540°，
∴4α＝360°，
α＝90°，
∵α≥β≥γ，
∴△ABC是直角三角形．
28．解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝3α，
由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴3α+α＝180°，
∴α＝45°，
∴∠BCD＝3α＝135°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
29．证明：（1）如图1，∵EL和FG分别平分∠BEF和∠EFC，
∴∠FEL＝∠BEF，∠EFG＝∠EFC，
∵GF∥EL，
∴∠FEL＝∠EFG，
∴∠BEF＝∠EFC，
∴AB∥CD；
（2）如图2，设∠BEH＝α，∠DFH＝β，
∵FH平分∠EFD，FG平分∠EFC，
∴∠EFH+∠EFG＝+∠EFC＝90°，
∵∠BEM，∠EFD的角平分线EH，FH相交于点H，
∴∠BEH＝∠MEH＝α，∠EFH＝∠DFH＝β，
∵AB∥CD，
∴∠EOG＝∠DFG，
∵△EGO中，∠BEG＝∠G+∠EOG，
∴∠BEG＝∠G+∠DFG，
∴∠G＝∠BEG﹣∠DFG＝180°﹣α﹣（90°+β）＝90°﹣（α+β），
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，即2α+∠FEM+2β＝180°，
∴∠FEM＝180°﹣2（α+β），
∵∠H＝∠FEM+15°，且∠G+∠H＝90°，
∴90°﹣（α+β）+180°﹣2（α+β）+15°＝90°，
∴α+β＝65°，
∴∠G＝90°﹣65°＝25°；
（3）分两种情况：
延长FN交AB于H，
①当P在点E的右边时，如图3，设∠EPK＝x，∠PFQ＝y，
∵PK平分∠APF，FQ平分∠PFN，
∴∠EPK＝∠KPF＝x，∠PFQ＝∠QFH＝y，
∵△PQF中，∠KQF＝∠KPF+∠PFQ＝x+y，
∠PQF＝180°﹣（x+y），
∵EN⊥FN，
∴∠ENF＝∠ENH＝90°
∵∠BEN＝α，
∴∠EHN＝90°﹣α，
∵△PFH中，∠EHN＝∠HPF+∠HFP，
∴90°﹣α＝2x+2y，
∴∠PQF＝180°﹣（x+y）＝180°﹣＝135°+；
②当点P在E的左边时，如图4，设∠EPQ＝x，∠PFQ＝y，
∵△PFH中，∠HPF+∠PFH+∠FHP＝180°，
∴2x+2y+90°﹣α＝180°，
∴x+y＝，
∴△PFQ中，∠PQF＝180°﹣（x+y）＝180°﹣＝135°﹣，
综上，∠PQF的度数为135°+或135°﹣．
故答案为：135°+或135°﹣．
30．解：（1）∵∠B＝70°，
∴∠BAC+∠BCA＝110°，
∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，
∴∠PAC+∠PCA＝（∠PAC+∠PCA）＝×110°＝55°，
∴∠P＝180°﹣55°＝125°；
（2）∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠PAC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，
∴∠PAC+∠PCA＝（∠PAC+∠PCA），
∴∠P＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）
＝180°﹣（180°﹣∠B）
＝90°+∠B．