湖北省稳派教育2013届高三10月月考数学文试题（word版，含解析）

湖北稳派教育
2013届高三10月月考
数学（文）试题
考生注意：
说明：本试卷满分150分；答题时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写在答题纸密封线内相应位置．选择题每小题选出答案后，请将答案填在答题卡中相应位置，非选择题答案写在答题纸指定位置，不能答在试题卷上，考试结束后，将答题纸交回，
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．“是锐角”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知点，则实数y的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
3．设等比数列，则下列式子中数值不能确定的是
A． B． C． D．
4．黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为n、6、c，已知a=2，…，解得．根据以上信息，你以为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件
A．A=30°，B=45° B． C．B=60°，c=3 D．C=75°，A=45°
5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为
A．
B．
C．
D．
6．已知α、β均为锐角，且的值为
A．—1 B．1 C． D．不存在
7．已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数时取到极大值c，则ad等于
A．—1 B．0 C．1 D．2
8．数列的向若按如下规律排列：

若存在正整数k，使=
A． B． C． D．
9．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数满足

考察下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列。其中正确的结论是
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
10．设函数函数的各极大值之和为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．已知等差数列等于 。
12．已知的值是 。
13．在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足等于 。
14．在△ABC中，，若最长边为1，则最短边的长为 。
15．定义：，若对任意正整数n，都有的值为 。
16．设函数为坐标原点，图象上横坐标为的点，向量的夹角，满足的最大整数n是 。
17．如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如
下规则标上数字标签：原点处标数字O，点(1，0)处标数字1，点
（1，一1）处标数字2，点（O，-1）处标数字3，点（-1，-1）处
标数字4，点（-1，0）处标数字5，点（-1，1）处标数字6，点
(0，1)处标数字7，…以此类推，①标数字50的格点的坐标为____．
②记格点坐标为(m，咒)的点（m、n均为正整数）处所标的数字为
f(m，n)，若n>m，则f（m，n）= ____．
三、解答题：本大题共5小题，共65努．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分12分）
向量
（I）若a为任意实数，求g(x)的最小正周期；
（II）若g(x)在[o，）上的最大值与最小值之和为7，求a的值，
17．（本小题满分12分）
如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D,从D点可以观察到点A，C；到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）．
（I）求△CDE的面积；
（Ⅱ）求A，B之间的距离．
20．（本小题满分12分）
国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．
签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．
（I）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；
（II）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？
（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786）
21．（本小题满分14分）
已知数列
（I）试证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（II）在数列是，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由。
（III）试证在数列中，一定存在满足条件的正整数r，s，使得成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系。
22．（本小题满分14分）
已知处的切线与直线平行。
（I）求满足的关系式；
（II）若上恒成立，求a的取值范围；
（III）证明：
参考答案
一、选择题：
1．【考点分析】本题主要考查查诱导公式和充要条件的基础知识．
【参考答案】A
【解题思路】是锐角则有，但时，不一定是锐角。
2．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．
【参考答案】　C
【解题思路】＝（3，y－1），∵∥a，∴＝，∴y＝7．
3．【考点分析】本题主要考查了等比数列的通项公式与前n项和公式．
【参考答案】　D
【解题思路】等比数列{an}满足8a2＋a5＝0，即a2（8＋q3）＝0，∴q＝－2，∴＝q2＝4，＝q＝－2，＝＝＝，都是确定的数值，但＝的值随n的变化而变化，故选 D．
4．【考点分析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用．
【参考答案】D
【解题思路】可将选项的条件逐个代入验证．
∵≠，∴A错； ∵cosC＝＝≠，∴B错；
∵＝＝≠cos60°， ∴C错，故选 D．
5．【考点分析】本题考查型函数图象和性质，以及数形结合的解题能力．
【参考答案】C
【解题思路】验证可得
6．【考点分析】本题主要考查三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，两角和与差的正切公式，及其运用，正切函数的性质．
【参考答案】　B
【解题思路】tanβ＝＝＝tan，
∵－α，β∈且y＝tanx在上是单调增函数，
∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan（α＋β）＝tan＝1．
7．【考点分析】本题考查了等比数列的基本性质，以及利用导数判断函数单调性和极值．
【参考答案】A
【解题思路】利用导数可求b、c，由a、b、c、d成等比数列可得ad＝bc．
【解题思路】　y′＝－1，令y′＝0得x＝－1，当－20，当x>－1时，y′<0，∴b＝－1，c＝ln（－1＋2）－（－1）＝1，∴ad＝bc＝－1，故选 A．
8．【考点分析】本题目主要考查学生对数列的观察能力，找出数列之间的相互关系，根据等差数列的前n项和计算公式，根据已有条件计算．考查学生的计算能力以及对问题的分析能力．
【参考答案】C
【解题思路】S20＋1＝＋＋＋＋＋＝＋1＋＋2＋＋3＝10．5 ∵>0．5， ∴S20<10，S21＝10．5>10，即k＝20 ∴a20＝．
9．【考点分析】本题主要考查函数、等差数列与等比数列综合运用，考查等差数列与等比数列的概念，考查等价转化的数学思想．
【参考答案】 D．
【解题思路】∵f（0）=f（0?0）=0，f（1）=f（1?1）=2f（1），∴f（1）=0，①正确；
f（1）=f[（-1）?（-1）]=-2f（-1），∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函数，故②错；则f（2n）=f（2?2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，
∴bn=bn-1+1，∴{bn}是等差数列，④正确；b1═1，bn=1+（n-1）×1=n，f（2n）=2nbn=n2n，an═2n，故数列{an}是等比数列，③正确．故答案为：①③④
10．【考点分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和．
【参考答案】 B．
【解题思路】∵函数f（x）=ex（sinx-cosx），∴f′（x）=（ex）′（sinx-cosx）+ex（sinx-cosx）′=2exsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）=ex（sinx-cosx）递减，故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π×（0-（-1））=e2kπ+π，又0≤x≤2012π，∴函数f（x）的各极大值之和S=eπ+e3π+e5π+…+e2011π=．故选 B．
二、填空题：
11．【考点分析】本题主要考查等差数列的基本运算性质．
【参考答案】15
【解题思路】，故。
12．【考点分析】本题主要考查函数、分段函数的概念和指数运算，考查推理和运算能力．
【参考答案】
【解题思路】∵，∴＝　由，得
，而，＝ ＝．
13．【考点分析】本题主要考查向量的线性运算和数量积的基本运算．
【参考答案】－
【解题思路】由条件知，·（＋）＝·（2）＝·＝－||2＝－2＝－．
14．【考点分析】本小题主要考查正弦定理，三角形中的三角恒等变换等基础知识，本小题主要考查推理论证、运算求解等能力．
【参考答案】　 
【解题思路】由tanA>0，cosB>0知A、B均为锐角，
∵tanA＝<1，∴0， ∴0由cosB＝知，tanB＝，∴B由条件知，sinA＝，cosA＝，sinB＝，
∴sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，
由正弦定理＝知，＝，∴b＝．
15．【考点分析】本题主要考查了数列和不等式的综合运用．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
【参考答案】　
【解题思路】由F（x，y）的定义知，an＝（n∈N*）．∵对任意正整数n，都有an≥ak成立，∴ak为数列{an}中的最小项，由指数函数与幂函数的增大速度及a1＝2，a2＝1，a3＝，a4＝1知，当a>4时，恒有an>1，∴对?n∈N*，有an≥a3＝成立．
16．【考点分析】本题考查函数、数列与向量的综合应用，考查向量的夹角公式的运算及正切函数的定义．
【参考答案】3
【解题思路】由题意知An=（n，f（n）），，则θn为直线A0An的倾斜角，所以
tanθn=，所以tanθ1=1，θ1=，tanθ2=，tanθ3=，tanθ4=
则有?1++=<<=,故满足要求的最大整数n是3．
17．【考点分析】本题主要考查了数列的应用，观察分析数据，总结、归纳推理数据规律的能力，以及运算转化能力．
【参考答案】（4,2）；（2n＋1）2＋m－n－1
【解题思路】f（1,0）＝12，f（2,1）＝32，f（3,2）＝52，…，f（n＋1，n）＝（2n＋1）2．
∵n>m，∴n≥m－1，∴当n>m时，f（m，n）＝（2n＋1）2＋m－n－1．
三、解答题：
18．【考点分析】本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式和向量等基础知识和基本运算能力，化归与转化数学思想．
[解析]　g（x）＝m·n＝a＋1＋4sinxcos（x＋）
＝sin2x－2sin2x＋a＋1＝sin2x＋cos2x＋a＝2sin（2x＋）＋a （4分）
（1）g（x）＝2sin（2x＋）＋a，T＝π． （6分）
（2）∵0≤x<，∴≤2x＋<
当2x＋＝，即x＝时，ymax＝2＋a． （8分）
当2x＋＝，即x＝0时，ymin＝1＋a， （10分）
故a＋1＋2＋a＝7，即a＝2． （12分）
19．【考点分析】本题是解三角形的应用问题，考查三角形中的正弦定理、三角恒等变换、三角函数性质等基础知识，主要考查运算求解、推理论证等能力．
解：（1）连结DE，在(CDE中，， （1分）
（平方百米） （4分）
（2）依题意知，在RT(ACD中， （5分）
在(BCE中，
由正弦定理 （6分）
得 （7分）
∵ （8分）
（9分）
在(ABC中，由余弦定理 （10分）
可得 （11分）
∴（百米） （12分）
20．【考点分析】本小题主要考查一元二次不等式的应用，数列的基本应用和等差数列的性质，考查等价转化和建模能力．
（2）设李顺第个月还清，则应有

整理可得，解之得，取，
即李顺工作个月就可以还清贷款．
这个月，李顺的还款额为
元，
第31个月李顺的工资为元，
因此，李顺的剩余工资为． …………………13分
21．【考点分析】本题主要考查等比数列的判定和等差数列的应用．考查函数与方程,分类讨论思想,考查推理论证能力．
解： （1） 证明：由an＋an＋1＝2n，得an＋1＝2n－an，
所以＝＝＝－1． （3分）
又因为a1－＝，所以数列{an－×2n}是首项为，公比为－1的等比数列．
所以an－×2n＝×（－1）n－1，即an＝[2n－（－1）n]，所以bn＝2n－（－1）n． （5分）
（2） 假设在数列{bn}中，存在连续三项bk－1，bk，bk＋1（k∈N*, k≥2）成等差数列，则bk－1＋bk＋1＝2bk，即[2k－1－（－1）k－1]＋[2k＋1－（－1）k＋1]＝2[2k－（－1）k]，即2k－1＝4（－1）k－1．
① 若k为偶数，则2k－1＞0,4（－1）k－1＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得bk－1，bk，bk＋1成等差数列．（7分）
② 若k为奇数，则当k≥3时，2k－1≥4，而4（－1）k－1＝4，所以，当且仅当k＝3时，bk－1，bk，bk＋1成等差数列．
综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列．（9分）
（3） 要使b1，br，bs成等差数列，只需b1＋bs＝2br，
即3＋2s－（－1）s＝2[2r－（－1）r]，即2s－2r＋1＝（－1）s－2（－1）r－3，（﹡） （10分）
① 若s＝r＋1，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1＝0，
右端（－1）s－2（－1）r－3＝（－1）s＋2（－1）s－3＝3（－1）s－3，
要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时．又s＞r＞1，且s，r为正整数，
所以当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b1，br，bs成等差数列．（12分）
② 若s≥r＋2时，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1≥2r＋2－2r＋1＝2r＋1，
由（2）可知，r≥3，所以r＋1≥4，所以左端2s－2r＋1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“＝”）；右端（－1）s－2（－1）s－3≤0．所以当s≥r＋2时，b1，br，bs不成等差数列．
综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b1，br，bs成等差数列． （14分）
22．【考点分析】本小题主要考查导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性、不等式的证明等基础知识，考查运算能力以及分类讨论的数学思想方法．
解：（Ⅰ），根据题意，即 ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
令，
则，=
①当时， ，
若，则，在减函数，所以，即在上恒不成立．
②时，，当时，，在增函数，又，所以．
综上所述，所求的取值范围是 ……9分
（Ⅲ）有（Ⅱ）知当时，在上恒成立．
取得
令，得，
即
所以
上式中n=1，2，3，…，n，然后n个不等式相加得到
……14分