湖北省稳派教育2013届高三10月月考数学理试题（word版，含解析）

湖北稳派教育
2013届高三10月月考
数学（理）试题
考生注意：
说明：本试卷满分150分；答题时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写在答题纸密封线内相应位置．选择题每小题选出答案后，请将答案填在答题卡中相应位置，非选择题答案写在答题纸指定位置，不能答在试题卷上，考试结束后，将答题纸交回，
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．已知点A（-1，1），点B（2，y），向量a=（l，2），若，则实数y的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知等比数列则前9项之和等于
A．50 B．70 C．80 D．90
3．是
A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数
4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，
每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知各项均不为零的数列，定义向量
，下列命题中真命题是
A．若成立，则数列是等差数列
B．若成立，则数列是等比数列
C．若成立，则数列是等差数列
D．若成立，则数列是等比数列
6．若sin2x、sinx分别是sinθ与cosθ的等差中项和等比中项，则cos2x的值为
A． B． C． D．
7．如图是函数的图象的一部分，A，B是图象上的一个最高点和一个最低点，O为坐标原点，则的值为
A． B．
C． D．
8．已知函数有两个不同的零点x1，x2，且方程有两个不同的实根x3，x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为
A． B． C． D．—
9．设函数f（x） =ex（sinx—cosx），若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极大值之和为
A． B． C． D．
10．设函数为坐标原点，A为函数图象上横坐标为 的点，向量的夹角，满足的最大整数n是
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．设的值为 ．
12．已知曲线交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为的值为____．
13．已知且x，y为锐角，则tan（x -y）= ．
14．如图放置的正方形ABCD，AB =1．A，D分别在x轴、y轴的正半
轴（含原点）上滑动，则的最大值是____．
15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形
的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称
这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可
得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r），则（1）使得P（3，r）>36的最
小r的取值是 ；
（2）试推导P（n，r）关于，n、r的解析式是____．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知，O为坐标原点，设
（I）若，写出函数的单调速增区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的定义域为[]，值域为[2，5]，求实数a与b的值，
17．（本小题满分12分）
如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D,从D点可以观察到点A，C；到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）．
（I）求△CDE的面积；
（Ⅱ）求A，B之间的距离．
18．（本小题满分12分）
国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．
签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．
（I）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；
（II）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？
（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786）
19．（本小题满分12分）
已知函数
（I）当的值域；
（II）设恒成立，求实数a的取值范围．
20．（本小题满分13分）
已知

（I）求证：数列{an，-1）是等比数列；
（Ⅱ）当n取何值时，bn取最大值，并求出最大值；
（Ⅲ）若恒成立，求实数t的取值范围．
21．（本小题满分14分）
设曲线C：导函数．
（I）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）数列{an}满足．求证：数列{an}中不存在成等差数列的三项；
（Ⅲ）对于曲线C上的不同两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1参考答案
一、选择题：
1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．
【参考答案】　C
【解题思路】＝（3，y－1），∵∥a，∴＝，∴y＝7．
2． 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质．
【参考答案】 B．
【解题思路】，，=10，即=70．
3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力．
【参考答案】D
【解题思路】，所以函数是最小正周期为的奇函数。
4．【考点分析】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查观察分析和运算能力．
【参考答案】B
【解题思路】第一行是以2为首项，以 1为公差的等差数列，第一列是以2为首项，并且每一列都是以由为公比的等比数列，由等差数列和等比数列的通项公式可求得，所以它们的和等于2，故选B。
5．【考点分析】本题考查了等差数列和等比数列的判定，以及平行向量和垂直向量的基本结论．
【参考答案】A
【解题思路】：由，可得，nan+1=（n+1）an，即，于是an=na1，故选A．
6．【考点分析】本题考查等差中项和等比中项的定义以及三角变换，考查方程思想和运算能力．
【参考答案】A
【解题思路】依题意有， ①　　 ②
由①2-②×2得，，解得。
又由，得，所以不合题意。故选A。
7．【考点分析】本题主要考查正弦函数的图像与性质以及数量积的坐标表示，数形结合思想．
【参考答案】C
【解题思路】由图知＝－＝，∴T＝π， ∴ω＝2，∴y＝sin（2x＋φ），
将点的坐标代入得sin＝0， ∴φ＝，
∴A，B，∴·＝－1，故选 C．
8．【考点分析】本题主要考查函数的零点和等差数列的定义，考查数形结合思想．
【参考答案】D
【解题思路】设两个根依次为．而函数的零点为,则由图象可得: ．∴可求．
9．【考点分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和．
【参考答案】 B．
【解题思路】∵函数f（x）=ex（sinx-cosx），∴f′（x）=（ex）′（sinx-cosx）+ex（sinx-cosx）′=2exsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）=ex（sinx-cosx）递减，故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π×（0-（-1））=e2kπ+π，又0≤x≤2012π，∴函数f（x）的各极大值之和S=eπ+e3π+e5π+…+e2011π=．故选 B．
10．【考点分析】本题考查函数、数列与向量的综合应用，考查向量的夹角公式的运算及正切函数的定义．
【参考答案】B
【解题思路】由题意知An=（n，f（n）），，则θn为直线A0An的倾斜角，所以
tanθn=，所以tanθ1=1，θ1=，tanθ2=，tanθ3=，tanθ4=
则有?1++=<<=,故满足要求的最大整数n是3．故选 B．
二、填空题：
11．【考点分析】本题主要考查了函数的概念和函数解析式，以及三角函数的基本运算．
【参考答案】
【解题思路】设，则，，所以．
12．【考点分析】本题主要考查了导数的几何意义的应用，数列的运算及对数的运算性质的综合应用，考查了基本运算的能力．
【参考答案】 －1
【解题思路】f ′（x）＝（n＋1）xn，k＝f ′（1）＝n＋1，点P（1,1）处的切线方程为：y－1＝（n＋1）（x－1），令y＝0得，x＝1－＝，即xn＝，∴x1×x2×…×x2011＝×××…×＝，则log2012x1＋log2012x2＋…＋log2012x2011＝log2012（x1×x2×…×x2011）＝log2012＝－1．
13．【考点分析】本题主要考查两角和与差的正弦余弦正切，同角三角函数的基本关系式，正弦余弦函数的诱导公式及其运用，考查正弦函数的单调性．
【参考答案】 －
【解题思路】两式平方相加得：cos（x－y）＝，
∵x、y为锐角，sinx－siny<0，∴x∴sin（x－y）＝－＝－，
∴tan（x－y）＝＝－．
14．【考点分析】本题主要考查向量的线性运算和数量积的基本运算．
【参考答案】2
【解题思路】法一: 取的中点,连接．则．
　　
法二:设,则,

15．【考点分析】本题考查等差数列的基本知识，递推数列的通项公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力．
【参考答案】（1）．（2）．（或等）
【解题思路】 （1）, 由题意得, 所以,最小的．
（2）设边形数列所对应的图形中第层的点数为,则
从图中可以得出:后一层的点在条边上增加了一点,两条边上的点数不变,
所以,
所以是首项为1公差为的等差数列,
所以．（或等）
三、解答题：
16．【考点分析】本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式和向量等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化、分类讨论等数学思想．
[解析]　（1）f（x）＝－2asin2x＋2asinxcosx＋a＋b＝2asin＋b，
∵a>0，∴由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得， kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．
∴函数y＝f（x）的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]（k∈Z）
（2）x∈[，π]时，2x＋∈[，]， sin∈[－1，]
当a>0时，f（x）∈[－2a＋b，a＋b] ∴，得，
当a<0时，f（x）∈[a＋b，－2a＋b] ∴，得
综上知，或
17．【考点分析】本题是解三角形的应用问题，考查三角形中的正弦定理、三角恒等变换、三角函数性质等基础知识，主要考查运算求解、推理论证等能力．
解：（1）连结DE，在(CDE中，， （1分）
（平方百米） （4分）
（2）依题意知，在RT(ACD中， （5分）
在(BCE中，
由正弦定理 （6分）
得 （7分）
∵ （8分）
（9分）
在(ABC中，由余弦定理 （10分）
可得 （11分）
∴（百米） （12分）
18．【考点分析】本题主要考查一元二次不等式的应用，数列的基本应用和等差数列的性质，考查等价转化和建模能力．
（2）设李顺第个月还清，则应有

整理可得，解之得，取，
即李顺工作个月就可以还清贷款．
这个月，李顺的还款额为
元，
第31个月李顺的工资为元，
因此，李顺的剩余工资为． …………………12分
19．【考点分析】本题考查函数、导数和三角函数知识的综合运用，利用导数研究函数的单调性、值域，主要考查运算求解能力．
解：（Ⅰ） 上单调递增．
所以函数的值域为 ……………………． 5分
（Ⅱ），记，则．
当时，,所以在上单调递增．
又，故．从而在上单调递增．
所以，即在上恒成立…………．8分
当时，．
所以上单调递减，从而，
故在上单调递减，这与已知矛盾． ……
综上，故的取值范围为?． ……………．12分
20．【考点分析】本题主要考查数列的基本应用和等比数列的性质，以及数列的通项公式考查等价转化和函数方程思想．
解：（I）∵，，，
∴． 即．
又，可知对任何，，所以．…………2分
∵，
∴是以为首项，公比为的等比数列．………4分
（II）由（I）可知= （）．
∴．
．……………………………5分
当n=7时，，；
当n<7时，，；
当n>7时，，．
∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为．……8分
（III）由，得 （*）
依题意（*）式对任意恒成立，
①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．…………9分
　　　　 　②当t<0时，由，可知（）．
　　　　　　 而当m是偶数时，因此t<0不合题意．…………10分
　　　　 　③当t>0时，由（）,
∴　∴． （）……11分
　　　　　　 设 （）
　　　　　　∵ =,
　　　　　　∴．
　　　　　　∴的最大值为．
　　　　　　所以实数的取值范围是．…………………………………13分
21．【考点分析】本题考查函数、导数和数列知识的综合运用，利用导数研究函数的单调性、极值，主要考查运算求解、推理论证和化归转化等能力．
解：（I），得
当变化时，与变化情况如下表：
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减
∴当时，取得极大值，没有极小值； …………（5分）
（II）∵，∴, ，∴
…………（7分）
假设数列中存在成等差数列的三项，则，
因此，数列中不存在成等差数列的三项 …………（10分）
（III）（方法1）∵，∴，∴
即，设
，，是的增函数，
∵，∴；
，，是的增函数，
∵，∴，
∴函数在内有零点， …………（12分）
又∵，函数在是增函数，
∴函数在内有唯一零点，命题成立…………（14分）
（方法2）∵，∴，
即，，且唯一
设，则，
再设，，∴
∴在是增函数
∴，同理
∴方程在有解 …………（12分）
∵一次函数在是增函数
∴方程在有唯一解，命题成立………（14分）
注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分。