2021--2022学年人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数同步培优（Word版含答案）

人教版九年级上册 22.3 实际问题与二次函数 同步培优
一、选择题
1. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　)
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
2. 某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋12n－11，则企业停产的月份为(　　)
A．1月和11月 B．1月、11月和12月
C．1月 D．1月至11月
3. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB＝90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为(　　)
A．y＝x2 B．y＝－x2
C．y＝x2 D．y＝－x2
4. 如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8 cm，AC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则四边形BCQP面积的最小值是(　　)
A．8 cm2 B．16 cm2 C．24 cm2 D．32 cm2
5. （2020·绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
6. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面点O的距离是1 m，球落地点A到点O的距离是4 m，那么这条抛物线的解析式是(　　)
A．y＝－x2＋x＋1 B．y＝－x2＋x－1
C．y＝－x2－x＋1 D．y＝－x2－x－1
7. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取(　　)
A．30 B．25 C．20 D．15
8. （2020·长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（，a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 （　　）
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
二、填空题
9. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a元，则可卖出(350－10a)件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．
10. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．
11. 已知一个直角三角形两直角边长的和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．
12. （2020·襄阳）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t－6t2，则汽车从刹车到停止所用时间为__________秒．
13. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t· 为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为________．
14. 某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：
(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；
(2)工商部门限制售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．
给出下列结论：
①这种文化衫的月销量最小为100件；
②这种文化衫的月销量最大为260件；
③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；
④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．
其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)
15. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．
16. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.
17. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.
18. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．
三、解答题
19. 如图，排球运动员王亮站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，
①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；
②球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
③若排球运动员张明站在另外半场的点M(m，0)，且张明原地起跳接球的最大高度为2.4 m．若张明因接球的高度不够而失球，求m的取值范围．
(2)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
20. 春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．
九(1)班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天(1≤x≤20且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如下：
鲜鱼销售单价(元/kg) 20
单位捕捞成本(元/kg) 5－
捕捞量(kg) 950－10x
(1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如何变化的？
(2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出．求第x天的收入y(元)与x(天)之间的函数关系式；(当天收入＝日销售额－日捕捞成本)
(3)试说明(2)中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？
21. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
22. (2020·荆门)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x的函数关系式为
p＝销售量y(千克)与x之间的关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围：
(2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？
(销售额＝销售量×销售价格)
人教版九年级上册 22.3 实际问题与二次函数 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】A　[解析] y＝－(x2－4x＋4)＋4＝－(x－2)2＋4，∴水喷出的最大高度是4米．
2. 【答案】B　[解析] 由题意知，利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋12n－11，
∴y＝－(n－6)2＋25，
当n＝1时，y＝0；
当n＝11时，y＝0；
当n＝12时，y＜0.
故停产的月份是1月、11月和12月．
故选B.
3. 【答案】B　[解析] 设二次函数的解析式为y＝ax2.由题可知，点A的坐标为(－45，－78)，代入解析式可得－78＝a(－45)2，解得a＝－，∴二次函数解析式为y＝－x2.故选B.
4. 【答案】A　[解析] 设运动时间为t s，四边形BCQP的面积为S m2，
则S＝－＝－＝－t2＋24.
∵点P从点A出发，沿AB方向以2 m/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，8÷2＝4，6÷1＝6，
∴0∴当t＝4时，S取得最小值，最小值为－42＋24＝8(cm2)．
5. 【答案】B
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设大孔对应的函数关系式为y＝ax2＋c，过B (5，c－1.5)，F(7，0)，则，解得，∴大孔对应的函数关系式为y＝－0.06x2＋2.94．当x＝10时，y＝－0.06×102＋2.94＝－3.06，∴H(0，－3.06)．设右边小孔顶点坐标为D(10，1.44)，则右边小孔对应的函数关系式为y＝m(x－10)2＋1.44，过点G(12，0)，则0= m(12－10)2＋1.44，解得m=－0.36，∴右边小孔对应的函数关系式为y＝－0.36(x－10)2＋1.44，当y＝－3.06时，－3.06＝－0.36(x－10)2＋1.44，解得x＝10±，∴大孔水面宽度为20米，时单个小孔的水面宽度为5米．故选项B正确．
6. 【答案】A　[解析] A，B两点的坐标分别为(4，0)，(0，1)，把(4，0)，(0，1)分别代入y＝－x2＋bx＋c，求出b，c的值即可．
7. 【答案】C　[解析] 如图，设BE＝CF＝x cm，则EF＝(80－2x)cm.∵△EFM和△CFN都是等腰直角三角形，
∴MF＝EF＝(40 －x)cm，FN＝CF＝x cm，
∴包装盒的侧面积＝4MF·FN＝4·x(40 －x)＝－8(x－20)2＋3200，
故当x＝20时，包装盒的侧面积最大．
8. 【答案】C
【解析】本题考查了二次函数实际应用问题，根据题意，题中的“可食用率”p应该是最大时为最佳时间，所以先把图中三个点代入，可得到a，b，c的三元一次方程组，解得，所以p应该最大时，因此本题选C．
二、填空题
9. 【答案】28　[解析] 设商店所获利润为y元．根据题意，得
y＝(a－21)(350－10a)＝－10a2＋560a－7350＝－10(a－28)2＋490，
即当a＝28时，可获得最大利润．
又21×(1＋40%)＝21×1.4＝29.4，而28<29.4，所以a＝28符合要求．
故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润．
10. 【答案】25　[解析] 设利润为w元，则w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25.
∵20≤x≤30，
∴当x＝25时，二次函数有最大值25.
11. 【答案】
12. 【答案】2.5．
【解析】令s＝0，得15t－6t2＝0，解得t1＝2.5，t2＝0（不合题意，舍去），故答案为2.5．
13. 【答案】014. 【答案】①②③　[解析] 由题意知，当70≤x≤150时，y＝－2x＋400，
∵－2＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确；
当x＝70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确；
设销售这种文化衫的月利润为W元，
则W＝(x－60)(－2x＋400)＝－2(x－130)2＋9800，
∵70≤x≤150，
∴当x＝70时，W取得最小值，最小值为－2(70－130)2＋9800＝2600，故③正确；
当x＝130时，W取得最大值，最大值为9800，故④错误．
故答案为①②③.
15. 【答案】y＝－(x＋6)2＋4
16. 【答案】48　[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB与y轴交于点H.
∵AB＝36 m，∴AH＝BH＝18 m.
由题可知：OH＝7 m，CH＝9 m，
∴OC＝9＋7＝16(m)．
设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k.
∵抛物线的顶点为C(0，16)，
∴抛物线的解析式为y＝ax2＋16.
把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a＋16，
∴7＝324a＋16，
∴a＝－，
∴y＝－x2＋16.
当y＝0时，0＝－x2＋16，
∴－x2＝－16，解得x＝±24，
∴E(24，0)，D(－24，0)，
∴OE＝OD＝24 m，
∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48(m)．
17. 【答案】0.5　[解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y＝ax2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a＝2，h＝0.5.
18. 【答案】1.6 秒　【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒， 所以此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．
三、解答题
19. 【答案】
解：(1)①把x＝0，y＝2及h＝2.6代入y＝a(x－6)2＋h，得2＝a(0－6)2＋2.6，
∴a＝－，
∴y＝－(x－6)2＋2.6.
②球能越过球网，球会出界．理由如下：
由①知y＝－(x－6)2＋2.6，
当x＝9时，y＝－×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，
∴球能越过球网．
当x＝18时，y＝－×(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球会出界．
③若运动员张明原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时－(m－6)2＋2.6＝2.4，
解得m1＝6＋2 ，m2＝6－2 .
∵张明接球高度不够，∴6－2 ＜m＜6＋2 .∵张明在另外半场，
∴m的取值范围为9＜m＜6＋2 .
(2)将x＝0，y＝2代入y＝a(x－6)2＋h，得a＝.
当x＝9时，y＝(9－6)2＋h＝＞2.43；①
当x＝18时，y＝(18－6)2＋h＝8－3h≤0.②
由①②，得h≥.
20. 【答案】
解：(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了10 kg.
(2)由题意，得
y＝20(950－10x)－(5－)(950－10x)＝－2x2＋40x＋14250.(7分)
(3)∵－2＜0，y＝－2x2＋40x＋14250＝－2(x－10)2＋14450，(9分)
又1≤x≤20，且x为整数，
∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；
当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；
当x＝10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450元．
21. 【答案】
解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE的面积的2倍，∴AE＝2BE.设BE＝a，则AE＝2a，∴8a＋2x＝80，∴a＝－x＋10，3a＝－x＋30，∴y＝(－x＋30)x＝－x2＋30x.∵a＝－x＋10＞0，∴x＜40，则y＝－x2＋30x(0＜x＜40)．
(2)∵y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系数为－＜0，∴当x＝20时，y有最大值，最大值是300.
22. 【答案】
解：(1)当0＜x≤20时，设y＝k1x＋b1，由图象得：
解得
∴y＝－2x＋80(0＜x≤20)．
当20＜x≤30时，设y＝k2x＋b2，由图象得：
解得
综上，y＝
(2)设当月该农产品的销售额为w元，则w＝yp．
①当0＜x≤20时，
w＝(－2x＋80)(x＋4)＝－x2＋24x＋320＝－(x－15)2＋500．
∵－＜0，∴当x＝15时，W最大＝500．
②当20＜x≤30时，
w＝(4x－40)(－x＋12)＝－x2＋56x－480＝－(x－35)2＋500．
∵－＜0，20＜x≤30，
∴当x＝30时，W最大＝－(30－35)2＋500＝480．
∵500＞480，
∴当x＝15时，w取得最大值，该最大值为500．
答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．
x/天
y/kg
O
80
60
40
20
5
10
15
20
25
30