2021--2022学年人教版九年级数学上册24.1 圆的有关性质 同步培优 （Word版含答案）

人教版九年级上册 24.1 圆的有关性质 同步培优
一、选择题
1. 如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(　　)
A. 40°　　　　　　B. 45°　　　　　　C. 50°　　　　　　D. 60°
2. 下列语句中不正确的有(　　)
①过圆上一点可以作圆中最长的弦无数条；②长度相等的弧是等弧；③圆上的点到圆心的距离都相等；④在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 如图所示，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，CD⊥AB.若∠DAB＝65°，则∠BOC等于(　　)
A．25° B．50°
C．130° D．155°
4. 2019·赤峰 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
5. 2019·滨州如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点．若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为(　　)
A．60° B．50° C．40° D．20°
　　　
6. 如图，在⊙O中，如果＝2，那么(　　)
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC
7. 如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是(　　)
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
8. 如图，⊙O的半径为8 cm，把劣弧AB沿AB折叠，使劣弧AB经过圆心O，再把劣弧CD沿CD折叠，使劣弧CD经过AB的中点E，则折痕CD的长为(　　)
A．8 cm B．8 cm C．2 cm D．4 cm
二、填空题
9. 如图所示，AB为☉O的直径，点C在☉O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD=　　　　度.
10. 如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB.若AB＝10，CD＝8，则圆心O到弦CD的距离为________．
11. 已知⊙O1与⊙O2的半径分别是r1，r2，且r1和r2是方程x2－ax＋＝0的两个根．若⊙O1与⊙O2是等圆，则a2021的值为________．
12. (2019 娄底)如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．
13. 如图所示，OB，OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点．若∠B＝20°，∠C＝30°，则∠A＝________°.
14. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________°.
15. 如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，则圆心P的坐标为________．
16. 如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．
三、解答题
17. 如图，△ABC的高AD，BF相交于点H，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E.求证：DH＝DE.
18. 如图，∠C＝90°，以AC为半径的⊙C与AB相交于点D.若AC＝3，BC＝4，求BD的长．
19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以BD为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.
(1)求证：∠1＝∠F；
(2)若AC＝4，EF＝2 ，求CD的长．
20. 2018·牡丹江 如图，在⊙O中，＝2，AD⊥OC于点D.求证：AB＝2AD.
21. 我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，事实上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．[弦心距是指从圆心到弦的距离(如图①中的OC，OC′的长)]
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决下列问题：
如图②，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边所在的直线分别交于点A，B和C，D.
(1)求证：AB＝CD.
(2)若角的顶点P在圆上或圆内，(1)中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
22. 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线AB上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点Q.在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有几个？请相应地求出∠OCP的度数．
23. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧ABC的中点．
(1)如图①，求证：OP∥BC；
(2)如图②，PC交AB于点D，当△ODC是等腰三角形时，求∠PAO的度数．
24. 如图，△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.
人教版九年级上册 24.1 圆的有关性质 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】A　【解析】∵OA＝OB，∠A＝50°，∴∠B＝50°，∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－50°＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB＝40°，故选A.
2. 【答案】B　[解析] ①②不正确．
3. 【答案】C　
4. 【答案】D
5. 【答案】B　[解析] 如图，连接AD.∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.∵∠A和∠BCD都是所对的圆周角，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°－40°＝50°.故选B.
6. 【答案】C　[解析] 取的中点D，则＝＝，所以AD＝BD＝AC，而AD＋BD＞AB，所以2AC＞AB.
7. 【答案】C　[解析] 设圆心为O，连接OA，OB，如图．
∵弦AB的长度等于圆半径的倍，
即AB＝OA，∴AB2＝2OA2.
∵OA＝OB，∴AB2＝OA2＋OB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴∠ASB＝∠AOB＝45°.故选C.
8. 【答案】D　[解析] 如图，作CD关于AB对称的弦C′D′，连接OE并延长，交CD于点F，交C′D′于点F′.由题意可得OF′⊥C′D′，且OF′＝×8＝6(cm)，所以C′F′＝＝ 2 cm，所以CD＝C′D′＝2C′F′＝4 cm.
二、填空题
9. 【答案】20　[解析]如图，连接DO，∵CO⊥AB，
∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，
∵OD=OC，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB，
∴∠BAD=20°.
10. 【答案】3
11. 【答案】1　[解析] ∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴r1＝r2.
∵r1和r2是方程x2－ax＋＝0的两个根，
∴r1r2＝，r1＋r2＝a，
∴r1＝r2＝，从而a＝1，∴a2021＝12021＝1.
12. 【答案】1
【解析】∵AB为直径，∴，∵，∴．
故答案为：1．
13. 【答案】50　[解析] 连接OA，则OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠B，∠OAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝∠B＋∠C＝20°＋30°＝50°.
14. 【答案】215　[解析] 连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°，∠DEC＝∠CAD＝35°，∴∠B＋∠AED＝(∠B＋∠AEC)＋∠DEC＝180°＋35°＝215°.
15. 【答案】(－4，－7)　[解析] 过点P作PH⊥MN于点H，连接PM，则MH＝MN＝3，OH＝OM＋MH＝7.由勾股定理，得PH＝4，∴圆心P的坐标为(－4，－7)．
16. 【答案】7 　[解析] 如图，连接OB，OC，BC，则BC的长即为PA＋PC的最小值．过点C作CH⊥AB于点H，则四边形EFCH为矩形，
∴CH＝EF，EH＝CF.根据垂径定理，得BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，
∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.
在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC＝7 ，则PA＋PC的最小值为7 .
三、解答题
17. 【答案】
证明：连接BE.
∵AD，BF是△ABC的高，
∴∠FBC＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，
∴∠FBC＝∠CAD.
∵∠CBE＝∠CAD，∴∠FBC＝∠CBE.
又∵BD＝BD，∠BDH＝∠BDE＝90°，
∴△BDH≌△BDE，∴DH＝DE.
18. 【答案】
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5.
如图，过点C作CE⊥AB于点E，则AD＝2AE.
∵CE＝＝，
∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝，
∴AD＝2AE＝2×＝，
∴BD＝AB－AD＝5－＝.
19. 【答案】
解：(1)证明：如图，连接DE.
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，即DE⊥AB.
又∵E是AB的中点，
∴AD＝BD，∴∠1＝∠B.
又∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F.
(2)∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2 ，
∴AB＝2AE＝4 .
在Rt△ABC中，∵AC＝4，∠C＝90°，
∴BC＝＝8.
设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，
∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，
解得x＝3，即CD＝3.
20. 【答案】
证明：如图，延长AD交⊙O于点E，
∵OC⊥AD，
∴＝2，AE＝2AD.
∵＝2，∴＝，
∴AB＝AE，∴AB＝2AD.
21. 【答案】
解：(1)证明：如图①，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N.
∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON，
∴AB＝CD.
(2)(1)中的结论还成立．
证明：当点P在⊙O上时，如图②，同(1)知OM＝ON，
∴AB＝CD；
当点P在⊙O内时，如图③，同(1)知OM＝ON，
∴AB＝CD.
22. 【答案】
解：在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个．
(1)如图①.
在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCQ.
在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.
又∵∠QPO＝∠OCQ＋∠AOC，且∠AOC＝30°，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，
∴3∠OCQ＝120°，
∴∠OCQ＝40°.
即∠OCP＝40°.
(2)如图②.
∵QO＝QP，
∴∠QPO＝∠QOP.
设∠QPO＝x，则∠OQC＝∠QPO＋∠QOP＝2x.又∵OC＝OQ，
∴∠OCQ＝∠OQC＝2x，
∴∠AOC＝∠OPC＋∠OCP＝x＋2x＝3x.
∵∠AOC＝30°，∴3x＝30°，解得x＝10°，
∴∠OCP＝2x＝20°.
(3)如图③.
∵QO＝QP，∴∠QOP＝∠QPO.
∵OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCQ.
设∠QPO＝y，则∠OQC＝∠OCQ＝∠QPO＋∠AOC＝y＋30°，
∴在△OPQ中，有y＋y＋y＋30°＝180°，解得y＝50°，
∴∠OCP＝180°－50°－30°＝100°.
综上所述，在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个，∠OCP的度数分别为40°，20°，100°.
23. 【答案】
解：(1)证明：如图①，连接PC.
∵＝，∴∠AOP＝∠COP.
在△AOP和△COP中，
∴△AOP≌△COP，∴∠APO＝∠CPO.
∵OA＝OP，∴∠APO＝∠OAP.
又∵∠PCB＝∠OAP，
∴∠CPO＝∠PCB，
∴OP∥BC.
(2)如图②，连接OP，AC.
∵＝，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠PAO＝∠PCO.
当DO＝DC时，设∠DCO＝x，
则∠DOC＝x，∠PAO＝x，
∴∠OPC＝∠OCP＝x，∠PDO＝2x.
∵∠PAO＝x，∴∠POD＝2∠PAO＝2x.
在△POD中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，
即∠PAO＝36°.
当CO＝CD时，设∠DCO＝x，
则∠OPC＝x，∠PAO＝x，
∴∠POD＝2x，
∴∠ODC＝∠POD＋∠OPC＝2x＋x＝3x.
∵CD＝CO，
∴∠DOC＝∠ODC＝3x.
在△POC中，x＋x＋5x＝180°，
解得x＝()，即∠PAO＝()°,)．
当OC＝OD时，B，D重合，不符合题意，舍去．
综上所述，∠PAO的度数为36°或()°,)．
24. 【答案】
证明：如图，取AB的中点O，连接OC，OD.
∵△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴OC，OD分别为Rt△ABC和Rt△ABD斜边上的中线，
∴OC＝OA＝OB，OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A，B，C，D四点在同一个圆上．