2021--2022学年人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆 同步培优（Word版含答案）

人教版九年级上册 24.3 正多边形和圆 同步培优
一、选择题
1. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　)
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
2. (2019 贵阳)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3. 2019·安徽月考 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是(　　)
A．AE∥BF B．AF∥CD
C．DF＝AF D．AB＝BF
4. 正方形ABCD与正八边形EFGHKLMN的边长相等，初始位置如图所示，将正方形绕点F顺时针旋转使得BC与FG重合，再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合……按这样的方式将正方形ABCD旋转2020次后，正方形ABCD中与正八边形EFGHKLMN的边重合的边是(　　)
A．AB B．BC C．CD D．DA
5. 如图，边长为3的正五边形ABCDE的顶点A，B在半径为3的圆O上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆O上时，点C转过的度数为(　　)
A．12° B．16° C．20° D．24°
6. 如图，将两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张纸片保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是(　　)
A．5∶2 B．3∶2 C．3∶1 D．2∶1
7. 如图0，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1.以点D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点；
2.连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．
乙：1.作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；
2.连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．　
对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都对 D．两人都不对
8. 已知正六边形的半径为r，则它的边长、边心距、面积分别为(　　)
A.r，r，r2 B．r，，2r2
C.r，r，r2 D．r，，r2
二、填空题
9. 一个圆内接正六边形的边长为2，那么这个正六边形的边心距为________．
10. 如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.
11. 如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸带宽为________．
12. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则所对的圆心角∠BOD的大小为________度．
13. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝________°.
　　　
14. (2019 海南)如图，与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为__________度．
15. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________°.
16. 如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是________．
17. 如图，AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰好是⊙O内接正n边形的一边，则n等于________．
18. 如图为一个半径为4 m的圆形场地，其中放有六个宽为1 m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在场地边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为__________m.
三、解答题
19. 如图，在正六边形ABCDEF中，点O是中心，AB＝10，求这个正六边形的半径、边心距、周长、面积．
20. 如图，P是⊙O上的一点．
(1)在⊙O上求作一点B，使PB是⊙O的内接正三角形的一边；
(2)在上求作一点A，使PA是⊙O的内接正方形的一边；
(3)连接OB，求∠AOB的度数；
(4)求作⊙O的内接正十二边形．
21. 如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五等分点，连接AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.
(1)计算∠CAD的度数；
(2)连接AE，求证：AE＝ME.
22. 如图2，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1) 求图①中∠MON的度数；
(2) 图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
人教版九年级上册 24.3 正多边形和圆 同步培优-答案
一、选择题
1. 【答案】A　[解析] ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．
故选A.
2. 【答案】A
【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD==120°，BC=CD，
∴∠CBD=(180°-120°)=30°，故选A．
3. 【答案】C
4. 【答案】A　[解析] 由题意可得正方形每旋转8次则回到原来的位置．
∵2020÷8＝252……4，
∴正方形ABCD旋转2020次后，AB与正八边形EFGHKLMN的边重合．
5. 【答案】A　[解析] 设点E第一次落在圆上时的对应点为E′，连接OA，OB，OE′，如图．
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB＝108°.
∵正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，点E第一次落在圆O上的点E′处，
∴AE′＝AE＝3.
∵OA＝AB＝OB＝OE′＝3，
∴△OAE′，△OAB都为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OAE′＝60°，
∴∠E′AB＝120°，
∴∠EAE′＝12°，
∴当点E第一次落在圆O上时，点C转过的度数为12°.
6. 【答案】C　[解析] 正六边形的面积＝6××(2a)2＝6 a2，阴影部分的面积＝a·2 a＝2 a2，
∴空白部分与阴影部分的面积之比是＝6 a2∶2 a2＝3∶1.
7. 【答案】C　[解析] 由甲的作法可知连接OB，BD，OC，CD后，OB＝BD＝OD＝OC＝CD，所以△BOD和△COD都是等边三角形，四边形OBDC是菱形，所以∠BOC＝120°，则∠BAC＝60°.因为四边形OBDC是菱形，所以AD⊥BC，AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以他的作法是正确的．由乙的作法可知∠BOC＝120°，所以∠BAC＝60°.又因为AD⊥BC，所以AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以他的作法是正确的．故选C.
8. 【答案】D
二、填空题
9. 【答案】
10. 【答案】25　【解析】 如解图，取圆心为O，连接OA、OC，OC交AB于点D，则OC⊥AB.设⊙O 的半径为r，则OA＝OC＝r，又∵CD＝10，∴OD＝r－10，∵AB＝40，OC⊥AB，∴AD＝20.在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25，即脸盆的半径为25 cm.
　　　　
11. 【答案】　[解析] 边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度为.
12. 【答案】144　[解析] ∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，∴OB⊥AB，OD⊥DE.∵正五边形每个内角均为108°，
∴∠BOD＝∠C＋∠OBC＋∠ODC＝108°×3－90°×2＝144°.
13. 【答案】125　【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(70°＋40°)＝55°.∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.
14. 【答案】144
【解析】五边形ABCDE是正五边形，∴．
∵AB、DE与相切，∴，
∴，故答案为：144．
15. 【答案】48　[解析] 连接AO，则有∠AOM＝×360°＝120°，∠AOB＝×360°＝72°，
∴∠BOM＝∠AOM－∠AOB＝120°－72°＝48°.
16. 【答案】8＋8 　[解析] 易证四边形ABCD是正方形．
由题意可得AD＝2＋×2＝2＋2 ，
∴四边形ABCD的周长是4×(2＋2 )＝8＋8 .
故答案为8＋8 .
17. 【答案】12　[解析] 连接OA，OB，OC，如图．
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOB＝90°，∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝30°，∴n＝＝12，即BC恰好是⊙O内接正十二边形的一边．
18. 【答案】　[解析] 设圆心是O，连接OA，OB，过点O作OC⊥BC于点C，交AD于点D.设长方形摊位的长是2x m．在Rt△OAD中，∠AOD＝30°，AD＝x m，则OD＝x m.
在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC＝ m.
∵OC－OD＝CD＝1 m，
∴＝x＋1，
解得x＝(负值已舍去)，
则2x＝，
∴长方形摊位的长为 m.
三、解答题
19. 【答案】
解：连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于点H.∵正六边形的中心角为＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，
∴半径R＝OB＝BC＝AB＝10.∵OH⊥BC，∴∠BOH＝30°，∴BH＝OB＝5.
在Rt△OBH中，边心距r＝OH＝＝5 ，周长l＝6AB＝6×10＝60.
∵S△OBC＝BC·OH＝×10×5 ＝25 ，
∴正六边形的面积S＝6S△OBC＝6×25 ＝150 .
20. 【答案】
解：(1)如图①，以点P为圆心，OP长为半径画圆弧交⊙O于点M，再以点M为圆心，OM长为半径画圆弧交⊙O于点B，连接PB，则PB即为所求．
(2)如图①，作直径PH，再过圆心作直径PH的垂线交于点A，连接PA，则PA即为所求．
(3)∵PA是⊙O的内接正方形的一边，
∴∠AOP＝90°.
∵PB是⊙O的内接正三角形的一边，
∴∠BOP＝120°，∴∠AOB＝30°.
(4)如图②，以点P为圆心，OP长为半径在⊙O上依次截取5个点，这5个点连同点P是⊙O的六等分点，再作各弧的中点，顺次连接12个点，得到⊙O的内接正十二边形．
21. 【答案】
解：(1)∵A，B，C，D，E是⊙O上的五等分点，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CAD＝∠COD＝36°.
(2)证明：∵A，B，C，D，E是⊙O上的五等分点，∴＝＝＝＝，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠CAD＝36°，
∴∠MAE＝72°，
∴∠AME＝180°－∠MAE－∠AEB＝72°＝∠MAE，∴AE＝ME.
22. 【答案】
解：(1)方法一：连接OB，OC.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
方法二：连接OA，OB.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，∴AM＝BN.
又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，
∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.
(2)90°　72°
(3)∠MON＝°.