第十二章《轴对称》学案
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文档简介
12.1轴对称学案（第一课时）
学习目标：
１、通过丰富的实例认识轴对称图形,并能找出轴对称图形的对称轴.
２、理解轴对称图形、关于轴对称这两个概念的区别和联系，进一步发展对图形的分析、判断、归纳能力。
重点：轴对称的有关概念.
难点：两个概念的区别和联系 .
一、自我感知：
面对生活中美丽的图片，你是否强烈地感受到美就在我们身边！这是一种怎样的美呢?请你谈谈你的感想？
二、合作探究
（一）实验一： 观察下列图形有什么特点？
请你想一想：你能将上图中的每一个图形沿某条直线对折，使直线两旁的部分完全重合吗？
（二）实验二：跟我学剪纸
1.准备一张纸并对折纸 2.展开你的想象力，在纸上画出你想要画的图案
3.沿线条剪下 4.把纸张开 5.向同组的同学展示你的作品
（三）通过以上两个实验，能不能给具有这样特征的图形命名呢？
如果一个图形 ，直线 部分能够互相重合，这个图形就叫做 ，这条直线就是它的 ，这时，我们也说这个图形 。
（四）试试看：
1、下面这些图形是不是轴对称图形？为什么？
2、画出“实验一”中四个图形的对称轴。
3、你学过的几何图形中有轴对称图形吗？举例说明，并说出它们的对称轴。
(五) 观察:下面的每对图形有什么共同特点?
每一组里，左边的图形沿直线对折后与右边的图形完全重合吗？
结论：像这样，把 沿着 翻折过去，如果它能够与 重合，那么就说这 ， 我们把这条直线叫做它们的 ，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做 ．
（六）比较归纳：
轴对称图形
两个图形成轴对称
区别
＿个图形
＿个图形
联系
１．沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够＿＿＿＿．
２．都有＿＿＿＿．
３．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线＿＿＿；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是＿＿＿＿．
（七）随堂练习
判断：1、正方形只有两条对称轴（ ）2、半圆有无数条对称轴（ ）
选择： 1、 有( )条对称轴。 A. 5 B. 10 C. 1
2、下面汉字( )是轴对称图形。 A.字 B.小 C.日
3、长方形有（ ）条对称轴。 A. 1 B. 2 C. 3
4、下面的数字( )是轴对称图形。A. 3 B. 9 C. 7
课本30，31页的练习；习题12。1第1、2题
（八）学习反馈（自我测试）
1、下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
2、下列英文字母属于轴对称图形的是（ ）
A、N B、S C、L D、E
3、下列各时刻是轴对称图形的为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、等腰三角形的对称轴有（ ）
A、1条 B、3条 C、1条或3条 D、无数条
5、操作题:（画出下面图形的对称轴）
（九）学习体会：本节课我学会了什么，说出来与大家一起分享
12．1 轴对称学案（第二课时）
学习目标
1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．
2．探究线段垂直平分线的性质．
学习重点
1．轴对称的性质．
2．线段垂直平分线的性质．
学习难点：体验轴对称的特征．
一、学前准备
1、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
2、如图，△ABC与△A′B′C′关于直线对称，则∠B的度数为 .
3、 如图，AB=BD，AC=DC，点E在AC上。
求证：EA=ED
二、合作探究
思考．如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
————————————————叫做这条线段的垂直平分线．
画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．
归纳图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是___________________________．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
下面我们来探究线段垂直平分线的性质．
[探究1]
如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？
线段垂直平分线的性质：
能用我们已有的知识来证明这个结论吗？
[探究2]
如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
探究的结论：
你能证明这个结论吗？
线段的垂直平分线可以看成是与线段 所有点的集合．
三、课堂练习
1．轴对称是指____个图形的位置关系；轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形．
2．设A、B两点关于直线MN对称，则______垂直平分________．
3、在下列说法中，正确的是（ ）
??? A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
4．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
5．如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
四、学习反馈（自我测试）
1、已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB= ．
2．点Ｐ到△ABC三边的距离相等，则点P是（ ）的交点。
A、中线 B、高线 C、角平分线 D、垂直平分线
3．△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。
五、学习体会
通过本节课的学习，你有什么收获？存在什么困惑？
12.1轴对称学案（第三课时）
学习目标：1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴
2、作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图、
学习重点：作出轴对称图形的对称轴
学习难点：在自己的动手画图中体验轴对称的性质及线段垂直平分线的性质
一、学前准备
1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 所连
的 线
2、下列图形中对称轴最多的是( )
A：等腰三角形 B：正方形 C：圆 D：线段
二、合作探究
（一）思考：教材P34思考
归纳：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 ，作出连接它们的
的 线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（二）自主学习
1、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，
你能作出这条直线吗?
2、请你画出线段AB的垂直平分线。（你能利尺规作图画出来吗？）
3、如图，在五角星上作出一条对称轴
三、课堂练习
1、画出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的对称轴一样吗?
2、如图，角是轴对称图形吗?如果是，画出它的对称轴
3、如图，与图形A成轴对称的是哪个图形?画出它们的对称轴
4、如图，要在公路边上建一个公交车站M，使A、B两地到M的距离相等。请你找出M的位置。
5、如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半
五、学习反馈（自我测试）
1、如图是我国几家银行的标志，在这几个图案中是轴对称图形的有（??? ）
??? A．1个??? B．2个??? C．3个?? ? D．4个
2、在下图中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等。
3、在下图，某地由于居民增多，要建一个公共汽车站，B为居民区，
要求汽车站到两个居民区的距离相等，请找出汽车站应该建在什么地方？
六、学习体会：通过本节课的学习，你有什么收获？存在什么困惑？第2题 第3题
12．2.1作轴对称图形学案（第一课时）
学习目标：1、能够作轴对称图形。
2、能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。
学习重点：作轴对称图形。
学习难点：用轴对称知识解决相应的数学问题。
一、学前准备
1、如果一个图形沿着一条 折叠，直线两旁的部分能 ，这个图形就叫做轴对称图形， 就是它的对称轴。
2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做 ，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做 ．
3、作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 ，作出连接它们的
的 线，就可以得到这两个图形的对称轴．
二、合作探究
（一）探究轴对称前后两个图形的性质
1、阅读教材P39的四辐图
2、操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
3、归纳：（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的 、 完全相同。
（2）新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的 点。
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴
三、自主学习
作轴对称图形
例1、如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
课堂练习
把下列图形补成关于L对称的图形。
自主探究：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
四、课堂练习：
如图：A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，
为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送
到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠
道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）
五、学习反馈（自我测试）
1、在平面镜里看到背后墙上,电子钟示数如图1所示，
这时的实际时间应该是__
2、作出下面图形关于直线l的轴对称图形。
3、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
六、学习体会：通过本节课的学习，你有什么收获？存在什么困惑？
12.2.2用坐标表示轴对称学案
学习目标：
1、能在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点。
2、用坐标表示坐标轴对称的点的坐标。3、找对称点的坐标之间的关系、规律。
重点： 用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标。
难点：利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点。
一、学课准备
在右图中找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小。
二、合作探究
1、见教材P43思考
2、自主学习课本43页的内容，在直角坐标系中画出A、B、C、D、E这些点关于x轴与y轴的对称点。并在表格内写出关于x轴与y轴的对称点的坐标，仔细观察点的坐标，你能发现对称点的横坐标和纵坐标分别有什么样的关系吗？
3、用坐标表示轴对称
（1）关于坐标轴对称的点的坐标
①点P（X，Y）关于X轴对称的点的坐标为__________。
②点P（X，Y）关于Y轴对称的点的坐标为__________。
（2）关于坐标原点对称的点的坐标
点P（X，Y）关于坐标原点的对称点为_____________。
归纳：若点关于X轴对称，则__________不变，纵坐标互为_________；关于Y轴对称，则_________不变，__________互为相反数；关于原点对称，横坐标互为___________，纵坐标也___________。
三、课堂检测（一）
1.口答：
（1）.（３，６）关于x轴的对称点是什么?
（2）.（－３．－５）关于y轴的对称点是什么？
２.根据下列点的坐标的变化情况，判断它们是关于x轴对称，还是关于y轴对称。
⑴ （－１，0）→（１，0）； ⑵ （－５，－４）→（－５，４）；
⑶ （３，４）→（－３，４）； ⑷ （2，5）→（-2，5）→（－2,－5）。
3、在直角坐标系中，点P（2，1）关于X轴对称的点的坐标是（ ）
A （2，1） B（-2，1） C （2，-1） D（-2，-1）
4、已知点A（2，y）与点B（x，-3）关于Y轴对称，则xy=___________。
四、自主学习（课本44页）
1．四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1）、B（－2，1）、 C（－2，5）、
D（－5，4）。
写出 A、B、C、D四个点关于y轴对称的点的坐标： A′(___，___)， B′(___,___)，
C′(___,___)， D′(___,___)，并画出四边形ABCD关于y轴对称的图形。
（2）画出四边形ABCD关于x轴对称的图形。
五、课堂检测（二）
1、下图中，四边形ABCD的顶点坐标为A（—5，1），B（—1，1）， C（—1，6），
D（—5，4），请作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出坐标。
第1题 第2题
2、如图：利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形。
六、学习反馈（自我测试）
1、点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A：（－1，－2） B：（－1，2） C：（1，－2） D：（2，－1）
2、点E（a,－5）与点F（－2,b）关于y轴对称，则a= ，b= ；
3、点E（a,－5）与点F（－2,b）关于原点对称，则a= ，b= ；
4、 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出与关于轴对称的；
（2）将向下平移3个单位长度，画出平移后的．
七、归纳总结：通过本节课的学习，你有什么收获？存在什么困惑？
12.3.1等腰三角形（第一课时）学案
学习目标：1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质
2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题
学习重点：等腰三角形的性质
学习难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用
一、学前准备
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ）
A、圆 B、长方形 C、线段 D、三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？答：
3、有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，另一边叫
两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫
4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称
二、合作探究
等腰三角形的性质
1、探究：教材P49
把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表
2、归纳等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个 相等（简写成“ ”）
性质2 等腰三角形 、 、 互相
重合（简写 ）.
3、证明以上性质：
三、自主学习
典型例题
在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求△ABC各角的度数．
（三）课堂练习
1、根据等腰三角形性质定理在△ABC中， AB=AC时，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
4、教材51练习第1题，第2题（完成于书上）
三、学习反馈（自我测试）
1、（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是
（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是
2、如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC的度数= 。
3、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
第3题 第2题
4、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE
四、学习体会：
等腰三角形的性质；在等腰三角形中, ① 顶角+2×底角 =180°② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90°
12.3.1等腰三角形的判定学案（第二课时）
学习目标：?1.理解并掌握等腰三角形的判定定理；
2. 应用等腰三角形的判定定理解决实际问题；
学习重点：等腰三角形的判定定理及其运用；
学习难点：等腰三角形判定定理的探索
一、学前准备
1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为
2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边长分别为
3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是
4、等腰三角形的一个角为120°，则另外两个角的度数是
5、如图，在⊿ABC中，AB=AC
若AD平分∠BAC，那么_________ 、____________
若BD=BC，那么_________ 、 ___________
若AD⊥BC，那么_________ 、 ___________
二、合作探究
1、自主完成课本51页“思考”小组交流
已知：⊿ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
2.归纳：等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有_________________，那么这两个角所对的____________.（简写成“____________”）.
三、自主学习
（1）例2、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形
已知：∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC，
求证：AB=AC．
（2）例3（自学课本例3，小组交流）
思考：已知底边和底边上的高，你能用尺规作图方法作出这个等腰三角形吗？
四、课堂练习
1、如图, ∠A=36°,∠DBC=36°, ∠C=72°.分别计算∠1，
∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形
2、如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，OA=OB.
求证:OC=OD
3. 如图,C表示灯塔,轮船从A处出发以每小时15海里的速度向
正北(AN方向)航行,2时后到达B处,测得C在A的北偏西40°
方向,并在B的北偏西80°方向，求B处到灯塔C的距离.
五、学习反馈（自我测试）
1、已知下列数据中，可以组成等腰三角形的是（ ）
A、2，2，5 B、1，1，4 C、3，3，4 D、4，4，9
2、如图，AD//BC，BD平分∠ABC.。求证AB=AD
3、如图，∠A=∠B，CE//DA，CE交AB于E。求证△CEB是等腰三角形。
六、学习体会：等腰三角形的性质；在等腰三角形中, ① 顶角+2×底角 =180°② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90°
12.3.2特殊的等腰三角形——等边三角形学案（第一课时）
学习目标：1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法
2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
学习重点：等边三角形判定定理的发现与证明
学习难点：等边三角形性质和判定的应用
一、学前准备
1、在△ABC中，若AB=AC，则 ；若∠B=∠C，则 。
2、在△ABC中，若AB=AC，AD是BC边上的高，则有
∠____=∠_____;____=____
二、合作探究
1、下图是一个等边三角形，你能给出等边三角形的定义吗？
定义：在等腰三角形中，有一类特殊的
三角形——___________的三角形，我们
把这样的三角形叫做等边三角形．
2、等边三角形的性质和判定方法
思考：
（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？
（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
（3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？
3、归纳：
（1）等边三角形的性质：等边三角形的
（2）等边三角形的判定：
三、自主学习
（1）例4、如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。求证△ADE是等边三角形。
（2）探究：等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。
四、课堂练习：
1.等边三角形的 相等， 相等。
2、等边三角形的对称轴有（ ）
（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条
3、下列四个说法中，不正确的有（ ）
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形。
(2)有两个角等于60°的三角形是等边三角形。
(3)有一个是60°的等腰三角形是等边三角形。
(4)等腰三角形是等边三角形。
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
3、教材P54练习第1、2题（完成于书上）
4、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，
求证：BE＝DC
五、学习反馈（自我测试）
1、△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是 三角形
2、如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线。求证：BE=BD。
3、如图，已知△ADC和△BCE均为等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N.
求证：⑴△ACE≌△DCB ⑵△CMN是等边三角形
六、学习体会：通过本节课的学习，你有什么收获？存在什么困惑？
12.3.2特殊的等腰三角形——等边三角形学案（第二课时）
学习目标：1、证明直角三角形中有一个角为30°的性质
2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
重点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
一、学前准备
1、等腰三角形的顶角为60°，则它的底角为 °，它是 三角形。
2、下列说法不正确的是( )
A、三条边都相等的三角形是等边三角形
B、三个角都相等的三角形是等边三角形
C、有一个角为60°的三角形是等边三角形 图（1）
D、等边三角形是特殊的等腰三角形
3、已知等边△ABC中，DE∥BC，则△ADE为（ ）
A、直角三角形 B、等边三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形
4、等边三角形的每一个外角都等于( )
A、60° B、90° C、120° D、180°
二、合作探究
（一）探究：有一个角为30°的直角三角形的性质
如图（2），将两个含有30°角的三角板摆放在一起形成一个等边三角形，观察这个图形，并填空。根据你的观察你能发现AB与AC边的关系吗？为什么？你能证明你的结论吗？
归纳：
直角三角形中30°角所对的 等于斜边的 ．
三、自主学习
例题：如图（3）是屋架设计图的一部分，
点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于
横梁AC，AB=8 m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多长？
图（3）
四、课堂练习
如图(4)，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，那么BC=
一辆汽车沿30°角的山坡从山底开到山
顶共走了4000米，那么这座山的高度是 米。
如图(5)，在△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，CD⊥AB，AB= 4，则BC= ，
∠BCD= ，BD= 。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，若c=10，则a=
5、如图，厂房屋顶架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角
∠BAC=100°，求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度？
五、学习反馈（自我测试）
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，CD=2，则BC= 。
在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DE垂直平分AC，垂足为D，交BC于E，DE= 4cm，则BC= 。
3、如图(6)，BC⊥AC，DE⊥AC，D是AB的中点，∠A=30°，
DE=1.8，则AD= ，AB= ，BC= 。
4、如下图，为了测量树高AB，小明在地面C处测得∠ACB=15°，
他沿CB向前走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，求树高AB。
六、学习体会：本节课学会了什么，说出来与大家一起分享
学习目标：
１、通过丰富的实例认识轴对称图形,并能找出轴对称图形的对称轴.
２、理解轴对称图形、关于轴对称这两个概念的区别和联系，进一步发展对图形的分析、判断、归纳能力。
重点：轴对称的有关概念.
难点：两个概念的区别和联系 .
一、自我感知：
面对生活中美丽的图片，你是否强烈地感受到美就在我们身边！这是一种怎样的美呢?请你谈谈你的感想？
二、合作探究
（一）实验一： 观察下列图形有什么特点？
请你想一想：你能将上图中的每一个图形沿某条直线对折，使直线两旁的部分完全重合吗？
（二）实验二：跟我学剪纸
1.准备一张纸并对折纸 2.展开你的想象力，在纸上画出你想要画的图案
3.沿线条剪下 4.把纸张开 5.向同组的同学展示你的作品
（三）通过以上两个实验，能不能给具有这样特征的图形命名呢？
如果一个图形 ，直线 部分能够互相重合，这个图形就叫做 ，这条直线就是它的 ，这时，我们也说这个图形 。
（四）试试看：
1、下面这些图形是不是轴对称图形？为什么？
2、画出“实验一”中四个图形的对称轴。
3、你学过的几何图形中有轴对称图形吗？举例说明，并说出它们的对称轴。
(五) 观察:下面的每对图形有什么共同特点?
每一组里，左边的图形沿直线对折后与右边的图形完全重合吗？
结论：像这样，把 沿着 翻折过去，如果它能够与 重合，那么就说这 ， 我们把这条直线叫做它们的 ，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做 ．
（六）比较归纳：
轴对称图形
两个图形成轴对称
区别
＿个图形
＿个图形
联系
１．沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够＿＿＿＿．
２．都有＿＿＿＿．
３．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线＿＿＿；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是＿＿＿＿．
（七）随堂练习
判断：1、正方形只有两条对称轴（ ）2、半圆有无数条对称轴（ ）
选择： 1、 有( )条对称轴。 A. 5 B. 10 C. 1
2、下面汉字( )是轴对称图形。 A.字 B.小 C.日
3、长方形有（ ）条对称轴。 A. 1 B. 2 C. 3
4、下面的数字( )是轴对称图形。A. 3 B. 9 C. 7
课本30，31页的练习；习题12。1第1、2题
（八）学习反馈（自我测试）
1、下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A B C D
2、下列英文字母属于轴对称图形的是（ ）
A、N B、S C、L D、E
3、下列各时刻是轴对称图形的为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、等腰三角形的对称轴有（ ）
A、1条 B、3条 C、1条或3条 D、无数条
5、操作题:（画出下面图形的对称轴）
（九）学习体会：本节课我学会了什么，说出来与大家一起分享
12．1 轴对称学案（第二课时）
学习目标
1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．
2．探究线段垂直平分线的性质．
学习重点
1．轴对称的性质．
2．线段垂直平分线的性质．
学习难点：体验轴对称的特征．
一、学前准备
1、下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
2、如图，△ABC与△A′B′C′关于直线对称，则∠B的度数为 .
3、 如图，AB=BD，AC=DC，点E在AC上。
求证：EA=ED
二、合作探究
思考．如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
————————————————叫做这条线段的垂直平分线．
画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．
归纳图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是___________________________．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
下面我们来探究线段垂直平分线的性质．
[探究1]
如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？
线段垂直平分线的性质：
能用我们已有的知识来证明这个结论吗？
[探究2]
如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？
探究的结论：
你能证明这个结论吗？
线段的垂直平分线可以看成是与线段 所有点的集合．
三、课堂练习
1．轴对称是指____个图形的位置关系；轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形．
2．设A、B两点关于直线MN对称，则______垂直平分________．
3、在下列说法中，正确的是（ ）
??? A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形
D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
4．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
5．如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
四、学习反馈（自我测试）
1、已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB= ．
2．点Ｐ到△ABC三边的距离相等，则点P是（ ）的交点。
A、中线 B、高线 C、角平分线 D、垂直平分线
3．△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。
五、学习体会
通过本节课的学习，你有什么收获？存在什么困惑？
12.1轴对称学案（第三课时）
学习目标：1、依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴
2、作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图、
学习重点：作出轴对称图形的对称轴
学习难点：在自己的动手画图中体验轴对称的性质及线段垂直平分线的性质
一、学前准备
1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 所连
的 线
2、下列图形中对称轴最多的是( )
A：等腰三角形 B：正方形 C：圆 D：线段
二、合作探究
（一）思考：教材P34思考
归纳：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 ，作出连接它们的
的 线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（二）自主学习
1、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，
你能作出这条直线吗?
2、请你画出线段AB的垂直平分线。（你能利尺规作图画出来吗？）
3、如图，在五角星上作出一条对称轴
三、课堂练习
1、画出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的对称轴一样吗?
2、如图，角是轴对称图形吗?如果是，画出它的对称轴
3、如图，与图形A成轴对称的是哪个图形?画出它们的对称轴
4、如图，要在公路边上建一个公交车站M，使A、B两地到M的距离相等。请你找出M的位置。
5、如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半
五、学习反馈（自我测试）
1、如图是我国几家银行的标志，在这几个图案中是轴对称图形的有（??? ）
??? A．1个??? B．2个??? C．3个?? ? D．4个
2、在下图中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等。
3、在下图，某地由于居民增多，要建一个公共汽车站，B为居民区，
要求汽车站到两个居民区的距离相等，请找出汽车站应该建在什么地方？
六、学习体会：通过本节课的学习，你有什么收获？存在什么困惑？第2题 第3题
12．2.1作轴对称图形学案（第一课时）
学习目标：1、能够作轴对称图形。
2、能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。
学习重点：作轴对称图形。
学习难点：用轴对称知识解决相应的数学问题。
一、学前准备
1、如果一个图形沿着一条 折叠，直线两旁的部分能 ，这个图形就叫做轴对称图形， 就是它的对称轴。
2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做 ，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做 ．
3、作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 ，作出连接它们的
的 线，就可以得到这两个图形的对称轴．
二、合作探究
（一）探究轴对称前后两个图形的性质
1、阅读教材P39的四辐图
2、操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
3、归纳：（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的 、 完全相同。
（2）新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的 点。
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴
三、自主学习
作轴对称图形
例1、如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
课堂练习
把下列图形补成关于L对称的图形。
自主探究：要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
四、课堂练习：
如图：A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，
为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送
到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠
道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）
五、学习反馈（自我测试）
1、在平面镜里看到背后墙上,电子钟示数如图1所示，
这时的实际时间应该是__
2、作出下面图形关于直线l的轴对称图形。
3、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
六、学习体会：通过本节课的学习，你有什么收获？存在什么困惑？
12.2.2用坐标表示轴对称学案
学习目标：
1、能在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点。
2、用坐标表示坐标轴对称的点的坐标。3、找对称点的坐标之间的关系、规律。
重点： 用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标。
难点：利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点。
一、学课准备
在右图中找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小。
二、合作探究
1、见教材P43思考
2、自主学习课本43页的内容，在直角坐标系中画出A、B、C、D、E这些点关于x轴与y轴的对称点。并在表格内写出关于x轴与y轴的对称点的坐标，仔细观察点的坐标，你能发现对称点的横坐标和纵坐标分别有什么样的关系吗？
3、用坐标表示轴对称
（1）关于坐标轴对称的点的坐标
①点P（X，Y）关于X轴对称的点的坐标为__________。
②点P（X，Y）关于Y轴对称的点的坐标为__________。
（2）关于坐标原点对称的点的坐标
点P（X，Y）关于坐标原点的对称点为_____________。
归纳：若点关于X轴对称，则__________不变，纵坐标互为_________；关于Y轴对称，则_________不变，__________互为相反数；关于原点对称，横坐标互为___________，纵坐标也___________。
三、课堂检测（一）
1.口答：
（1）.（３，６）关于x轴的对称点是什么?
（2）.（－３．－５）关于y轴的对称点是什么？
２.根据下列点的坐标的变化情况，判断它们是关于x轴对称，还是关于y轴对称。
⑴ （－１，0）→（１，0）； ⑵ （－５，－４）→（－５，４）；
⑶ （３，４）→（－３，４）； ⑷ （2，5）→（-2，5）→（－2,－5）。
3、在直角坐标系中，点P（2，1）关于X轴对称的点的坐标是（ ）
A （2，1） B（-2，1） C （2，-1） D（-2，-1）
4、已知点A（2，y）与点B（x，-3）关于Y轴对称，则xy=___________。
四、自主学习（课本44页）
1．四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1）、B（－2，1）、 C（－2，5）、
D（－5，4）。
写出 A、B、C、D四个点关于y轴对称的点的坐标： A′(___，___)， B′(___,___)，
C′(___,___)， D′(___,___)，并画出四边形ABCD关于y轴对称的图形。
（2）画出四边形ABCD关于x轴对称的图形。
五、课堂检测（二）
1、下图中，四边形ABCD的顶点坐标为A（—5，1），B（—1，1）， C（—1，6），
D（—5，4），请作出四边形ABCD关于x轴及y轴的对称图形，并写出坐标。
第1题 第2题
2、如图：利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形。
六、学习反馈（自我测试）
1、点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A：（－1，－2） B：（－1，2） C：（1，－2） D：（2，－1）
2、点E（a,－5）与点F（－2,b）关于y轴对称，则a= ，b= ；
3、点E（a,－5）与点F（－2,b）关于原点对称，则a= ，b= ；
4、 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出与关于轴对称的；
（2）将向下平移3个单位长度，画出平移后的．
七、归纳总结：通过本节课的学习，你有什么收获？存在什么困惑？
12.3.1等腰三角形（第一课时）学案
学习目标：1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质
2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题
学习重点：等腰三角形的性质
学习难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用
一、学前准备
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ）
A、圆 B、长方形 C、线段 D、三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？答：
3、有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，另一边叫
两腰的夹角叫 ，腰和底边的夹角叫
4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称
二、合作探究
等腰三角形的性质
1、探究：教材P49
把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表
2、归纳等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个 相等（简写成“ ”）
性质2 等腰三角形 、 、 互相
重合（简写 ）.
3、证明以上性质：
三、自主学习
典型例题
在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求△ABC各角的度数．
（三）课堂练习
1、根据等腰三角形性质定理在△ABC中， AB=AC时，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
4、教材51练习第1题，第2题（完成于书上）
三、学习反馈（自我测试）
1、（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是
（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是
2、如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC的度数= 。
3、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．
第3题 第2题
4、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE
四、学习体会：
等腰三角形的性质；在等腰三角形中, ① 顶角+2×底角 =180°② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90°
12.3.1等腰三角形的判定学案（第二课时）
学习目标：?1.理解并掌握等腰三角形的判定定理；
2. 应用等腰三角形的判定定理解决实际问题；
学习重点：等腰三角形的判定定理及其运用；
学习难点：等腰三角形判定定理的探索
一、学前准备
1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为
2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边长分别为
3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是
4、等腰三角形的一个角为120°，则另外两个角的度数是
5、如图，在⊿ABC中，AB=AC
若AD平分∠BAC，那么_________ 、____________
若BD=BC，那么_________ 、 ___________
若AD⊥BC，那么_________ 、 ___________
二、合作探究
1、自主完成课本51页“思考”小组交流
已知：⊿ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
2.归纳：等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有_________________，那么这两个角所对的____________.（简写成“____________”）.
三、自主学习
（1）例2、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形
已知：∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC，
求证：AB=AC．
（2）例3（自学课本例3，小组交流）
思考：已知底边和底边上的高，你能用尺规作图方法作出这个等腰三角形吗？
四、课堂练习
1、如图, ∠A=36°,∠DBC=36°, ∠C=72°.分别计算∠1，
∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形
2、如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，OA=OB.
求证:OC=OD
3. 如图,C表示灯塔,轮船从A处出发以每小时15海里的速度向
正北(AN方向)航行,2时后到达B处,测得C在A的北偏西40°
方向,并在B的北偏西80°方向，求B处到灯塔C的距离.
五、学习反馈（自我测试）
1、已知下列数据中，可以组成等腰三角形的是（ ）
A、2，2，5 B、1，1，4 C、3，3，4 D、4，4，9
2、如图，AD//BC，BD平分∠ABC.。求证AB=AD
3、如图，∠A=∠B，CE//DA，CE交AB于E。求证△CEB是等腰三角形。
六、学习体会：等腰三角形的性质；在等腰三角形中, ① 顶角+2×底角 =180°② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90°
12.3.2特殊的等腰三角形——等边三角形学案（第一课时）
学习目标：1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法
2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
学习重点：等边三角形判定定理的发现与证明
学习难点：等边三角形性质和判定的应用
一、学前准备
1、在△ABC中，若AB=AC，则 ；若∠B=∠C，则 。
2、在△ABC中，若AB=AC，AD是BC边上的高，则有
∠____=∠_____;____=____
二、合作探究
1、下图是一个等边三角形，你能给出等边三角形的定义吗？
定义：在等腰三角形中，有一类特殊的
三角形——___________的三角形，我们
把这样的三角形叫做等边三角形．
2、等边三角形的性质和判定方法
思考：
（1）把等腰三角形的性质（等腰三角形的两个底角相等）用到等边三角形，能得到什么结论？
（2）一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
（3）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？
3、归纳：
（1）等边三角形的性质：等边三角形的
（2）等边三角形的判定：
三、自主学习
（1）例4、如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于D，E。求证△ADE是等边三角形。
（2）探究：等边三角形三条中线相交于一点。画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。
四、课堂练习：
1.等边三角形的 相等， 相等。
2、等边三角形的对称轴有（ ）
（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条
3、下列四个说法中，不正确的有（ ）
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形。
(2)有两个角等于60°的三角形是等边三角形。
(3)有一个是60°的等腰三角形是等边三角形。
(4)等腰三角形是等边三角形。
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
3、教材P54练习第1、2题（完成于书上）
4、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，
求证：BE＝DC
五、学习反馈（自我测试）
1、△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是 三角形
2、如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线。求证：BE=BD。
3、如图，已知△ADC和△BCE均为等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N.
求证：⑴△ACE≌△DCB ⑵△CMN是等边三角形
六、学习体会：通过本节课的学习，你有什么收获？存在什么困惑？
12.3.2特殊的等腰三角形——等边三角形学案（第二课时）
学习目标：1、证明直角三角形中有一个角为30°的性质
2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
重点：含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
一、学前准备
1、等腰三角形的顶角为60°，则它的底角为 °，它是 三角形。
2、下列说法不正确的是( )
A、三条边都相等的三角形是等边三角形
B、三个角都相等的三角形是等边三角形
C、有一个角为60°的三角形是等边三角形 图（1）
D、等边三角形是特殊的等腰三角形
3、已知等边△ABC中，DE∥BC，则△ADE为（ ）
A、直角三角形 B、等边三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形
4、等边三角形的每一个外角都等于( )
A、60° B、90° C、120° D、180°
二、合作探究
（一）探究：有一个角为30°的直角三角形的性质
如图（2），将两个含有30°角的三角板摆放在一起形成一个等边三角形，观察这个图形，并填空。根据你的观察你能发现AB与AC边的关系吗？为什么？你能证明你的结论吗？
归纳：
直角三角形中30°角所对的 等于斜边的 ．
三、自主学习
例题：如图（3）是屋架设计图的一部分，
点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于
横梁AC，AB=8 m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多长？
图（3）
四、课堂练习
如图(4)，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，那么BC=
一辆汽车沿30°角的山坡从山底开到山
顶共走了4000米，那么这座山的高度是 米。
如图(5)，在△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，CD⊥AB，AB= 4，则BC= ，
∠BCD= ，BD= 。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，若c=10，则a=
5、如图，厂房屋顶架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角
∠BAC=100°，求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度？
五、学习反馈（自我测试）
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，CD=2，则BC= 。
在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DE垂直平分AC，垂足为D，交BC于E，DE= 4cm，则BC= 。
3、如图(6)，BC⊥AC，DE⊥AC，D是AB的中点，∠A=30°，
DE=1.8，则AD= ，AB= ，BC= 。
4、如下图，为了测量树高AB，小明在地面C处测得∠ACB=15°，
他沿CB向前走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，求树高AB。
六、学习体会：本节课学会了什么，说出来与大家一起分享
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