2021-2022七年级下册第五章 生活中的轴对称轴对称图形3—角平分线 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
北师版七年级下册数学
3 简单的轴对称图形
第五章 生活中的轴对称
角平分线的性质
1.通过验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理。（重点）
2.能用尺规作图作已知角的角平分线。
3.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题。（难点）
学习目标
直线a,b,c表示三条相交叉的公路若在三条公路围成的区域内修建一处加油站,使加油站到三条公路a,b,c的距离相等,则加油站点P应建在何处？
a
b
c
A
B
C
一、创设情境，导入新课
P
二、探究新知1
问题1：请在纸上画一个角并剪下这个角，然后将其对折，你会发现什么？
这个角是一个轴对称图形，折痕所在的直线就是这个角的对称轴 。
C
结论：
角是轴对称图形
对称轴是角平分线所在的直线
A
B
O
二、探究新知1
问题2：通过这个角是轴对称图形，你还能得出什么结论？
对称轴将这个角分成了两个相等的角，对称轴就是这个角的角平分线所在直线.
问题3：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
二、探究新知1
不能，
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线。
A
B
C
(E)
D
(1)在射线OA，OB上分别截取OM，ON，使OM＝ON；
(2)分别以M，N为圆心，以大于MN一半的长为半径
作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
(3)作射线OC .
射线OC即所要求作的∠AOB的角平分线 .
如图所示，已知∠AOB，
求作：射线OC，使OC平分∠AOB .
作法：
A
O
B
M
N
C
二、探究新知1
问题4：根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
解：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
D
B
C
二、探究新知1
1.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A.SSS B.角平分线上的点到角两边的距离相等
C.AAS D. ASA
A
B
M
N
C
O
A
二、探究新知1
练习
二、探究新知2
在∠AOB的平分线上任意找一个点P，过P分别向OA、OB画垂线段PD、PE
观察并猜测PD与PE的长
有什么关系？你能验证吗？
D
P
E
A
O
B
C
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
验证猜想
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
试说明：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
解：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °（垂直的定义）.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.（全等三角形的对应边相等）
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
二、探究新知2
角平分线的性质
B
A
D
O
P
E
C
性质应用所具备的条件：
性质的作用：
证明线段相等。
（1）角的平分线；
（2）点在角平分线上；
（3）垂直距离。
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
二、探究新知2
C
Ｄ
E
O
A
B
几何表达：
∵OC平分∠ AOB，
CD⊥OB, CE⊥OA
∴CD=CE
二、探究新知2
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
BD CD
（×）
判断
二、探究新知2
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
二、探究新知2
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
BD CD
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
BD
CD
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
二、探究新知2
例1 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D，E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
三、典例精析
A
B
C
P
例2：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P. 若PC＝4, AB=14. （1）点P到AB的距离为_______；
D
4
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
三、典例精析
A
B
C
P
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
D
（3）求 PDB的周长.
·AB·PD=28.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
=
三、典例精析
例3：如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间
的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
三、典例精析
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
a
b
c
A
B
Ｐ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
C
四、学以致用，服务生活
直线a,b,c表示三条相交叉的公路若在三条公路围成的区域内修建一处加油站,使加油站到三条公路a,b,c的距离相等,则加油站点P应建在何处？
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
两距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
五、课堂小结
谢谢聆听