2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念（第一课时） 课件（共20张ppt）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念（第一课时） 课件（共20张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-22 12:12:22 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
等差数列的概念
情境引入
我国有用12生肖纪年的习惯，例如：2021年是牛年，从2021年开始，牛年的年份为2021，2033，2045，2057，2069，2081....；这些年份有什么特点？
情境引入
圜丘坛为雕砌的三层露天圆台，坛面为艾叶青石，汉白玉栏板、栏柱雕成，两道外方里圆的围墙象征着"天圆地方"。由于是祭天坛，圜丘的整个结构是对数学的巧妙运用，坛面、台阶、栏杆的石制构件，都取九或九的倍数，即阳数，用以象征天。坛中心的圆形石板，叫天心石(亿兆景从石)，站在上面高喊或发出敲击声，周围即起回音，自己听起来声音很大，好似一呼百应。
新知探究
1. 围绕天心石的9圈扇环形石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
我们常通过运算来发现规律。你能通过运算发现数列①的取值规律吗？
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列①，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
新知探究
2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48.②
3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
25,24,23,22,21. ③
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=12n)元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为
ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,... ④
数列②-④是否也有这样的取值规律
新知探究
2
差
公差
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)
等差数列的递推公式
新知探究
练习1 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
（1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
（2） 3，3，3，3，3，3
（3） 3x，6x，9x，12x，15x
（4）95，82，69，56，43，30
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
（6） 1，－2，3，－4，5，－6
a1=3，公差 d=0 常数列
a1=3x 公差 d= 3x
×
a1=95 公差 d=－13
×
×
新知探究
练习2 判断题
（1）数列a，2a，3a，4a，…是等差数列 （ ）
（2）数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列（ ）
（3）若an－an+1=3 （n∈N*），则{an}是公差为3的等差数列（ ）
（4）若a2－a1=a3－a2， 则数列{an}是等差数列（ ）
若an－an-1=an+1－an （n≥2，n∈N*），则数列{an}是等差数列（ ）
若an－an-1=an+2－an+1 （n≥2，n∈N*），则数列{an}是等差数列（ ）
1，2，5，6，9，10,…
新知探究
练习3 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，（ ） ， 4
（2）-12，（ ） ，0
（3）a，( )，b
3
-6
新知探究
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项。
2. 等差中项
由等差数列的定义可知
… …
新知探究
求等差数列1，4，7，10，13，16，…的通项公式
新知探究
如果一个数列a1,a2,a3,...,an,...是等差数列，它的公差是d，求这个数列通项公式？
解：
n=1时亦适合
迭代法
新知探究
如果一个数列a1,a2,a3,...,an,...是等差数列，它的公差是d，求这个数列通项公式？
解：
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
an-an-1=d （n ≥ 2）
累加以上n-1个式子得
an-a1=（n-1）d
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+（n-1）d
累加法
首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为
练习4 求下列等差数列的通项公式
（1）9，18，27，36，45，54，63，72...
（2）38，40，42，44，46，48...
（3）25，24，23，22，21.
（1）an=9+（n－1）×9=9n
（2）an=38+（n－1）×2=2n+36
（3）an=25+（n－1）×（-1）=－n+26
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d
3. 等差数列的通项公式
a1 、an、n、d知三求一
新知探究
课堂巩固
例1.(1)已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n,
求{an}公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2....的第20项
分析：(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项
解：(2)由已知条件,得d=5－8=－3.
把a1=8,d=－3代入an=a1+(n－1)d,
得an=8－3(n－1)=11－3n.
把n=20代入上式，得a20=11－3×20=－49.
所以，这个数列的第20项是－49.
课堂巩固
例2.－401是不是等差数列 －5,－9,－13,…,的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5,d=－9－(－5)=－4,
所以数列的通项公式为an=－5－4(n－1)=－4n－1.
令－4n－1=－401,解得n=100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项。
课堂巩固
在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项与公差.
解：设数列的首项为a1与公差为d
由题意可知
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
归纳：在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n，知三求二
课堂巩固
P15课本练习4 已知在等差数列中,a4+a8=20,a7=12,求a4.
解：设数列的首项为a1与公差为d
由题意可知
∴这个等差数列的通项公式为an=0+(n-1)×2=2n－2
则a4=2×4－2=6
解得
课堂小结
从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
等差数列的定义
由三个数a,A,b组成的等差数列，A叫做a与b的等差中项。
等差中项
首项a1公差d，的等差数列{an}的通项公式为
通项公式
迭代法、累加法
通项公式的推导方法
P15 课本 练习 3、5
课后作业
等差数列的概念
情境引入
我国有用12生肖纪年的习惯，例如：2021年是牛年，从2021年开始，牛年的年份为2021，2033，2045，2057，2069，2081....；这些年份有什么特点？
情境引入
圜丘坛为雕砌的三层露天圆台，坛面为艾叶青石，汉白玉栏板、栏柱雕成，两道外方里圆的围墙象征着"天圆地方"。由于是祭天坛，圜丘的整个结构是对数学的巧妙运用，坛面、台阶、栏杆的石制构件，都取九或九的倍数，即阳数，用以象征天。坛中心的圆形石板，叫天心石(亿兆景从石)，站在上面高喊或发出敲击声，周围即起回音，自己听起来声音很大，好似一呼百应。
新知探究
1. 围绕天心石的9圈扇环形石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
我们常通过运算来发现规律。你能通过运算发现数列①的取值规律吗？
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列①，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
新知探究
2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48.②
3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
25,24,23,22,21. ③
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=12n)元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为
ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,... ④
数列②-④是否也有这样的取值规律
新知探究
2
差
公差
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)
等差数列的递推公式
新知探究
练习1 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
（1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
（2） 3，3，3，3，3，3
（3） 3x，6x，9x，12x，15x
（4）95，82，69，56，43，30
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
（6） 1，－2，3，－4，5，－6
a1=3，公差 d=0 常数列
a1=3x 公差 d= 3x
×
a1=95 公差 d=－13
×
×
新知探究
练习2 判断题
（1）数列a，2a，3a，4a，…是等差数列 （ ）
（2）数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列（ ）
（3）若an－an+1=3 （n∈N*），则{an}是公差为3的等差数列（ ）
（4）若a2－a1=a3－a2， 则数列{an}是等差数列（ ）
若an－an-1=an+1－an （n≥2，n∈N*），则数列{an}是等差数列（ ）
若an－an-1=an+2－an+1 （n≥2，n∈N*），则数列{an}是等差数列（ ）
1，2，5，6，9，10,…
新知探究
练习3 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，（ ） ， 4
（2）-12，（ ） ，0
（3）a，( )，b
3
-6
新知探究
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项。
2. 等差中项
由等差数列的定义可知
… …
新知探究
求等差数列1，4，7，10，13，16，…的通项公式
新知探究
如果一个数列a1,a2,a3,...,an,...是等差数列，它的公差是d，求这个数列通项公式？
解：
n=1时亦适合
迭代法
新知探究
如果一个数列a1,a2,a3,...,an,...是等差数列，它的公差是d，求这个数列通项公式？
解：
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
an-an-1=d （n ≥ 2）
累加以上n-1个式子得
an-a1=（n-1）d
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+（n-1）d
累加法
首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为
练习4 求下列等差数列的通项公式
（1）9，18，27，36，45，54，63，72...
（2）38，40，42，44，46，48...
（3）25，24，23，22，21.
（1）an=9+（n－1）×9=9n
（2）an=38+（n－1）×2=2n+36
（3）an=25+（n－1）×（-1）=－n+26
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d
3. 等差数列的通项公式
a1 、an、n、d知三求一
新知探究
课堂巩固
例1.(1)已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n,
求{an}公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2....的第20项
分析：(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项
解：(2)由已知条件,得d=5－8=－3.
把a1=8,d=－3代入an=a1+(n－1)d,
得an=8－3(n－1)=11－3n.
把n=20代入上式，得a20=11－3×20=－49.
所以，这个数列的第20项是－49.
课堂巩固
例2.－401是不是等差数列 －5,－9,－13,…,的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5,d=－9－(－5)=－4,
所以数列的通项公式为an=－5－4(n－1)=－4n－1.
令－4n－1=－401,解得n=100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项。
课堂巩固
在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项与公差.
解：设数列的首项为a1与公差为d
由题意可知
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
归纳：在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n，知三求二
课堂巩固
P15课本练习4 已知在等差数列中,a4+a8=20,a7=12,求a4.
解：设数列的首项为a1与公差为d
由题意可知
∴这个等差数列的通项公式为an=0+(n-1)×2=2n－2
则a4=2×4－2=6
解得
课堂小结
从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
等差数列的定义
由三个数a,A,b组成的等差数列，A叫做a与b的等差中项。
等差中项
首项a1公差d，的等差数列{an}的通项公式为
通项公式
迭代法、累加法
通项公式的推导方法
P15 课本 练习 3、5
课后作业