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26.2.3求二次函数解析式教学设计
课题 求二次函数解析式 单元 26 学科 数学 年级 九
学习 目标 1、使学生掌握用待定系数法求二次函数的解析式。 2、让学生体验二次函数关系式的应用，提高学生应用数学的意识。
重点 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的解析式。
难点 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的解析式。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、二次函数有那些形式？请你举例说明。 2、对于等式，当时，，当，，当时，，求、、的值。 3、思考：一个函数的图象经过（，）、（，）、（，）三点，求这个二次函数的解析式。 学生思考，回答问题 复习学习过的知识，为本节课所学知识做好铺垫.
讲授新课 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m，。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢 解：如图所示，以点O为原点，建立平面直角坐标系 可设轮廓线的函数解析式为 ∵ ∴点B的坐标为 将点B的坐标代入，得： ∴ ∴所求函数解析式为 根据这个函数解析式，即可画出模板的轮廓线 例1.已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 解：∵顶点坐标为 则设二次函数为 又∵图象过点(0，1) ∴ ∴ ∴ 即： 归纳总结： 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 例7、一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式. 解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， ∵ 函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点， 解得:a= , b=- c=1. ∴ 所求二次函数的表达式为 归纳总结： 一般式法求二次函数表达式的方法 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 学生独立思考后，结合题目回答 请同学们完成本题的解答；教师巡视、指导；教师给出解答过程. 请同学们完成本题的解答；教师巡视、指导；教师给出解答过程. 让学生在问题的解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系，会建立坐标系求解析式. 体会顶点式解析式的求法，并总结出解析式的求法. 体会一般式解析式的求法，并总结出解析式的求法.
课堂练习 1.一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的表达式为( ) A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3 C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3 2.若二次函数y＝x2＋bx＋5，配方后为y＝(x－3)2＋k，则b与k的值分别为( ) A．－6，－4 B．－6，4 C．6，4 D．6，－4 3．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 若输入的数是x时，输出的数是y，y是x的二次函数，则y与x的表达式为____________． 4.如图,二次函数的图象过A、B、C三点,点A的坐标为(－1，0),点B的坐标为(4，0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC,则这个二次函数的表达式 为 . 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)． (1)求A、C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围； (2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 求二次函数解析式 问题1、 例1、 例2、
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26.2.3求二次函数的表达式
华师大版 九年级下册
复习导入
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？
通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？
它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
如果要求二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的表达式，
又需要几个条件呢？
新知讲解
小贴士
如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m，施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢
新知讲解
解：如图所示，以点O为原点，建立平面直角坐标系
可设轮廓线的函数解析式为
∵
∴点B的坐标为
将点B的坐标代入，得：
∴
∴所求函数表达式为
根据这个函数解析式，即可画出模板的轮廓线.
典例精析
例6.一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
解：∵顶点坐标为
则设二次函数为
又∵图象过点(0，1)
∴
∴
∴
即：
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
练一练
已知二次函数的图象如图，求此函数的解析式。
解：∵顶点坐标为
则设二次函数为
又∵图象过原点
∴
∴
∴
即：
总结
设顶点式求二次函数的表达式，通常有以下三种情况：
①已知顶点坐标；
②已知对称轴或顶点的横坐标；
③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标．
典例精析
例7.一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.
解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵ 函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，
解得:a= , b=- c=1.
∴ 所求二次函数的表达式为
归纳总结
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
练一练
已知二次函数的图象经过点(－1,10),(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的关系式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
解: 设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c.
a=2，
∴
10=a-b+c，
7=4a+2b+c，
c=5.
解得
4=a+b+c
b=-3，
∴二次函数图象对称轴为直线 ，顶点坐标为 .
课堂练习
1.一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的表达式为( )
A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3
2.若二次函数y＝x2＋bx＋5，配方后为y＝(x－3)2＋k，则b与k的值分别为( )
A．－6，－4 B．－6，4 C．6，4 D．6，－4
B
A
课堂练习
3．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
若输入的数是x时，输出的数是y，y是x的二次函数，则y与x的表达式为____________．
y＝x2＋1
课堂练习
4.如图,二次函数的图象过A、B、C 三点,点A的坐标为(－1，0),点B的坐标为(4，0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC,则这个二次函数的表达式为 .
A
O
C
B
x
y
课堂练习
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)．
(1)求A、C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时，x的取值范围；
解：把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，
得0＝a＋4－3，解得a＝－1，
∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴A(2，1)，
∵对称轴为直线x＝2，点B、C关于直线x＝2对称，
∴C(3，0)，∴当y＞0时，1＜x＜3.
课堂练习
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
解：易知D(0，－3)，
∴点D平移到A，抛物线向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，可得抛物线的表达式为y＝－(x－4)2＋5.
作业布置
1.课本P24 习题 4,5
2.选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的关系式.
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
待定系数法
求二次函数解析式
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26.2.3求二次函数解析式导学案
课题 26.2.3求二次函数解析式 单元 26 学科 数学 年级 九年级
知识目标 1、使学生掌握用待定系数法求二次函数的解析式。 2、让学生体验二次函数关系式的应用，提高学生应用数学的意识。
重点难点 重点：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的解析式。 难点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的解析式。
教学过程
知识链接 1、二次函数有那些形式？请你举例说明。 2、对于等式，当时，，当，，当时，，求、、的值。
合作探究 一、教材第21页 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m，。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢 二、教材第22页 例1.已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 归纳总结：顶点法求二次函数的方法 三、教材第23页 例题、一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式. 归纳总结： 一般式法求二次函数表达式的方法
自主尝试 1．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ） A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3 2．抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为 A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2 3．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ） A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2 C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2 【方法宝典】 根据二次函数解析式的求法进行解题即可.
当堂检测 1．一个二次函数的图象的顶点坐标为，与轴的交点，这个二次函数的解析式是（ ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线的表达式是（ ） A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2 C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2 3．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（ ） A．y=x2+6x+3 B．y=﹣3x2﹣2x+3 C．y=2x2+8x+3 D．y=﹣x2+2x+3 4．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点则此抛物线对此函数的表达式为（ ） A． B． C． D． 5．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： 下列说法正确的是（ ） A．抛物线的开口向下 B．当x＞-3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是-2 D．抛物线的对称轴是x=- 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是( ) A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4 C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6 7．已知抛物线过点，，与轴交于点，且．则这条抛物线的解析式为（ ） A． B． C．或 D．或 8．二次函数当时有最大值为，且它的图象形状与相同，则该二次函数的解析式为________． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4 经过点A（﹣3，0），点 B 在抛物线上，CB∥x轴，且AB 平分∠CAO．则此抛物线的解析式是___________． 10．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是__． 11．已知边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其顶点A、B、C在图中的抛物线上，则此抛物线的解析式为______________________． 12．如图所示，直线交轴于，两点，交轴于点，若的坐标为，且的面积为，则抛物线的解析式为________． 13．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）用配方法求抛物线的顶点坐标． 14．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，3）. （1）求该函数的关系式； （2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： 1. B 2. D 3. D 4. B 5. D . 6. D 7. C 8. 9. y=-x2+x+4 10. 11. 12. 13.解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点代入y＝﹣2x2+bx+c，得 解得 故该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1． （2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1． 所以抛物线的顶点坐标是（，）． 14. （1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1， 4)， ∴设抛物线的函数关系式为y=a(x 1)2 4， 又∵抛物线过点C(0，3)， ∴3=a(0 1)2 4， 解得a=1， ∴抛物线的函数关系式为y=(x 1)2 4， 即y=x2 2x 3； （2）令y=0，得：x2， 解得，. 所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
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