2021-2022学年人教版九年级数学上册24.1.4圆周角同步练习题（含答案）

2021——2022学年度人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1.4 圆周角 同步练习题
一、选择题
1．下列命题正确的是（ ）
A．同位角相等 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．对角线相等的四边形是矩形 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2．如图，是的直径，弦于点E，连接，．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BDC＝32°，则∠AOC的度数为（ ）
A．32° B．64° C．116° D．128°
4．如图，半径为5的经过点C和点O，点B是y轴右侧的优弧上一点，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
6．如图，AB为的直径，AC为的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若，，则DE=（ ）
A． B．5 C． D．
7．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，为的直径，以为斜边作等腰，连接交于点．若．则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是⊙的直径，是⊙上两点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
二、填空题
11．在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 __________________．
12．如图，内接于⊙O，的角平分线交⊙O于D．若，则的长为____．
13．如图，在Rt△ABC中，点D为斜边AC上的一点（不与点A、C重合），BD＝4，过点A，B，D作⊙O，当点C关于直线BD的对称点落在⊙O上时，则⊙O的半径等于______________．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________
15．如图，在⊙O中，AC=AB, 直径BC=2, , 则AD=___．
三、解答题
16．已知：如图，内接于圆，于D，弦于E，交于F．求证：．
17．已知：如图，是⊙O的直径，弦于E，，求长．
18．如图，中，的平分线交于点D，交的外接圆于点E，的平分线交于点F，求证：．
19．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=6，⊙O的半径为5，求BC的长．
20．如图1，在⊙中，，，点在劣弧上运动，连接，，交于点．
（1）求的度数；
（2）当点运动到使时，连接并延长，交于点，交于点，交⊙于点，依据题意在备用图中画出图形并证明：为的中点．
21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设∠OAB＝α，∠C＝β，
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给以证明．
22．如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．
（1）用等式表示线段与的数量关系：______；
（2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、．
①在图2中，依据题意补全图形；
②用等式表示线段与的数量关系并证明．
23．如图，以BCG一边BC为直径作半圆交边BG，CG于A，D两点，连接AC，BD， O为圆心，连接AD并延长交BC的延长线于点F，已知∠G=67.5°，．
（1）求∠ABC的度数；
（2）证明CF=CA并直接写出的值；
（3）若四边形ABCD的面积为，求⊙O的半径．
【参考答案】
1．D
2．D
3．C
4．A
5．C
6．A
7．D
8．D
9．C
10．C
11．
12．
13．2
14．D（，1）
15．
16．连接，如图，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
17．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，
∵∠B=∠ACD=30°，
在Rt△ACE中，AC=2AE=4cm，
∴（cm），
∴cm，
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴cm．
∴的长为cm．
18．BF平分∠ABC，
∠ABF=∠CBF，
AE平分∠BAC，
∠BAE=∠CAE，
又∠CAE=∠CBE，
∠BAE=∠CBE，
∠EBF=∠CBE+∠CBF，∠EFB=∠BAE+∠ABF，
∠EBF=∠EFB，
BE=EF．
19．（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵C是弧BD的中点，
∴∠DBC=∠BAC，
在ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°，
∴∠BCE=∠BAC，
∴∠BCE=∠DBC，
∴CF=BF；
（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：
∵AB是O的直径，AB=2OC=10，
∴∠ADB=90°，
∴BD==8，
∵C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD，DG=BG=BD=4，
∵OA=OB，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG=AD=3，
∴CG=OC-OG=5-3=2，
在Rt△BCG中，
由勾股定理得：BC=．
20．解：（1）如图1，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）依据题意画图．
连接BM，CM．
∵AB=AC，
∴，
∴，
∴BM=CM，∠BAM=∠CAM=20°，
∴∠MBC=∠CAM=20°，
∵BE⊥AC，AM⊥BC，
∴∠BGD=∠AFD=90°，
∴∠BDG=∠ADF=70°，
∵∠BMA=∠ACB=70°，
∴∠BMA=∠BDG=70°，
∴BD=BM，
又∵BG⊥DM，
∴GD=GM．即:G为DM的中点．
21．解：（1）连接OB，
∵∠OAB=α=35°，
∴∠OBA=35°，
∴∠AOB=110°，
∴β=∠AOB=55°；
（2）结论：α+β=90°．
证明：∵∠AOB=180°-2α，β=∠AOB
∴β=90°-α，
∴α+β=90°．
22．解：（1）BF＝，
理由是：如图1，连接BG，CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，
∵EF⊥BC，FE＝FC，
∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵点G是AE的中点，
∴EG＝CG＝AG，
∵BG＝BG，
∴△AGB≌△CGB（SSS），
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，
∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，
∴△EFG≌△CFG（SSS），
∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，
∵∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝45°，
∴△BGF为等腰直角三角形，
∴BF＝FG．
故答案为：BF＝FG；
（2）①如图2所示，
②；理由如下：
如图2，连接BF、BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵AF＝AF，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴DF＝BF，
∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，
∴AG＝EG＝BG＝FG，
∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，
∵，∠BAC＝45°，
∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BF＝FG，
∴DF＝FG．
23．（1）解：∵BC为直径，
∴∠CDB=90°，
∴∠GDB=90°，
∴ ，
∵ ，
∴，
∵，
∴∠DBG=∠DBC=22.5°，
∴；
（2）证明：∵BC为直径，
∴∠CAB=90°，
∵，
∴∠ACB=45°，
∴∠F+∠CAF=∠ACB=45°，
∵∠CAF=∠DBC=22.5°，
∴∠CAF=22.5°，
∴∠F=∠CAF=22.5°，
∴CF=CA，
在 中，
∵，∠ACB=45°，
∴，
∴AC=BC，
由勾股定理得：AC2+AB2=2AC2=BC2，
∴ ，
∴，
∴；
（3）解：∵∠G=67.5°，，
∴∠BCG=67.5，
∴∠BCG=∠G，
∴BC=BG，
∴△BCG是等腰三角形，
∵∠BDC=90°，即BD⊥CG，
∴CD=DG，
∴ ，
在 中，∠CAB=90°，
∵，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AC=AB，
由勾股定理得：AC2+AB2=2AB2=BC2，
∴ ，
设⊙O的半径为r，则BG=BC=2r，，
∴ ，
∴四边形ABCD的面积等于
，
∵四边形ABCD的面积为，
∴ ，
解得： 或 （舍去）
即设⊙O的半径为