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7.3三元一次方程组及其解法 学案
课题 7.3三元一次方程组及其解法 课型 新授课
学习目标 1.了解三元一次方程组的概念.2.会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决.3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
重点难点 会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决. 能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
感知探究 自自主学习 什么是三元一次方程组？
自自学检测 若x+y=3，y+z=4，z+x=5，则x+y+z=______．方程组的解是
合合作探究 探究一： 在7.1节中，我们应用二元一次方程组,求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数.在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛,按同样的计分规则,共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和,那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少 怎样解三元一次方程组呢 试一试上面的三元一次方程组能否应用加减消元法求解 或者能否利用方程③,直接消去方程①中的y+z 比较一下,哪种方法更简便
探究二： 例1 解方程组
探究三： 例2 解方程组
四、当堂检测 已知3a+b+2c=3且a+3b+2c=1，则2a+c=______．2、已知方程组 的解满足方程x+y=10，求k．3、若对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y=ax+by+c，其中a、b、c为常数．已知3△5=15，7△3= -5，求5△4的值______．作业：必做题: 随堂练习选做题:习题7.3第1、2题课堂小结：师生互动，本节课你学到了什么参考答案：自主检测1、解：∵x+y=3，y+z=4，z+x=5，
∴x+y+y+z+z+x=12，
∴2x+2y+2z=12，
∴x+y+z=6．
故填：62、合作探究探究一：这个问题可以用多种方法(算术方法、列出一元一次方程或二元一次方程组)来解决.小明同学提出了一个新的思路:分别将已知条件直接“翻译”,列出方程,并将它们写成方程组的形式，得像这样的方程组称为三元一次方程组.在上一节中，我们学习了二元一次方程组的解法,其基本思想是:通过“消元”,消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程求解.方法有代入消元法和加减消元法.对于三元一次方程组,同样可以先消去一个(或两个)未知数，转化为二元一次方程组(或一元一次方程)求解.注意到方程③中,x是用含y和z的代数式来表示的,将它分别代入方程①、②,得到这是一个关于y、z的二元二次方程组,解之得将y =3,z =2代人方程③，可以得到x = 5.所以这个三元次方程组的解是试一试可以，加减消元法更简便探究二：例1 解 由方程②，得z=7-3x+2y ④将④代入方程①和③，得整理，得解这个二元一次方程组，得代入④，得z=7-3-6=-2所以原方程组的解是 探究三：解 ③-②,得3x +6z =-24,即x+2z=-8.①x3 +②x4,得17x-17z=17，即x-z=1.得方程组解得将x =-2,z=-3代入方程②,得y = 0.所以原方程组的解是当堂检测1、解：∵3a+b+2c=3，a+3b+2c=1，∴2a-2b=2，即a-b=1，∴b=a-1，代入3a+b+2c=3得：3a+a-1+2c=3，∴4a+2c=4，∴2a+c=2．2、解：∵x+y=10①，2x+y=8②，由①-②得：x=-2，y=12，把x、y的值代入3kx+2y=6k得：-6k+24=6k，解得k=2．3、解：∵3△5=15，7△3=-5， ∴①+②，可得：10a+8b+2c=10，∴5a+4b+c=5，∴5△4=5a+4b+c=5
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7.3三元一次方程组及其解法
华东师大版 七年级下册
新知导入
解二元一次方程组运用的方法是什么？
体现的数学思想是什么？
解方程时运用的是代入消元法，加减消元法
体现了消元的思想
在7.1节中，我们应用二元一次方程组,求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数.
在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛,按同样的计分规则,共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和,那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少
新知讲解
问题
新知讲解
这个问题可以用多种方法(算术方法、列出一元一次方程或二元一次方程组)来解决.
小明同学提出了一个新的思路:
问题中有三个未知数，如果设这个队在第二轮比赛
中胜、平、负的场数分别为x、y、z,又将怎样呢
新知讲解
像这样的方程组称为三元一次方程组.
分别将已知条件直接“翻译”,列出方程,并将它们
写成方程组的形式，得
新知讲解
怎样解三元一次方程组呢
在上一节中，我们学习了二元一次方程组的解法,其基本思想是:通过“消元”,消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程求解.方法有代入消元法和加减消元法.
合作探究
回忆一下二元一次方程组
的解法,从中能得到什么启示
解二元一次方程组的方法，重点是消元
新知讲解
对于三元一次方程组,同样可以先消去一个(或两个)未知数,转化为二元一次方程组(或一元二次方程)求解.
注意到方程③中,x是用含y和z的代数式来表示的,将它分别代入方程①、②,得到
这是一个关于y、z的二元一次方程组,解之得
将y =3,z =2代人方程③，可以得到x = 5.
所以这个三元一次方程组的解是
新知讲解
新知讲解
化归思想在这里进一步得到体现,你体会到了吗
新知讲解
上面的三元一次方程组能否应用加减消元法求解 或者能否利用方程③,直接消去方程①中的y+z 比较一下,哪种方法更简便
可以，加减消元法更简便
试一试
新知讲解
例1 解方程组
新知讲解
解 由方程②，得
z=7-3x+2y ④
将④代入方程①和③，得
整理，得
新知讲解
解这个二元一次方程组，得
代入④，得z=7-3-6=-2
所以原方程组的解是
新知讲解
这里,我们用的是代入消元法:先由方程②,用含有x、y的代数式表示z,再分别代入方程①和③,消去未知数z,转化为只含有x、y的二元一次方程组求解.
概括
能否先消去x(或y) 怎么
做 比较一下，哪个更简便
可以将②+③先消去y，
加减消元法更简便
新知讲解
解三元一次方程组的步骤：
1.利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.
2.解二元一次方程组.
3.将二元一次方程组的解代入其中一个
方程，求出第三个未知数.
新知讲解
例2 解方程组
分析 三个方程中未知数的系数都不是1或-1,用代入消元法比较麻烦,可考虑用加减消元法来解.
新知讲解
解 ③-②,得
3x +6z =-24,
即x+2z=-8.
①x3 +②x4,得
17x-17z=17，
即x-z=1.
得方程组
新知讲解
解得
将x =-2,z=-3代入方程②,
得y = 0.
所以原方程组的解是
新知讲解
概括
上述例1和例2的解答分别应用了代入消元法和加减消元法,先消去某一个未知数,将三元一次方程组转化为二元一次方程组,然后解所得的二元一次方程组,得到两个未知数的值，进而求出第三个未知数的值，从而得到原方程组的解.
课堂练习
1、已知3a+b+2c=3且a+3b+2c=1，则2a+c=______．
解：∵3a+b+2c=3，a+3b+2c=1，
∴2a-2b=2，即a-b=1，
∴b=a-1，
代入3a+b+2c=3 得：3a+a-1+2c=3，
∴4a+2c=4，
∴2a+c=2．
课堂练习
2、已知方程组 的解满足方程x+y=10，求k．
解：∵x+y=10①，2x+y=8②，
由①-②得：x=-2，y=12，
把x、y的值代入3kx+2y=6k
得：-6k+24=6k，
解得k=2．
解：∵3△5=15，7△3=-5，
∴ ，
①+②，可得：10a+8b+2c=10，
∴5a+4b+c=5，
∴5△4=5a+4b+c=5
课堂练习
3、若对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y=ax+by+c，其中a、b、c为常数．已知3△5=15，7△3=-5，求5△4的值．
①
②
解三元一次方程组的步骤
1.利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.
2.解二元一次方程组.
3.将二元一次方程组的解代入其中一个
方程，求出第三个未知数.
课堂总结
板书设计
7.3三元一次方程组及其解法一、解三元一次方程组的步骤
1.三元化二元
2.解方程组.
3.代入求解.
二、例题
作业布置
必做题: 随堂练习
选做题:习题7.3第1、2题
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华师版数学七年级下册7.3三元一次方程组及其解法 教学设计
课题 7.3三元一次方程组及其解法 单元 第7章 学科 数学 年级 七年级
学习目标 1.了解三元一次方程组的概念.2.会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决.3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
重点 用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决.
难点 根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 解二元一次方程组运用的方法是什么？体现的数学思想是什么？ 以问题的形式导入三元一次方程组的方法，回顾知识，导入本节《三元一次方程组及其解法》。 引入新课，在学习二元一次方程组的基础上，培养学生温故知新的习惯，提高学习本节解三元一次方程组的兴趣。
讲授新课 问题在7.1节中，我们应用二元一次方程组,求出了勇士队在“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数.在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛,按同样的计分规则,共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和,那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少 这个问题可以用多种方法(算术方法、列出一元一次方程或二元一次方程组)来解决.小明同学提出了一个新的思路:问题中有三个未知数，如果设这个队在第二轮比赛中胜、平、负的场数分别为x、y、z,又将怎样呢 分别将已知条件直接“翻译”,列出方程,并将它们写成方程组的形式，得像这样的方程组称为三元一次方程组.怎样解三元一次方程组呢 在上一节中，我们学习了二元一次方程组的解法,其基本思想是:通过“消元”,消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程求解.方法有代入消元法和加减消元法.对于三元一次方程组,同样可以先消去一个(或两个)未知数，转化为二元一次方程组(或一元一次方程)求解.注意到方程③中,x是用含y和z的代数式来表示的,将它分别代入方程①、②,得到这是一个关于y、z的二元一次方程组,解之得将y =3,z =2代人方程③，可以得到x = 5.所以这个三元次方程组的解是试一试上面的三元一次方程组能否应用加减消元法求解 或者能否利用方程③,直接消去方程①中的y+z 比较一下,哪种方法更简便 可以，加减消元法更简便例1 解方程组解 由方程②，得z=7-3x+2y ④将④代入方程①和③，得整理，得解这个二元一次方程组，得代入④，得z=7-3-6=-2所以原方程组的解是 概括这里,我们用的是代入消元法:先由方程②,用含有x、y的代数式表示z,再分别代入方程①和③,消去未知数z,转化为只含有x、y的二元一次方程组求解.解三元一次方程组的步骤：1.利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组.2.解二元一次方程组. 3.将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数。例2 解方程组解 ③-②,得3x +6z =-24,即x+2z=-8.①x3 +②x4,得17x-17z=17，即x-z=1.得方程组解得将x =-2,z=-3代入方程②,得y = 0.所以原方程组的解是概括上述例1和例2的解答分别应用了代入消元法和加减消元法,先消去某一个未知数,将三元一次方程组转化为二元一次方程组,然后解所得的二元一次方程组,得到两个未知数的值，进而求出第三个未知数的值，从而得到原方程组的解.课堂练习：已知3a+b+2c=3且a+3b+2c=1，则2a+c=______．已知方程组 的解满足方程x+y=10，求k．3、若对于有理数x和y，定义一种运算“△”，x△y=ax+by+c，其中a、b、c为常数．已知3△5=15，7△3= -5，求5△4的值______． 通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题.学生从解三元一次方程组中，进一步理解消元的思想。理解三元一次方程组的步骤并做笔记。学习和讨论例1和例2，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路. 教师点评学生发言情况、引导学生巩固知识，然后共同完成总结。 鼓励学生理解三元一次方程组的概念。学生独立完成课堂练习，养成独立思考的习惯，学生讲评自己解题思路，其他学生补充自己的思路。
课堂小结 学生自己去总结、理解，理解三元一次方程组的概念，并熟悉三元一次方程组的解法，教师进行归纳总结， 学生感受三元一次方程组解法的运用，这节课如果有其他的疑问，以便得到老师和同学的帮助。
板书 7.3三元一次方程组及其解法一、解三元一次方程组的步骤1.三元化二元2.解方程组. 3.代入求解.二、例题
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