2021-2022学年高二上学期数学沪教版 高三 第一学期14.1平面及其基本性质（教师版）　讲义（含答案）

第1课：平面及其基本性质
教学目标 1、理解平面的基本性质； 2、能够熟记公理一、二、三，并能进行相应问题的证明； 3、会画立体几何体的直观图.
重 点 1、公理三及相关证明； 2、斜二测画法的基本步骤.
难 点 公里三证明点在线或者线共点的问题.
（一）平面及其基本性质
【知识梳理】
1、平面的两个特征：①无边界 ②无厚度
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性.
2、平面的表示方法：一般用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示，如平面、平面或平面、平面来表示，也可以用平面上的三个（或三个以上）点的字母来表示，比如平面等.
3、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
（1）一个平面的画法：
（2）直线、平面相交的画法：
【注意事项】画线面相交时或者两个相交平面时，若一个图形的一部分被另一个图形遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图）
4、用集合的语言理解点线面
空间图形的基本元素是点、直线、平面.可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形 符号语言 文字语言（读法）
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
点不在平面内
直线、交于点
直线在平面内
直线与平面无公共点
直线与平面交于点
平面、相交于直线
集合中“”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言.
5、平面的基本性质
公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上.（直线在平面上）
用集合语言表述：
公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面.（这里“确定一个平面”的含义是“有且只有一个平面”）
推论：1、一条直线和直线外的一点确定一个平面.用集合语言表述：
2、两条相交直线确定一个平面.用集合语言表述：
3、两条平行的直线确定一个平面.用集合语言表述：
公理3：如果不同的两个平面有一个公共点，那么的交集是过点的直线.（平面与平面相交）
用集合语言表述：
【知识补充】
①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线；
②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可；
③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上.
【例题精讲】
平面及其性质
例1、给定下列四个命题：
（1）任何一个平面图形就是一个平面；
（2）平面的形状是平行四边形；
（3）三角形、圆、平行四边形都可以表示平面；
（4）3个平面重叠起来，比2个平面重叠起来厚；
（5）一个平面的长是，宽是；
（6）一个平面被另一个平面遮住时，被遮部分的线段应画成虚线或不画，
则其中正确的命题有　 　个．
【难度】★★
【答案】2
【解析】解：平面是无限延展的：
故（1）任何一个平面图形就是一个平面，错误；（2）平面的形状是平行四边形，错误；
（5）一个平面的长是，宽是，错误；可以用平面图形表示平面；
故（3）三角形、圆、平行四边形都可以表示平面，正确；平面没有厚度，
故（4）3个平面重叠起来，比2个平面重叠起来厚，错误；
（6）一个平面被另一个平面遮住时，被遮部分的线段应画成虚线或不画，正确，
故正确的命题有：2个，故答案为：2．
【巩固训练】
1、判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）可画一个平面，使它的长为，宽为； （ ）
（2）一个平面的面积为； （ ）
（3）光滑的桌面就是一个平面； （ ）
（4）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分； （ ）
（5）若一条直线和一个平面仅有一个公共点，则称该平面经过这条直线； （ ）
（6）若一条直线上有两个点在一个平面内，则称该平面经过这条直线； （ ）
（7）空间两个平面将空间分成四部分． （ ）
【答案】1．╳ 2．╳ 3．╳ 4．√ 5．╳ 6．√ 7．╳
【解析】（1）（2）（3）错，因为平面是抽象出来的概念，无厚薄，无大小；（5）错，直线可能与平面相交；公理一：如果直线l上有两个点在平面上，那么直线l在该平面上.（7）错，空间两个平面平行的时候可以将空间分成三部分
点线面之间的关系
例2、看图填空：
（1）点 平面；
（2）直线___________；
（3）直线 平面= ；
（4）直线 平面；
（5）直线___________；
（6）平面平面___________；
（7）平面平面___________；
（8）平面平面平面___________．
【难度】★★★
【答案】；O；，O；//；；；；
【解析】正确使用符号语言.
【巩固训练】
1、如图所示，用符号语言可表达为　　
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
【答案】
【解析】解：如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，
故用符号语言可表达为，，，
故选：．
公理一及其应用
例3、可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为　　
A．，且，，则
B．若，且，，则
C．若，且，，则
D．若，且，，则
【难度】★★
【答案】
【解析】解：在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合，
根据元素属于集合，子集包含于全集可得：
公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为：
若，且，，则，
故选：．
【巩固训练】
1、若直线上有两个点在平面内，则下列说法正确的序号为　 　
①直线上至少有一个点在平面外；
②直线上有无穷多个点在平面外；
③直线上所有点都在平面内；
④直线上至多有两个点在平面内．
【答案】③
【解析】解：若直线上有两个点在平面内，则直线在平面内，所以直线上所有点都在平面内．
所以正确的命题是③．故答案为：③．
公理二及其应用
例4、下列命题正确的是　　
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形可确定一个平面
D．圆心和圆上两点确定一个平面
【难度】★★
【答案】
【解析】解：对于选项：当三点共线时，不能确定一个平面，故错误．
对于选项：当该点在直线上时，不能确定一个平面，故错误．
对于选项：由于梯形由两条对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故正确．
对于选项：当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故错误．
故选：．
【巩固训练】
1、当人们停放摩托车时，只要将摩托车的脚撑放下，摩托车就稳了，这里用到了　　
A．两条平行直线确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面
C．不共线三点确定一个平面 D．三点确定一个平面
【答案】
【解析】解：当人们停放摩托车时，只要将摩托车的脚撑放下，摩托车就稳了，
这里用到的是三角形的稳定性，即不共线的三点确定一个平面．故选：．
推论及其应用
例5、下列命题错误的是　　
A．直线及直线外一点，确定一个平面
B．两条平行直线，确定一个平面
C．两条相交直线，确定一个平面
D．三条相交直线两两相交，确定一个平面
【难度】★★
【答案】
【解析】解：由公理三知直线及直线外一点，确定一个平面，故正确；
由公理三知两条平行直线，确定一个平面，故正确；由公理三知两条相交直线，确定一个平面，故正确；
三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故错误．故选：．
例6、已知：如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】解：，、确定一平面，又，，，，
，，，直线，，在同一平面内．
【巩固训练】
1、三条直线相交于一点，则它们最多能确定　 　个平面．
【答案】3
【解析】解：当三条直线共面时，显然这三条直线只确定1个平面，
当三条直线不共面时，以三棱锥的三条侧棱为例，任意两条侧棱都确定一个侧面，
而三棱锥有三个侧面，故相交于一点的三条直线最多可确定3个平面，
故答案为：3．
2、如图：在正方体中，，分别为，的中点，，；
（1）点，，，是否共面？并说明理由；
（2）若直线与平面的交点为证明：点，，共线．
【答案】见解析
【解析】解：（1）点，，，共面．证明：由于和在同一平面内，且不平行，故必相交，
设交点为，则，同理，直线与与相交，设交点为，则，
故与重合，得与交于，故，，，共面．
（2）在正方体中，连接，，平面，又，
平面，即是平面与平面的公共点，
同理是平面与平面的公共点，平面平面，平面，，平面，平面，故点，，共线．
公理三及其应用
例7、如图，正方体中．、分别是、的中点．求证：、、三线共点．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】证明：连结、、，由题可知，
、分别是、的中点，，且，，且，
为梯形．则可令．由面，面，
面面，、、共点于．得证．
【巩固训练】
1、如图所示，在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定　　
A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．都不对
【答案】
【解析】解：直线和相交，设交点为，平面，平面，
平面，且平面，平面平面，，
与的交点在直线上．故选：．
（二）多面体的直观图
【知识梳理】
1、直观图
直观图是观察者站在某一点观察几何体画出的空间几何体的图形.
2、利用斜二侧画法画空间图形的平面直观图的一般步骤：
（1）建立直角坐标系
在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的轴、轴，两轴相交于点；
（2）画出斜坐标系
在画直观图的平面上画出对应的，使（或），它们确定的平面表示水平平面；
（3）画对应图形
在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度为原来的一半.
（4）擦去辅助线
图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线.
3、立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面垂直的轴，且平行于的线段长度保持不变，其他同平面图形的画法.
【例题精讲】
例8、下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有　　
①三角形的直观图是三角形． ②平行四边形的直观图是平行四边形．
③菱形的直观图是菱形．④正方形的直观图是正方形．
A．① B．①② C．③④ D．①②③④
【难度】★★
【答案】
【解析】解：由斜二测画法规则知：三角形的直观图仍然是三角形，所以①正确；
根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，所以②正确；
根据两轴的夹角为或知，菱形的直观图不再是菱形，所以③错误；
根据平行于轴的长度不变，平行于轴的长度减半知，正方形的直观图不再是正方形，所以④错误．
故选：．
【巩固训练】
1、如图，△是的直观图，其中，轴，轴，那么是　　
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【答案】
【解析】解：根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，
且平行于轴的线段，长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半，
直观图△的原来图形是直角三角形，且，不是等腰直角三角形．
故选：．
例9、用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形所得的直观图的面积是　　
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】
【解析】解：水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图是一个四边形，两者面积之比为，由边长为2的正方形的面积为4，所以这个四边形的直观图面积为．故选：．
【巩固训练】
1、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：依题意，如图四边形是一个底角为，上底为1，腰为的等腰梯形，过，分别做，，则三角形，和三角形为斜边长为的等腰直角三角形，所以，又，所以梯形的面积．又因为在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为，所以，所以．故选：．
例10、如图为正方体的平面展开图．
（1）作出该正方体的直观图；
（2）在正方体中，求证：平面．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】解：（1）根据几何体的平面展开图，转换为正方体的直观图为：
如图所示：
（2）证明：由于，平面，平面，所以：平面．
【巩固训练】
1、正方体的直观图如图所示，则其展开图是　 　（要求把可能的序号都填上）．
【答案】（4）
【解析】解：根据题意，可得：
对于（1），展开图中的上下两边的正方形的对边中点连线应该呈左右方向显现，故（1）的图形不符合题意；
对于（2），展开图中最右边的“日”字形正方形的对边中点连线应该是上下方向呈现，且应该在含有圆形的正方形的左边放置，故（2）的图形不符合题意；对于（3），展开图中最右边的正方形应该与含有圆形的正方形相邻，故（3）的图形不符合题意；对于（4），沿如图的红线将正方体的侧面剪裁，展开可得如（4）项图的形状，故（4）的图形符合题意．故选：（4）．
【实战演练】
一、填空题
1、用符号语言表示“点在直线上，在平面外”为__________.
【答案】.
【解析】由题,则表示为,故答案为:
2、已知表示不同的点,l表示直线,表示不同的平面,则下列推理错误的是______(填序号).
①,,,;
②,,,;
③,.
【答案】③
【解析】解: ①为判断直线在平面内的依据,故正确;
②为判断两个平面相交的依据,故正确;
③中,,则,即为经过点A的一条直线而不是点A,故错误.
故答案为：③
3、给出下列三个命题：
①空间四点共面，则其中必有三点共线；
②空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面其中所有真命题的序号是_______.
【答案】②
【解析】平行四边形的四个顶点，任意三个点都不共线，但平行四边形仍是平面图形，故①③错误；因为过一条直线与该直线外一点有且只有一个平面，所以空间四点中有三点共线，则此四点必共面；即②正确；故答案为②
4、下列说法中正确的有______个.
①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；
②一个平行四边形确定一个平面；
③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；
④已知两个不同的平面和，若，，且，则点在直线上.
【答案】2
【解析】反例：正方体的一个顶点处的3条棱，确定3个平面，所以①不正确；
由于平行四边形对边平行，结合两条平行线可以确定一个面，可得②正确；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，所以③不正确；
，，且，则A在上，满足平面的基本性质，所以④正确，
即正确的个数有2个，故答案为：2.
已知等边三角形ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为，则等边三角形ABC的面积为
_____________．
【答案】.
【解析】如图所示，按照斜二测画法的规则，把图(1)中的等边三角形ABC的平面直观图△A′B′C′还原为图(2)中的等边三角形ABC，
设AB＝x，则B′C′＝x，等边三角形ABC的高为x，
所以△A′B′C′的高为，
所以△A′B′C′的面积为，
解得x＝1，所以△ABC的面积为.
6、空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定___个平面.
【答案】7
【解析】空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，
同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线，
由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面，
再加上4点确定的面总共是7个面．故答案为：7
二、选择题
7、在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（ ）
A．黑板面 B．乒乓球桌面
C．篮球的表面 D．平静的水面
【答案】C
【解析】黑板面、乒乓球桌面、平静的水面都可被认为是平面的一部分，
篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分，故选：C
8、如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点中必有三点共线 B．直线与相交
C．A，B，C，D四点中不存在三点共线 D．直线与平行
【答案】C
【解析】因为空间四点A，B，C，D不共面，所以这四个点的位置如三棱锥的顶点和底面三角形的顶点，所以只有C选项正确，
若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故A错误；若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确；
若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故D不正确，故选：C.
9、下列命题中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线
D．若是三条直线，且与都相交，则直线共面.
【答案】D
【解析】A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B.由墙角模型，显然B错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不垂直，故C错误；
D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确；故选：D.
10、在正方体中，，，，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】选项A，点，，确定一个平面，该平面与底面交于，
而点不在直线上，故，，，不共面，选项A错误；
选项B，连接底面对角线，则由中位线定理可知，，
又易知，则，故，，，共面，选项B正确；
选项C，显然，，所确定的平面为正方体的底面，
而点不在该平面内，故故，，，不共面，选项C错误；
选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形，
也即是点，，确定的平面与正方体正面的交线为，
而点不在直线上，故，，，四点不共面，选项D错误.
三、解答题
11、用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形的直观图.
【答案】见解析
【解析】（1）过点作轴，垂足为，如图①所示.
（2）画出相应的轴、轴，使，如图②所示，在轴上取点，，使得，；在轴上取点，使得；过点作轴，使.
（3）连接，，并擦去轴、轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形就是所求的直观图.
12、如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）直线AC1在平面CC1B1B内；
（2）设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
（3）由点A、D、C可以确定一个平面；
（4）由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1；
（5）由点A、C1、B1确定的平面与由点A、C1、D确定的平面是同一个平面．
【解析】（1）错误．因为点A平面CC1B1B，所以AC1不在平面CC1B1B内．
（2）正确．因为点O∈直线AC，直线AC平面AA1C1C，所以点O∈平面AA1C1C．同理，点O1∈平面AA1C1C，所以直线OO1平面AA1C1C．同理，直线OO1平面BB1D1D．故OO1为平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线．
（3）错误．因为点A、O、C在同一直线上，故不能确定—个平面
（4）正确．因为点A、C1、B1不共线，故可确定一个平面，又AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1，故由点A、C1、B1确定的平面为ADC1B1．
（5）正确．因为点A、C1、B1确定的平面为平面ADC1B1，而由点A、C1、D确定的平面也是平面ADC1B1，故它们确定的是同一个平面。