(共26张PPT)
《常量与变量》
第十九章第一节
人教版八年级下册
第十九章 一次函数
学习目标
掌握常量、变量的概念，体验在一个过程中常量和变量是相对存在的
通过实例探究，在具体问题中找出常量和变量
会用式子表示变量间的关系
1
2
3
情景导入
路程 随 时间 的变化而变化
气温 随 海拔 的变化而变化
树高
随 树龄 的变化而变化
新知探究
问题一
汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:
t/时 1 2 … 5
s/千米 …
路程 = 速度 时间
新知探究
汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填下面的表:
t/时 1 2 … 5
s/千米 60 120 … 300
在这个变化过程中，变化的量是 ．始终不变的量是 ．
汽车所行驶的 随行驶 的变化而变化.
时间t、路程s
速度60千米/时
路程 (s)
时间 (t)
新知探究
问题二
每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，怎样用含 x 的式子表示 y ？
早场票房收入 = 10 150 = 1500 （元）
日场票房收入 = 10 205 = 2050 （元）
晚场票房收入 = 10 310 = 3100 （元）
票房收入 = 单价 数量
新知探究
1. 在这个变化过程中，变化的量是 ．始终不变的量是 ．
2. 用含x的式子表示y： 。
随 的变化而变化.
数量x、票房收入y
单价
票房收入(y)
数量 (x)
y = 10x
新知探究
问题三
如图所示，圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径R 分别为10 cm，20cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？怎样用半径r来表示面积S
半径（cm） 10 20 30 r
圆的面积（m ）
100π
400π
900π
πr
新知探究
在这个变化过程中，变化的量是 ．
始终不变的量是 ．
随 的变化而变化.
半径r、圆的面积S
π
圆的面积S
半径r
半径（cm） 10 20 30 r
圆的面积（m ） 100π 400π 900π πr
新知探究
问题四
用10m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x分别为3m,3.5m,4m,4.5m时，它的邻边长y分别为多少？ y的值随x的值的变化而变化吗？怎样变化？
x（m） 3 3.5 4 4.5
y（m）
１.填写下表：
x
y
A
B
C
D
2
1.5
0.5
1
新知探究
在这个变化过程中，变化的量是 ．
始终不变的量是 ．
随 的变化而变化.
矩形相邻边（x 、y）
周长(10m)
y
x
x（m） 3 3.5 4 4.5
y（m） 2 1.5 1 0.5
思考归纳
定义：
在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量
定义：
变量
常量
在一个变化过程中，数值始终不变的量叫常量
思考归纳
在一个变化过程中如何区分常量和变量呢？
归纳： 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
典例解析
例题 1 指出下列变化过程的常量和变量
(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千克橘子的总价为m元，其中常量 ，变量 ；
(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ；
5
a 、m
2、π
C、r
典例解析
例题 1 指出下列变化过程的常量和变量
(3)某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是 ,变量是 .
(4) s 米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是 ,变量是 .
a
t 、s
s
a、t
归纳：1.常量和变量是相对而言的，是相对某个变化过程来说的，在这个变化中是变量，而在另一个变化过程中有可能以常量的身份出现。
2.常量可以用数字表示，也可以用字母表示。
典例解析
弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
重物的质量(kg) 0 1 10 …
弹簧伸长的长度（cm） …
受力后弹簧长度(cm) …
设重物质量为m kg，受力后的弹簧长度为 L cm，怎样用含m的式子表示L呢？
0
10+0
=10
0.5
10+0.5
=10.5
5
10+5
=15
0.5m
10+0.5m
L = 10 + 0.5m
m
归纳：每个问题中的两个变量相互联系，当一个变量取一个定值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应。
牛刀小试
人有胖瘦之分，体重过轻则为瘦，过重则为胖，那么以什么样的标准来衡量是胖还是瘦呢？这当然必然有个参照值。这个参照值我们就把它称之为标准体重，标准体重G和身高h之间的关系：
G男 = h男 – 105
G女 = h女 – 100
你的体重标准吗？
请说出其中的常量和变量
牛刀小试
1. 三角形面积公式 S = ah 中，其中底边a保持不变，则常量是 ，变量是 ；
a
S、h
2. 某地手机通话费为0.2元/min。李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为 t min，话费卡中的余额为 w 元。其中常量是 ， 变量是 。
0.2 、30
t 、w
牛刀小试
习题 3
习题 4
n位同学购买单价为9元/本的教科书，每人一本，总金额为y（元）与n的关系式。
梯形上、下底边的长分别为4和10，梯形的面积为S与高h的关系式。
y = 9n
S = （4 + 10）h = 7h
牛刀小试
习题 5
如图， ABC底边BC上的高是6cm，当三角形的顶点C沿底边BC向点B运动时（点C与点B不重合），三角形的面积发生了变化。
（1）如果三角形的底边BC的长为 x cm，那么三角形的面积为y cm ，用含x的式子表示y：
（2）在这个关系式中，常量是 ，变量是 .
（3）当BC的长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从
cm 到 cm
y = 3x
3
x 、y
36
9
课堂小结
常量和变量的定义
列变量间的关系式
1.
2.
常量与变量
（1）常量：数值始终不变的量
（2）变量：数值发生变化的量
目标检测
1．在圆的周长公式C=2πR 中，是变量的是（ ）
A．C B．R C．π 和 R D．C 和R
2. 一辆汽车以50 km/h的速度行驶，记行驶的路程为s（km），行驶的时间为t（h），其中变量是（ ）
A．速度与路程 B．速度与时间
C．路程与时间 D．三者均为变量
D
C
目标检测
3. 要画一个面积为30 cm2的长方形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，（ ）
A．常量为30，变量为x，y B．常量为30、y，变量为x
C．常量为30、x，变量为y D．常量为x、y，变量为30
4. 某市居民用电价格是0.5元/千瓦时，记居民生活用电为x（千瓦时），付电费为y（元），则（ ）
A．常量为0.5、x，变量为y B．常量为0.5、y，变量为x
C．常量为0.5，变量为x、y D．常量为x、y，变量为0.5
A
C
目标检测
5. 设路程s，速度v，时间t，则（ ）
A．当s 一定时，v 是常量，t 是变量
B．当v 一定时，t 是常量，s 是变量
C．当t 一定时，t 是常量，s，v 是变量
D．当t 一定时，s 是常量，v 是变量
C
目标检测
6. 如图所示，△ABC的底边BC上的高是6 cm，记BC长为x cm，△ABC的面积为S cm2．在三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动的过程中，变量是__________，常量是__________，变量__________随变量__________的变化而变化．
x、S
6
S
x
课后作业
必做作业
选做作业
教材72页练习题
（1）（3）（4）
教材81页第1、2题人教版八年级下册
19.1常量与变量
一、内容和内容解析
1.内容
常量与变量的相关知识.
2.内容解析
本节课是一次函数启蒙课，是函数学习的入门，为之后学习函数以及不等式的内容打下基础。教材结合简单的实际问题，对事物的运动变化过程进行数量化的讨论，先引出常量和变量的意义，再从描述变量之间对应关系的角度刻画一般函数的基本特征，从而建立函数的概念。
学生初次接触变量、常量及函数的相关概念最难突破的是把抽象的概念形象化，那么本节的课程学习就要先从学生较为熟悉的现实情景引入变化过程，再从学生的已有知识积累、生活实例等具体问题中体会常量、变量的概念，进一步发现变化中不变的规律，体会变量之间的互相依存、一一对应的关系。从数学的角度来认知变化过程，了解函数就是一个研究变化过程的工具，是刻画变化现象的模型。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是:掌握常量与变量的概念；会用式子表示变量间的关系。
二、目标和目标解析
1.目标
(1)掌握常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量是相对存在的。
(2)通过实例研究，在具体的问题中找出常量和变量以及它们之间的关系。
(3)初步体会变量间的变化和对应关系。
2.目标解析
达成目标(1)的标志是：能通过简单实际问题的分析，抽象出常量和变量的概念，并能识别简单实际问题中的常量和变量。
达成目标(2)的标志是：在一个运动变化过程中，能在识别常量和变量的基础上，说明它们之间的关系（如匀速运动中，速度v是常量，时间t、距离s是变量，距离随时间的变化而变化，有确定的关系s＝vt。
达成目标(3)的标志是：在对实际问题的分析中，体验一个过程中有些量不断变化，有些量保持不变，并存在某种对应关系，常量往往是联系变量的纽带。
三、教学问题诊断分析
对变化过程的分析，用数学语言归纳共性、抽象概念，再用于解决问题，对初学者来说有困难。通过不同类型的实际问题的分析，从中归纳共性，抽象出常量与变量的概念；需要在“一个变化过程中”用概念来确定谁是常量，谁是变量。教学时需通过实例，让学生有充分的理解的时间，并让学生表达。
基于以上分析，本节课的教学难点为：变量和常量概念的获得和应用。
四、教学过程设计
1.情景导入
情景1 加油站加油视频导入
师生活动：教师播放视频，学生思考（1）视频中有几个量？（2）这三个量有什么特点？（3）两个变化的量是有规律的变化吗？
生活中像这样一个量随着另一个量的变化而变化的例子还有很多，数学上我们用函数刻画事物的变化规律，而学习函数的基础是明白什么是常量，什么是变量。本节课我们一起学习常量与变量。
师生活动：通过教师介绍，图片播放（雪山图等），让学生感知周边有很多东西（量）是随着另一个东西（量）的变化而变化的。
设计意图：使学生体验一个变化过程中的常量、变量，这里聚焦了两个关键：“量”在“过程中”；突出“一个量随另一个量的变化”的现象．
2.新知探究
(1) 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶的路程为s km，行驶时间为t h．请你取几个t的值，并算出相应的s值：
① 在汽车行驶过程中，哪些量发生变化？哪些量始终不变？
② 填写表格，并思考：s的值随t的值的变化而变化吗？
(2) 电影票的售价10元/张．第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元．
① 在计算票房收入的过程中，哪些量发生变化？哪些量始终不变？
② 观察所填数值，显然票房收入y的值会随着票数x的值的变化而变化．请你说说y和x有怎样的对应关系？
(3) 你见过水中涟漪吗？图中的圆形水波慢慢扩大，在这一过程中，圆的半径为r cm，面积为S cm2．当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？
(4) 用10 m长的绳子围成一个矩形．当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？
师生活动：题(1)和(2)通过师生合作，题(3)和(4)学生自主学习完成．
设计意图：题(1)和(2)通过师生合作，获得研究的一般方法：由经验聚焦变化过程中的常量和变量，通过计算体验在这个过程中一个变量是如何随另一个变量变化，初步体会两个变量之间的单值对应特征．题(3)和(4)学生自主学习完成，获得进一步的体验，巩固研究方法．
探究：在这四个例子中，我们一共讨论了几种量？他们有什么特点？如何区分常量和变量？
师生活动：引导学生归纳常量与变量的定义．归纳得出：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
区分常量和变量主要看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值。
设计意图：通过归纳总结，得常量与变量得概念，区分常量与变量，获得从经验到理性的提升．
3.典例解析
(1) 某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千克橘子的总价为m元，其中常量 ，变量 ；
(2) 周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ；
(3) 某人以a米／分的速度做匀速运动，用t分钟时间跑了s米，其中常量是 ,变量是 。
(4) s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是 ,变量是 。
师生活动：学生独立思考，并汇报结果。思考(3)(4)两个变化过程中各个量分别担任什么角色？以a、s为例分析。归纳得出，常量和变量是相对而言的，是相对某个变化过程来说的，在这个变化中是变量，而在另一个变化过程中有可能以常量的身份出现。
学生指出s=60t，y=10x的常量，结合(3)(4)中的常量，思考常量是不是只能用数字表示。归纳得常量既可以用数字表示也可以用字母表示。
在s=60t中，t=1时，s=60，t=2时，s=120，t=5时，s=300。S的值和t的值对应吗？s有几个值和t的值对应？在y=10x中，x取150、205、310时，y有几个值和x的值对应？
在其他的变化过程中变量间的关系是否和这两个例子一致呢？
(5) 弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，设重物质量为m kg，受力后的弹簧长度为Lcm,怎样用含m的式子表示L
重物的质量(kg) 0 1 10 … M
弹簧伸长的长度（cm） …
受力后弹簧长度(cm) …
完成表格，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为Lcm,怎样用含m 的式子表示 L
指出这个变化过程中的常量和变量。
③ 在L= 10 + 0.5m中，当m = 1时，L=10.5，L有一个确定的值与m的值对应。可见在这个变化过程中变量间的关系和前两个例子变量间的关系一致。
师生活动：学生完成表格，巩固应用常量和变量的定义，列关系式表示变量间的关系。结合前两个例子分析，归纳得出两个变量互相联系，当一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一一个确定的值与其对应。师引导分析，规范语言。
设计意图：引导学生体会两个变量间相互依存的关系。
4. 牛刀小试
(1)人有胖瘦之分，体重过轻则为瘦，过重则为胖，那么以什么样的标准来衡量是胖还是瘦呢？这当然必然有个参照值。这个参照值我们就把它称之为标准体重，标准体重G和身高h之间的关系：
G男 = h男 – 105
G女 = h女 – 100
请指出其中的常量和变量。
(2)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式 中，其中常量是 ，变量是 。
(3)某地手机通话费为0.2元/min。李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为 t min，话费卡中的余额为 w 元。其中常量是 ， 变量是 。
(4)n位同学购买单价为9元/本的教科书，每人一本，总金额为y（元）与n的关系式。
(5)梯形上、下底边的长分别为4和10，梯形的面积为S与高h的关系式。
(6) 如图， ABC底边BC上的高是6cm，当三角形的顶点C沿底边BC向点B运动时（点C与点B不重合），三角形的面积发生了变化。
① 如果三角形的底边BC的长为 x cm，那么三角形的面积为y cm ，用含x的式子表示y：
在这个关系式中，常量是 ，变量是 。
③ 当BC的长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从 cm
到 cm 。
师生活动：学生独立思考，交流展示
5. 课堂小结
本节课你有哪些收获
师生活动：师生一起回顾本节课所学的内容.
6. 目标检测设计
(1) 在圆的周长公式C=2πR中，是变量的是（ ）
A．C B．R C．π和R D．C和R
(2) 一辆汽车以50 km/h的速度行驶，记行驶的路程为s（km），行驶的时间为t（h），其中变量是（ ）
A．速度与路程 B．速度与时间 C．路程与时间 D．三者均为变量
(3) 要画一个面积为30 cm2的长方形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，（ ）
A．常量为30，变量为x，y B．常量为30、y，变量为x
C．常量为30、x，变量为y D．常量为x、y，变量为30
(4) 某市居民用电价格是0.5元/千瓦时，记居民生活用电为x（千瓦时），付电费为y（元），则（ ）
A．常量为0.5、x，变量为y B．常量为0.5、y，变量为x
C．常量为0.5，变量为x、y D．常量为x、y，变量为0.5
(5) 设路程s，速度v，时间t，则（ ）
A．当s一定时，v是常量，t是变量
B．当v一定时，t是常量，s是变量
C．当t一定时，t是常量，s，v是变量
D．当t一定时，s是常量，v是变量
(6) 如图所示，△ABC的底边BC上的高是6 cm，记BC长为x cm，△ABC的面积为S cm2．在三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动的过程中，变量是__________，常量是__________，变量__________随变量__________的变化而变化．
7. 课后作业
必做题：教材72页练习题（1）（3）（4）
选做题：教材81页第1、2题
