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第八章 二元一次方程组
8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 利用二元一次方程组
解决实际问题
1.教学重点：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程。
2.教学难点：发现问题中隐含的未知数，寻找等量关系并列出方程组。由方程组的解解释实际问题。
学习目标
一、温故知新
（1）肯德基汉堡8元/个，小明买了4个，共花费___元，
（2）华莱士鸡腿a元/个,小华买10个，共花费____元，
（3）铅笔和钢笔买12支，铅笔每只2元，钢笔每支5元，共花费51元，设铅笔买了x支，列方程为_________
(4)30只大牛和15只小牛1天约用伺料料675kg,
若每只大牛1天约用伺料x千克,每只小牛1天约用伺料y千克，列方程为__________
32
10a
30x+15y=675
2x+5(12-x)=51
解下列方程组
(代入消元法）
(加减消元法）
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18~20 kg，每只小牛1天约需饲料7~8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
二、合作探究
问题1：怎样理解“通过计算检验他的估计”这句话？
问题2 题中有哪些是已知量，哪些未知量？
类别 大牛（头） 小牛（头） 一天用料（千克）
原来
现在
30
15
675
940
20
42
问题3 题目中有几个等量关系？
(1)30只大牛+15只小牛一天需用饲料=675kg;
(2)(30+12)只大牛+(15+5)只小牛一天需用饲料=940kg.
解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，
根据等量关系，列方程组：
答:每头大牛约需饲料20kg,每头小牛约需饲料５kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确,对小牛的食量估计偏高.
+ = 675,
+ = 940.
30x
15y
42x
20y
解方程组：x= ,
y= .
20
5
如何解这个方程组呢？
问题4 如何解决这一问题？
问题5 饲养员李大叔的估计准确吗？
实际问题
数学问题
（二元一次方程组）
解方程组
数学问题的解
（二元一次方程组的解）
双检验
实际问题
的答案
代入法
加减法
（消元）
设未知数、列方程组
利用二元一次方程组分析和解决实际问题的基本过程：
三、归纳总结
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解
出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，
然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18~20 kg，每只小牛1天约需饲料7~8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
以上问题还能列出不同的二元一次方程组吗？
解:设平均每头大牛和每头小牛1天各约需饲料xkg和ykg.
回顾问题
剧情发展：李大叔还说他租用大小两种货车运了两次饲料，运饲料的情况下如下表：
若李大叔打算买9吨饲料，1辆大车与3辆小车一次能运回来吗？
+ = 15.5,
+ = 35
2x
3y
5x
6y
解得：
x =4
y = 2.5
因为 4×1+3×2.5=11.5 11.5>9
所以 李大叔买9吨饲料，1辆大车与3辆小车一次能运回来。
大车/辆 小车/辆 每次运饲料/吨
第一次 2 3 15.5
第二次 5 6 35
解：设每辆大车每次运x吨，每辆小车每次运y吨。
四、学以致用
1.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问有多少节车皮 多少吨货物
解：设有x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组得
y=15.5x+4，
y=16.5x-8
2.某班有40名同学看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元.请问甲种和乙种票各多少张
五、反馈练习
3.课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各多少只
4.《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊直金几何？则可列方程组为（ ）
A B
C D
C
5.在“五一”假期来临之际，学校计划组织期中考试优秀教师和学生共98人前往襄阳“华侨城”旅游。成人票368元/张，学生票198元/张学校购买门票共花费27564元。教师和学生各有多少人？
在这个问题中有两个等量关系：①_______+_______=98;
②_________+学生票总费用=____.
③解：设___________,__________
④所列方程组为
教师人数
学生人数
教师票总费用
27564
教师人数为x人
学生人数为y人
⑥答：教师有48人，学生有50人。
48
六、课堂小结
1.通过本节课的学习你有哪些收获 ？
2.通过本节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤吗？
（审、设、列、解、验、答）
七、课后作业
选做题：长江作业本68-69
必做题：某运输公司有大小两种货车,2辆大车和3辆小车可运货15.5吨,5辆大车和6 辆小车可运货35吨,客户王某有货52吨,要求一次性用数量相等的大小货车运出,问需用大、小货车各多少辆 8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 利用二元一次方程组解决实际问题
一、内容和内容解析
1.内容
利用二元一次方程组解决实际问题
2.内容解析
实际生活中常会遇到解决两个未知量的问题，这两个未知量之间存在数量关系，运用二元一次方程组可以解决这类问题。分析问题中的数量关系→发现等量关系→列出二元一次方程组→解二元一次方程组→得到实际问题的答案这一典型的数学建模过程，是数学应用的具体体现，它对于运用其他数学模型（如不等式、函数等）解决实际问题有很强的示范作用。
本节课主要研究“探究1”中的案例，数量关系比较简单，但需要学生理解如何确定未知数，通过“探究1”的学习学生初步认识运用方程组解决实际问题的建模过程，然后尝试独立解决问题，在探究过程中关注如何用数学问题的答案解释具体的实际问题。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：探究用二元一次方程组解决实际问题的过程。
二、目标和目标解析
1.目标
能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模思想。
2.目标解析
学生能够准确分析数量关系，发现等量关系，能够依据实际问题列出方程组，解方程组。在此基础上用方程组的解解释实际问题，这一典型的数学建模过程，需要学生在方程、方程组以及后续的不等式、函数的学习中，逐渐体会。在“探究1”中学生首先要分析数量关系，找到等量关系，正确设未知数，列出方程组，理解“通过计算检验估计”的含义。
三、教学问题诊断分析
受阅读能力和分析能力的制约，如何从实际背景中抽取出数学信息，并转化成数学语言，对于初一学生来说是个难点，本节课涉及的实际问题都含有两个未知数，包含两个等量关系，需要列出两个二元一次方程。数量关系比一元问题复杂需要学生更好地分析问题，抓住关键词，发现等量关系，列出方程组。“探究1”的问题没有直接提出求“大牛和小牛一天的饲料”，而是要求“通过计算检验他的估计”。也就是说，本题没有明确的未知数。学生要理解通过计算机验证，“估计的值”，进而明确需要求哪些未知量。
基于以上分析本节课的教学难点是：发现问题中隐含的未知数，寻找等量关系并列出方程组。由方程组的解解释实际问题。
四、教学过程设计
1、温故知新
（1）肯德基汉堡8元/个，小明买了4个，共花费___元，
（2）华莱士鸡腿a元/个,小华买10个，共花费____元，
（3）铅笔和钢笔买12支，铅笔每只2元，钢笔每支5元，共花费51元，设铅笔买了x支。列方程为___________
(4)30只大牛和15只小牛1天约用伺料料675kg,若每只大牛1天约用伺料x千克,每只小牛1天约用伺料y千克，列方程为___________________
（5）(代入消元法）（6）(加减消元法）
师生活动：学生独立思考并口答1~6题，教师简单讲解。
设计意图：由六个诊断练习引发学生回顾旧知，自查对二元一次方程的知识点，进一步为用二元一次方程组解决实际问题做铺垫。
2、合作探究
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18~20 kg，每只小牛1天约需饲料7~8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
问题1：怎样理解“通过计算检验他的估计”这句话？
师生活动：学生自由发言，体会对于估算结果要通过精确求值来检验，理解要想检验估计是否准确，需要求出大牛、小牛1天所需要的饲料.
类别 大牛（头） 小牛（头） 1天用饲料（千克）
原来
现在
问题2 题中有哪些是已知量，哪些未知量？
师生活动：学生充分分析题，小组讨论，教师引导学生关注两个未知数
问题3 题目中有几个等量关系？
(1)________________________(2)___________________________
师生活动：学生充分读题，小组讨论，教师引导学生关注两个等量关系式
问题4 如何解决这一问题？
师生活动：学生依据发现的等量关系,建立方程组
解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，
根据等量关系，列方程组：
追问：如何解这个方程组更简便呢？
师生活动：学生拿到方程可能会直接选择消元法，由于数据比较大，肯定存在一定的运算困难，老师提供思路先化简再计算会更加便捷。
解方程组：x= ,（提示学生要检验）
y=
问题5：饲养员李大叔的估计正确吗？
师生活动：学生对比计算结果和李大叔的估计，得到结论。小组相互交流讨论，老师再讲解。
设计意图：探究中问题引导和设计细致入微，目的就是给学生思考和解答的范例，如何通过分析题目，抽象出确实有用的信息，如何选择方程组的解法，为什么需要检验等，学生会有一个完整的印象。 .
3、归纳总结
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解 出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答
回顾问题 以上问题还能列出不同的二元一次方程组吗？
4、学以致用
剧情发展李大叔还说他租用大小两种货车运了两次饲料，运饲料的情况下如下表：
大车/辆 小车/辆 每次运饲料/吨
第一次 2 3 15.5
第二次 5 6 35
若李大叔打算买9吨饲料，1辆大车与3辆小车一次能运回来吗？（请列方程组）
师生活动：学生自主完成巩固练习，并由学生代表板演解题过程，教师对学生解题思路加以指导，通过评讲完善解题过程。
设计意图：通过两次变式训练，让学生熟练运用二元一次方程组解决实际问题，通过对变式训练的巩固，加强学生方程建模解决问题的灵活运用。
5、反馈练习
1.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问有多少节车皮 多少吨货物
2.某班有40名同学看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元.请问甲种和乙种票各多少张
3.课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各多少只
4《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊直金几何？则可列方程组为（ ）
5.在“五一”假期来临之际，学校计划组织期中考试优秀教师和学生共98人前往襄阳“华侨城”旅游。成人票368元/张，学生票198元/张学校购买门票共花费27564元。教师和学生各有多少人？
在这个问题中有两个等量关系：①_____+____=98;②_____+学生票总费用=____.③设：____,_______
④所列方程组为________⑥答：________________________
师生活动：学生自己单独思考，并举手回答，老师订正并讲解。
设计意图：通过反馈练习检测本节课学生对利用二元一次方程组解决实际问题的步骤掌握情况，并提升学生对数学史的感知。
6、课堂小结
1.通过本节课的学习你有那些收获？
2.通过本节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤吗？
师生活动：鼓励学生畅所欲言，总结本节课的收获与体会，小结时教师关注学生对重难点的理解
设计意图：通过小结，学生谈收获，进一步巩固所学知识，形成应用数学的意识，加深对本节课的理解
7、课后作业
必做题：某运输公司有大小两种货车,2辆大车和3辆小车可运货15.5吨,5辆大车和6 辆小车可运货35吨,客户王某有货52吨,要求一次性用数量相等的大小货车运出,问需用大、小货车各多少辆
选做题：长江作业本68-69第5.6题
设计意图：分层巩固利用二元一次方程组解决实际问题，分层作业有较大弹性，体现了“不同的人在数学上得到不同发展”的数学理念.
